Framtidsförväntningsundersökningars förmåga att förklara och prognostisera hushållens inköp av varaktiga varor.

Transkript

1 Naionalekonomiska insiuionen Uppsala universie C-uppsas Förfaare: Johan Löfqvis, Michael Wiberg Handledare: Beng Assarsson Vårerminen 2007 Venileringsdaum Framidsförvänningsundersökningars förmåga a förklara och prognosisera hushållens inköp av varakiga varor.

2 Sammanfaning I denna uppsas undersöks om befinliga konsumionsmodeller förbäras när de adderas en specifik variabel för framidsförvänningar ill dem eller om framidsförvänningarna redan är inbakade i dessa modeller genom andra variabler. För a undersöka dea har en variabel för hushållens förvänningar adderas ill vå befinliga konsumionsmodeller. Därefer har skillnaderna jämförs, dels i förklarningsvärde och dels i prognosförmåga. Undersökning baseras på svensk daa från idsperioden 980 ill Resulaen yder på a hushållens förvänningar är icke-signifikana i modellskaningarna. Den försa modellen får dock signifikan bäre prognosförmåga då variabeln för framidsförvänningar inkluderas. Nyckelord: ARMA(,), konsumion, framidsförvänningar, prognoser, konfidensindikaorer, varakiga varor, Croushore, inköp. 2

3 Innehållsföreckning Sammanfaning...2 Innehållsföreckning...3. Inledning Syfe och meod Teori Livscykelhypoesen ARMA(,)-modellen Croushore s modell Konfidensindikaorns roll Daa Säsongsjusering Variabelbeskrivning Empiri Saisiska må Resula för ARMA(,)-modellen Croushore s modell Prognoser Slusaser Referenslisa Appendix A Schwarz informaionskrierium Augmened Dicky-Fuller (ADF) -es Indexering av konfidensindikaorn RMSE Diebold och Mariano Appendix B Augmened-Dicky-Fuller-es Inerpolering Prognosvärden, RMSE och Diebold-Mariano

4 . Inledning Konsumeners framidsförvänningar omnämns ofa av den före dea Federal Reserve ordföranden Alan Greenspan som en av de vikigase förklarande variablerna vid esimering av korsikig ekonomisk illväx. De finns mycke skrive run undersökningar av konsumeners framidsförvänningar, men de är ännu oklar i vilken usräckning hushållens framidsförvänningar påverkar ekonomin och i vilken usräckning dessa undersökningar kan användas för a esimera framida ekonomiska skeenden. En vikig fråga bör dock sällas; Innehåller undersökningar om konsumeners framidsförvänningar värdefull, oberoende informaion om ekonomin eller ompakeerar de bara informaion som redan finns inegrerad i andra ekonomiska indikaorer? Exempelvis; kan förklaringsgraden i en konsumionsmodell uan en specifik variabel för framidsförvänningar öka, när en sådan adderas? För a säa siffror på hushållens framidsförvänningar har konjunkurinsiue sedan 970-ale uför e anal olika undersökningar bland svenska konsumener. Dessa undersökningar redovisas på månadsbasis. Dea är ofare än vad andra ypiska komponener i konsumionsmodeller, ill exempel den disponibla inkomsen rapporeras. 2 Förusa a undersökningarna kan förklara konsumeners inköp av varor och jänser, så kommer de allid a finnas illgång ill färsk daa på framidsförvänningar, som kan användas vid esimering av konsumeners framida inköp. Ugifer på varor och jänser ugör cirka 50 procen av BNP 3, och påverkar bland anna både arbeslöshe och produkion. 4 Därför är de inressan a försöka skapa illförliliga modeller som kan esimera dessa ugifer. Men hur dessa modeller skall vara uformade sam vilka variabler de bör innehålla är en öppen fråga. De råder också delade meningar om de över huvud age är möjlig a prognosisera inköp av varor och jänser i kommande perioder. I en arikel från 978 diskuerar Hall om de är så a konsumenerna redan har illgång ill all känd informaion då de väljer hur mycke de vill spendera på inköp av varor och jänser i nuvarande idsperiod, och a inköpen i näsa period kommer a bygga på samma informaion och därför bli läa a esimera, Ludvigson s.29, Karsson & Nyqvis s.4, SCB Lyhagen s.673, 200 4

5 såvida konsumenerna ine får illgång ill ny informaion som ännu ine är känd och därför ine kan användas vid prognosisering. Dea resonemang baseras på a individerna har så kallade raionella förvänningar om den framida ekonomin. Då denna nya slumpmässiga informaion per definiion ine går a prognosisera skulle de därmed vara meningslös a göra prognoser av framida inköp av varor och jänser Syfe och meod I denna uppsas kommer vi a benämna e index på individers framidsförvänningar på deras hushållsekonomi som konfidensindikaorn. Syfe med uppsasen är a undersöka om denna konfidensindikaor kan förbära förklaringsgraden och prognosförmågan i vå befinliga konsumionsmodeller. De modeller som används i uppsasen är förs Mankiw s ARMA(,)- modell, och sedan en mer uökad modell som bygger på idigare undersökningar i ämne av Croushore, Carroll-Fuhrer- Wilcox och Bram-Ludvigson, den senare modellen benämns Croushore-modellen i uppsasen. I denna undersökning undersöks endas ugifer på varakiga varor, de vill säga varor som kan generera nya under mer än en period 6 exempelvis bilar, kylskåp och kläder ec. En period är i denna uppsas e kvaral. Vi vill rycka på a undersökningen kommer a göras på hushållens ugifer och ej på deras konsumion. De är lä a blanda ihop ugifer på inköp av varor och jänser med konsumion av dessa. Ugifer på en vara läggs endas då varan köps, medan konsumionen uav varan varar så länge konsumenen får nya uav varan, och dea kan vara väldig länge för vissa varor, exempelvis en TV. De är allså rimligvis svår a samla in daa på konsumion och göra undersökningar på dessa. I eori delen kommer vi dock a behandla både konsumion och ugifer efersom eorin i försa hand är uvecklad för konsumion. För samliga variabler i vår undersökning kommer vi a använda oss av kvaralsdaa från 980 ill och med Modellerna kommer a esimeras på daa från 980 ill De fyra reserande åren används sedan som referensdaa för de prognoser vi gör basera på de skaade 5 Blanchard s , Deaon & Muellbauer s.8, 980 5

