Föreläsning 19: Fria svängningar I

Transkript

1 1 KOMIHÅG 18: Ellipsbanans soraxel och mekaniska energin E = " mgm 2a Föreläsning 19: Fria svängningar I Fjäderkrafen I fjäderns viloläge är krafen noll Om massan förskjus e sycke x från jämviksläge uppsår den åerförande krafen: F = "kx e x Viskös frikion Bromskrafen är hela iden morikad röreserikningen ( v = x e x ) och kan skrivas: F = "c x e x, där c beror av väskeyp sam sorlek och form hos husvagnen

2 2 Ekvaionen för dämpad svängning Newons 2:a lag för vagnen ger m x = "c x " kx, eller x + 2"# n x + # 2 n x = 0, med konsanerna " 2 n = k m och 2"# = c n m Den nya parameern är dämpningsfakorn eller dämpningsförhållande " # 0 De odämpade falle " = 0: Ampliud och fas Man kan lä verifiera a idsfunkionen x() = Acos " n + # ( ) + x j av uslage saisfierar den odämpade, fria svängningsekvaionen: x + " n 2 x = " n 2 x j Den fria, odämpade vibraionsrörelsen beskrivs av jämviksläge: x j, ampliuden: A, naurliga vinkelhasigheen: " n = k m, fas: " = # n + $, begynnelsefas: " Olika rigonomeriska uryck Två olika men ekvivalena maemaiska skepnader $ & Acos (" n +# ) + x j, x = % '& Bcos (" n ) + Csin (" n ) + x j

3 3 Problem: En parikel med massan m sier fas i en fjäder och lyder svängningsekvaionen x + " 2 n x = 0 Rörelsen börjar i jämviksläge x = 0 med hasigheen x = v 0 a) Hur sor är den fjäderkonsanen k? b) Hur sor är då den oala mekaniska energin E i rörelsen? c) Besäm även ampliuden i svängningsrörelsen Kora svar: a) Fjäderkonsanen: k = m" n2 b) Energin: E = m 2 v 2 0 c) Ampliuden: k 2 A2 = m 2 v 0 2 " A = v 0 " n

4 4 Problem: En vagn med massa 2M som befinner sig i jämviksläge enlig figuren ges plöslig faren v 0 så a den påbörjar en svängningsrörelse Fjädern som är fäs i vagnen har en känd fjäderkonsan k Besäm den id de ar för vagnen a åerkomma ill jämviksläge Lösning: Bara fjäderkrafen F = "kx i rörelserikningen Newons 2:a lag: 2M x = "kx Svängningsekvaionen: x + k 2M x = 0 Naurliga vinkelfrekvensen för svängningen: k " n = 2M Svängningsperioden: " = 2# 2M n k Vagnen åerkommer efer en halv period : Svar: = 1 2 " n = # 2M k

5 5 KOMIHÅG 19: x + " 2 n x = " 2 n x j (fri odämpad svängningsekv) Fri odämpad svängningsrörelse: $ Acos (" n + #) + x j, x = % & Bcos (" n ) + Csin (" n ) + x j Föreläsning 20: Fria svängningar II Den svag dämpade svängningen Beraka svängningsekvaionen x + 2"# n x + # 2 n x = # 2 n x j Svängningen i föregående föreläsning: x() = Acos " n + # minskar aldrig Denna svängningsfunkion kan ine saisfiera svängningsekvaionen med " # 0 ( ) + x j är odämpad och ampliuden Visa a funkionen x() = Ae "#$ n cos( 1"# 2 $ n + %) + x j saisfierar svängninsekvaionen Bevis: Derivera funkionen en gång och använd (1): x () = "#$ n [ x() " x j ] " 1"# 2 $ n Ae "#$ n sin( 1"# 2 $ n + %) (2) Derivera yerligare en gång och använd (2) sam (1): (1)

