Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III

Transkript

1 Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 24: Tidsserieanalys III Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 16 december 2015

2 är en prognosmetod vi kan använda för serier med en konstant nivå, dvs utan trend eller Metoden liknar glidande medelvärden, men vikterna avtar t Med en skonstant w (0 w 1): E t = wy t + (1 w)e t 1 Vi har alltså ett viktat genomsnitt av nuvarande periods observation (y t ) och tidigare periods utjämnade värde (E t 1 )

3 Metodens steg: 1 Bestäm ett värde för skonstanten w, 0 w 1 2 Beräkna den t utjämnade serien E t som följer: E 1 = y 1 E 2 = wy 2 + (1 w)e 1 E 3 = wy 3 + (1 w)e 2. E n = wy n + (1 w)e n 1 3 Prognosen för en framtida observation k steg framåt är F n+k = E n, k = 1,2,...

4 Men varför? De tre första värdena: E 1 = y 1 E 2 = wy 2 + (1 w)e 1 E 3 = wy 3 + (1 w)e 2 Stoppa in E 1 i E 2 och E 2 i E 3 och se att vi får en kvadrat på (1 w): E 3 = wy 3 + (1 w)e 2 E 3 = wy 3 + (1 w)(wy 2 + (1 w)e 1 ) (Byt ut E 2 ) = wy 3 + (1 w)(wy 2 + (1 w)y 1 ) (Byt ut E 1 ) = wy 3 + w(1 w)y 2 + (1 w) 2 y 1 (Multiplicera)

5 Summan av vikterna är 1: w + w(1 w) + (1 w) 2 = 2w w 2 + (1 2w + w 2 ) = 1. Högre värden för vikten w ger större vikt till närliggande observationer, lägre värden tar större hänsyn till äldre observationer Detta betyder att höga värden på w ger en hoppig serie, medan låga värden ger en mer mjuk och utjämnad serie Vad händer i gränsfallen, när w är 0 eller 1?

6 Exempel: BNP-tillväxt i Sverige t Period BNP :3 0, :4 1, :1 0, :2 1,1 Vi väljer w = 0,2 och beräknar den utjämnade serien: E 1 = 0,3 E 2 = 0,2 1,2 + (1 0,2) 0,3 = 0,48 E 3 = 0,2 0,6 + (1 0,2) 0,48 = 0,504 E 4 = 0,2 1,1 + (1 0,2) 0,504 = 0,623 Prognoser för de två återstående kvartalen 2015 ges av: F 5 = E 4 = 0,623 F 6 = E 4 = 0,623.

7 Procent Variable BNP w=0.2 w= Quarter Year Svensk BNP-tillväxt

8 Eftersom prognosen är det senaste utjämnade värdet, kan vi få en mer intuitiv tolkning av vad metoden gör Vi hade att: E n = wy n + (1 w)e n 1 Eftersom prognosen ett steg framåt vid tidpunkt n 1 är det senaste utjämnade värdet, dvs F n = E n 1, kan detta skrivas som E n = wy n + (1 w)f n = F n + w(y n F n ) = Föregående 1-stegsprognos + w Prognosfel Det utjämnade värdet vid tidpunkt n kan alltså ses som en uppdaterad prognos, dvs när vi får en ny observation behåller vi den gamla prognosen (första termen) men reviderar den något (andra termen)

9 är något begränsad, då den förutsätter att vi varken har någon trend eller Med metod utökas den enkla a en till att tillåta enbart trend eller både trend och, där trenden antas vara linjär Vi skriver metoden enligt: E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 där både w och v är mellan 0 och 1. Utjämningen vid tidpunkt t (E t ) bestäms av en vid föregående tidpunkt (E t 1 ) samt en skattning av trendökningen (T t 1 )

10 Metodens steg: 1 Bestäm skonstanterna v och w, där båda är mellan 0 och 1 2 Beräkna s- och trendkomponenterna E t och T t enligt: { y 2, t = 2 E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ), t > 2 { y 2 y 1, t = 2 T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1, t > 2 3 Prognosen k steg framåt är F n+k = E n + T n k

11 Det enklaste sättet att förstå denna (något komplicerade) metod är att titta på ekvationen för dess prognos: F n+k = E n + T n k Precis som vid enkel använder vi det senaste utjämnade värdet, E n, men nu lägger vi även till en del för att i vår prognos ta hänsyn till trenden Detta uttryck är mycket likt vad vi hade för prognoser med minsta kvadrat-metoden: ŷ t = ˆβ 0 + ˆβ 1 t Skillnaden är alltså att vi uppdaterar interceptet ˆα med vårt senaste utjämnade värde, E n, och lutningskoefficienten ˆβ 1 med vår senaste skattning för trendökningen, T t

12 För en 1-stegsprognos är k = 1, så 1-stegsprognosen vid tidpunkt n 1 är då F n = E n 1 + T n 1 Som i fallet med enkel innebär detta att vi kan se en som en reviderad prognos, eftersom: E n = wy n + (1 w)(e n 1 + T n 1 ) = wy n + (1 w)f n = F n + w(y n F n ) = Föregående 1-stegsprognos + w Prognosfel Ekvationen ovan är exakt samma som för enkel, skillnaden är beräkningen av F n. I det här fallet tillåter vi även en trendökning!