6 modellerna. I uppsasen förklaras förs den bakomliggande eorin för konsumion sam för modellerna vi använder oss av, dea finns under rubriken Teori. Efer de följer e avsni, Daa där daan som använs beskrivs. I avsni Empiri redovisas resulaen från modellskaningarna basera på daa från idsperioden Sluligen jämförs modellernas prognosförmåga i avsni, Prognos. Där används modellernas prognosskaningar från 2003 ill och med Teori 3. Livscykelhypoesen De dominerande konsumionseorierna är den så kallade livscykelhypoesen sam den permanena inkomshypoesen. Dessa är snarlika och under vissa förusäningar ideniska. De bygger på anagande a en individ försöker a jämna u sin konsumion över sin livsid. Dea görs genom a denne baserar sin konsumionsnivå på nuvarande förmögenhe och inkoms, sam dennes förvänningar på framida inkomser. Två vanliga anaganden inom naionalekonomin är a individer är nyomaximerare och a deras preferenser är a marginalnyan är posiiv och avagande. Om dessa anaganden sämmer kommer individerna a efersräva en jämn konsumionsnivå över iden. De vill undvika a konsumera mycke under en period för a sedan leva faig i näsa. Anledningen ill dea är a marginalnyan ökar krafig då en individ går från en låg konsumion ill en någo högre, men den ökar ine lika krafig när denne går från en väldig hög konsumion ill en ännu högre. Därför kommer individen vid perioder av låg inkoms a låna och konsumera efer önskad nivå och sedan amorera av lånen när inkomsen öka och på dea sä maximera sin nya. 7 Som idigare nämns är de vikig a ha i minne a konsumera varor och jänser ine är desamma som a köpa sådana. Varakiga varor kan köpas vid e illfälle och sedan konsumeras under en längre id. Enlig eorin kommer en individ vid illfällen för en sörre inveseringar, vare sig de rör sig om en ny bil eller e ny kylskåp, ine a nöja sig med a basera si inveseringsbeslu på hur 7 Assarsson s.9-0, 200 6

7 ekonomin ser u i dagsläge. Denne måse även a med förvänningar om framidens ekonomiska läge i beräkningarna. Individen baserar därmed endas ine inköpsbeslu på hur mycke denne har i plånboken för illfälle, uan även på förvänningar om framida inkomser. 8 Med framida inkomser menas allså nuvärde av den oala inkomsen som individen förvänar sig a jäna fram ill sin död. Summan av framida inkomser är ine lika mycke värda då individen får dem om några år som om han skulle ha dem i handen idag. Anledningen ill dea är a han kan låna u de inkomser som jänas idag ill en marknadsräna, (som i denna uppsas kommer anas vara konsan) och därmed öka värde av dessa. Nuvärde är värde av alla framida inkomser om individen skulle ha dem i handen idag. Dea räknas u genom a a all förvänad framida inkoms dividera med marknadsränan plus e, i respekive period. Nuvärde räknas u som i ekvaion (3.). Följande sycke är häma från Assarsson. 9 NV = Y T τ τ τ = 0 ( + r) (3.) τ =.T, där är nuvarande idpunk och T är sisa idpunken. Om ekvaion (3.) omformuleras ill e nyomaximeringsproblem blir ekvaionen som i (3.2) max E T τ u( C + τ )( + φ ) (3.2) τ = 0 φ är en så kallad diskoneringsräna som visar individens preferenser i olika idpunker och u ( C + τ ) är nyan av konsumion i period +τ. Formeln säger a individen maximerar den förvänade nyan av konsumionen under den åersående livsiden allså från ill T. Beraka nu nyan av en förändring i konsumion mellan period och +, de vill säga MU(C ) och MU(C + ), där MU beecknar marginalnyan. Efersom marginalnyan av konsumion anas vara avagande är de rimlig a änka sig a de båda bör vara ungefär lika 0 på grund av a individen efersrävar en jämn konsumion, som redan nämns. De är dock nödvändig a 8 Blanchard s.289, Assarsson, ibid s.,200 7

8 diskonera nyan av yerligare konsumion i period + ill period med (+φ ) som görs i ekvaionen nedan. Samidig måse hänsyn as ill a om individen skjuer upp konsumionen från period ill period + får den en räna på dea sparande (+r) som allså måse mulipliceras med förvänade marginalnyan i period +. Ekvaion (3.3) säger a den förvänade diskonerade marginalnyan av konsumionen i period + måse vara lika med marginalnyan av konsumion i period. Om dea villkor ine är uppfyll har individen ine maximera nyan efersom den då kan öka sin nya genom a öka respekive minska sin konsumion i period och därmed göra värs om i period +. E MU ( C )( + r) + ( + φ) = MU ( C ) (3.3) Probleme med ekvaion (3.3) är a den ine säger hur förvänningarna bildas sam a den ine har någon specifik nyofunkion. Så för a gå vidare anas a nyan är kvadraisk och a konsumenen har en mänads nivå C. Nyofunkionen kan då skrivas som u 2 2 ( C ) = ( C C ) (3.4) Om funkionen ovan deriveras med avseende på C så fås marginalnyan av konsumion som nu är posiiv och avagande. MU = C (3.5) C Om (3.5) säs in i (3.3) fås ekvaionen. + φ E ( C C+ ) = ( C C ) + r I sycke (3.2) kommer ARMA-modellen a härledas på liknande sä. (3.6) Assarsson s

9 Livscykelhypoesen ugår ifrån a individer bygger sina konsumionsbeslu på så kallade raionella förvänningar. Denna yp av framidsförvänningar bygger på a akörerna anas ha en god uppfaning om hur olika ekonomiska variabler förhåller sig ill varandra, och de bygger därför sina prognoser på dea. 2 Om prognoserna ine sämmer med ufalle kommer individerna a konsumera för lie eller för mycke, beroende på om den framida inkomsen över- eller underskaas, de uppsår allså e förvänansfel. Dea sker om akörerna ine har fullsändig informaion vid de illfälle då de ar beslu om sin konsumion. De brukar anas a förvänningsfelen med raionella förvänningar är normalfördelade och därmed har medelvärde 2 noll och variansen σ ε. De vill säga, de har inge sysemaisk mönser. 3.2 ARMA(,)-modellen 978 publicerade Rober Hall en arikel där han beskrev en modell vars syfe är a esimera framida konsumion. Denna modell är en auoregressiv modell av ordning e och kallas en AR()-modell. Den är härledd från eorin om livscykelhypoesen. Teorin bakom modellen lyder som följer; Om all informaion om framida inkomser finns illgänglig när individerna ar beslue om konsumion i period - så kan de vänas a konsumionen i period är densamma som konsumionen i period - gånger e må på hur hög individen värderar konsumion i nue genemo framida konsumion (ρ), plus evenuella exerna chocker (ε ) i period orsakade av ny informaion. (C) är sår för konsumion AR()-modellen visas i ekvaion (3.7). C = a + ρ + ε (3.7) C KC =konsumion i idpunk a =rendkonsanen ε = exern chock i period (ny informaion) + φ ρ =, AR()-ermens koefficien + r ρ är allså koefficienen ill den auoregressiva ermen. Denna koefficien visar hur individerna väger konsumion i nue mo konsumion i näsa period. Diskoneringsränan (φ ), är också e 2 Assarsson s.5, 200 9

