2004:17 Den svenska konsumentprisindexserien (KPI), En empirisk studie av säsongsmönstret En tillämpning av TRAMO/SEATS
|
|
- Sven Karlsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 2004:17 Den svenska konsumenprisindexserien (KPI), En empirisk sudie av säsongsmönsre En illämpning av TRAMO/SEATS Avdelningen för Ekonomisk saisik
2 I serien Bakgrundsfaka preseneras bakgrundsmaerial ill den saisik som avdelningen för ekonomisk saisik vid SCB producerar. De kan röra sig om produkbeskrivningar, meodredovisningar sam olika sammansällningar av saisik som kan ge en överblick och underläa användande av saisiken. Ugivna publikaioner från 2001 i serien Bakgrundsfaka ill Ekonomisk saisik 2001:1 Offenlig och priva verksamhe saisik om anordnare av välfärdsjänser 1995, 1997 och :1 Forskar kvinnor mer än män? Resula från en arbesidsundersökning rikad ill forskande och undervisande personal vid universie och högskolor år :2 Forskning och uveckling (FoU) i föreag med färre än 50 ansällda år :3 Föreagsenheen i den ekonomiska saisiken 2002:4 Saisik om privaiseringen av välfärdsjänser En sammansällning från SCB:s saisikkällor 2003:1 Effeker av minskad dealjeringsgrad i varunomenklauren i Inrasa från KN8 ill KN6 2003:2 Consequences of reduced grade in deail in he nomenclaure in Inrasa from CN8 o CN6 2003:3 SAMU. The sysem for co-ordinaion of frame populaions and samples from he Business Regiser a Saisics Sweden 2003:4 Projek med anknyning ill projeke Saisik om den nya ekonomin. En karläggning av uvecklingsprojek och uppdrag 2003:5 Developmen of Alernaive Mehods o Produce Early Esimaes of he Swedish Foreign Trade Saisics 2003:6 Övergång från SNI 92 ill SNI 2002: Underlag för a bedöma effeker av idsseriebro 2003:7 Sveriges indusriprodukionsindex Tidsserieanalys The Swedish Indusrial Producion Index Time Series Analysis 2003:8 Cross-counry comparison of prices for durable consumer goods: Pilo sudy washing machines 2003:9 Monhly leading indicaors using he leading informaion in he monhly Business Tendency Survey 2003:10 Priva drif av offenlig finansierade välfärdsjänser. En sammansällning av saisik 2003:11 Säsongrensning av Naionalräkenskaperna Översik 2003:12 En illämpning av TRAMO/SEATS: Den svenska urikeshandeln :13 A noe on improving impuaions using ime series forecass 2003:14 Definiions of goods and services in exernal rade saisics Forsäning på omslages redje sida! Ovannämnda rapporer, liksom övriga SCB-publikaioner, kan besällas från: Saisiska cenralbyrån, SCB, Publikaionsjänsen, ÖREBRO, elefon eller fax Du kan också köpa SCB:s publikaioner i Saisikbuiken: Karlavägen 100, Sockholm
3 2004:17 Den svenska konsumenprisindexserien (KPI), En empirisk sudie av säsongsmönsre En illämpning av TRAMO/SEATS The Swedish Consumerpriceindex (CPI), An empirical sudy of seasonaliy An applicaion of TRAMO/SEATS Saisiska cenralbyrån
4 Producen Förfrågningar Saisiska cenralbyrån Avdelningen för ekonomisk saisik Lars-Erik Öller, Saisiska cenralbyrån och Sockholms universie, Saisiska insiuionen, e-pos: Påbyggnadskurs i saisik Kandidauppsas, 10 poäng Förfaare: Handledare: Linnea Källqvis linnea@kallqvis.com Peer Nilsson peerboure@yahoo.com Lars-Erik Öller 2004 Saisiska cenralbyrån ISSN Prined in Sweden SCB-ryck, Örebro
5 Innehållsföreckning 1 Inledning Bakgrund Syfe Avgränsning Disposiion Meod TRAMO/SEATS Säsongsrensning Transformaioner Tillvägagångssä Daa Resula Inegraionsordning Modellbesämning och diagnosik Modell Modell Modell Modell Slulig dekomponering Sammanfaning och avsluande kommenarer Framida forskning Lieraurföreckning Appendix A Appendix B Appendix C Appendix D Appendix E Diagramföreckning Diagram 3.1 Originalserie av konsumenprisindex, månadsdaa, jan 1955 feb Diagram 4.1 Modell 1, Residualer Diagram 4.2 Modell 2, Toal ouliereffek Diagram 4.3 Modell 2, Residualer Diagram 4.4 Modell 3, Residualer Diagram 4.5 Modell 5, Residualer Diagram 4.6 Box Cox-ransformerad originalserie Diagram 4.7 Trendcykeln Diagram 4.8 Säsongskomponen Diagram 4.9 Irreguljär komponen Diagram 4.10 Säsongskomponen per månad Diagram C.1 1:a differensen av originalserien Diagram C.2 2:a differensen av originalserien Diagram C.3 1:a differensen och säsongsdifferensen av originalserien Diagram C.4 2:a differensen och säsongsdifferensen av originalserien Diagram C.5 1:a differensen av originalserien, logarimerad
6 Diagram C.6 2:a differensen av originalserien, logarimerad...37 Diagram C.7 1:a differensen och säsongsdifferensen, logarimerad...38 Diagram C.8 2:a differensen och säsongsdifferensen, logarimerad...38 Diagram C.9 1:a differensen av originalserien, Box Cox-ransformerad, λ=0, Diagram C.10 2:a differensen av originalserien, Box Cox-ransformerad, λ=0, Diagram C.11 1:a differensen och säsongsdifferensen, Box Cox-ransformerad, λ=0, Diagram C.12 2: a differensen och säsongsdifferensen, Box Cox-ranformerad, λ=0, Diagram D.1 Anderson Darlings normalieses, Modell Diagram D.2 Anderson Darlings normalieses, Modell Diagram D.3 Anderson Darlings normalieses, Modell Diagram D.4 Anderson Darlings normalieses, Modell Diagram D.5 Anderson Darlings normalieses, Modell Tabellföreckning Tabell 4.1 Tes av originalseriens inegraionsordning...13 Tabell 4.2 Diagnosik för modellerna 1 ill 5, esimerade i TRAMO...22 Tabell E.1 Modellspecifikaioner och diagnosik, originalserie, modell Tabell E.2 Modellspecifikaioner och diagnosik, originalserie, modell Tabell E.3 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell Tabell E.4 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell Tabell E.5 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell Tabell E.6 Modellspecifikaioner och diagnosik, Box Cox-ransf. serie, modell Tabell E.7 Modellspecifikaioner och diagnosik, Box Cox-ransf. serie, modell
7 Konsumenprisindex (KPI) avser a visa uvecklingen för de genomsniliga konsumenpriserna med avseende på den privaa inhemska konsumionen. KPI-serien är de mes använda måe för prisuveckling och används bland anna som inflaionsmå. I denna uppsas undersöker vi huruvida de finns någo signifikan säsongsmönser i den svenska månadssaisiken av konsumenprisindex sam av vilken ordning serien är inegrerad. Vi illämpar programmen TRAMO och SEATS för a anpassa en univaria ARIMA-modell ill e daaunderlag, besående av 590 observaioner, under idsperioden Vi kommer fram ill a KPI-serien låer sig modelleras inom ramen för en ARIMA-modell om serien förs ransformeras med hjälp av Box-Cox. Modellspecifikaionen är dock ine hel adekva, vilke leder oss ill den alernaiva slusasen a KPI-serien kanske borde modelleras med ugångspunk i ARCH- och GARCH-familjen. Resulaen från de esimeringar vi uför indikerar a de exiserar e signifikan säsongsmönser i KPI-serien och a serien karakeriseras av en I(2). Nyckelord: TRAMO/SEATS, KPI, ARIMA och Box Cox-ransformaion. 5
8 6
9 1 Inledning 1.1 Bakgrund Konsumenprisindex (KPI) avser a mäa den genomsniliga uvecklingen av priserna för hela den privaa inhemska konsumionen. De är e kompensaionsindex, som anger hur sor inkomsökning en konsumen behöver för a kunna behålla sin konsumionssandard när priserna höjs. E KPI på exempelvis 110 anger således a inkomsen måse öka med 10 procenenheer för a kompensera för prishöjningen sedan den idpunk då KPI låg på 100. Ansvarig för a beräkna och publicera konsumenprisindex är Saisiska cenralbyrån (Naionalencyklopedin, 2000). Man mäer de priser som konsumenerna fakisk bealar och inkluderar således moms, andra indireka skaer och subvenioner. SCB samlar varje månad in prisnoeringar (i regel den 15:e i varje månad) för e urval av varor och jänser. Den relaiva beydelsen av olika represenanvaror anges genom vägningsal, som visar hur sor andel de olika varorna och jänserna represenerar i den oala privaa konsumionen. Urvale av represenanvaror och deras vägningsal revideras vid varje årsskife. Som underlag används uppgifer från naionalräkenskaperna om den privaa konsumionens sammansäning under närmas föregående år. KPI är e kedjeindex med årslänkar, konsruera för a illgodose krav på både kor och lång sik. Därav följer a SCB publicerar e koridsindex för respekive månad sam e långidsindex i december ( KPI-serien är de mes använda måe för prisuveckling och används bland anna som inflaionsmå. De är därför av cenral beydelse a öka försåelsen och kunskapen om KPI-seriens srukur och karakär. Ugångspunken i föreliggande sudie är a undersöka hur den svenska konsumenprisserien har förändras under idsperioden och därmed närmare sudera om serien, i likhe med ill exempel naionalräkenskaperna och indusriprodukionsindex, uppvisar rend, cykler och säsongskomponener och i så fall hur de ser u. Vi är särskil inresserade av a undersöka om de finns någon signifikan säsongsvariaion i serien efersom de, oss veerligen, ine gjors någon sådan undersökning idigare. Men även med anke på a de i dagsläge ine förekommer någon säsongsrensning av konsumenpriserna. För a undersöka dea appliceras TRAMO/SEATS på den svenska månadssaisiken av konsumenprisindex. Saisikprogramvaran TRAMO/SEATS uvecklades av Agusin Maravall och Vicor Gomez vid Spaniens cenralbank. TRAMO/SEATS besår av de vå inegrerade meoderna TRAMO och SEATS, som bygger på modellbaserad säsongsrensning. De vå programmen är officiell rekommenderade av Eurosa och den Europeiska cenralbanken (ECB) (Öhlén, 2003). Meoden för säsongsrensning grundar sig på univaria ARIMA-modellering (Box och Jenkins, 1976) och används på SCB för a säsongsjusera vissa idsserier, som exempelvis naionalräkenskaperna och indusriprodukionsindex. Den här uppsasen undersöker även KPI-seriens inegraionsordning. Två enhesroseser och e saionarieses kommer därför a uföras. Framförall är vi inresserade av a esa för om prisserien uppvisar en dubbel enhesro, de vill säga karakeriseras av en I(2), för den sokasiska renden. Om så är falle skulle de innebära a inflaionen karakeriseras av en I(1). Om prisserien skulle uppvisa en dubbel enhesro implicerar de a chocker som påverkar inflaionen är av permanen karakär, de vill säga a inflaionen uppvisar så kallad persisens 1. Efersom under- 1 Persisens i priserna implicerar a priserna är rögrörliga, vilke innebär a anpassningen mo jämvik går långsam. 7
