732G71 Statistik B. Föreläsning 6. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 15

Transkript

1 732G71 Statistik B Föreläsning 6 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 15

2 Efterfrågeanalys Metoder för att studera sambandet mellan efterfrågan på en vara och faktorer som påverkar efterfrågan, t.ex. varans pris eller disponibel inkomst. Efterfrågan = Q = försäljningsvolym av aktuell vara, tjänst eller grupp av varor/tjänster beror av Priset, P, på varan, tjänsten, eller priserna i gruppen av varor/tjänster (ofta relativprisindex uträknade mot KPI). Inkomstnivån, I, i den population av konsumenter som efterfrågar varan/tjänsten/gruppen (ofta realinkomst per capita där realinkomst är nominell inkomst deaterad mot KPI). Priset, P 2, på en annan vara relaterad till varan/tjänsten/gruppen (ofta relativprisindex). Tiden, t, som sammanfattande indikator på trendförändringar. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 2 / 15

3 Elasticitetsmodeller Efterfrågan, Q, kan modelleras enligt Q = C P EP I E I P EP γ t δ, där C, E P, E I, E P2 och γ är parametrar och δ är en slumpkomponent i modellen där log (δ) är N (0, σ). Parametrarna kallas E P = priselasticitet E I = inkomstelasticitet E P2 = korselasticitet γ modellerar trendf ör ändringar över tiden. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 3 / 15

4 Logaritmlagarna Denition: logaritmen av ett tal a är den exponent x till vilket ett givet tal, basen b, måste upphöjas till för att anta värdet a: a = b x Första logaritmlagen: multiplikation log (x y) = log (x) + log (y) Andra logaritmlagen: division ( ) x log = log (x) log (y) y Tredje logaritmlagen: potenser log (x a ) = a log (x) Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 4 / 15

5 Elasticitetsmodeller Den fullständiga modellen med alla elasticiteter och trendförändringar över tiden används främst till mikroekonomiska jämviktsanalyser. Vi reducerar därför modellen här till följande modeller: Q = C P EP δ, Q = C I E I δ, Q = C P EP I E I δ Anpassning av modellerna med regressionsanalys kan göras med hjälp av de logaritmerade sambanden. Enkel linjär regressionsanalys används till de två första modellerna. Multipel linjär regressionsanalys används till den tredje modellen. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 5 / 15

6 Exempel: skattning av elasticitetsmodell Teoretisk modell: Q = C P E P δ Stickprovsmodell: ˆQ = c PÊP Logaritmering ger för stickprovsmodellen att Detta är lika med log ˆQ = log c + Ê P log P ŷ = b 0 + b 1 x för den skattade enkla linjära regressionsmodellen med ŷ = log ˆQ som punktskattning av det logaritmerade värdet för efterfrågan Q, b 0 = log c som skattning av skärningen och den skattade lutningen b 1 = Ê P som skattning av priselasticiteten E P. Ê P = b 1 = x iy i ( x i )( y i ) n xi 2 ( x i ) 2 n log c = b 0 = ȳ b 1 x = = (log P i) (log Q i ) ( log P i )( log Q i ) n (log P i ) 2 ( log P i ) 2 n log Q Ê P log P Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 6 / 15

7 Exempel: konsumtion av margarin i Storbrittanien År Konsumtion Fast pris År Konsumtion Fast pris Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 7 / 15

8 Exempel forts. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 8 / 15

9 Exempel forts. Logaritmera konsumtions- och prisvärdena och plotta log Q mot log P. Observera! Det är inte självklart att detta samband blir mer linjärt, men man får ofta lita på att efterfrågemodellen är förnuftig. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 9 / 15

10 Exempel forts. I den teoretiska modellen Q = C P EP δ = log Q = log C + E P log P + log δ ska vi alltså skatta E P och log C. Vi har att n = 18 och beräknar att log P i = log Q i = (log P i ) 2 = (log Q i ) 2 = (log P i ) (log Q i ) = Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 10 / 15

11 Tumregler: efterfrågeanalys E P Typ av vara Kommentar > 1 Oelastisk Ej priskänslig = 1 Enhetselastisk Normalt priskänslig < 1 Priselastisk Priskänslig E I Typ av vara Exempel < 0 inferiora nudlar, bussresor > 0 normala ej inferiora (0, 1) nödvändiga livsmedel > 1 lyx lyxmat Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 11 / 15

12 Exempel forts., skattad regressionslinje Regression Analysis: log Q versus log P Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Regression 1 0, , ,88 0,000 log P 1 0, , ,88 0,000 Error 16 0, , Total 17 0,07598 Model Summary S R-sq R-sq(adj) R-sq(pred) 0, ,27% 65,22% 56,14% Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF Constant 1,871 0,230 8,12 0,000 log P -0,649 0,113-5,73 0,000 1,00 Regression Equation log Q = 1,871-0,649 log P Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 12 / 15

13 Hypotesprövning, elasticitetsmodeller Test för priselasticiteten E P på signikansnivån α. H 0 : E P = B H a : E P = B, H a : E P > B, H a : E P < B, t = ÊP B sêp, där sêp utläses från Minitabutskrift. H 0 förkastas om vid dubbelsidig mothypotes t > t [α/2],(n 2) vid enkelsidig mothypotes t > t [α],(n 2) respektive t < t [α],(n 2) Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 13 / 15

14 Exponentiella modeller y = β 0 β x 1 δ, där β 0 och β 1 är parametrar och δ är en slumpkomponent i modellen där log (δ) är N (0, σ). Strategi för att skatta modellen: Logaritmera på bägge sidor Anpassa modellen med en enkel linjär regressionsmodell Transformera tillbaka till originalskala Dra slutsatser från hypotesprövning, kondensintervall, prognoser och tillhörande intervall på vanligt sätt. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 14 / 15

15 Exempel, exponentiell modell Antag att ett företag under en tioårsperiod har köpt och sålt diverse värdepapper. Kapitalet har därvid utvecklats enligt tabell. Uppskatta en räntesatsekvivalent. År Kapital Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 15 / 15