10 må på hur individer värderar konsumion i nue genemo framida konsumion, ju högre diskoneringsräna deso högre värderar individen konsumion i nuvarande period genemo kommande perioder. 3 En högre marknadsräna (r), gör a individen blir mer benägen a spara pengar ill framida konsumion och mindre lockad av a låna pengar ill konsumion i nue. Dea resonemang kallas ineremporal subsiuion. 4 Om en skaad auoregressiv modell skulle ha en auokorrelaionskoefficen (ρ) med värde e, i kombinaion med a rendkonsanen (a), har värde noll, kommer denna modell a följa en så kallad slumpvandringsprocess. I eorin skulle dea innebära a individen är indifferen mellan konsumion i nue och i framiden. Vid en slumpvandringsprocess gäller a vänevärde för slumpermen har värde noll och a de ine råder någon seriekorrelaion i slumpermerna. Dea innebär a all prognosvärde för konsumion i idpunk är inkorporera i konsumionen vid idpunk -. Följakligen kan endas ny informaion, ε, förändra konsumion i kommande perioder. Förändringen är allså lika med ekvaion (3.8). ΔC = C C = ε (3.8) En differeniering av C som följer en slumpvandring ger en saionär process då ε är idenisk fördelade sam oberoende över iden, i dea fall följer C +h en vi-brus-process vilke ger den bäsa möjliga prognos som en modell kan ge. 5 Dea på grund av a ε är en sokasisk variabel med vänevärde noll vilke ger a de är meningslös a prognosisera konsumion då denna endas varierar med ny informaion som vi per definiion ine kan föruspå publicerade Mankiw en generalisering av Halls AR()-modell. Skillnaden mellan Mankiws så kallade ARMA(,)-modell och AR()-modellen är a ARMA(,) innehåller en så kallad moving average - erm, MA(). Denna erm ar hänsyn ill deprecieringsaken och därför är ARMA(,)-modellen bäre a applicera vid undersökningar för varakiga varor som visas nedan. 7 3 Hall s.974, Blanchard s.294, Preve s.5, Hall s , Mankiw s.49, 982 0

11 Som idigare nämns är de vid undersökningar av konsumion vikig a göra en disinkion mellan inköp av en vara och konsumionen av den varan. När icke-varakiga varor behandlas sker inköpe och konsumion i regel samidig, dea är dock ine falle med varakiga varor. Inköp innebär a socken av varor ökas medan konsumion sker när en del av socken förbrukas, deprecieras med andra ord. De är vanlig a göra anagande a denna deprecieringsak är konsan över iden. 8 I naionalräkenskaperna är de ugifer som mäs och ine konsumion, varför Halls eori ine direk kan appliceras på dessa daa. Teorin kan dock omformuleras på e enkel sä så a den isälle gäller för konsumenens ugifer. Om vi låer D vara en individs sock av inköpa varor och jänser i period och d vara ugifer i period. δ beecknar deprecieringsraio. Följande härledningar kommer från Assarsson. 9 d ) + = ΔD+ + δd = D+ ( δ D (3.9) I ekvaion (3.3) säs nu nyan av D + och D isälle för nyan av konsumionen. Ekvaion 3.3 blir nu isälle ekvaion (3.0) nedan. E MU + φ ) = MU ( D ) + r ( D+ (3.0) Ingen yerligare informaion än D kan föruspå nyan av socken av konsumerade varor och jänser i period +. Dea efersom all annan informaion i period, besämmer sorleken på D. Om vi anar som idigare a nyofunkionen är kvadraisk, dea för a denna vänas vara avagande, kan den skrivas enlig ekvaion (3.). u 2 2 ( C ) = ( D D ) (3.) Där D är individens mänadsnivå. Denna nyofunkion innebär a marginalnyan beskrivs nedan, ekvaion (3.2). 8 Deaon & Muellbauer s.345, Assarsson s.2-4, 200

12 MU = D D (3.2) Marginalnyan är då posiiv och avagande. Om vi säer in (3.2) i (3.0) får vi E + φ ) = ( D D ) + r ( D D+ (3.3) Till denna bör läggas e förvänansfel ε. Förvänansfele är som idigare 2 nämns D E D = ε ~ IN(0, σ ε ) och saknar allså e sysemaisk mönser. Dea ger ekvaion (3.4). D D + φ + r + = ( D D ) + ε + (3.4) Om a = a ) D och 0 ( + φ ρ =, kan formeln skrivas om som ekvaion (3.5). + r D + = a0 + D + ε + ρ (3.5) Genom a idsfördröja (3.5) en period och muliplicera med (-δ) ges ekvaion (3.6). ( 0 D δ ) D = ( δ )[ a + ρ + ε ] (3.6) Nu subraheras (3.6) från (3.5) och ekvaion (3.) unyjas på följande sä; d + ( δ ) D = ( a + ρd + ε ) ( δ )[ a ρd ε ] (3.7) Dea ger då ARMA(,)-ekvaionen. d + = a0 + ρd ( δ ) ε + ε + δ (3.8) Denna modell, ekvaion (3.8), mäer nu allså "sock-flödes-idenieen, de vill säga förändringen av socken vid en punk. 20 De är sock-flödes-idenieen som kommer a vara 20 Mankiw s.420, 982 2