10 sökningsperioden sräcker sig över femio år har naurligvis inflaionen variera krafig, men en dubbel enhesro i KPI-serien relaeras ine ill magniuden, uan ill långvarigheen hos chocker, vilke gör de eoreisk möjlig a finna en dubbel enhesro i prisserien under en period med låg inflaion likväl som i en period med hög inflaion. För e uförligare resonemang om egenskaperna hos en I(2) se Juselius (2004). 1.2 Syfe Uppsasens syfe är framförall a försöka besvara följande frågor: Av vilken ordning är KPI-serien inegrerad? Finns de e signifikan säsongsmönser i KPI-serien? Är de rimlig a under den givna idsperioden approximera KPI-serien med en ARIMA-modell? 1.3 Avgränsning Den här uppsasen använder sig av saisikprogrammen TRAMO och SEATS för a esimera månadssaisiken av KPI. Vi kommer däremo ine a undersöka om vi får andra resula med alernaiva programvaror. Vi är medvena om a de ideala förfaringssäe är a esimera modeller uifrån olika programvaror för a sedan jämföra resulaen. Vale av idsperiod kan även de ses som en avgränsning, efersom observaioner av konsumenprisindex finns från E alernaiv hade därför vari a ugå från kvaralsdaa, vilke finns a illgå från Efersom vi i den här uppsasen undersöker huruvida de finns någon säsongsvariaion i KPI-serien är vale av idsperioden a föredra, då månadssaisik finns för hela den perioden. Dea kan därmed ge oss en precisare beräkning av säsongsmönsre. Den här uppsasen ugår även från anagande a de saknas kalendereffek i KPIserien. Vi är medvena om a dea kan ifrågasäas efersom åres månader är av olika längd, vilke ill exempel innebär a helger faller u ofare under vissa månader än andra. Vi har dock ine hia någo söd för a kalendereffeker har en effek på konsumenpriserna, varken i den lieraur vi gå igenom eller hos SCB. 1.4 Disposiion Avsni 1 inleder. Avsni 2 ar bland anna upp meodiken bakom de båda programmen TRAMO och SEATS sam de illvägagångssä vi använder oss av för a finna den lämpligase ARIMA-modellen. Avsni 3 redovisar vår daamaerial och i avsni 4 preseneras resulaen. Avsni 5 sammanfaar våra resula sam ger avsluande kommenarer. 8
11 2 Meod I dea kapiel preseneras de meoder som används. De försa och andra avsnie behandlar saisikprogramme TRAMO/SEATS respekive säsongsrensning. Sedan beskrivs den Box Cox-ransformaion, som, bland anna, har nyjas för a sabilisera KPI-serien i sudien. Avsluningsvis redogörs för vår illvägagångssä. 2.1 TRAMO/SEATS TRAMO, Time series Regression wih ARIMA noise, Missing observaions and Ouliers, är e Forran-program, som vid SCB används på PC under MS-DOS och Windows. De är e program för skaning och prognosisering av regressionsmodeller, vars slumperm specificeras med en ARIMA-modell. Programme idenifierar och korrigerar för de olika yperna av exremvärden och kan även skaa speciella effeker såsom kalendereffeker (Öhlén, 2003). SEATS, Signal Exracion in ARIMA Time Series, är e program för esimering av icke observerbara komponener i idsserier. Programme använder en ARIMA-baserad meod. De olika komponenerna skaas och prognosiseras med signalexraheringseknik applicerad på ARIMA-modeller (Öhlén, 2003). En uförlig beskrivning av meodologin bakom de båda programmen går a läsa i Gomez och Maravall (1994, 1996, 1998), Maravall (1995) och Maravall och Sánchez (2000). Förfaringssäe kan, korfaa, summeras enlig följande: Give idsserien y = ( y 1,..., y ) av observerade värden skaar TRAMO regressionsmodellen: y = x β + v, (2.1.1) där x är en maris av regressionsvariabler: x = ( x 1,..., x m ) och β represenerar en vekor av regressionskoefficiener: β = ( β 1,..., β m ) och v följer den sokasiska, generella ARIMA-processen: s d D s ϕ ( B) Φ ( B ) s y = θ ( B) Θ ( B ) e. 2 (2.1.2) SEATS dekomponerar sedan v, enlig: v = TC + S + I + T, (2.1.3) där TC sår för rendcykeln, S för säsongen, I för den irreguljära komponenen och T för kalendereffeker sam ouliereffeker. Dessa komponener följer i sin varsin ARIMA modell, vilke gör de möjlig a få enskilda prognoser för de olika komponenerna i SEATS. Säsongsjusering är de speciella falle då: v = N + S, (2.1.4) där N represenerar den säsongsjuserade serien de vill säga: N = TC + I + T. (2.1.5) 2 Se appendix A för en eoreisk genomgång av ARIMA-modellering. 9
12 2.2 Säsongsrensning Sedan 1999 använder SCB TRAMO/SEATS vid säsongsresning av den officiella saisiken. Dessförinnan användes programme X-11-ARIMA. Bye av säsongsrensningsprogram ägde rum efer e uvecklingsarbee, som genomfördes på SCB under slue av 1990-ale, delvis i samarbee med Eurosa. De visade sig a meoden för säsongrensning med programmen TRAMO och SEATS gav högs kvalie (Öhlén, 2003). De vå programmen är srukurerade så a de kan användas illsammans. När de används för a säsongsjusera en idsserie så förjuseras serien i TRAMO för a sedan dekomponeras i SEATS. En säsongsrensad serie kan sedan användas ill a göra jämförelser mellan alla idpunker i en serie. De finns dock allid kvar e viss brus, vars beydelse varierar mellan olika serier, men även för olika meoder av säsongrensning. Dea innebär a idsmässiga förändringar, beräknade på den säsongsrensade serien, ofa kan vara svåra a olka. I dessa fall kan de vara lämplig a även redovisa den långsikiga uvecklingen med beräkningen av rendcykeln. Trendcykeln represenerar den långsikiga uvecklingen bäre på grund av a den eliminerar bruse i högre grad jämför med den säsongsrensade serien. SCB:s officiella saisik, som redovisar månadsförändringar/kvaralsförändringar uppräkna ill årsak, är därför ofas beräknade på basis av rendcykeln ( Den säsongsjuserade serien innehåller, föruom rendcykeln och bruse, även evenuella exremvärden (ouliers). Exremvärden är observaioner, som avviker från de övriga värdena i serien även om vi ar hänsyn ill säsongs- och kalendereffeker (för a kunna definiera en avvikelse måse naurligvis en specifik gräns fassällas). Exremvärden definieras uifrån re skilda yper: (Planas, 1997) Addiiv exremvärde karakeriseras av a den påverkar serien endas vid en idpunk, varvid serien hoppar ill men genas åergår ill ungefär samma nivå som idigare. Nivåskife karakeriseras av a serien, från en viss nivå hoppar ill en annan nivå och sedan sannar på den nya nivån. Temporär förändring karakeriseras av a serien hoppar ill en ny nivå, men åergår ill den ursprungliga nivån efer några perioder. Orsakerna ill a exremvärden exiserar i serien kan variera. I vissa fall kan förändringar i den ekonomiska poliiken ge upphov ill exremvärden. I andra fall kan exerna händelser påverka serien, ill exempel a världsmarknadsprise på olja av någon anledning drasisk förändras. Även förändringar av represenanvaror i konsumenpriskorgen kan ge upphov ill nivåskifen och i vissa fall kan saisiska fel orsaka exremvärden i serien ( För a kunna beräkna de olika komponenerna i idsserien på e adekva sä, måse flera grundläggande saisiska krav as i beakande. Förs är de vikig a komponenerna är oberoende av varandra. Säsongsrensningen försämras ill exempel avsevär om säsongsfakorn samvarierar med den cykliska komponenen, vilke kan vara svår a avgöra. Vidare är de cenral a den irreguljära fakorn, bruse, anas följa en oberoende normalfördelning (Kaiser och Maravall, 2001). I prakiken är de självfalle så a saisiska idsseriemodeller endas är en förenkling av verkligheen. Dea innebär a förusäningen för a den valda modellen är en accepabel approximaion med nödvändighe måse prövas med lämpliga saisiska eser. I den här uppsasen kommer en rad olika saisiska eser a genomföras, vilka syfar ill a undersöka en given modells lämplighe. Dessa eser redovisas i appendix B. 10
