Föreläsning 4. Kap 5,1-5,3

Transkript

1 Föreläsning 4 Kap 5,1-5,3

2 Multikolinjäritetsproblem De förklarande variablerna kan vara oberoende (korrelerade) av varann men det är inte så vanligt. Ofta är de korrelerade, och det är helt ok men beroendet (korrelationen) får inte bli för stark. Om två variabler är mycket strakt beroende av varann så förklarar de ungefär samma sak och detta medför problem med att t ex skatta regressions-koefficienterna. 2

3 Exempel: Vad påverkar kostnaden (COST) för produktion av korrugerat papper, dvs sådant som ingår i wellpapp och kartonger? Amerikansk studie: Kostnaden kan förmodligen förklaras av en eller flera av följande variabler: produktionsmängden (PAPER) maskintid (MACHINE) overhead-kostnaden (OVERHEAD) antal direkta personarbetstimmar (LABOR)

4 Månads-data: MONTH COST PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR

5 Starka samband mellan y och alla x-variabler 5

6 Pröva först en modell där kostnaden förklaras av samtliga förklaringsvariabler: Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR The regression equation is COST = PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR Predictor Coef SE Coef T P Constant PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR S = R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9% Hög förklaringsgrad, men alla x-variabler är ej signifikanta 6

7 Varför kan vi inte hitta samma samband i regressionsmodellen som vi såg genom visuell inspektion? Kan det vara så att förklaringsvariablerna överlappar varandra när det gäller att förklara kostnaden? Vi kan undersöka detta genom att plotta de förklarande variablerna mot varandra. 7

8 Matrix (matris) -plot Tydligt samband mellan alla par av förklaringsvariabler. 8

9 Vi kan också beräkna parvisa korrelationskoefficienter mellan förklaringsvariabler: Correlations: PAPER, MACHINE, OVERHEAD MACHINE PAPER MACHINE OVERHEAD Cell Contents: Pearson correlation och vi ser att samtliga korrelationer ligger mycket nära 1. 9

10 Om korrelationen är hög (över 0.9) mellan två förklaringsvariabler kan modellen bli svår att analysera. Vi kan t.ex. få: konstiga värden på parameterskattningar (t. ex. negativa lutningsparametrar där sambandet skall vara positivt) förklaringsvariabler är inte signifikanta, fastän man kan se ett tydligt linjärt samband mellan x-variabeln och respons-variabeln Eftersom flera förklarande variabler representerar samma påverkan är det svårt att separera vad i varje förklaringsvariabel som främst förklarar variationen i y. 10

11 Detta problem kallas för multikollinearitet. Vad det handlar om är att en förklaringsvariabel är nära linjärt beroende av en eller flera (därav multi) av de andra förklaringsvariablerna. Hur upptäcker man och hur åtgärdar man detta? Metod 1: Beräkna korrelationskoefficienterna mellan samtliga par av variabler, dvs även med y. Om två eller flera av förklaringsvariablerna har höga korrelationer med varandra, uteslut alla av dessa utom den som har högst korrelation med y. 11

12 I exemplet beräknar vi Correlations: COST, PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR COST PAPER MACHINE OVERHEAD PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR Cell Contents: Pearson correlation Alla korrelationer är högre än 0.9. MACHINE har högst korrelation med COST och bör då vara den variabel som väljs. (Dock är PAPER en mycket nära kandidat här.) 12

13 Metod 2: Vi ska beräkna ett mått på hur starkt sambandet är mellan en av x-variablerna och de övriga x-variablerna. Anpassa en regressionsmodell för x 1 och låt de övriga x- variablerna x 2, x 3, x 4 förklara x 1 x 1 = 0 1 x 2 2 x 3 3 x 4 Då erhålls en förklaringsgrad R 1 2, som anger hur stor del av den totala variationen i x 1 som förklaras av de övriga x-variablerna. Är R 1 2 stor, borde man kunna utesluta x 1 ur modellen för y. 13

14 Den s k Variance Inflation Factor, VIF, för variabeln x 1 definieras som VIF R Och vi ser att för ett stort värde hos R 1 2 blir också VIF 1 stor. 2 1 VIF kan som lägst bli 1 vilket inträffar då R 12 =0. Om R 12 =1 skulle VIF bli oändligt stor. Vi kan anpassa regressionsmodellen för att få R 2 1 x 1 = 0 1 x 2 2 x 3 3 x 4, förklaringsvariabler 14

15 Regression Analysis: PAPER versus MACHINE, OVERHEAD, LABOR The regression equation is PAPER = MACHINE OVERHEAD LABOR Predictor Coef SE Coef T P Constant MACHINE OVERHEAD LABOR S = R-Sq = 98.2% R-Sq(adj) = 98.0% Det enda intressanta i utskriften VIF