13 den beroende variabeln i våra modeller. Enlig Mankiw kommer ingen yerligare variabel a ha signifikan effek i regressionen och ε är ine seriekorrelerad. (-δ)ε i ekvaion (3.8) är den så kallade MA-ermen. Denna ARMA(,)-modell esimerar allså konsumionsugifer i näsa period med hjälp av paramerar på hur mycke individen konsumera i denna period och hur mycke denne väger konsumion i nue mo konsumion i framiden ρ = (+φ )/(+r), sam deprecieringsaken på socken av varor och jänser Croushore s modell E problem med ARMA(,)-modellen är a dess variabler anas vara saionära, de vill säga a dess medelvärde och varians är konsan över iden. Om variablerna i en idsseriemodell är ickesaionära leder dea ill a Gauss-Markows förusäningar för minsa-kvadrameoden ine är uppfyllda. Vilke resulerar i a minsa-kvadrameoden ine längre är bes linear unbias esimaor, de skaade sandardavvikelserna blir för små, med bias nedå mo noll och a - och F-esen blir felakiga och R 2 -värderna överskaas vid skaningar. 22 För a undersöka om de finns enhesröer har e så kalla augmened Dicky-Fuller-es uförs. Om en variabel visar sig ha en enhesro anas de a den är icke-saionär. De bör dock påpekas a ese är relaiv svag på grund av a nollhypoesen är a variabeln har en enhesro. 23 Resulaen av dea es finns redovisade i appendix B. Om de skulle vara så a variablerna i undersökningen är icke-saionära, så kan dessa differenieras för a jusera för dea problem. 24 I Croushore s modell är alla variabler uom konfidensindikaorn differenierade. Dea innebär förmodligen a de ine kommer a förekomma problem med icke-saionarie för de differenierade variablerna (såvida de ine har en enhesro av andra graden). De fakum a variablerna nu är differenierade leder dock ill a modellen mäer hur förändringar i de förklarande variablerna påverkar förändringar i den beroende variabeln i näsa period, isälle för hur nivån i de förklarande variablerna påverkar nivån i den beroende variabeln. Dea skiljer Croushores modell från ARMA(,)-modellen. De ska illäggas a konfidensindikaorn ej är differenierad, så den kommer a mäa hur nivån i 2 Mankiw s.49, Gujarai s , Pindyck & Rubinfeld s.50, Wooldridge s.397,

14 framidsförvänningar påverkar förändringar i ugifer. Croushores modell är baserad på forskning av Bram-Ludvigson, och Caroll-Fuhrer-Wilcox. De förklarande variablerna i modellen är, ugifer på varakiga varor och jänser (U - ), laggad disponibel inkoms (Y - ), laggad nominell räna (i - ) och e lagga index för avkasning på börsen (S - ). 25 Till skillnad från Croushore själv så använder vi oss av säsongsdummysar isälle för a säsongsjusera daan (se sycke 4.). De är änkbar a en yerligare modifiering i form av a en MA()-erm adderas ill denna modell skulle lämpa sig bäre för en modell där varakiga varor undersöks, enlig resonemange i ARMA(,) -sycke (3.3), dea har dock ine gjors i denna uppsas. Ekvaion (3.9) visar grundmodellen där konfidensindikaorn ine inkluderas, dessa resula jämförs med modell (3.20) där konfidensindikaorn inkluderas i form av β 5 KI -i. 26 (Säsongsdummysarna för kvaral e ill re är ine uskrivna i ekvaion (3.9) och (3.20)). Δ ln( U ) = α + β Δ ln( U i ) + β 2Δ ln( Y i ) + β 3Δ ln( i i ) + β 4Δ ln( S i ) + ε (3.9) Δ ln( U ) = α + β KI + ε (3.20) Δ ln( U i ) + β 2Δ ln( Y i ) + β 3Δ ln( i i ) + β 4Δ ln( S i ) + β 5 i 3.4 Konfidensindikaorns roll Som idigare nämndes är förvänningar om ekonomin enlig eorin inbäddad i variabeln laggade sock-flödes-idenieen i ARMA modellen och laggade ugifer på varakiga varor och jänser i Croushores modell, (i forsäningen kommer de båda a benämnas laggade inköp ). Dea efersom a när individen besämmer sin mängd av inköp av varakiga varor och jänser så gör den de uifrån all illgänglig och relevan informaion som finns i den idpunken. Denna informaion är enlig livscykelhypoesen, inkoms, förmögenhe, sam förvänningar på framida inkomser. Efersom informaion om förvänningar finns inbakade i laggade inköp, är frågan då om konfidensindikaorn verkligen kan illföra någon yerligare informaion ill modellen? Teoreisk se bör den ine göra de, men empirin kan säga anna. 25 Croushore s.6-7, ibid s.7 4

15 Om de skulle vara så a den laggade konfidensindikaorn förbärar förklaringsförmågan och/eller prognosförmågan hos modellerna i uppsasen, så yder de i så fall på a modellerna ine hel och hålle sämmer överens med eorin och a de i så fall ine innehåller illräcklig med informaion om framidsförvänningar. Om endas den olaggade konfidensindikaorn förbärar förklaringsgraden och/eller prognosförmågan hos modellen så kan de yda på a framidsförvänningar i idigare period ine påverkar inköpen i nuvarande period, uan a endas de framidsförvänningar individerna har idag påverkar inköpen i dagsläge. 4. Daa 4. Säsongsjusering I uppsasen prövas vå modeller med både laggade och icke-laggade värden på konfidensindikaorn. Anledningen ill a icke-laggade värden på konfidensindikaorn används i modellerna medan alla andra variabler är laggade, är a som idigare nämns, daa på konfidensindikaorer publiceras ofare än på de andra variablerna. Därmed finns de illgång ill akuell daa idigare än på de andra variablerna som kan användas ill a göra prognoser. Efersom kvaralsdaa används i uppsasen bör hänsyn as ill säsongsvariaion. Dea kan aningen göras genom a säsongsjusera daa eller a använda säsongsdummys. Vi har val de senare då vi på så vis vill undvika den ökade risken för seriekorrelaion som säsongsjuserad daa ger. Berg & Bergsröms undersökning på svensk daa från 996 ydde dock på a de olika meoderna gav liknande resula Variabelbeskrivning Här följer en beskrivning av de variabler vi använder oss av i modellerna. De försa vå variablerna, konfidensindikaorn och konsumion används i båda modellerna och de re sisa används endas i Croushores modell. 27 Berg & Bergsröm s.5 & 8, 996 5