13 2.3 Transformaioner Vid esimering av univariaa ARIMA-modeller, men även vid esimering av många andra modeller, ugår man från a idsseriens varians är konsan över iden, de vill säga homoskedasisk. När de gäller ekonomiska idsserier är de dock ofa växande över iden, vilke även gäller för prisserier i allmänhe och konsumenprisindexserien i synnerhe. Generell se ökar variansen med nivån. De absolu vanligase förfaringssäe för a sabilisera serien är då a logarimera idsserien, vilke kan ha flera prakiska fördelar. Dels får man e direk esima på elasicieen i regressionsekvaioner med ekonomiska variabler och dels gäller, för små förändringar, a differensen av en logarimisk serie är approximaiv en procenuell förändring. Den vikigase egenskapen är dock a vi kan få idsserien homoskedasisk (Gujarai, 1999). En mer generell ranformaion som kan användas för a sabilisera en idsserie med varierande varians är den så kallade Box Cox-ransformaionen (Box och Cox, 1964). För idsserien y definieras Box Cox-ranformaionen T ( y ) som: λ ( λ ) y 1 T ( y ) = y =, (2.3.1) λ där λ represenerar ranformaionsparameern. 2.4 Tillvägagångssä De försa som kommer a undersökas i denna uppsas är KPI-seriens inegraionsordning. För a undersöka dea använder vi oss av vå olika enhesroseser, dels de uökade Dickey Fuller (ADF) och dels Phillips Perron. Vi kommer också a använda oss av e saionarieses, KPSS-ese. Dessa finns beskrivna i appendix B. Tesen uförs i saisikprogramme STATA. Efer dea går vi vidare med a illämpa programmen TRAMO och SEATS på KPIserien. Vi kommer a ugå från originalserien och den full auomaiska insällningen i TRAMO. Den försa modellen analyseras sedan uifrån den valda diagnosiken. Förfaringssäe kommer sedan a ugå från en ieraiv meod, de vill säga a vi genom en meod för upprepning esar oss fram. Inom ramen för ARIMAmodellering innebär dea a vi kommer a esa olika kombinaioner av ingående paramerar i modellen. Om ingen lösning verkar möjlig uifrån a endas ändra de ingångna paramerarna, går vi vidare med a esa alernaiva illvägagångssä manuell uifrån den evenuella feldiagnosen. För a esa huruvida fördelningen för de beräknade residualerna är symmerisk uförs vå olika normalieses, dels de i TRAMO/SEATS inbyggda Bowman Shenon-ese och dels Anderson Darling-ese. 11
14 3 Daa Konsumenprisindex började regisreras redan De re försa åren, , finns beräkningar för indexe årsvis och mellan finns kvaralssaisik. Tidsserien som ligger ill grund för analysen i den här uppsasen ugörs av 590 observaioner och har som basår Månadssaisik för KPI började föras under sommaren Vi använder oss av observaioner från januari 1955 fram ill och med februari Diagram 3.1 Originalserie av konsumenprisindex, månadsdaa, jan 1955 feb 2004 För a serien ska kunna modelleras med ARIMA krävs a serien är saionär, vilke ofa kan åsadkommas genom en lämplig differeniering och/eller ransformering (se appendix A). För a få en överskådlig bild av seriens useende efer genomförda differenieringar och ransformeringar visas diagram över dea samlade i appendix C. 12
15 4 Resula Kapile redovisar sudiens resula med avseende på KPI-seriens inegraionsordning, modellbesämning och undersökning av säsongsmönser. Kapile innehåller även en dekomponering av vår slugiliga modell. 4.1 Inegraionsordning Olika specifikaioner av univariaa ARIMA-modeller kommer a appliceras på KPI-serien i dea avsni av uppsasen. För a få en uppfaning om hur dessa bör vara uppbyggda, inleder vi analysen med a esa av vilken ordning serien är inegrerad. För a undvika sörningen av den möjliga säsongsvariaionen ugår vi här från årsdaa, vilke självklar eliminerar flukuaioner inom åre. Tabell 4.1, nedan, redogör för resulaen av de olika eserna angående seriens inegraionsordning. Båda enhesrosesen indikerar a originalserien är av inegraionsordning 2. Vi får även samma resula med saionäriesese, KPSS. Vi kan därmed konsaera a KPI-serien, inressan nog, verkar uppvisa en dubbel enhesro för den långsikiga uvecklingen, de vill säga för den sokasiska rendmodellen. Rimligvis borde dea resula medföra a de samma ska gälla även för de modeller vi ska esimera i TRAMO. Tabell 4.1 Tes av originalseriens inegraionsordning Tes ADF konsan, rend Nivå Försa differensen Andra differensen Tredje differensen konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, uan rend rend uan rend rend uan rend rend uan rend [0.45] [0.97] [0.58] [0.27] [0.00] [0.00] (1) (1) (1) (1) (1) (1) PP [0.55] KPSS Kriisk 1% värde 5% % [0.99] 0, [0.32] [0.15] 0, [0.00] ADF -es, PP -es H 0: ψ = θ 1 = 0 MacKinnons (1991) approximerade p-värde inom hakparanes. ADF-laggar i paranes, valda uefer BIC [0.00] 4.2 Modellbesämning och diagnosik Dea avsni presenerar våra esimeringar i TRAMO och SEATS. Framsällningen ugår från fem modeller, vilka är av särskil inresse. Övriga modeller finns redovisade i appendix E Modell 1 Vi går sedan vidare med sökande efer en adekva ARIMA-modell, genom a applicera programme TRAMO på KPI-serien. Den försa modellen som esimeras är med auomaisk insällning i TRAMO (undanage a TRAMO sälls in på oulierkorrekion). Med denna procedur erhålls ARIMA-modellen (3,1,1)(0,1,1), vilke skrivs 2 3 (1 0,98B+ 0,20B 0,13B ) x = (1 0,76B)(1 0,64B ) ( 10,09) (3,16) ( 2,60) e ( 8,51) ( 17,74) värden, (4.2.1) 13
16 för seriens nivåer. All diagnosik för modellerna finns samlad i abell 4.2 på sid 17. Modellen innehåller 26 ouliers, vilke nog får berakas som e mycke hög anal. Ser vi ill diagnosiken för modellens residualer visar normaliesese, N, a residualerna ine är normalfördelade efersom N = 30,65 är sörre än de kriiska värde 6 (se även Anderson Darlings-normalieses i appendix B). Värdena för skevhe och kurosis visar ydlig a ickenormalieen kan associeras med den senare. Fördelningen karakeriseras därmed av lepokurosis, se appendix B, vilke visserligen ine får så sor effek på punkprognoser (Maravall och Sánchez, 2000). Auokorrelaionsese, Ljung Box-Q, är däremo bra och likaså värde på Box Pierce-Q. E diagram över residualerna, diagram 4.1 nedan, visar dock ydlig a modellen ine är lämplig för a beskriva KPI-serien, efersom den lider av heeroskedasicie. Dea bekräfas även av värde för kvadrerade Ljung Box-Q. Därmed är serien ine saionär. Run-ese visar a residualerna ine heller är okorrelerade, vilke, även de, kan yda på ickesaionarie. Diagram 4.1 Modell 1, Residualer Efer a ha esa e reioal modeller i TRAMO (se appendix E för modellspecifikaioner och diagnosik) kunde vi konsaera a probleme med heeroskedasicie roligen ine går a lösa med en modell som specificeras i nivåer. Dea leder oss ill a låa TRAMO esa för en logarimerad specifikaion isälle (diagram av olika differenieringar av den logarimerade serien visas i appendix C) Modell 2 Efer a TRAMO logarimera serien anpassas nu även en annan modell. Isälle erhålls ARIMA-modellen (0,2,1)(0,1,1), vilke kan skrivas som: 12 = (1 0,92B)(1 0,84B e ( 56,27) ( 36,71) värden 2 x ) 12, (4.2.2) med de esimerade paramerarna inkluderade. Modell 2 implicerar a rendmodellen karakeriseras av en I(3) naur. Men om MA-polynomen fakoriseras ges a en av röerna är lika med ( 1 0,99B) och därmed ubybar mo. Därav följer a modellen, i prakiken, förenklas ill en I(2), vilke även bekräfas av SEATS. Sami- 14
17 dig är den andra roen, ( 1 0,92B), ine heller lång ifrån 1, vilke skulle kunna innebära a modellen är nära en I(1). Sandaravvikelsen på parameern från SEATS visar dock a så ine är falle, vilke innebär a modellen sämmer väl med vad vi esa för under avsni 4.1; a rendmodellen karakeriseras av en I(2). Anale ouliers minskar nu ill 16 sycken och den oala ouliereffeken på serien åskådliggörs i diagram 4.2, nedan. Diagram 4.2 Modell 2, Toal ouliereffek Diagramme ovan visar a ouliereffeken, framförall, karakeriseras av en rad emporära förändringar, vilke yder på a prisserien efer en viss id åergår ill sin ursprungliga nivå då någon exrem händelse iniial har påverka priserna. Diagnosiken för modell 2 är bra och paramerarna är signifikana. Värde på Ljung Box Q 2 indikerar a heeroskedasicieen också har försvunni. Likaså är auokorrelaionsese (Ljung Box-Q) forfarande godkän och Run-ese är ine längre signifikan. Grafisk ser residualerna nu bäre u jämför med modell 1, se diagram 4.3. Men de finns en viss endens ill a residualerna är mindre i den andra halvan av serien jämför med den försa halvan. 15
18 Diagram 4.3 Modell 2, Residualer Modellen har forfarande problem med icke-normalie i residualerna, även fas värde på normaliesese har sjunki någo. Skevhes- och kurosisvärdena indikerar a dea, forfarande framförall beror på en viss lepokurosis. SEATS dekomponerar modellen och en summering av diagnosiken finns samlad i abell 4.2 på sid 17. De olika komponenernas slumpmässiga varians yder på en relaiv sokasisk rendcykel, en sabil säsongsfakor och en lien irreguljär komponen. 3 Den hisoriska esimeringen av säsongsvariaionen visar a fem månader är signifikana. Ser vi ill esimeringen för de vå senase åren och för eårsprognosen är fyra månader signifikana. Efer a ha esa dryg fyrio modeller i TRAMO (se appendix E för modellspecifikaioner och diagnosik) kunde vi konsaera a probleme med ickenormalieen i residualerna roligen ine går a lösa genom a endas specificera andra paramerar. Dea leder oss ill a esa en annan modifikaion Modell 3 I diagram 4.3 kunde vi ana oss ill a den logarimerade ranformaionen av KPI-serien möjligen var för sor. Residualerna har, från a ha uppvisa e ökande mönser i diagram 4.1, nu snarare e svag avagande useende i diagram 4.3. E anal olika Box Cox-ranformaioner esades därför i syfe a finna en mer lämplig ranformaion av daa. De visade sig a Box Cox- ransformaionen med ranformaionsparameern, λ = 0.28, resulerade i den bäsa modellen då TRAMO, liksom idigare, körs med auomaisk insällning (diagram av olika differenieringar av den Box Coxranformerade serien visas i appendix C). TRAMO ändrar nu modell ill en ARIMA(1,2,1)(0,1,1), vilken med de esimerade parameervärdena kan skrivas som: 12 = (1 0,93B)(1 0,78B e ( 58,69) ( 27,90) värden 2 (1 + 0,07B) x ) (1,70) 12, (4.2.3) 3 Önskvär är a rendcykeln och säsongsmönsre uppvisar så lien felvarians som möjlig, efersom en sor felvarians innebär en osäker komponen. Den irreguljära fakorn däremo vill vi ska absorbera så mycke brus som möjlig, de vill säga ha e hög värde. 16