16 VIF finns förstås definierad för varje ingående x-variabel som VIF j 1 1 R 2 j där R j 2 = förklaringsgraden i en anpassad modell där x j förklaras av övriga x-variabler. Om det största av dessa VIF-värden är större än 10 eller om medelvärdet av samtliga VIF-värden är betydligt större än 1 anser man att det föreligger problem med (multi)kollinearitet. VIF-värden kan fås automatiskt i Minitab-utskriften: 16

17 Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR The regression equation is COST = PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR S = R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9% Vi ser att det råder stora problem med (multi)kollinearitet här! 17

18 Metod 3: Transformera y och/eller x-variablerna. I vårt ex skulle man kunna pröva att dividera y=cost och machine, overhead och labor med paper. Detta har jag dock inte anpassat.

19 Är (multi)kollinearitet alltid ett bekymmer? När den anpassade modellen används för att förklara variation och tolka samband är det viktigt att multikollinearitet undviks. Tolkningarna blir annars lätt missvisande. Är målet med analysen att göra prognoser i nya punkter spelar det mindre roll om de inkluderade förklarande variablerna är korrelerade. 19

20 Val av modell Vi ska titta på flera olika metoder för att finna en bra modell utifrån en uppsättning med x-variabler. Responsvariabeln antas vara given. Först ska vi göra bedömningen av om y behöver transformeras. Om vi har flera dummyvariabler som beskriver en kvalitativ variabel så måste dessa hållas ihop. Kvadratiska termer och interaktionstermer får inte vara med om de ursprungliga variablerna inte är med. Vi följer ett ex:

21 Val mellan olika modeller modellbygge: Ett företag undersöker 25 säljdistrikt med avseende på försäljning. Man vill försöka förklara försäljningen (SALES) med följande variabler: x 1 (TIME) = den tid (i månader) som säljaren har varit anställd. x 2 (POTENT) = totala industriförsäljningens volym i distriktet x 3 (ADV) = annonskostnader (i dollar) x 4 (SHARE) = företagets genomsnittliga marknadsandel i distriktet (de senaste 4 åren) x 5 (SHARECHG) = förändringen i marknadsandel i distriktet jämfört med perioden före de senaste fyra åren. x 6 (ACCTS) = antal kontrakt som säljaren arbetat med x 7 (WORKLOAD) = faktor för arbetsbelastningen hos säljaren x 8 (RATING) = bedömningsmått på säljaren satt av försäljningsansvarig 21

22 SALES TIME POTENT ADV SHARE SHARE- ACCTS WORK- RATING CHG LOAD

23 Hur väljer man den bästa modellen? 1) Studera varje relevant modell för sig: Är alla förklaringsvariabler av betydelse? Är residualerna bra? 2) Jämför justerade förklaringsgrader 3) Variansskattning: Den modell som har lägst värde på MSE är bäst. Dock gäller: MSE minskar om och endast om den justerade förklaringsgraden ökar. Jämförelse av MSE (alt. s ) blir ekvivalent med jämförelse av justerad 2 förklaringsgrad R 23

24 Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT,... The regression equation is SALES = TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS Predictor Coef SE Coef T P Constant TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS R S = R-Sq = 92.0% R-Sq(adj) = 89.4% R 2 24

25 Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT,... The regression equation is SALES = TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD + 8 RATING Predictor Coef SE Coef T P Constant TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD RATING R R S = R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 88.3% 25

26 Best Subsets Regression: SALES versus TIME, POTENT,... Response is SALES S W H O P A R R O S R A K A T T H E C L T I E A A C C O I M N D R H T A N Vars R-Sq R-Sq(adj) C-p S E T V E G S D G X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 26

27 Automatiserat modellval: Framåtval: Forward Selection Bakåteliminering: Backward Selection (elimination) Stegvis Regression: Stepwise regression Gemensamt för de här metoderna är att man testar en variabel i taget. Med hjälp av några kriterier som man bestämmer i förväg kan man sen avgöra om denna variabel ska läggas till i modellen (tas bort från modellen) eller inte. 27

28 Framåtvalsprincipen (Forward selection): 1. Välj först den x-variabel som har högst absolut korrelation med y. (Den variabel som ger högst R 2 och lägst SSE). 2. Testa med t- eller F-test om denna variabel blir signifikant 3. Om den blir det, behåll den i modellen. Om inte, så finns det ingen bra modell. 4. Anpassa alla modeller med ytterligare en x-variabel. Använd sen den variabel som har lägst p-värde. 5. Testa med t-test eller partiellt F-test om den andra x-variabeln blir signifikant. 6. Om den blir det, behåll även denna variabel i modellen. Om inte, stanna vid den tidigare modellen med en förklarande variabel. 7. Fortsätt på motsvarande sätt tills inga nya signifikanta variabler kan läggas till. 28