16 Konfidensindikaorn (KI). Sedan 973 har Konjunkurinsiue uför de så kallade "Hushållens inköpsplaner (HIP)"-undersökningarna på svenska hushåll. 28 I uppsasen används en undersökning som inrikar sig på hushållens förvänningar på den egna ekonomin. 29 I denna undersökning har Konjunkurinsiue säll vå frågor. Den ena om individen ror a dennes hushållsekonomi kommer bli bäre under den kommande olvmånadersperioden och den andra om individen ror a den kommer bli sämre under den kommande olvmånadersperioden. 30 Värden från denna undersökning indexeras i uppsasen enlig en meod som beskrivs närmare i appendix B. Korfaa så jämförs andelen posiiva svar med andelen negaiva i indexe. Sockflödesidenieen/Ugifer på varakiga varor (d) för ARMA och (U) för Croushore. I denna undersökning används som idigare nämns endas daa för ugifer 3 på varakiga varor, dea på grund av a inköp av varakiga varor varierar mer än för icke-varakiga varor över iden. Inköp av icke-varakiga varor görs koninuerlig över iden medan inköp av varakiga varor är e diskre val, köpa eller ine köpa. Inköp av varakiga varor kan i högre grad än icke-varakiga varor förskjuas eller göras idigare än planera ill följd av a konsumenerna får illgång ill ny informaion. Icke-varakiga varor, exempelvis ma förändras därför ine heller lika mycke när de förklarande variablerna (ill exempel inkoms, idigare ugifer, avkasning på kapial) förändras. 32 Vi ror därför a de är svårare a uppäcka signifikana skillnader och a uppäcka om de förklarande verkligen variablerna påverkar inköpen. De bör dock illäggas a de kan uppså problem när en specifik produkgrupp väljs i denna yp av undersökningar, dea då relaivpriserna mellan den undersöka produkgruppen och övriga produkgrupper kan, uöver övriga förklarande variabler, påverka individernas inköpsmönser. Vi har i denna uppsas ine agi sällning ill dea. Hushållens reala disponibla inkoms (Y). Enlig Berg & Bergsröm så anas de uifrån livscykelhypoesen a konsumeners benägenhe a handla varor och jänser, (give a de 28 Berg & Bergsröm s.3, EcoWin Pro, :e april 2007, 2:e april Berg & Bergsröm s.3, EcoWin Pro, 0:e april Deaon & Muellbauer, s

17 handlar för en viss andel av sin förmögenhe och inkoms), är en funkion av ökningsaken av inkoms. 33 De är dock möjlig a vissa människor ine följer livscykelhypoesen slavisk, uan a deras ugifer ökar/minskar någo samidig som deras inkoms ökar/minskar. En eori hävdar a vissa personer säer förändring i inkoms lika med förändring av ugifer. Dessa konsumener kallas Rule of Thumb -konsumener. Denna eori behandlas bland anna i en arikel av Caroll, Fuhrer och Wilcox från På grund av a Saisiska Cenralbyrån ändrade beräkningsmeoden av naionalräkenskaperna 993 finns de ine jämförbara kvaralsdaa för vissa variabler, däribland disponibel inkoms. På grund av dea har årsdaa från 980 ill 993 inerpoleras ill kvaralsdaa enlig en meod som finns beskriven i appendix B. Räna på remånaders sasskuldsväxlar (i). 35 De kan änkas a individer baserar sina inköpsbeslu på ränenivåer och förändringar i ränenivåer. Om ränenivån i en viss idsperiod siger krafig bör dea avskräcka konsumener från a låna och göra inköp i denna period. Om ränesegringen i näsa period följer samma mönser kan dea avskräcka folk från a göra inköp även då. Allså om förändringar i ränan i en idsperiod ofa följer e mönser lik de i föregående period kan förändringar i ränenivå möjligvis användas ill a esimera ugifer på varor och jänser i kommande period. Generalindex från Affärsvärlden i reala värden (S). 36 Generalindex från Affärsvärlden är e index på avkasningar på akier. Om de vari en oväna posiiv förändring i avkasningar på inveseringar och hushållen få a del av dea, så kommer hushållen a ha mer pengar än väna i näsa period och de kommer sannolik a öka deras inköp. Dea allså såvida avkasningen ine var vänad och redan invägd i förvänad inkoms. I så fall skulle individerna redan ha haf med denna inkoms i beräkning när de planerade sina inköp, förusa a de följer livscykelhypoesen. De är rimlig a änka a avkasningar på inveseringar är slumpmässiga och a de vid en 33 Berg & Bergsröm s.423, Carrol, Fuhrer, Wilcox s , EcoWin Pro, :e april, ibid, :e april,

18 ovänad ökning höjer konsumenernas prognoser för inköp av varor och jänser Empiri 5. Saisiska må För a vi ska kunna säga a en addiion av en konfidensindikaor kan öka förklaringsförmågan i idsseriemodellerna nedan ska juserade R 2 -värde öka, modellens så kallade sandard error of regression (SER) ska minska, och Schwarz-krierie ska minska. Samidig ska de adderade variablerna vara sasisisk signifikana. SER mäer säkerheen modellen. Den är summan av de kvadrerade residualerna genom anale frihesgrader. En sor osäkerhe i modellen ger hög SERvärde. 38 Formler för Schwarz- och SER-måen finns i appendix A. De juserade R 2 -värde förklarar hur många procen av variaionen i den beroende variabeln som förklaras av variablerna i högerlede. Till skillnad från de vanliga R 2 -värde så ökar ine de juserade R 2 -värde lika mycke för varje ny variabel som adderas ill högerlede, (dea avar dock när anale observaioner ökar). 39 Schwarz krierium sjunker deso fler observaioner som används och ju lägre variaionen i modellen är, men den sraffar också hår för när anale frihesgrader sjunker Resula för ARMA(,)-modellen Nedan följer resulaen för ARMA-modellen som bygger på ekvaion (3.8) men här används en del logarimerade värden. Säsongsdummysar har dock lags ill här och ekvaionen har idsförskjuis en period. Modellen esimeras i re versioner, en uan konfidensindikaor, en med laggad konfidensindikaor, och en med olaggad konfidensindikaor. Ekvaionerna för dessa är ekvaion (5.), (5.2) respekive (5.3). Resulaen redovisas i abell. (Säsongsdummysarna för kvaral e ill re är ine uskrivna i ekvaion (5.) ill (5.3)). ln( d δ + ε (5.) ln( d ) = a0 + ρ ln( d ) ( δ ) ε ) ln( d ) = a0 + ρ ln( d ) ( δ ) ε + ε + βki δ (5.2) = a0 + ρ ln( d ) ( δ ) ε δ + ε + βki 37 Hall s , Wooldridge s.62, Pindyck & Rubinfeld s.9, ibid s.9, 998 8