19 AR-parameern som inkluderas är, som synes, ine signifikan på 95-procenig signifikansnivå (-värde=1,70) och samidig är de en nackdel med fler paramerar enlig krave på parsimonie. Diagnosiken för modell 3 är dock bra, ill och med aningen bäre än för modell 2. Både de observerade värdena för Ljung Box-Q och Ljung Box-Q 2 indikerar a residualerna varken uppvisar auokorrelaion eller heeroskedasicie. Run-ese är godkän, vilke indikerar a residualerna också är oberoende, se diagram 4.4 för residualdiagram. Framför all sjunker nu värde på normaliesese och dessuom avsevär då N = 8,19, se även appendix B för Anderson Darling-ese. Diagram 4.4 Modell 3, Residualer Även modell 3 karakeriseras, enlig SEATS, av en I(2) för rendmodellen. SEATS dekomponerar modellen och den esimerade säsongen ugörs av 8 signifikana månader per år, dels för den hisoriska esimeringen och dels för de vå senase åren sam för prognosen. Samidig är osäkerheen nu aningen sörre, y säsongskomponenens varians ökar någo jämför med modell 2. Trendcykeln uppvisar dock e sabilare mönser. Den esimerade felvariansen ökar marginell både för rendcykeln och den säsongsjuserade serien Modell 4 Efersom residualerna i modell 3 forfarande visade på viss icke-normalie esas också en modifikaion, som innebär a de kriiska värde för oulierdeekion minskas någo. Dea leder ill a TRAMO esimerar en annan modell. Modell 4 är en ARIMA(3,1,1)(0,1,1) med en AR-parameer, som ine är signifikan. Anale ouliers som definieras blir nu hela 30 sycken, vilke nog måse anses som orimlig många. Modifikaionen faller u som väna med avseende på normaliesese. Värde på kurosis sjunker och är ine längre signifikan, vilke medför a normalieen nu också är på en godkänd nivå (se även appendix D för Anderson Darlingon-ese). Den övriga diagnosiken i TRAMO är också bra. Modellen innehåller dock beydlig fler paramerar, vilke ine är önskvär enlig parsimonieskrave, de vill säga a modellen bör ha så få paramerar som möjlig. Värdena på BIC och AIC ökar också. 17
20 Diagnosiken från SEATS visar även a modellen esimerar en mer osäker säsongskomponen och a variansen hos den irreguljära komponenen minskar. Samidig ökar den esimerade felvariansen i både rendcykeln och den säsongsjuserade serien Modell 5 Snarare än a minska på gränsen för oulierdeekion, borde kanske en modell specifieras uan a definiera några exremvärden. Orsaken ill dea är a exremvärden kan anas ingå i prisbildningsmekanismen och därför borde inkorporeras i den sokasiska processen. TRAMO specificerades därför med e kriisk värde för oulierdeekion så hög a inga ouliers kunde idenifieras. I TRAMO esimeras nu ARIMA-modellen (0,2,1)(0,1,1), vilken med parameervärdena kan skrivas som: 12 = (1 0,94B)(1 0,84B e ( 66,42) ( 37,06) värden 2 x ) 12. (4.2.4) Värde för normaliesese skjuer nu som väna i höjden, efersom alla exremvärden nu inkorporeras i modellen. Dea beror framförall, liksom idigare, på a kurosisvärde är hög. Både värdena för BIC och AIC minskar dock jämför med modell 3 och 4 och modellen uppvisar heller ingen auokorrelaion, varken på icke-säsong eller på säsong. Ine heller run-ese ger någo uslag, vilke innebär a residualerna också är okorrelerade. Däremo visar Ljung Box-Q 2 på a residualerna nu lider av heeroskedasicie, vilke också kan anas i diagram 4.5, nedan. Diagram 4.5 Modell 5, Residualer Vi genomförde därför även Engles ARCH-es med vå laggar. Tese indikerar a modell 5 lider av ARCH-sörningar då essaisikan, NR 2, ger e värde på De kriiska värde enlig χ 2 -fördelningen är 5.99 vid en 95% signifikansnivå. Dea innebär a nollhypoesen om ingen ARCH-sörning kan förkasas. 18
21 4.3 Slulig dekomponering I vale mellan de esimerade modellerna sår de klar a modell 1 är direk olämplig för a dekomponeras. Jämförs modell 2 och 3 kunde vi se a diagnosiken för båda modellerna var bra med undanage för a modell 2 uppvisade beydlig sämre värde på normaliesese. Dea ger a Box Cox-ranformaion roligen är mer lämplig än logarimering. Visserligen är säsongskomponenen mer sabil i modell 2, men modell 3 esimerar å andra sidan en sabilare rendcykel. Värde för variansen hos den irreguljära komponenen är densamma för de vå modellerna. Modell 3 borde därmed vara a föredra, efersom både modell 4 och 5 uppvisade klara briser blir de nu denna modell som sluligen dekomponeras. Från diagnosiken i SEATS ges även a modellen har vå röer på rendcykeln, vilke överenssämmer med våra idigare uförda eser för inegraionsordning. Den esimerade modellen är därmed inegrerad av andra ordningen, de vill säga en I(2). Nedan visas diagram på de olika komponenerna: Diagram 4.6 Box Cox-ransformerad originalserie Diagram 4.7 Trendcykeln 19
22 Vi ser ydlig a rendcykeln är den mes dominerande komponenen efersom den följer originalserien väldig väl. Diagram 4.8 Säsongskomponen Diagramme visar hur säsongsmönsre förändras under idsperioden. De är ydlig a säsongskomponenen ökar i magniud under idsperioden. Samidig verkar också komponenen bli allmer komplex under den andra halvan av idsperioden. Ine bara förändras mönsre, uan flera månader inkluderas också. E anna sä a illusrera hur säsongsmönsre för de olika månaderna förändras under idsperioden är a visa e diagram besående av de olika månadernas förändringar var för sig, se diagram Diagram 4.9 Irreguljär komponen Den irreguljära komponenen karakeriseras av e konsan medelvärde och ser även u a vara homoskedasisk. 20
23 Diagram 4.10 Säsongskomponen per månad Diagramme ovan visar a säsongsmönsre för de olika månaderna följer ydliga mönser och ine beer sig slumpmässig. För månaderna januari och februari ses dea mycke ydlig. Från a ha uppvisa en uppågående rend mellan 1950 och 1980-ale sker sedan e rendbro och de båda månaderna övergår ill negaiva värden i början på 1990-ale. Samidig ser vi a månaderna mars, april och maj uppvisar posiiva värden under hela idsperioden, vilke implicerar a prisserien har vari som högs, i genomsni, under denna period. Ser vi ill nuvarande säsongsmönser i prisserien är KPI som högs under april och maj sam på hösen, under sepember och okober. Under sommarmånaderna juli och augusi illsammans med januari och februari är de månader då priserna i konsumenpriskorgen verkar vara som lägs. 21
24 Tabell 4.2 Diagnosik för modellerna 1 ill 5, esimerade i TRAMO TRAMO Ej ransf. Log Box-Cox Box-Cox Box-Cox ARIMA-modell: (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) (1,2,1)(0,1,1) (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) Modell: AIC BIC 3,81-10,71-6,83-6,88-6,35 3. Sandard avvikelse (medelvärde) 0,25 0,000 0,00 0,00 0,00 4. Sandard avvikelse (residualerna) 5,81 0,00 0,03 0,03 0,04 5. Normalie < 6, (95%, 2 d.f) 30,65 25,60 8,19 4,62 682,00 6. Skevhe -0,01 0,18 0,10 0,21 0,91 7. Kurosis 4,16 3,98 3,56 3,18 8,01 8. Ljung-Box Q (24 auok) <34.1 (95%, 20 d.f) 27,03 19,80 22,94 19,63 19,54 9. Ljung-Box Q 2 <36,4 (95%, 24 d.f) 171,98 25,12 21,50 20,36 97, Pierce Q (2 auok)<9 (95%, d.f) 0,00 1,64 1,15 0,00 0, Run-es, -värde 2,90 1,44 0,42 1,3695-0, Parameervärden (-värden) -0,98 (-10,09) -0,92 (-56,27) 0,07 (1,70) -0,86 (-11,98) -0,94 (-66,42) 0,20 (3,16) -0,84 (-36,71) -0,93 (-58,69) 0,06 (1,14) -0,84 (-37,06) -0,13 (-2,60) -0,78 (-27,90) -0,13 (-2,83) -0,76 (-8,51) -0,80 (-12,97) -0,64 (-17,74) -0,74 (-22,09) 13. Anal ouliers SEATS Nivåer Log Box Cox Box Cox Box Cox ARIMA-modell: (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) (1,2,1)(0,1,1) (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) Modell: Varians i komponenerna ( i enheer of Va) Trend-cykel 0,080 0, ,258 Säsong 0,167 0, ,004 Irreguljär 0,030 0, , Esimerad felvarians (i enheer av Va) Trend-cykel 0,453 0, ,273 Säsongsjuserad 0,396 0, , Signifikan säsong-månader per år (95%) Hela serien Senase vå åren Prognos för näsa år