6 6 x () = "#$ n x () "#$ n { x () + #$ n [ x() " x j ]} "( 1"# 2 )$ 2 n [ x() " x j ] = "2#$ n x () "$ 2 n x() " x j Dea är ekvivalen med den dämpade svängningsekvaionen x + 2"# n x + # 2 n x = # 2 n x j VSB [ ] I prakiska problemlösningar används urycke: x() = e "#$ ( n Bcos( 1"# 2 $ n ) + Csin ( 1"# 2 $ n ) ) + x j för de fall a 0 " # <1 Man måse även vea vå (exra) sanningar om x(), ex begynnelsevillkoren x(0) = x 0 och x (0) = v 0, dvs läge och hasighe vid iden = 0 c=42 Ns/m 2 kg k=392 N/m x Problem: Besäm dämpningsförhållande för syseme i figuren k Lösning: " n = m = s-1 =14 s -1 2" n # = c m " c " = 2# n m = 42 4 $14 = 3 4

7 7 Egenskaper-svag dämpning: - Perioden " d : En del av funkionen x() (som finns innanför sora parenesen, dvs cosinus och sinus) är ros all periodisk Den id de ar för den delen a upprepa sig är perioden " d : " d = 2# $ d = 2# $ n 1%& 2 -Logarimiska dekremene " : Experimenell mäer man förhållande mellan vå på varandra följande ampliuder A N och A N +1 på samma sida och får de logarimiska dekremene " : # " = ln A & N % ( $ A N +1 ' De man mäer mosvarar allså i eorin produken "# n $ d

8 8 Problem: Besäm vilka enydiga koefficiener i den allmänna lösningen som mosvarar en svag dämpad rörelse som börjar i uslagsläge x 0 med hasigheen v 0 Lösning: Allmän lösning: ( ) + Csin ( 1"# 2 $ n ) x() = e "#$ ( n Bcos 1"# 2 $ n ) + x j I begynnelsen är läge och hasighe: x(0) = B + x j och x (0) = "#$ n B + $ n C 1"# 2 Om vi säer in iniialvärdena och löser u koefficienerna får vi: B = x 0 " x j, ( ) C = v 0 + "# n x 0 $ x j # n 1$" 2 Allså: % ( x 0 " x j )cos 1"# 2 ( ' ( $ n ) * x() = e "#$ n ' + v * 0 + #$ n ( x 0 " x ' j ) ' sin 1"# 2 $ $ n ( 1"# 2 n * )* & )

9 9 II: Kriisk dämpning, " =1: Vad händer med svängningen i exemple om dämpningsförhållande blir 'kriisk', dvs " #1 Kriisk dämpningsrörelse Genom en gränsövergång kan vi se vad som händer med den svag dämpade rörelsen: % ( x 0 " x j )cos 1"# 2 ( ' ( $ n ) * x() = e "#$ n ' + v + #$ x " x * ' 0 n( 0 j) ' sin 1"# 2 $ $ n ( 1"# 2 n * )* & ) Tänk a iden är godycklig men fix Lå sedan " #1 Cosinusen blir 1, men sinusen blir 0 samidig som koefficienen framför blir oändlig Man måse använda övergången sin 1" # 2 $ n ( ) % 1" # 2 $ n innan man får resulae: x() = e "# n x 0 + ( v 0 x 0 ) ( ) + x j

10 10 Problem: Visa a den kriiska rörelsen saisfierar svängningsekvaionen med " =1 Bevis: Förs ar vi fram hasighesfunkionen ur x() = e "# n ( x 0 + ( v 0 x 0 )) + x j, dvs x () = "# n [ x() " x j ] + e "# n ( v 0 x 0 ) (*) Då ser vi a x(0) = x 0 + x j och x (0) = "# n [ x(0) " x j ] + ( v 0 x 0 ) = v 0 Acceleraionen beräknas nu: x () = "# n x () "# n e "# n ( v 0 x 0 ) men från hasigheen (*) fås e "# n ( v 0 x 0 ) = x () [ x() " x j ], dvs x () = "# n x () "# n [ x () [ x() " x j ]] eller x () + 2" n x () + " 2 n x() = " 2 n x j, som är svängningsekvaionen i de kriiska falle

11 11 3 dämpningsyper I: Svag dämpning, 0 < " <1 ( ) + Csin ( 1"# 2 $ n ) x() = e "#$ ( n Bcos 1"# 2 $ n ) + x j Dämpningseffeker: Ampliuden försvinner allid, ill sis Svängningsfrekvensen (aken) " d = 1#$ 2 " n är mindre än " n II: Kriisk dämpning, " =1 x() = e "# n B + C ( ) + x j III: Sark dämpning, " >1 x() = e "#$ ( n Be # 2 "1 $ n + Ce " # 2 "1 $ n ) + x j