19 (5.3) Tabell. Resula för re ARMA(,)-modell skaningar med konfidensindikaorn i laggad och olaggad form och uan konfidensindikaor, (kvaralsdaa) Uan KI KI_hus() KI_hus(-) Beroende var. ln(d ) ln(d ) ln(d ) Konsan (0.0000) AR() MA() (0.07) K K (0.0783) K (0.0447) (0.034) KI (0.262) (0.0428) (0.552) (0.494) Adj.R LM-es (0.0332) (0.0064) (0.0267) Whie s-es (0.2884) (0.456) (0.5946) SER Schwarz s Samliga skaningar är Newey-Wes-juserade vilke korrigera för auokorrelaion och heeroskedasicie. ln(d) är logarimen av ugifer på varakiga varor. AR() är en auoregressiv erm av ordning e. MA() är en moving average-erm av ordning e. K ill K3 är dummyvariabler för kvaral e ill re. KI_hus är e index variabel för de svenska hushållens framidsförvänningar för den privaa ekonomin de olv kommande månaderna. Adj.R2 är andelen varians i vänserlede som förklaras av högerlede. LM är e es för auokorrelaion där vi har esa för fyra laggar, dess p-värden är baserade på chi2-värden. Whie s-es är e es för heeroskedasicie, dess p-värden är baserade på chi2-värden. SER sår för Sandard error of regression, vilke är modellens medelfel. Schwarz s är de skaade värde för Schwarz s informaionskrierium. Koefficienerna är skriva i fe sil. Inom pareneserna är p-värden uskrivna. Signifikans på femprocensnivån beecknas med. Resulaen påvisar a AR-värdena är sark signifikana i samliga modeller. R 2 -värdena, SERoch Schwarz-värdena är snarlika i samliga versioner av modellen. Konfidensindikaorn är ickesignifikan i samliga modeller, så samliga eser yder på a konfidensindikaorn ine förbärar förklaringsförmågan i ARMA(,)-modellen. MA-värdena är dock signifikana i de modeller där en konfidensindikaor finns. I enlighe med ekvaion (3.8) har MA()-ermen e negaiv ecken i samliga re versioner. Deprecieringsraio ligger mellan 0,75 ill 0,8 i de re olika versionerna 9

20 enlig abell. LM-esen i abell påvisar a de re versionerna av ARMA(,)-modeller har auokorrelaion. Med dea menas a felermerna är korrelerade med varandra. 4 De är möjlig a auokorrelaionen beror på a de finns uelämnade variabler som kan förklara konsumion, och a dessas sysemaik därmed befinner sig i felermerna. Om de är så a några förklarande variabler uelämnas så är en lösning på dea a lägga ill yerligare förklarande variabler ill modellen. 5.3 Croushore s modell En modell som innehåller fler förklarande variabler än ARMA(,)-modellen är Croushores modell. De variabler som han esa i denna modell är hushållens reala disponibla inkoms, real avkasning på börsindex sam nominell räna. 42 Vi har dock inkludera säsongsdummysar isälle för a använda säsongsjuserade daa. I abell 2 redovisas resulaen från esimeringarna av denna modell i re versioner. Dessa versioner är; en uan konfidensindikaor, en med olaggad konfidensindikaor sam en med laggad konfidensindikaor. Ekvaionen för modellen uan konfidensindikaor, ekvaion (3.9), upprepas här sam i ekvaion (5.4). I ekvaion (5.5) och (5.6) är konfidensindikaorn adderad i laggad respekive olaggad form.( Säsongsdummysarna för kvaral e ill re är ine uskrivna i ekvaion (5.4) ill (5.6)). Δ ln( U ) = α + β Δ ln( U ) + β 2Δ ln( Y ) + β 3Δ ln( i ) + β 4Δ ln( S ) + ε (5.4) Δ ln( U ) = α + β + ε (5.5) Δ ln( U ) + β 2Δ ln( Y ) + β 3Δ ln( i ) + β 4Δ ln( S ) + β 5KI Δ ln( U ) = α + β KI + ε (5.6) Δ ln( U ) + β 2Δ ln( Y ) + β 3Δ ln( i ) + β 4Δ ln( S ) + β 5 4 Pindyck & Rubinfeld s.59, Croushore s.7,

21 Tabell 2. Resula för re skaningar av Croushores modell med konfidensindikaorn i laggad och olaggad form och uan konfidensindikaor, (kvaalsdaa) Uan KI_hus KI_hus KI_hus - Beroende variabel ln(u ) ln(u ) ln(u ) Konsan (0.0267) (0.0723) ln(u - ) (0.039) (0.0490) ln(y -) (0.0762) (0.0935) (0.0932) ln(s -) 0.62 (0.035) (0.0563) (0.063) ln(i -) (0.609) (0.5546) (0.7656) K (0,0000) K (0,0000) K (0,0000) KI (0.466) (0.033) Adj.R LM (0.0649) (0.044) (0.0689) Whie (0.4395) (0.462) (0.452) SER Schwarz Modellerna där Ki_hus inkluderas är Newey-Wes-juserade vilke korrigera för auokorrelaion och heeroskedasicie. ln(u) är logarimen av ugifer på varakiga varor. ln(y) är logarimen av hushållens reala disponibla inkoms. ln(s) är logarimen av den reala avkasningen på Affärsvärdens börsindex. ln(i) är logarimen av den nominella ränan. K ill K3 är dummyvariabler för kvaral e ill re. KI_hus är e index variabel för de svenska hushållens framidsförvänningar för den privaa ekonomin de olv kommande månaderna. Adj.R2 är andelen varians i vänserlede som förklaras av högerlede. LM är e es för auokorrelaion där vi har esa för fyra laggar, dess p-värden är baserade på chi2-värden. Whie s-es är e es för heeroskedasicie, dess p-värden är baserade på chi2-värden. SER sår för Sandard error of regression, vilke är modellens medelfel. Schwarz s är de skaade värde för Schwarz s informaionskrierium. Koefficienerna är skriva i fe sil. Inom pareneserna är p-värden uskirivna. Signifikans på femprocensnivån beecknas med. I esimeringen av modellen är konfidensindikaorn icke-signifikan, både i laggad och olaggad form. De juserade R 2 -värde har höjs någo i modellerna som inkluderar en konfidensindikaor. Dea kan bero på de ine sraffas så hår för a anale frihesgrader har sjunki när fler paramerar adderas ill modellen. I versionerna där konfidensindikaorn adderas sjunker SER- 2