25 5 Sammanfaning och avsluande kommenarer Vi har i föreliggande uppsas visa e ydlig säsongsmönser i konsumenpriserna. Vi har även visa a den svenska konsumenprisserien, mellan 1955 och 2004, är inegrerad av andra ordningen, de vill säga a rendmodellen uppvisar en dubbel enhesro. Dea konsaerade vi efer a vå olika enhesroses sam e es för saionarieses genomförs. Dessa resula överenssämde sedan med de modeller vi esimerade genom a illämpa programme TRAMO. Innebörden av a KPI-serien uppvisar en dubbel enhesro är a inflaionen under idsperioden ine är saionär, uan inegrerad av försa ordningen. Dea implicerar a en chock på prisserien påverkar inflaionen på e permanen sä Juselius (2004). E fleral olika ARIMA-modeller har esimeras i denna uppsas. Den försa modellen erhölls genom a använda den auomaiska insällningen i TRAMO och var en ARIMA(3,1,1)(0,1,1) för seriens nivåer. Modell 1 uppvisade dock beydliga problem. Framförall karakeriserades modellens residualer av heeroskedasicie och lepokurosis. Vi försöke lösa dessa problem genom a specificera om modellen med andra paramerar. Problemen försvann dock ine genom denna meod. Isälle gick vi över ill en logarimerad specifikaion av KPI-serien och använde åerigen den auomaiska insällningen i TRAMO. Resulae blev modell 2, en ARIMA(0,2,1)(0,1,1) och probleme med heeroskedasicie var lös. Residualerna uppvisade dock forfarande ickenormalie, ros en viss förbäring. Vi försöke därför, på samma sä som idigare, a lösa probleme genom a specificera om modellen med andra paramerar. Åerigen misslyckades vi med denna meod. Genom a sudera residualdiagramme från modell 2 kunde vi dock ana a den logarimerade ransformaionen vari allför kraffull. Vi undersöke därför om en annan ranformaion kunde passa bäre. Vi esade e fleral olika Box Cox-ranformaioner och den som gav bäs resula, uifrån diagnosiken i TRAMO, resulerade i modell 3, en ARIMA(1,2,1)(0,1,1). Probleme med ickenormalieen hos residualerna visade sig nu vara näsinill lös och den övriga diagnosiken var också bra. En AR-parameer, som ine var signifikan på 95-procensnivån ingick dock i modellen. Osäkerheen i den esimerade säsongskomponenen ökade marginell. Å andra sidan minskade osäkerheen i rendcykelkomponeen. De visade sig a försöken med a specificera om modellens paramerar ine gav någo resula denna gång heller, vilke medförde a vi undersöke en alernaiv modifikaion. För a försöka komma ill räa med ickenormalieen minskade vi därför de kriiska värde för oulierdeekion, vilke resulerade i a residualerna, sluligen, kunde anas vara normalfördelade. Modell 4, en ARIMA(3,1,1)(0,1,1), var dock beydlig mer komplex än modell 3 och kan därför kriiseras uifrån parsimonieskrave. Modellen innefaade även 30 ouliers, vilke vi ansåg vara orimlig. Isälle esades en sisa modell, som ugick från anagande a exremvärden ingår i prisbildningsmekanismen och därmed ine borde korrigeras. I modell 5 ändrades därför insällningen i TRAMO så a inga exremvärden definierades. Som väna gav dea oss, åerigen, problem med normalieen (lepokurosis), men även med heeroskedasicie. I övrig var diagnosiken bra. Samidig kan vi naurligvis ine ueslua a prisserier ska karakeriseras av kurosis och möjligen även heeroskedasicie. En änkbar lösning på problemen i modell 5 vore dock a uveckla modellen ill a inkludera en beingad varianssrukur, de vill säga a modellera KPI-serien inom ramen för ARCH- och GARCH-familjen. Denna änkbara lösning ryms dock ine 23
26 inom ramen för den här uppsasen uan får berakas som e projek för en vidare undersökning. Gemensam för de esimerade modellerna i den föreliggande uppsasen var a de alla uppvisade e signifikan säsongsmönser. Inressan nog innehöll alla våra esimerade modeller en signifikan MA-parameer på säsongsnivå. Hur denna säsongskomponen ska beskrivas är däremo ine give, y de beror på vilken modell som appliceras på serien. Vi valde a dekomponera modell 3, vilke medförde a e säsongsmönser med åa signifikana månader esimerades i SEATS. Dea esima för säsongskomponenen gällde likväl för den hisoriska esimeringen som för esimeringen av de senase vå åren och eårsprognosen. Vi har också visa hur säsongsmönsre förändras under idsperioden genom e diagram på de enskilda månadernas säsongsmönser över id, se diagram 4.10, sidan 16. För a avsluningsvis åerknya ill frågorna i vår syfesformulering: Vi har, genom a applicera re olika hypoeseser, visa a KPI-serien är inegrerad av andra ordningen. Inför skrivande av den här uppsasen inspirerades vi av Professor Kaarina Juselius, som idigare i år skrivi om I(2)-processer. Vi fann sedan, inressan nog, a den svenska KPI-serien karakeriserades av en I(2). Innebörden, av dea är a inflaionen, i sin ur, ine är saionär uan karakeriseras av en I(1), vilke beyder a en chock på inflaionen karakeriseras av persisens. Vi har även, genom a illämpa TRAMO, anpassa e anal ARIMA-modeller ill serien. Ingen av dessa kunde dessvärre gälla som en full adekva modell ill serien. De esimerade modellerna i den här uppsasen innehöll dock alla en signifikan säsongskomponen. De fem modeller, vilka vi redovisa för under resulaavsnie uppvisade alla en signifikan MA-parameer på säsongsfrekvensen, vilke vi finner högs anmärkningsvär. Dea indikerar a de exiserar e signifikan säsongsmönser i konsumenprisserien under idsperioden Säsongsmönsre har självklar förändras under idsperioden, vilke vi illusrerade i e diagram för de enskilda månaderna, men verkar också ha öka och blivi mer komplex (se diagram 7.8 och 7.10). Slusasen blir därmed a en säsongsjusering av konsumenprisindexserien borde beakas. 5.1 Framida forskning Vi ser framemo a a del av en sudie som undersöker KPI-serien på en disaggregerad nivå. Med andra ord en sudie som undersöker KPI-serien olika komponener: Kläder och Skor, Livsmedel, Bosad, Värme och Hushållsel. Efersom vi i föreliggande uppsas har esimera e signifikan säsongsmönser i konsumenpriserna vore de inressan a vidare undersöka hur säsongsmönsre ser u uifrån indexes olika varugrupper. En annan inressan sudie vore a modellera KPI-serien inom ramen för ARCHoch GARCH-familjen. Dea då Engles ARCH-es indikerade a modell 5, de vill säga den modell där exremvärden anogs vara inkorporerade i KPI-processen, led av ARCH-sörningar. 24
27 6 Lieraurföreckning Black, F. (1976), Sudies in Sock Price Volailiy Changes, Proceeding of he 1976 meeing of he Business and Economic Saisics Sociey, American Saisical Associaion, Bowerman, B. L. och O Connell, R. T. (1993), Forecasing and Time Series - an Applied Approach, Third Ediion, Duxbury Press, Belmon. Box, G.E., Jenkins, G.M. och Reinsel, G.C. (1976), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Second Ediion, Holden-Day, San Francisco. Box, G.E, Jenkins, G.M. och Reinsel, G.C. (1994), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol. Third Ediion. Holden-Day: San Francisco. Box, G.E och Cox, D.R. (1964), An Analysis of Transformaion, Journal of Royal Saisical Sociey, B 26, s Gomez, V. och Maravall, A. (1994), " Esimaion, Predicion and Inerpolaion for Nonsaionary Series wih he Kalman Filer", Journal of he American Saisical Associaion, 89, Gómez, F. och Maravall, A. (1996), Programs TRAMO and SEATS. Insrucions for he User (Bea version: Sepember 1996), Working Paper No. 9628, Bank of Spain. Gómez, V. och Maravall, A. (1998). Guide for Using he Programs TRAMO and SEATS. Working Paper 9805, Research Deparmen, Bank of Spain. Gujarai, D. (1999), Essenials of Economerics, 2nd ediion, Irwin/McGraw-Hill, Singapore. Harvey, A.C. (1981), Time Series Models, Phillip Alan, Oxford. Juselius, K. (2004), "Inflaion, Money Growh and I(2) Analysis", Insiue of Economics, Universiy of Copenhagen. Kaiser, R. och Maravall, A. (2001), Measuring Business Cycles in Economic Time Series, Springer-Verlag, New York. Kleinbaum, G. D., Kupper, L. L. och Muller, E. K. (1988). Applied Regression Analysis and oher Mulivariable mehods, Second Ediion, Duxbury Press, Belmon. MacKinnon, J. G., (1991), Criical Values of Coinegraion Tess, in Engle, R. E. och Granger C. W. J., eds., Long-Run Economic Relaionships: Readings in Coinegraion, Chaper 13, Oxford Universiy Press, New York. Makridakis, S., Wheelwrigh, S. och Hyndman, R. J. (1998), Forecasing Mehods and Applicaions, Wiley, New York. Maravall, A. (1995). Unobserved Componens in Economic Time Series, in Pesaran, H. & Wickens, M. (eds), The Handbook of Applied Economerics, vol. 1, Basil Blackwell, Oxford. Maravall, A, och Sánchez, F. (2000). An Applicaion of TRAMO-SEATS: Model Selecion and Ou-of-Sample Performance: he Swiss CPI series, Working Paper 9914, Research Deparmen, Bank of Spain. To appear in Seasonal Adjusmen Procedures. Experiences and Perspecives, Rome. Mcleod.A.I och Li W.K (1983), Diagnosic Checking ARMA Time Series Models Using Squared-Residual Auocorrelaion, Journal of Time Series Analysis, 4, NE Naionalencyklopedin AB (2000), Mulimedia 2000 plus, DVD skiva. 25
28 Planas, C. (1997), Applied Time Series Analysis, Modelling, Forecasing, Unobserved Componens Analysis and he Wiener-Kolmogorov Filer, Office for official publicaions of he European Communiies, Luxembourg. Pierce, D.A. (1978). Seasonal Adjusmen when Boh Deerminisic and Sochasic Seasonaliy are Presen, Seasonal Analysis of Economic Time Series, ed. A.Zellner, Washingon, D.C. U.S. Dep. of Commerce, Bureau of he census, Priesley, M. P. (1981), Specral Analysis and Time Series, Academic Press Ld, London. Öhlén, S. (2003), Säsongsrensning av naionalräkenskaperna, en översik, Saisiska cenralbyrån. 26
