Föreläsning 8 Kap G71 Statistik B

Transkript

1 Föreläsning 8 Kap G71 Saisik B

2 Y Saionarie 25 2 För en saionär idsserie gäller 15 1 E(y ) = Var(y ) = 2 Corr(y, y -k ) beror bara av k (idsavsånde) och allså ine av. Uryck i ord: korrelaionen på e viss idsavsånd beror bara på avsånde (normal minskar korrelaionen med avsånde) mellan de jämförda idpunkerna En saionär idsserie karakäriseras av a den har en slumpmässig variaion kring en jämn nivå. 2

3 V W U Några ickesaionära idsserier Linjär rend, ickesaionär av försa ordningen Kvadraisk rend, ickesaionär av andra ordningen 5-5 Ickekonsan varians, även om medelvärde verkar konsan. Därmed ickesaionär

4 y y y y Exempel Daa över veckovis försäljning av pappershanddukar från en viss illverkare. y uryck som iousenals handdukars skillnad från 1 handdukar. 4

5 Differeniering a göra en idsserie saionär En idsserie y som är icke-saionär av försa ordningen (i princip uppvisar en linjär rend) kan differenieras en gång: z = y y 1 y kan då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) En idsserie y som är icke-saionär av andra ordningen (i princip uppvisar en kvadraisk rend) kan differenieras vå gånger: z = y y 1 ( y 1 y 2 ) = y 2 y 1 + y 2 y kan då bli en saionär serie (men ine nödvändigvis) 5

6 Exempel (fors) Tidsserien förefaller ha blivi saionär! 6

7 Auokorrelaionsfunkionen (acf) Engelska sample auocorrelaion, SAC Meod för a avgöra om en idsserie z (som kan vara rådaa eller differenierade daa) är saionär. Mäer graden av linjär samband mellan observaioner på idsavsånd (laggavsånd) k r k nk b z zz n z z b k z z b där z 2 n b 1 Besäms med daorns hjälp och ploas mo laggavsånde illsammans med e konfidensinervall (konfidensband). Önskvär: snabb avklingande (saplar under konfidensbande) auokorrelaionsfunkion vid öka laggavsånd Om långsam avklingande auokorrelaionsfunkion (saplar uanför konfidensbande) är serien ej saionär n 7

8 Auokorrelaionsfunkion vid kora respekive långa beroenden För serier med kora beroenden avar acf snabb mo då k växer acf acf k k acf För serier med långa beroenden avar acf långsammare, men ydlig mo då k växer k 8

9 Exempel (fors) Signifikan spike i den försa laggen 9

10 Pariella auokorrelaionsfunkionen (pacf) Engelska parial sample auocorrelaion, SPAC Definierad som r om k 1 1 r kk r k 1 k 1 j1 k 1 j1 r k 1, j r k 1, j r k j r j där r kj rk 1, j rkk rk 1, k j Komplicerad olkning men kan berakas som den auokorrelaion som råder mellan observaioner på idsavsånd k när effeken av mellanliggande observaioner elimineras 1

11 Exempel (fors) Signifikan spike i den försa laggen 11

12 Auoregressiv modell av försa ordningen AR(1) z 1 z 1 a z kan vara rådaa eller en differenierad serie, men den ska vara saionär Konsanen skaas från daa och a anas vara normalfördelad med vänevärde och konsan varians. Vidare anas a 1, a 2, a 3, vara oberoende av varandra. Skaning av modellen sker enlig en ieraiv process som ligger uanför kursens ramar a beskriva Auoregressiv modell av försa ordningen lämpar sig när acf klingar av på e dämpa sä pacf har en spike i lagg 1 och inga fler spikes 12

13 Glidande medelvärdesmodell av försa ordningen MA(1) z a a 1 a anas ha samma egenskaper som för den auoregressiva modellen. Modellen skaas enlig ieraiv procedur Lämpar sig när acf har en signifikan spike i lagg 1 och inga fler spikes pacf klingar av på e dämpa sä 13

14 Auoregressiv modell av andra ordningen AR(2) z 1 z z a Har längre beroenden än AR(1) Lämpar sig när acf klingar av på e dämpa sä pacf är skild från för k=1 och 2, är för k = 3, 4, 5,. acf pacf k k 14

15 Glidande medelvärdesmodell av andra ordningen MA(2) z a Har längre beroenden än MA(1) Lämpar sig när a a acf är skild från för k=1 och 2, är för k = 3, 4, 5,. pacf klingar av på e dämpa sä 15

16 16 Kombinerad auoregressiv och glidande medelvärdesmodell av ordningarna p och q ARMA(p, q) Vid mer komplicerade beroenden. Lämpar sig när acf avar mo noll, ofa med växlande ecken pacf avar mo noll, ofa med växlande ecken q q p p a a a z z z