13 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * Vi kan omedelbart beräkna E 2 och T 2 : E 2 = y 2 = 3657 T 2 = y 2 y 1 = = 137

14 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * Vi kan omedelbart beräkna E 2 och T 2 : E 2 = y 2 = 3657 T 2 = y 2 y 1 = = 137

15 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * Därefter beräknar vi E 3 och T 3 : E 3 = 0,3 y 3 + 0,7 (E 2 + T 2 ) = 0, ,7 ( ) = 3761,3 T 3 = 0,3 (E 3 E 2 ) + 0,7 T 2 = 0,3 (3761,3 3657) + 0,7 137 = 127,19

16 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, Därefter beräknar vi E 3 och T 3 : E 3 = 0,3 y 3 + 0,7 (E 2 + T 2 ) = 0, ,7 ( ) = 3761,3 T 3 = 0,3 (E 3 E 2 ) + 0,7 T 2 = 0,3 (3761,3 3657) + 0,7 137 = 127,19

17 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, Vi kan nu beräkna E 4 och T 4 : E 4 = 0,3 y 4 + 0,7 (E 3 + T 3 ) = 0, ,7 (3761, ,19) = 3852,94 T 4 = 0,3 (E 4 E 3 ) + 0,7 T 3 = 0,3 (3852, ,3) + 0,7 127,19 = 116,53

18 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, ,94 116, Vi kan nu beräkna E 4 och T 4 : E 4 = 0,3 y 4 + 0,7 (E 3 + T 3 ) = 0, ,7 (3761, ,19) = 3852,94 T 4 = 0,3 (E 4 E 3 ) + 0,7 T 3 = 0,3 (3852, ,3) + 0,7 127,19 = 116,53

19 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, ,94 116, Slutligen har vi E 5 och T 5 : E 5 = 0,3 y 5 + 0,7 (E 4 + T 4 ) = 0, ,7 (3852, ,53) = 3954,03 T 5 = 0,3 (E 5 E 4 ) + 0,7 T 4 = 0,3 (3954, ,94) + 0,7 116,53 = 111,9

20 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, ,94 116, ,03 111,9 4 Slutligen har vi E 5 och T 5 : E 5 = 0,3 y 5 + 0,7 (E 4 + T 4 ) = 0, ,7 (3852, ,53) = 3954,03 T 5 = 0,3 (E 5 E 4 ) + 0,7 T 4 = 0,3 (3954, ,94) + 0,7 116,53 = 111,9

21 Exempel: Säsongsrensat BNP i löpande priser, miljarder kronor. Vikter: w = 0,3 och v = 0,3. Tid t y t E t T t * * ,3 127, ,94 116, ,03 111,9 4 Prognoser för 2015 och 2016 fås genom: F 6 = E 5 + T 5 = 3954, ,9 = 4065,92 F 7 = E T 5 = 3954, ,9 = 4177,82

22 metod utan kallas ibland dubbel eftersom vi har två serier vi jämnar ut Vi ska nu introducera även i modellen i vad som även kallas trippel Det finns egentligen allsköns kombinationer av additiv och multiplikativ, olika trender, etc i dessa modeller, men vi fokuserar här på multiplikativ med linjär trend Metoden är alltså med både trend och

23 Vi har nu istället tre ekvationer: ( ) yt E t = w + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) S t P T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 ( ) yt S t = u + (1 u)s t P E t där w,v och u är skonstanter (mellan 0 och 1) och P är periodiciteten Jämförelse med utan : 1 E t : istället för y t har vi det sjusterade värdet y t /S t P 2 T t : samma som förut 3 S t : viktat medel av en grov sskattning (y t /E t ) och senaste skattningen för samma period

24 Metodens steg: 1 Bestäm skonstanterna w, v och u (alla mellan 0 och 1) 2 Bestäm periodiciteten P (t ex 4 för kvartalsdata) 3 Beräkna de första värdena: E 2 = y 2 T 2 = y 2 y 1 S 2 = y 2 E 2 4 Beräkna andra delen, för t = 3,..., P + 2: E t = wy t + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 S t = y t E t

25 5 Beräkna den resterande delen, för t = P + 3,..., n: ( ) yt E t = w + (1 w)(e t 1 + T t 1 ) S t P T t = v(e t E t 1 ) + (1 v)t t 1 ( ) yt S t = u + (1 u)s t P E t 6 Prognosen k steg framåt är: F n+k = (E n + kt n )S n+k P

26 Exempel: BNP i 2014 års priser, 2000:1-2015:2 BNP (miljarder kronor) Quarter Year BNP i 2014 års priser, miljarder kronor