29 Appendix A I programmen TRAMO och SEATS används ARIMA-modeller som en inegrerad del både i beräkningen av exremvärden och vid dekomponeringen av serien i en säsongsfakor och i andra fakorer. För a läsaren lä ska kunna följa med i användande av ARIMA-modeller i uppsasen preseneras här en sammanfaande genomgång av den eoreiska uppbyggnaden för ARIMA-modeller. Wolds dekomponering Wolds dekomponeringseorem fasslår a en andra ordningens saionär process, y, kan uryckas som summan av en deerminisisk funkion illsammans med en oändlig linjär kombinaion av okorrelerade slumpvariabler enlig: y = c( ) + e + ϕ 1 e 1 + ϕ2e (A.1) i= 0 y = c( ) + ϕ e (A.2) i i y = c( ) + ϕ( B), (A.3) e där c() represenerar den deerminisiska komponenen, ϕ 0 = 1, B är en bakåskifande operaor och 2 ϕ i <. Processen kan därmed uryckas som summan av en j= 0 deerminisisk komponen och en linjär sokasisk process. Den deerminisiska delen urycker vanligvis seriens medelvärde och den sokasiska delen represenerar en oändlig glidande medelvärdesprocess. Arima-modeller Enlig Wolds eorem kan sökande efer en modell ill serien y berakas som sökande efer en lämplig represenaion ill den sokasiska processen ϕ ( B) e. Gruppen av ARIMA-modeller erbjuder e kraffull verkyg för a approximera denna del i Wolds dekomponering, vilke dessuom kan göras med relaiv få paramerar. För en uförligare beskrivning av Wolds eorem och ARIMA-modeller se exempelvis Planas (1997). Auoregressiv Modell (AR) i Om vi anar a ϕ -koefficienen är sådan a ϕ i = ϕ och ϕ < 1 kan y skrivas som: 2 n n y (1 + ϕ B + ϕ B ϕ B ) e = (A.4) = n+ 1 1 ϕ B = 1 ϕb n+ 1 e = (A.5) 1 n = e då lim n ϕ = 0. (A.6) 1 - ϕb 27
30 Arrangeras ovansående ekvaion om så erhålls en AR(1)-process, vilken kan uryckas enlig: y ϕ + e. (A.7) = y 1 AR(1)-modellen kan sedan uvecklas för a även beskriva mer generella mönser. En auoregressiv process av ordningen p kan skrivas enlig: y ϕ y... y = e, (A.8) ϕ p p vilke benämns som en AR(p)-process. Glidande Medelvärdesmodell (MA) Om vi sedan anar a ϕ -koefficienen i ovansående generella AR-process (ekvaion i A.8) är sådan a ϕi = θ med θ < 1 så kan följande ekvaion skrivas: e 2 2 (1 + θ B + θ B +...) y = (A.9) = 1 n = y då lim n θ = 0. (A.10) 1 θ B Genom a arrangera om ovansående ekvaion erhålls en MA(1)-process, vilken kan uryckas enlig: y = 1 θ B) e. (A.11) ( MA(1)-processen kan därmed urycka en kor represenaion av en oändlig men konvergen AR-process. Dea kräver dock med nödvändighe a θ < 1, vilke kallas för invererbarheskrierie. En generell MA-processen av ordningen q skrivs: y = e + θ e (A.12) 1 e θq q och benämns som en MA(q)-process. Auoregressiv Glidande Medelvärdesmodell (ARMA) Vissa processer urycks dock bäs av modeller, som kombinerar en AR(p)-process med en MA(q)-process. Dessa modeller benämns som ARMA-modeller av ordningen p och q och skrivs som: y + φ y e. (A.13) φ p y p = e + θ1 e θ q Genom a använda sig av den bakåskifande operaorn kan ekvaionen dock uryckas i beydlig kompakare form enlig: φ B) y = θ ( B) e. (A.14) ( q Inegrerad Auoregressiv Glidande Medelvärdesmodell (ARIMA) Ekonomiska idsserier uppfyller ofa ine villkoren för saionarie, vilke vanligvis beror på a de förekommer långsikiga render i dessa serier 4. Många ickesaionära idsserier kan däremo omvandlas ill a bli saionära genom en lämplig ransfor- 4 Ekonomiska idsserier liknar ofa slumpvandringar, vilka ine är saionära. 28
31 maion. Processer som gjors saionära genom försa ordningens differens, de vill säga: z = y y 1 = y, (A.15) benämns som inegrerade av försa ordningen, vilke skrivs I(1). En process som gjors saionär genom andra ordningens differens benämns således som en I(2) och så vidare. En generell sokasisk ARIMA-process, de vill säga en auoregressiv inegrerad glidande medelalsmodell, ugörs av en blandad ARMA-process för en idsserie som gjors saionär genom differeniering. För idsserier uan säsongsvariaion kan en sådan modell skrivas som: ϕ = ( B) e, (A.16) d ( B ) y θ där ϕ (B) och θ (B) är polynom, som uppfyller saionaries- och invererbarheskrierierna 5. = 1 B är en differenieringsoperaor, d sår för anal differenieringar som använs för a göra serien saionär och e är vi brus. Om polynomen ϕ (B) och θ (B) är av ordningen p respekive q, så sägs y följa en ARIMA(p,d,q)-modell. Box och Jenkins (1976) uvecklade sedan ARIMA-modelleringen för a även kunna beskriva idsserier med säsongsvariaion, vilke kan skrivas som: s d D s ϕ ( B) Φ ( B ) s y = θ ( B) Θ ( B ) e, (A.17) där parameern D represenerar de minsa anal differenieringar som behövs för s a göra serien saionär och s = 1 B sår för differenieringsoperaorn avseende säsongen. Ovansående ARIMA-modell sägs vara av ordning ( p, d, q) ( P, D, Q). 5 För en definiion av begreppe saionarie och invererbarheskrierie se exempelvis Bowerman och O Connell (1993). 29
Konsumentprisindex för kläder och skor
Saisiska Insiuionen STA03:2 Lunds Universie HT 2007 Kandidauppsas, 0poäng Konsumenprisindex för kläder och skor 986-2005 Dekomponering och prognosisering Förfaare: Henrik Svansröm 79063-4098 Samuel Roos
Läs mern Ekonomiska kommentarer
n Ekonomiska kommenarer Riksbanken gör löpande prognoser för löneuvecklingen i den svenska ekonomin. Den lönesaisik som används som bas för Riksbankens olika löneprognoser är den månaliga konjunkurlönesaisiken.
Läs merFÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén
FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av
Läs merSvenskt producentprisindex (PPI) En analys av tidsseriens integrationsgrad och säsongsmönster
Svensk producenprisindex (PPI) 1975 004 En analys av idsseriens inegraionsgrad och säsongsmönser 005:10 I serien Bakgrundsfaka preseneras bakgrundsmaerial ill den saisik som avdelningen för ekonomisk saisik
Läs merSkillnaden mellan KPI och KPIX
Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 9. Analys av Tidsserier (LLL kap 18) Tidsserie data
Finansiell Saisik (GN, 7,5 hp,, HT 008) Föreläsning 9 Analys av Tidsserier (LLL kap 8) Deparmen of Saisics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associae Professor) Financial Saisics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merbättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!
Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com
Läs merEn flashestimator för den privata konsumtionen i Sverige med hjälpvariablerna HIP och detaljhandeln
Bakgrundsfaka En flashesimaor för den privaa konsumionen i Sverige med hjälpvariablerna HIP och dealjhandeln En idsserieanalys med hjälp av saisikprogramme TRAMO 006: Ekonomisk saisik I serien Bakgrundsfaka
Läs merPrognoser av ekonomiska tidsserier med säsongsmönster
Uppsala universie Saisiska Insiuionen C-uppsas i Saisik Handledare: Johan Lyhagen Prognoser av ekonomiska idsserier med säsongsmönser - En empirisk meodjämförelse Eliza Leja Jonahan Sråle 2011-05-17 Sammanfaning
Läs mer2003:11. Säsongrensning av Nationalräkenskaperna Översikt
2003:11 Säsongrensning av Naionalräkenskaperna Översik Bruonaionalproduken (BNP) Förändring från föregående kvaral, uppräkna ill årsak, procen. Säsongrensade värden och rend 7 6 5 4 3 2 1 0 1993 1994 1995
Läs merFöreläsning 8. Kap 7,1 7,2
Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y
Läs merSäsongrensning av Nationalräkenskaperna -Översikt- Sven Öhlén
1(63) Säsongrensning av Naionalräkenskaperna -Översik- Sven Öhlén 2003-03-18 Bruonaionalproduken (BNP) Förändring från föregående kvaral, uppräkna ill årsak, %. Säsongrensade värden och rend 7 6 5 4 3
Läs merKonsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker
Fördjupning i Konjunkurläge juni 12 (Konjunkurinsiue) Konjunkurläge juni 12 75 FÖRDJUPNING Konsumion, försikighessparande och arbeslöshesrisker De förvänade inkomsborfalle på grund av risk för arbeslöshe
Läs merBackground Facts on Economic Statistics
Background Facs on Economic Saisics 2003:12 En illämpning av TRAMO/SEATS: Den svenska urikeshandeln 1914 2003 An applicaion of TRAMO/SEATS: The Swedish Foreign Trade Series 1914 2003 Exporen år 1914-2003
Läs merOm antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation
1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara
Läs merFörord: Sammanfattning:
Förord: Denna uppsas har illkommi sedan uppsasförfaarna blivi konakade av Elecrolux med en förfrågan om a undersöka saisikmodulen i deras nyimplemenerade affärssysem. Vi vill därför acka vår handledare
Läs merBetalningsbalansen. Andra kvartalet 2012
Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen
Läs merBetalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010
Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,
Läs merTjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster
Tjänseprisindex för deekiv- och bevakningsjänser; säkerhesjänser Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.60 TPI- rappor nr 17 Camilla Andersson/Kamala Krishnan Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik,
Läs merVäxelkursprognoser för 2000-talet
Naionalekonomiska insiuionen Kandidauppsas Januari 28 Växelkursprognoser för 2-ale Handledare Thomas Elger Fredrik NG Andersson Förfaare Kenh Hedberg Sammanfaning Tiel: Växelkursprognoser för 2-ale Ämne/kurs:
Läs merFöreläsning 8 Kap G71 Statistik B
Föreläsning 8 Kap 6.8 732G71 Saisik B Y Saionarie 25 2 För en saionär idsserie gäller 15 1 E(y ) = Var(y ) = 2 Corr(y, y -k ) beror bara av k (idsavsånde) och allså ine av. Uryck i ord: korrelaionen på
Läs merTjänsteprisindex för varulagring och magasinering
Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005
Läs merInflation: Ger kointegration bättre prognoser?