17 Exempel (fors) Glidande medelvärdesmodell av försa ordningen ARIMA Model: y Esimaes a each ieraion Ieraion SSE Parameers Relaive change in each esimae less han.1 Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P MA Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag Chi-Square DF P-Value Forecass from period 12 95% Limis Period Forecas Lower Upper Acual Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 12, afer differencing 119 Residuals: SS = (backforecass excluded) MS = 1.79 DF =

18 Exempel (fors) Auoregressiv modell av försa ordningen ARIMA Model: y Esimaes a each ieraion Ieraion SSE Parameers Relaive change in each esimae less han.1 Final Esimaes of Parameers Type Coef SE Coef T P AR Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square saisic Lag Chi-Square DF P-Value Forecass from period 12 95% Limis Period Forecas Lower Upper Acual Differencing: 1 regular difference Number of observaions: Original series 12, afer differencing 119 Residuals: excluded) SS = (backforecass MS = 1.14 DF =

19 Någo om val mellan olika meoder för idsserieanalys Give är en observerad idsserie: y 1, y 2,,y n Säsonger? Ja Nej Ja Trend? Nej ARIMA-modeller Enkel exponeniell ujämning Tidsserieregression Klassisk komponenuppdelning ARIMA-modeller Winers meod Tidsserieregression ARIMA-modeller Dubbel exponeniell ujämning

20 Enkel linjär regression Ni ska kunna för hand räkna fram parameerskaningar, konfidensinervall, prognosinervall, korrelaionskoefficiener, förklaringsgrader ec. Varför skall vi kunna göra dea för hand när de i prakiken allid görs med daorprogram? => Handräkningen visar a man försår vad de olika komponenerna i en modell sår för. Vad som är y, vad som är x, vad de är man skaar och vad de.ex. är för skillnad på konfidens- och prognosinervall. Vidare är den enkla linjära regressionsmeodiken grund för a även kunna räkna på enkla exponeniella modeller och elasiciesmodeller. Omsäning av formler är nyig a göra för a ine bli lås ill a all måse hea y och x. 2

21 Mulipel regression Här är de svårare a räkna u parameerskaningar för hand och de gör vi därför ine! Från daoruskrifer kan ni räkna med a få u - parameerskaningar (b, b 1,, b k ) - medelfel för parameerskaningar ( ) - kvadrasummor (SSR, SSE, SST sam SSR(x k x 1,,x k 1 ) dvs. sekveniella kvadrasummor) - konfidens- och prognosinervall i en given punk Vad måse ni själva kunna inse eller beräkna uifrån daoruskrifen? - anal frihesgrader - medelkvadrasummor, residualvarians - esvariabler - förklaringsgrader s, s b, sb, 1 - omräkning av inervall från 95% ill 99% och vice versa b k 21

22 Mulipel regression - VIF-värden - Resula från bes subses regression - Resula från auomaiska modellvalsprocedurer (framåval, bakåeliminering, segvis regression) Dessa måse försås kunna olkas och användas. Uskriferna på denna punk ges dock i sin helhe uan censurering. 22

23 Index Förså och kunna hanera de meodiker för indexberäkningar som diskueras i kursen Enkla prisindex Bye av basidpunk Deflaering Impliciprisindex Sammansaa fasbasindex Kedjeprisindex Relaivprisindex 23

24 Elasiciesmodeller Egenligen ine konsigare än vanliga regressionsmodeller, men kräver a man hanerar arimlagarna. Exempel: Modell i originalskala Modell på arimerad skala 1 y x Q C P Q C I Q C P E E I E p p I E I y 1 x Q C E P Q Q C E C E p I P I P E I I Handräkning kan endas göras för modeller med en förklaringsvariabel. 24

25 25 Exponeniella modeller Hanering av arimlagarna krävs. Exempel: Modell i originalskala Modell på arimerad skala k k x k x x x x x y y y y r C v r C v x y y k

26 Tidsserieanalys Mycke av dea examineras genom inlämningsuppgifen men uppgifer kan komma på enamen. De handlar om a lära sig använda/olka modeller för idsserieregression och klassisk komponenuppdelning sam exponeniella ujämningsmeoder för prognoser. Själva räknande görs dock uesluande med daorns hjälp. Viss hum om saionarie och ARMA-modeller ingår också, men ingen kunskap om hur man räknar förusäs. För a få den oala examinaionen individuell finns normal en uppgif med på enan. Denna kan handla om a kunna olka en uskrif från idsserieregression eller klassisk komponenuppdelning kunna olka en uskrif från enkel eller dubbel exponeniell ujämning eller Winers meod kunna för hand beräkna en prognos med hjälp av skaade komponener från en komponenuppdelning kunna besvara diverse eorifrågor run idsserieanalys 26