Vad Betyder måtten MAPE, MAD och MSD?

Transkript

1 Vad Betyder måtten MAPE, MAD och MSD? Alla tre är mått på hur bra anpassningen är och kan användas för att jämföra olika modeller. Den modell som har lägst MAPE, MAD och/eller MSD har bäst anpassning. Oftast visar alla 3 måtten åt samma håll. Men i vissa fall kan man vara tvungen att välja ett av dem. Vid val mellan t ex additiv modell och multiplikativ modell kan det hända att något av måtten är högre för den ena modellen medan ett annat mått är lägre. Det gäller alltså att tolka måtten med visst förnuft.

2 MSD kan också jämföras med MSE i den multipla regressionen: MSD 1 n n y t yˆ t t1 2 Mean Square Deviation MSE 1 n k 1 n y t yˆ t t1 2 Mean Square Error 2

3 MAD 1 n n t1 y t yˆ t Mean Absolute Deviation Skillnaden mellan MAD och MSD är att MAD använder absolutavvikelser istället för kvadratiska avvikelser. MAD är mindre känslig för avvikande värden och blir mer användbar när vi har något enstaka värde som uppträder konstigt. Ytterligare en fördel med MAD är att dess värde är i samma skala som y t - observationerna själva, vilket gör det lättare att tolka. 3

4 MAPE 1 n n t1 y t y t yˆ t Mean Absolute Percentage Error Måttet använder också absoluta avvikelser, men mäter dem relativt nivån hos y. Vi får alltså relativa (procentuella) avvikelser. Måttet är praktiskt för multiplikativa modeller där den oregelbundna komponenten (IR t ) är ganska betydande, eftersom avvikelserna då blir stora när vi har stora värden på y. 4

5 Multiplikativ Additiv 5

6 Föreläsning 9 Kap 8,1 8,3 8,4 I kap 8,3 och 8,4: Ej prognosintervall för hand, endast prognosberäkning. 6

7 Tre typer av utjämningar Kap 8,1 Enkel exponentiell utjämning: Används när tidsserien rör sig runt en konstant nivå. Bok: Simple exponential smoothing. Minitab: Single exponential smoothing Kap 8,3 Dubbel exponentiell utjämning: Använd då en trend finns i tidsserien. Bok: Holts trend corrected exponetial smoothing Minitab: Double exponential smoothing Kap 8,4 Holt winters metod: Används när trend och säsongsvariation finns i tidsserien. Bok: Holt-Winters method Minitab: Winters method 7

8 Exponentiell utjämning liknar glidande medelvärden men nyare obs får mer vikt. Exponentiell utjämning baseras dock på en modell vilket inte CMA gör. Istället för att skatta parametrarna till ett fix värde, såsom görs vid minsta-kvadrat-skattning vid regressionsanalys, så tillåts parameterskattningarna att ändra sig med tiden, vid exponentiell utjämning. Parameterskattningarna går inte att tolka vid exponentiell utjämning. Exponentiell utjämning används för prognostisering. Fungerar bra då tidsserien har ett dynamiskt mönster. 8

9 Kap 8,1 Enkel exponentiell utjämning Används för att göra prognoser för en tidsserie som inte innehåller varken trend- eller säsongskomponenter, t ex årlig försäljning av en vara. Modell: y t = 0 + t Modellen ska inte ses som statisk utan vi kan tillåta att nivån ( 0 ) kan ändras lite med tiden, men inte enligt någon typisk trendstruktur. 9

10 Enkel exponentiell utjämning innebär att man använder historiska data för att jämna ut serien och därmed plocka bort den rent slumpmässiga variationen. Vid utjämningen låter man gamla värden och nyare värden spela olika stora roll Den utjämnade serien använder vi sen för att göra prognoser efter den sista observationen. 10

11 Beteckna de tillgängliga historiska observationerna y 1,y 2, y n För enkel exponentiell utjämning används utjämningsekvationen: T y T ( 1) 1, T 1,..., n T dvs vi har här infört funktionen T som anger det utjämnade värdet vid tidpunkt T. T är skattningen av 0 vid tiden T är den s k utjämningskonstanten eller utjämningsparametern (smoothing parameter). 0 < <1, och den styr hur mycket vikt det nyaste värdet i serien ska ha. 11

12 Med ett lågt värde på (nära 0) spelar de tidigare värdena i serien en större roll än de senare: Serien blir mer utjämnad (mer lik ett medelvärde av samtliga observationer) Med ett högt värde på (mellan 0,5 och 0,99) spelar de senare värdena i serien en större roll än de tidigare: Serien blir mindre utjämnad och T kommer i högre grad att fånga upp de successiva förändringarna i tidsserien. 12

13 Som prognos för ett framtida värde (vilket som helst!) används: ˆ T y ( T) T Uppdateringsformeln (utjämningsekvationen) anger antal tidssteg efter tidpunkten T och kallas på engelska lead time. T y T ( 1) 1, T 1,, n T Hur skall vi välja? Hur/var ska vi börja, dvs vilket värde ska 0 vi välja på? 13

14 Valet av 0 kan göras på litet olika sätt beroende på tillgången till historiska data: Många historiska värden: - Använd 10-50% av de historiska värdena och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av 0 i modellen och blir också det värde vi sätter 0 till. - Låt y 1 vara den första observationen i det resterande datamaterialet och börja utjämningen från denna, eller den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna. (Så gör jag) 14

15 Ett fåtal historiska värden: - Använd samtliga historiska data och beräkna ett medelvärde av dessa. Detta medelvärde är en skattning av 0 i modellen och blir också det värde vi sätter 0 till. - Låt y 1 vara den första observationen i hela datamaterialet och börja utjämningen från denna. 15