Kandidauppsas Januari, 006 Naionalekonomiska insiuionen Inflaion: Ger koinegraion bäre prognoser? Krisofer Månsson 836-3938 Handledare: Thomas Elger Sammanfaning Tiel: Inflaion: Ger koinegraion bäre prognoser
Läs merKan förekomsten av en riskpremie förklara avvikelsen från öppen ränteparitet?
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee D Förfaare: Joakim Lannergård Handledare: Annika Alexius VT 2006 Kan förekomsen av en riskpremie förklara avvikelsen från öppen räneparie?
Läs merSvensk arbetslöshetsdata: Hjälper barometerdata att prognostisera Sveriges arbetslöshet
Saisiska insiuionen Svensk arbeslöshesdaa: Hjälper baromeerdaa a prognosisera Sveriges arbeslöshe Uppsas i Saisik 5 högskolepoäng Nivå 60-90 högskolepoäng Okober 007 Av: Krisofer Månsson Handledare: Mas
Läs merFöreläsning 7 Kap G71 Statistik B
Föreläsning 7 Kap 6.1-6.7 732G71 aisik B Muliplikaiv modell i Miniab Time eries Decomposiion for Försäljning Muliplicaive Model Accurac Measures Från föreläsning 6 Daa Försäljning Lengh 36 NMissing 0 MAPE
Läs merPass Througheffekten i svenska importpriser
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN 27-6-5 Uppsala Universie Magiseruppsas Förfaare: Anders Svensson Handledare: Annika Alexius VT7 Pass Througheffeken i svenska imporpriser en empirisk sudie Sammanfaning
Läs merJämställdhet och ekonomisk tillväxt En studie av kvinnlig sysselsättning och tillväxt i EU-15
Examensarbee kandidanivå NEKK01 15 hp Sepember 2008 Naionalekonomiska insiuionen Jämsälldhe och ekonomisk illväx En sudie av kvinnlig sysselsäning och illväx i EU-15 Förfaare: Sofia Bill Handledare: Ponus
Läs merAtt studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige?
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee C Förfaare: Ameli Frenne Handledare: Björn Öcker Termin och år: VT 2009 A sudera eller ine sudera. Vad påverkar eferfrågan av högskole- och
Läs merTidsserieanalys. Vad karaktäriserar data? Exempel:
Tidsserieanalys Exempel: Vad karakäriserar daa? Observaionerna är ine oberoende Observaionerna ger e mönser över iden ex sigande värden med iden ex periodisk variaion över en idsperiod av besämd längd
Läs merKursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden
Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera
Läs merModeller och projektioner för dödlighetsintensitet
Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller
Läs merBetalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012
Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen
Läs merTjänsteprisindex (TPI) 2010 PR0801
Ekonomisk saisik/ Enheen för prissaisik 2010-06-22 1(12) Tjänseprisindex (TP) 2010 PR0801 denna beskrivning redovisas förs allmänna uppgifer om undersökningen sam dess syfe, regelverk och hisorik. Därefer
Läs merSkattning av respirationshastighet (R) och syreöverföring (K LA ) i en aktivslamprocess Projektförslag
Beng Carlsson I ins, Avd f sysemeknik Uppsala universie Empirisk modellering, 009 Skaning av respiraionshasighe R och syreöverföring LA i en akivslamprocess rojekförslag Foo: Björn Halvarsson . Inledning
Läs merTimmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14
Timmar, kapial och eknologi vad beyder mes? Bilaga ill Långidsuredningen SOU 2008:14 Förord Långidsuredningen 2008 uarbeas inom Finansdeparemene under ledning av Srukurenheen. I samband med uredningen
Läs merÄr valutamarknader effektiva? En kointegrationsanalys av spot- och forwardkurser
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee C Förfaare: Per Haldén och Jonas Rydén Handledare: Annika Alexius och Chrisian Nilsson H 06 Är valuamarknader effekiva? En koinegraionsanalys
Läs merDags för stambyte i KPI? - Nuvarande metod för egnahem i KPI
SAISISKA CENRALBYRÅN Pm ill Nämnden för KPI 1(21) Dags för sambye i KPI? - Nuvarande meod för egnahem i KPI För beslu Absrac I denna pm preseneras hur nuvarande meod för egnahem i KPI beräknas, moiveras
Läs merBetalningsbalansen. Tredje kvartalet 2012
Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Third quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,
Läs merTjänsteprisindex för Rengöring och sotning
Tjänseprisindex för Rengöring och soning Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.7 TPI-rappor nr 18 Thomas Olsson Tjänseprisindex, Priser (MP/PR), SCB 2007 Förord Som e led i a förbära den ekonomiska saisiken
Läs merKonjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram
Konjunkurinsiues finanspoliiska ankeram SPECIALSTUDIE NR 16, MARS 2008 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET (KI) gör analyser och prognoser över den svenska och ekonomin sam bedriver forskning
Läs merDet svenska konsumtionsbeteendet
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Kandidauppsas i makroekonomi, 2008 De svenska konsumionsbeeende En ekonomerisk analys av den permanena inkomshypoesen Handledare : Fredrik NG Andersson Förfaare: Ida Hedlund
Läs merBetalningsbalansen. Tredje kvartalet 2008
Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2008 Saisiska cenralbyrån 2008 Balance of Paymens. Third quarer 2008 Saisics Sweden 2008 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,
Läs merHar Sveriges Riksbank blivit mer flexibel i sin penningpolitik?
Har Sveriges Riksbank blivi mer flexibel i sin penningpoliik? En analys av rekursiv skaade Taylorregler baserade på realidsdaa Henrik Siverbo Kandidauppsas Lunds Universie, Naionalekonomiska insiuionen
Läs merRegelstyrd penningpolitik i realtid
Naionalekonomiska Insiuionen Regelsyrd penningpoliik i realid En konrafakisk simulering med realidsdaa Magiseruppsas 4 juni 2008 Handledare: Klas Freger Förfaare: Marin Henriksson Handledare: Jesper Hansson
Läs merJobbflöden i svensk industri 1972-1996
Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens
Läs merLaboration D158. Sekvenskretsar. Namn: Datum: Kurs:
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elekronik Digialeknik Lars Wållberg/Håkan Joëlson 2001-02-28 v 3.1 ELEKTRONIK Digialeknik Laboraion D158 Sekvenskresar Namn: Daum: Eposadr: Kurs: Sudieprogram: Innehåll
Läs merPersonlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet
Personlig assisans en billig och effekiv form av valfrihe, egenmak och inegrie En jämförelse mellan kosnaderna för personlig assisans och kommunal hemjäns 1 Denna rappor är en försa del av e projek vars
Läs merHur varaktig är en förändring i arbetslösheten?
Rappor ill Finanspoliiska råde 2010/1 Hur varakig är en förändring i arbeslösheen? U. Michael Bergman Københavns Universie, EPRU, FRU och Finanspoliiska råde De åsiker som urycks i denna rappor är förfaarens
Läs merLektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2
Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer
Läs merIngen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning
Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra
Läs merRealtidsuppdaterad fristation
Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm
Läs merSCB:s modell för befolkningsprognoser
BAKGRUNDSMATERIAL OM DEMOGRAFI, BARN OCH FAMILJ 2005:1 SCB:s modell för befolkningsprognoser En dokumenaion Saisiska cenralbyrån 2005 Background maerial abou demography, children and family 2005:1 SCB
Läs merFastbasindex--Kedjeindex. Index av de slag vi hitintills tagit upp kallas fastbasindex. Viktbestämningar utgår från
Fasbasindex--Kedjeindex Index av de slag vi hiinills agi upp kallas fasbasindex. Vikbesämningar ugår från priser och/eller kvanieer under basåre. Vid långa indexserier blir dea e problem. Vikerna måse
Läs merVad är den naturliga räntan?
penning- och valuapoliik 20:2 Vad är den naurliga ränan? Henrik Lundvall och Andreas Wesermark Förfaarna är verksamma vid avdelningen för penningpoliik, Sveriges riksbank. Vilken realräna bör en cenralbank
Läs merÄr terminspriserna på Nord Pool snedvridna?