27 1 Vi låter w = 0,7,v = u = Eftersom vi har kvartalsdata är periodiciteten P = 4 3 Början av datamängden: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000: , : , : , : , : , : , : , : ,90

28 3 (forts.) Beräkning av de första värdena: E 2 = y 2 = 767,25 T 2 = y 2 y 1 = 767,25 735,77 = 31,48 S 2 = y 2 = 767,25 E 2 767,25 = 1 Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000: ,77 * * * 2000: ,25 767,25 31, : , : ,26

29 4 Den andra delen med beräkningar sträcker sig från t = 3 till t = P + 2 = 6. Vi får: E 3 = 0,7 y 3 + 0,3 (E 2 + T 2 ) = 0,7 696,25 + 0,3 (767, ,48) = 726,99 T 3 = 0,5 (E 3 E 2 ) + 0,5 T 2 = 0,5 (726,99 767,25) + 0,5 31,48 = 4,39 S 3 = y 3 = 696,25 E 3 726,99 = 0,958 Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000: ,77 * * * 2000: ,25 767,25 31, : ,25 726,99-4,39 0, : ,26

30 4 (forts.) När tabellen är ifylld fram till t = P + 2 = 6 har vi: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000: ,77 * * * 2000: ,25 767,25 31, : ,25 726,99-4,39 0, : ,26 776,97 22,79 1, : ,16 769,94 7,88 0, : ,41 777,54 7,74 1, : , : ,90

31 5 Vi fyller i tabellen för t = P + 3 = 7 och framåt: ( ) y7 E 7 = 0,7 + 0,3 (E 6 + T 6 ) S ( 3 ) 704,96 = 0,7 + 0,3 (777,54 + 7,74) = 750,84 0,958 T 7 = 0,5 (E 7 E 6 ) + 0,5 T 6 = 0,5 (750,84 777,54) + 0,5 7,74 = 9,48 ( ) y7 S 7 = 0,5 + 0,5 S 3 E ( 7 ) 704,96 = 0,5 + 0,5 0,958 = 0, ,84

32 5 (forts.) Utökad tabell: Tid t BNP (y t ) E t T t S t 2000: ,77 * * * 2000: ,25 767,25 31, : ,25 726,99-4,39 0, : ,26 776,97 22,79 1, : ,16 769,94 7,88 0, : ,41 777,54 7,74 1, : ,96 750,84-9,48 0, : ,90 Genom att fortsätta med liknande beräkningar får vi slutligen de utjämnade serierna ända upp till 2015:2

33 BNP (miljarder kr) Variable BNP E 700 Quarter Year BNP och E t

34 6 Förutom prognoser framåt i tiden (2015:3, 2015:4, etc) kan vi också beräkna löpande 1-stegsprognoser genom att vid varje tidpunkt göra 1-stegsprognoser enligt: F t+1 = (E t + T t )S t+1 P för t = P + 1, P + 2,..., n. De första 1-stegsprognoserna är: F 6 = (E 5 + T 5 )S 2 = (769,94 + 7,88) 1 = 777,83 F 7 = (E 6 + T 6 )S 3 = (777,54 + 7,74) 0,958 = 752,07 F 8 = (E 7 + T 7 )S 4 = (750,84 9,48) 1,030 = 763,59 etc

35 6 (forts.) Början på tabellen inklusive 1-stegsprognoser: Tid t BNP (y t ) E t T t S t F t 2000: ,77 * * * * 2000: ,25 767,25 31,48 1 * 2000: ,25 726,99-4,39 0,958 * 2000: ,26 776,97 22,79 1,030 * 2001: ,16 769,94 7,88 0,983 * 2001: ,41 777,54 7,74 1, , : ,96 750,84-9,48 0, , : ,90 770,79 5,24 1, ,59 Genom att fortsätta med liknande beräkningar får vi slutligen de utjämnade serierna ända upp till 2015:2

36 BNP (miljarder kr) Variable BNP E F 700 Quarter Year BNP, E t och F t

37 6 (forts.) Prognoser framåt i tiden beräknar vi enligt: F n+k = (E n + k T n )S n+k P Botten av tabellen: Tid t BNP (y t ) E t T t S t F t 2014: ,57 989,21 6,44 0, : ,42 997,86 7,55 1, : , ,00 6,35 0, : , ,43 9,89 1,027 För k = 1, 2, 3, 4 får vi: F 63 = (E T 62 )S 59 = (1016, ,89) 0,928 = 952,54 F 64 = (E T 62 )S 60 = (1016, ,89) 1,033 = 1070,54 F 65 = (E T 62 )S 61 = (1016, ,89) 0,985 = 1030,88 F 66 = (E T 62 )S 62 = (1016, ,89) 1,027 = 1084,28

38 BNP (miljarder kr) Variable BNP E F 900 Quarter Year Q Q Q BNP, E t och F t