22 värde ros a en ny variabel inkluderas vilke indikerar a konfidensindikaorn fakisk ökar säkerheen i modellen. Värde för Schwarz krierie har öka för de vå versionerna av modellen där konfidensindikaorn lags ill. Dea yder också på a säkerheen i denna modell öka någo då vi addera konfidensindikaorn ros a frihesgraderna sjunki. Skillnaden är dock marginell så de kan ine med säkerhe sägas a någon uav de icke-laggade konfidensindikaorerna ökar förklaringsförmågan märkbar. De ska illäggas a säsongsvariaionen är väldig hög i daa för ugifer på varakiga varor som använs och i denna modell differenieras. I e es där endas säsongsdummysarna och en konsan användes gavs e jusera R 2 -värde på 0,89. Övriga förklarande variabler förklarar allså relaiv lie uav variaionen i vänserlede. 6. Prognoser För a uvärdera prognosförmågan i de modeller som skaas basera på daa från 980 ill 2002 så använder vi dessa modeller för a generera prognoser för olika idshorisoner. Den längsa horisonen sräcker sig olv kvaral framå, och den korase e kvaral framå. Dea ger så kallade ex-pos-prognoser. Dessa esimerade prognosvärden jämförs med de sanna värdena och på så sä fås en differens. Denna differens benämns som prognosfel. Basera på denna differens esimeras roo mean square error (RMSE), som är e må för prognosfele. RMSE-måe beskrivs mer ingående i appendix A. 43 RMSE-värdena yder på a konfidensindikaorn förbärar modellernas prognosförmåga någo vid flera uav prognoserna. Frågan är dock om de endas är slumpen som gör a konfidensindikaorn förbärar prognoserna, eller om de kan fassällas a de verkligen minskar prognosfelen signifikan. För a avgöra dea används e så kalla Diebold-Mariano-es för varje enskild prognoshorison. Dea es undersöker om de finns en signifikan skillnad mellan prognosfelen från vå (eller flera) olika modeller. Nollhypoesen i dea es är a den förvänade skillnaden mellan prognosfelen från de båda modellerna är noll. 44 Fullsändiga resula från 43 Karlsson & Nykvis s.32, Harvey, Leybourne, Newbold s ,

23 prognoserna finns i abell 4 ill 7 i Appendix B. Diebold-Mariano-ese beskrivs uförligare i appendix A. RMSE-värdena är lägre för de ARMA-modeller med konfidensindikaorer än de uan vid samliga prognoshorisoner. Diebold-Mariano-ese yder också på a prognoserna med konfidensindikaor i ARMA-modellen har signifikan mindre prognosfel än de uan konfidensindikaor i samliga horisoner uom en. Därför kan med sor säkerhe sägas a konfidensindikaorn fakisk förbärar prognoser skaade av ARMA(,)-modellen. I Croushores modell visar Diebold-Mariano ese a modellen med konfidensindikaorer endas är bäre i e fåal fall. Vid kora horisoner, e ill vå kvaral, är RMSE-värdena ill och med lägre för modellen uan konfidensindikaorer. De kan därför ine fassällas a prognoser från Croushores modell ofare blir signifikan bäre med konfidensindikaor än uan. 7. Slusaser Värdena från eserna yder på a konfidensindikaorerna ine är signifikana men a de kan förbära förklaringsförmågan i våra modeller, om än i en väldig lien usräckning. Samliga modeller är ine saisisk påliliga. Dea då, som idigare nämns, ARMA-modellen ine uppfyller Gauss-Markows förusäningar för minsa-kvadrameoden och a Croushores modell ine heller gör de då konfidensindikaorn adderas (efersom den är icke-saionär och ine är differenierad). På grund av all dea kan vi heller ine avgöra om modellerna följer en slumpvandring eller om modellerna har vi-brus. Diebold-Mariano-ese yder på a konfidensindikaorn, laggad såväl som olaggad, minskar prognosfelen från ARMA(,)-modellen, men de kan ine påvisa a den ofa minskar prognosfelen för prognoser baserade på Croushores modell. Tros de saisiska veksamheer som modellerna besier är de möjlig a dessa modeller är användbara för a prognosisera kommande inköp av varakiga varor. Dea om de är deras förmåga a göra bra prognoser som värdesäs, och ine endas deras saisiska signifikans. 23

24 I framida undersökningar kan konfidensindikaorn prövas på modeller som är saisisk mer hållbara än de som esas här. Sedan bör prognoser göras på dessa, för a avgöra om prognoserna förbäras signifikan vid användning av konfidensindikaorn. 24

25 8. Referenslisa Assarsson, Beng, (200), Förvänningar, finansiella marknader och makroekonomiska flukraioner. Opublicera kurskompendium, naionalekonomiska insiuionen, Uppsala universie. Berg, Lennar; Bergsröm, Reinhold, (996) Consumer confidence and consumpion in Sweden Deparmen of economics and deparmen of saisics Uppsala Universie Berg, Lennar; Bergsröm, Reinhold, (995), Housning and Finacial Wealh, Financial Deregulaion and Consumpion: The Swedish Case, The Scandinavian Journal OF Economics, Vol. 97, No. 3, Blanchard, Oliver, (2003), Macroeconomics 3:e upplagan, Prenice Hall Carroll, D. Chrisopher; Fuhrer, Jeffery. C; Wilcox, David. W, (994), Does Consumer Senimen Forecas Household Spendings? If So, Why?, The American Economic Review, Vol 84, No. 5. s Croushore, Dean, (2004), Do Consumer Confidence Indexes Help Forecas Consumer Spending in Real Time?, Deusche Bundesbank Deaon, Angus & Muellbauer, John, (980), Economics and Consumer Behavior, Cambride Universiy Press EcoWin Pro,version 5.3, ( ), EcoWin AB, Sweden Gujarai, Damodar N.(2003), "Basic Economerics" 4:e upplagan Mc Graw Hill Hall, Rober E., (978), Sochasic Implicaions of he Life Cycle-Permanen Income Hypohesis : Theory and Evidence, The Journal of Poliical Economy, Vol. 86, No. 6 s Harvey, David; Leybourne, Sephen; Newbold, Paul, (997), Tesing he equaliy of predicion mean squared errors, Inernaional Journal of Forecasing, No3, s Karlsson, Mailda; Nyqvis, Jenny, (2003), Förroendeindikaorers förmåga a förklara priva konsumion, C-uppsas vid Uppsala Universie Ludvigson, Sydney C, (2004), Consumer Confidence and Consumer Spending, The Journal of Economic Perspecive, Vol 8, No.2, s Lyhagen, Johan, (200), The effec of precauionary savings on consumpion in Sweden, Applied Economics, No. 33, s

26 Mankiw, N. Gregory, (982), Hall s Consumpion Hypoesis and Durable Goods, Journal of Moneary Economics, No. 0, s Pindyck, Rober S.; Rubinfeld, Daniel L., (998), Economeric models and economic forecas 4:e upplagan, McGraw-Hill Preve, Daniel, (2006), Economerics and Time Series Analysis, Lecure 3, Uppsala Universie SCB hp:// nves.xls Wooldridge, Jeffery M., (2006), Inroducionary Economerics: A Modern Approach 3:e upplagan, Thomson Souh-Wesern 26