29 Correlations: SALES, TIME, POTENT, ADV, SHARE, SHARECHG, ACCTS, WORKLOAD, RATING SALES TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD RATING

30 Regression Analysis: SALES versus ACCTS The regression equation is SALES = ACCTS Predictor Coef SE Coef T P Constant ACCTS signifikant S = R-Sq = 56.8% R-Sq(adj) = 55.0% ACCTS är signifikant och utgör därför den första förklaringsvariabeln i modellen. Om vi testar de återstående variablerna, var och en i modellen med ACCTS, ser vi att den variabel som är mest signifikant är ADV. 30

31 Regression Analysis: SALES versus ACCTS, ADV The regression equation is SALES = ACCTS ADV Predictor Coef SE Coef T P Constant ACCTS ADV S = R-Sq = 77.5% R-Sq(adj) = 75.5% Nu kan vi försöka utöka modellen med ytterligare en variabel. Vi testar alltså alla kvarstående variabler var och en tillsammans med ACCTS och ADV. 31

32 Enklare är det att använda sig av framåtvalen som finns i MINITAB. (Stat->Regression->Stepwise ) Forward selection. Alpha-to-Enter: 0.05 Response is SALES on 8 predictors, with N = 25 Step Constant ACCTS T-Value P-Value ADV T-Value P-Value POTENT T-Value P-Value SHARE 190 T-Value 3.82 P-Value S R-Sq R-Sq(adj) C-p

33 Bakåtelimineringsprincipen (Backward elimination ): 1. Anpassa modellen med samtliga tillgängliga förklarande variabler. 2. Om alla förklaringsvariabler är signifikanta blir detta den slutliga modellen. 3. Om en eller flera variabler ej är signifikanta ta bort den variabel som har lägst absolut t-kvot (högst p-värde). 4. Anpassa en ny modell med de variabler som är kvar. Om alla förklaringsvariabler i denna modell är signifikanta är det den slutliga modellen. 5. Om en eller flera variabler ej är signifikanta, ta bort den med högst p-värde. 6. Upprepa förfarandet till dess att samtliga ingående förklaringsvariabler är signifikanta. 33

34 I modellen med alla förklarande variabler: Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT,... The regression equation is SALES = TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD + 8 RATING Predictor Coef SE Coef T P Constant TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD RATING S = R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 88.3% TIME, SHARECHG, ACCTS, WORKLOAD och RATING är icke-signifikanta. Av dessa har RATING lägst absolut t-kvot. 34

35 Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT,... The regression equation is SALES = TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD Predictor Coef SE Coef T P Constant TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOAD S = R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 89.0% TIME, SHARECHG, ACCTS och WORKLOAD är ickesignifikanta. WORKLOAD har lägst absolut t-kvot. osv. 35

36 Step Constant TIME T-Value P-Value POTENT T-Value P-Value ADV T-Value P-Value SHARE T-Value P-Value SHARECHG T-Value P-Value Vi börjar med modellen med alla förklarande variabler och tar bort RATING, WORKLOAD, ACCTS och SHARECHG en efter en. Den slutliga modellen inkluderar TIME, POTENT, ADV och SHARE. ACCTS T-Value P-Value WORKLOAD T-Value P-Value RATING 8 T-Value 0.06 P-Value S R-Sq R-Sq(adj) C-p

37 Stegvis regression: Genom att kombinera framåtval och bakåteliminering får vi det som ofta bara kallas stegvis regression : Välj först den variabel som har högst korrelation med y. Behåll variabeln om den är signifikant. Lägg till en ny variabel om den blir signifikant, ta bort den gamla om den inte blir signifikant. Fortsätt att lägga till och ta bort variabler till dess att inga nya signifikanta kan hittas och inga gamla kan tas bort. 37

38 Step Constant ACCTS T-Value P-Value ADV T-Value P-Value Slutlig modell är alltså den med ACCTS, ADV, POTENT och SHARE, dvs samma som framåtvalsprincipen gav. POTENT T-Value P-Value SHARE 190 T-Value 3.82 P-Value S R-Sq R-Sq(adj) C-p

39 Ingen av de tre algoritmerna är optimal i något avseende och olika modeller kan fås. Det är inte heller så att någon med nödvändighet ger den bästa modellen. Algoritmerna skall kombineras med förnuft och residualanalys. Speciellt viktigt är det att inte utan att fundera stoppa in alla variabler man har i modellen, utan att börja med en vettig uppsättning relevanta variabler. 39