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee D Förfaare: Handledare: Pär Holmberg och Erik Glans Termin och år: Höserminen 2007 Är erminspriserna på Nord Pool snedvridna? En sudie av
Läs merHedgefonder och aktiefonder - En studie av riskexponering och market-timing på den svenska marknaden
Magiseruppsas i finansiering Föreagsekonomiska insiuionen FEK 591 Lunds Universie Hedgefonder och akiefonder - En sudie av riskexponering och marke-iming på den svenska marknaden Handledare Hossein Asgharian
Läs merD-UPPSATS. Prisutvecklingen av järnmalm 1970-2000
D-UPPSATS 2006:126 Prisuvecklingen av järnmalm 1970-2000 En jämförelse av Hoellingmodellen och den fakiska uvecklingen Timo Ryhänen Luleå ekniska universie D-uppsas Naionalekonomi Insiuionen för Indusriell
Läs merEn komparativ studie av VaR-modeller
Naionalekonomiska insiuionen Magiseruppsas EKONOMIHÖGSKOLAN Okober 005 LUNDS UNIVERSITET En komparaiv sudie av VaR-modeller Handledare Hossein Asgharian Förfaare Ola Grönquis Erik Källerö 1 Sammanfaning
Läs merFAQ. frequently asked questions
FAQ frequenly asked quesions På de följande sidorna har jag samla ihop några av de frågor jag under årens lopp få av sudener när diverse olika problem uppså i arbee med SPSS. De saisiska problemen har
Läs merFREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30
Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:
Läs merOljepris och Makroekonomien VAR analys av oljeprisets inverkan på aktiemarknaden
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee D Förfaare: Rober Fredriksson Handledare: Beng Assarsson HT 2007 Oljepris och Makroekonomien VAR analys av oljeprises inverkan på akiemarknaden
Läs merEn modell för optimal tobaksbeskattning
En modell för opimal obaksbeskaning under idsinkonsisena preferenser och imperfek informaion Krisofer Törner* 1 Engelsk iel: A model for opimal obacco excise axaion under imeinconsisen preferences and
Läs merDemodulering av digitalt modulerade signaler
Kompleeringsmaeriel ill TSEI67 Telekommunikaion Demodulering av digial modulerade signaler Mikael Olofsson Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie, 581 83 Linköping Februari 27 No: Denna uppsas
Läs merFöreläsning 2. Prognostisering: Prognosprocess, efterfrågemodeller, prognosmodeller
Föreläsning 2 Prognosisering: Prognosprocess, eferfrågemodeller, prognosmodeller Kurssrukur Innehåll Föreläsning Lek1on Labora1on Inroduk*on, produk*onsekonomiska grunder, produk*onssysem, ABC- klassificering
Läs merKvalitativ analys av differentialekvationer
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok Kvaliaiv analys av differenialekvaioner Anders Källén MaemaikCenrum LTH anderskallen@gmail.com Kvaliaiv analys av differenialekvaioner 1 (10) Inrodukion De
Läs merMonetära modellers prognosförmåga för den svenska kronans utveckling
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee D Förfaare: Per Jonsson Handledare: Annika Alexius HT 2005 Moneära modellers prognosförmåga för den svenska kronans uveckling Sammanfaning
Läs merUtveckling av portföljstrategier baserade på svagt kointegrerade finansiella instrument med AdaBoosting. Helena Nilsson
Uveckling av porföljsraegier baserade på svag koinegrerade finansiella insrumen med AdaBoosing Helena Nilsson Februari 15, 2009 Absrac Financial analyss are consanly rying o find new rading sraegies in
Läs merVolatilitetstransmission - En studie av aktiemarknaderna i Sverige, Tyskland, England, Japan och USA
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee D Förfaare: Anders Borgsröm Handledare: Johan Lyhagen VT 005 Volailiesransmission - En sudie av akiemarknaderna i Sverige, Tyskland, England,
Läs merKan arbetsmarknadens parter minska jämviktsarbetslösheten? Teori och modellsimuleringar
Kan arbesmarknadens parer minska jämviksarbeslösheen? Teori och modellsimuleringar Göran Hjelm * Working aper No.99, Dec 2006 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 2006 * Analysen i denna rappor bygger på
Läs merÄr staten löneledande? En ekonometrisk studie av löneutvecklingen för statligt anställda och privata tjänstemän 1970 2002
Är saen löneledande? En ekonomerisk sudie av löneuvecklingen för salig ansällda och privaa jänsemän 1970 2002 Innehåll Förord 5 Inrodukion 6 Tidigare sudier 8 Den saliga lönebildningens uveckling 10 Daa
Läs mer2 Laboration 2. Positionsmätning
2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni
Läs mer{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1
ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är
Läs merVolatilitetsmodeller - En utvärdering av prestation enligt Model Confidence Set
Naionalekonomiska insiuionen Magiseruppsas Volailiesmodeller - En uvärdering av presaion enlig Model Confidence Se Förfaare: Tomas Johansson Arvid Lezén SAMMANFATTNING Uppsasens iel: Volailiesmodeller-
Läs merTjänsteprisindex för Teknisk provning och analys
Tjänseprisindex för Teknisk provning och analys Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.3 TPI-rappor nr 26 Siv Grimsvik Laskaridis Pera Jansson Tjänseprisindex, Priser (MP/PR), SCB November 2007 Förord Den
Läs merStrategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet
1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe
Läs merTaylor- respektive McCallumregeln för Sverige
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie D-uppsas Förfaare: Pia Fromle Handledare: Annika Alexius HT 2005 Taylor- respekive McCallumregeln för Sverige en normaiv analys av perioden 1993 2005
Läs merDirektinvesteringar och risk
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universie Examensarbee D Förfaare: Per Haldén Handledare: Marin Holmén H 07 Direkinveseringar och risk Finns e samband? Sammanfaning Beslu om och var man ska genomföra
Läs merDiskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?
Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-
Läs mer9. Diskreta fouriertransformen (DFT)
Arbesmaerial 6, Signaler&Sysem I, 2003/E.. 9. Diskrea ourierransormen (DF) 9.1 eriodicie pulsåg Av 6.3(i), arb.mar.4, sid 50, ramgick a ourierransormen (F) av en unkion är e pulsåg X[k]δ( k/) med pulsavsånd
Läs merDet prediktiva värdet hos den implicerade volatiliteten
Föreagsekonomiska insiuionen STOCKHOLMS UNIVERSITET Magiseruppsas HT 2005 De predikiva värde hos den implicerade volailieen en jämförelse mellan Black-Scholes och Cox-Ross-Rubinsein Förfaare: Saphiro Flügge
Läs merSambanden mellan inandningsbara, grova och fina partiklar i luften och strokeanfall i Malmö
Saisiska Insiuionen Sambanden mellan inandningsbara, grova och fina pariklar i lufen och srokeanfall i Malmö Jenny Hillsröm & Joselyne Nsabimana Uppsas i Saisik 5 högskolepoäng Nivå 6-90 högskolepoäng
Läs merEgnahemsposten i konsumentprisindex. KPI-utredningens förslag. Specialstudie Nr 2, maj 2002
Egnahemsposen i konsumenprisindex En granskning av KPI-uredningens förslag Specialsudie Nr 2, maj 22 Ugiven av Konjunkurinsiue Sockholm 22 Konjunkurinsiue (KI) gör analyser och prognoser över den svenska
Läs merHåkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14
1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14
Läs merLektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM
ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller
Läs merNumerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell
U.U.D.M. Projec Repor 25:2 Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell Mikael Jedersröm Examensarbee i maemaik, 3 hp Handledare och examinaor: Ingemar Kaj Maj 25 Deparmen of Mahemaics Uppsala
Läs merPensionsåldern och individens konsumtion och sparande
Pensionsåldern och individens konsumion och sparande Om hur en höjning av pensionsåldern kan ändra konsumionen och sparande. Maria Nilsson Magiseruppsas Naionalekonomiska insiuionen Handledare: Ponus Hansson
Läs merLösningar till Matematisk analys IV,
Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en
Läs merBÖR RIKSBANKEN ANVÄNDA TAYLORREGELN?
NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee C Förfaare: Shubila Balaile och Rober Rajnak Handledare: Nils Gofries V 2005 BÖR RIKSBANKEN ANVÄNDA TAYLORREGELN? -En illämpning av aylorregeln
Läs merKorttidsprediktering av restider med Holt-Winters metod
Examensarbee LITH-ITN-KTS-EX--05/050--SE Koridspredikering av resider med Hol-Winers meod Andreas Allsröm 2005-10-14 Deparmen of Science and Technology Linköpings Universie SE-601 74 Norrköping, Sweden
Läs merLite grundläggande läkemedelskinetik
Lie grundläggande läkemedelskineik Maemaisk Modellering med Saisiska Tillämpningar (FMAF25) Anders Källén Inrodukion Farmakokineik eller mer svensk läkemedelskineik är en vikig disiplin vid uveklande av
Läs merInformationsteknologi
Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik
Läs merIcke förväntad korrelation på den svenska aktiebörsen. Carl-Henrik Lindkvist Handledare: Johan Lyhagen
Icke förvänad korrelaion på den svenska akiebörsen Carl-Henrik Lindkvis Handledare: Johan Lyhagen Sammanfaning Denna uppsas avser a undersöka och, i den mån de går, förklara icke förvänad korrelaion mellan
Läs merDagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:
Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och
Läs merOptimal prissäkringsstrategi i ett råvaruintensivt företag Kan det ge förbättrad lönsamhet?
Föreagsekonomiska Magiseruppsas Insiuionen Höserminen 2004 Opimal prissäkringssraegi i e råvaruinensiv föreag Kan de ge förbärad lönsamhe? Förfaare: Marin Olsvenne Tobias Björklund Handledare: Hossein
Läs merReglerteknik AK, FRT010
Insiuionen för REGLERTEKNIK, FRT Tenamen 5 mars 27 kl 8 3 Poängberäkning och beygssäning Lösningar och svar ill alla uppgifer skall vara klar moiverade. Tenamen omfaar oal 25 poäng. Poängberäkningen finns
Läs merMagisteruppsats. Department of Economics Lund University P.O. Box 7082 SE Lund SWEDEN. Nikolaos Alexandris och Måns Näsman
Magiseruppsas Deparmen of Economics Lund Universiy P.O. Box 7082 SE-220 07 Lund SWEDEN Förfaare: Nikolaos Alexandris och Måns Näsman Tiel: Prognosisering av småbolagsindex Handledare: Thomas Elger och
Läs merInfrastruktur och tillväxt
Infrasrukur och illväx En meaanalyisk sudie av infrasrukurinveseringars påverkan på ekonomisk illväx Infrasrucure and growh A mea-analyical sudy of he effecs of invesmens in infrasrucure on economic growh
Läs merFramtidsförväntningsundersökningars förmåga att förklara och prognostisera hushållens inköp av varaktiga varor.
Naionalekonomiska insiuionen Uppsala universie C-uppsas Förfaare: Johan Löfqvis, Michael Wiberg Handledare: Beng Assarsson Vårerminen 2007 Venileringsdaum 07-06-04 Framidsförvänningsundersökningars förmåga
Läs mer