27 9. Appendix A 9. Schwarz informaionskrierium Schawarz informaionskrierium, ekvaion (9.), är e må för summan av de skaade residualerna i kvadra. Dea es korrigerar relaiv sark för varje yerligare variabel som adderas ill högerlede vid modellskaningar. ˆ k ln( N SC ln ε = + N N i ) (9.) N: anal observaioner k: anal oberoende variabler εˆ : skaade residulaer i idpunk i i 9.2 Augmened Dicky-Fuller (ADF) -es Dea es används för a undersöka huruvida en variabel följer en slumpvandringsprocess vilke ger icke-saionärie. Nollhypoesen i ese är a ρ= i kombinaion a β=0 i ekvaion (9.2). Dea esas genom a esimera en unresriced -modell, ekvaion (9.3), och sedan esa signifikans för ρ = i kombinaion β =0. Om dessa vå paramerar är icke-signifikana ges ekvaion (9.4) vilke är en resriced -modell. Y = p α + β + ρy + λ jδy j + j= i ε (9.2) y = α + β + ( ρ ) UR : ΔY = Y Y Y + λ ΔY p j= j j (9.3) p R : ΔY = Y Y = α + λ ΔY (9.4) j= j j 27

28 9.3 Indexering av konfidensindikaorn Saisiken för svaren på konsumenundersökningarna ges dels u i andel posiiva och dels andel negaiva. Dessa vå index vägs samman enlig ekvaion (9.5). (( X Y +00) *00) / Z (9.6) X: andel posiiva Y: andel negaiva Z: (X basår -Y basår +00) 9.4 RMSE RMSE, ekvaion (9.7), mäer residualsumman mellan de prognosiserade värdena och de sanna värdena. Dea må kan användas som jämförelse mellan olika idserier och mäs med den posiiva roen. Dea innebär a de ine läggs samma yngd på prognosfel som vid de liknande måe mean square error (MSE) där felen as i kvadra. RMSE = T + h ( = T + yˆ y ) 2 / h (9.7) 9.5 Diebold och Mariano Om e par h-segs prognoser från vå olika modeller har generera felen (e, e 2 ); =,...,n. kan kvalieen på de båda prognoserna jämföras genom a använda e Diebold-Mariano-es. Dea es uförs genom a en funkion på alla prognosfel (i vår fall g( e ) =e 2 ) och sedan subraherar den ena modellens fel med den andra modellens enlig ekvaion (9.8). d = g( e ) g( e2 ); =,..., n (9.8) Dea genererar en serie med differenser, d. E medelvärde på differenserna räknas u enlig ekvaion (9.9). 28

29 = = n d n d (9.9) Därefer beräknas variansen på differenserna enlig ekvaion (9.0). k γ i ekvaion (9.) beecknar auokovariasen k, uav differensserien, d. + = 0 2 ) ( h k k n d V γ γ (9.0) + = = n k k k d d d d n ) )( ( ˆ γ (9.) Sluligen beräknas essaisikan S enlig ekvaion (9.2). Denna följer asympoisk en sandard normaldisribuion. d d V S 2 / )] ˆ( [ = (9.2) 29

30 0. Appendix B 0. Augmened-Dicky-Fuller-es Teserna yder på a samliga variabler har en enhesro. Dea innebär a båda modellerna förmodligen har enhesröer konfidensindikaorn (Ki_hus) inkluderas i modellen. För ARMA(,)-modellen specifik innebär dea a den beroende variabeln lnd som allså bygger på samma daa som lnu uppvisar ecken på icke- saionärie. Tabell 3.Augmened- Dicky-Fuller-es (kvaralsdaa) lnu lny lni lns Ki_hus F-sa 2, De kriiska värde enlig Dickey-Fuller disribuionen är 6,49 vid femprocen signifikansnivå Nollhypoesen är a variabeln har en enhesro. lnu är logarimen av konsumion av varakiga varor. lny är logarimen av hushållens disponibla inkoms. lni är logarimen av den nominella ränan. lns är logarimen för avkasningen för affärsvärldens börsindex. KI_hus är e index för hushållens framidsförvänningar för den privaa ekonomin de olv kommande månaderna. 0.2 Inerpolering Från 993: ill 2006:4 finns kvaralsdaa illgänglig för hushållens disponibla inkoms. För perioden före de finns de jämförbar daa illbaka ill 962 endas i årsform. Vi korrigerar för dea genom a inerpolera bakå från 992:4 ill 980: basera på följande viker numrerade efer kvaral. Viker för inerpolaion Sample: 993: 2006:4 Included observaions: 56 Raio o Moving Average Original Series: YDI Adjused Series: YDISA Scaling Facors:

31 0.3 Prognosvärden, RMSE och Diebold-Mariano. Tessaisikan från Diebold-Mariano ese i fjärde kolumnen. Tese ger normalfördelade z- värde, Kriiska värde vid femprocens signifikansnivå är +/-,96 (signifikans påvisas med ). Prognoshorisonen ugår från de försa kvarale 2003 och går ill kvaral fyra år Prognoserna är baserade på modellesimeringar från980 ill Tabell 4.ARMA(,), KI_hus() Prognoshorison RMSE uan KI RMSE med KI() Tessaisika 0,084 0,0687 2, ,040 0,0742 3, ,0977 0,059 3,68E ,0787 0,05 4,93E ,23 0,084 9, ,558 0,0955 3, ,624 0,0966 4, ,509 0,0976 6, ,828 0,272 6, ,293 0,492 4,4293 0,2340 0,597 5, ,288 0,467 24,4550 Tabell 5. ARMA KI_hus(-) Prognoshorison RMSE uan KI RMSE med KI(-) Tessaisika 0,084 0,0685, ,040 0,0748 3, ,0977 0,0592 3,60E ,0787 0,050 4,84E ,23 0,084 9, ,558 0,0959 3, ,624 0,0973 4, ,509 0,0990 2, ,828 0,288 5, ,293 0,52,6223 0,2340 0,69 5, ,288 0,495 26,9054 3

32 Tabell 6. Crushore, KI_hus Prognoshorison RMSE uan KI RMSE med KI() Tessaisika 293, ,379 -, , ,49-0, ,796 22,709 0, ,37 858,75 0, , ,677-0, ,4 2776,86 0, , ,94 0, , ,9909 7, , ,393 0, , ,249, ,96 273,244 24, , ,847 9,2463 Tabell 7. Crushore, KI_hus(-) Prognoshorison RMSE uan KI RMSE med KI(-) Tessaisika 293, ,64 -, , ,49-2,40E ,796 22,709 0, ,37 858,75 0, , ,677-0, ,4 2776,86 0, , ,94 3, , ,9909 3, , ,393 0, , ,249, ,96 273,244, , ,847 5,574 32