16 Exempel: Försäljning av dagligvaror i USA Year Sales values

17 sales Tidsseriegraf year 17

18 Sätt upp modellen: yt 0 t Skatta β 0 = l 0 (=startvärdet) med medelvärdet av de första 8 observationerna i tidsserien ( )/ ˆ0 Låt 0 = 0 ˆ =

19 Anta först att försäljningen är ganska stabil, dvs, under den studerade perioden antas inte genomsnittsvärdet β 0 ändra sig nämnvärt. Då kan man välja ett relativt lågt värde på. Detta innebär att de tidigare värdena i serien kommer att spela en större roll i prognoserna än de senare. Vi låter = Vi använder nu uppdateringsformeln, som egentligen uppdaterar skattningen av β 0. Vi låter y 1 vara det första värdet i tidsserien. 19

20 y y y y y y y y y y y y y y y y 2000: 1999: 1998: 1997: 1996: 1995: 1994: 1993: 1992: 1991: 1990: 1989: 1988: 1987: 1986: 1985:

21 Prognoser yˆ yˆ yˆ yˆ etc

22 Analys med hjälp av Minitab StatTime SeriesSingle Exp Smoothing 22

23 Year T Sales val. l T-1 y T l T-1 Forecasts ,750 4,25000 * ,175 3,82500 * ,558-0,55750 * ,502 1,49825 * ,652-1,65158 * ,486-5,48642 * ,938-3,93778 * ,544-1,54400 * ,390-5,38960 * ,851-2,85064 * ,566-0,56557 * ,509-7,50902 * ,758 2,24188 * ,982 6,01770 * ,584 2,41593 * ,826 2,17433 * , , , , yˆ yˆ yˆ yˆ

24 sales Single Exponential Smoothing Actual Predicted Forecast Actual Predicted Forecast 143 Smoothing Constant Alpha: 0, MAPE: MAD: MSD: 2,2378 3, , Time 24

25 Anta nu att försäljningsvärdena är mindre stabila, dvs. under den studerade perioden kan β 0 tänkas ändra sig: Då är det bättre att använda ett som är relativt stort, vilket innebär att senare observationer får större betydelse i prognosen. Låt =0.5 25

26 sales Analys i MINITAB Single Exponential Smoothing Actual Predicted Forecast Actual Predicted Forecast 145 Smoothing Constant Alpha: 0, MAPE: MAD: MSD: 1,9924 2, , Time 26

27 Ett alternativ är också att göra uppdateringen med olika och sedan välja det som ger bäst successiva prognoser. Det finns också inbyggt i Minitab s procedur: 27

28 sales Automatiskt val av utjämningsparameter i Minitab Single Exponential Smoothing 155 Actual Predicted 150 Forecast Actual Predicted Forecast 145 Smoothing Constant Alpha: 0, MAPE: MAD: MSD: 1,7914 2, , Time 28

29 Residualanalys 29

30 Prognosintervall vid enkel exponentiell utjämning Prognos: Y T+τ T = l T Felmarginal: z s 1 + τ 1 α 2 s = där Y t t 1 = l t 1 Ex på tavlan. Låt s = SSE T 1 = Y t Y t (t 1) 2 T 1 MSD 30

31 Kap 8,3 Dubbel exponentiell utjämning Data antas även innehålla en linjär trend. Modell: Två utjämningsparametrar, och Uppdateringsschema, utjämningsekvationer: Prognoser: t t t y 1 0 n T b b b y T T T T T T T T, 1, ) (1 ] [ ) ( T T T b y ˆ 31

32 StatTimes SeriesDouble Exp Smoothing Två utjämningsparametrar (alpha och gamma) Prognos i en tidpunkt begärs 32

33 33

34 34

35 Eftersom datamaterialet inte har någon trendstruktur så fungerar inte dubbel exponentiell utjämning (gamma >1). Prognoserna blir orimliga. 35

36 Exempel: Miljöstatistik Nedanstående diagram visar koncentrationen i juli månad av kväve i alla dess tänkbara former i Råån vid Helsingborg, åren Diagrammet tyder på en nedåtgående trend. Vad kan värdet i juli 2002 tänkas bli? 36

37 Double Exponential Smoothing Data Total N Length NMissing 0 Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.2 Accuracy Measures MAPE: 46 MAD: 1873 MSD: Row Period Forecast Lower Upper

38 38

39 39

40 40

41 utjämnade serien one-step-ahead forecasts: successiva prognoser 41

42 Kap8,4 Exponentiell utjämning av tidsserier med trend och säsong: (Holt-)Winters additiva modell (Holt-)Winters multiplikativa modell Bägge modellerna använder tre utjämningsparametrar,, för nivå, lutning och säsongsvariation. Val av modell görs enligt samma principer som vid klassisk komponentuppdelning 42

43 sales Exempel: Kvartalsvisa försäljningsdata year quarter sales Index

44 StatTime SeriesWinters Method 44

45 Winters' multiplicative model Data sales Length NMissing 0 Smoothing Constants Alpha (level): 0.2 Gamma (trend): 0.2 Delta (seasonal): 0.2 Accuracy Measures MAPE: MAD: MSD: Row Period Forecast Lower Upper

46 46

47 Jämför med klassiskkomponentuppdelning 47

48 Value Tidsserie över andelen anställda i USA Det kan vara bra att använda exponentiell utjämning om komponenterna ändras över tiden och om det finns tydliga cykliska komponenter Index

49 Tidsserie över andelen anställda i USA 49

50 Klassisk komponentuppdelning med prognoser 12 månader 50

51 Winters modell: 51