Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
|
|
- Christian Jonasson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 2 - Linjär regressionsanalys Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 29
2 Översikt moment 2: linjär regressionsanalys Bayesiansk linjär regression utan förklaringsvariabler Bayesiansk enkel linjär regression Bayesiansk multipel linjär regression Kod_Moment2.R (kan laddas ned på kurshemsidan) Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 2 / 29
3 Normal data, okänd varians Modell: Y 1,..., Y n µ, σ 2 iid N(µ, σ 2 ) µ = β 0 där både medelvärdet µ och variansen σ 2 är okända. Modellen kan skrivas som en linjär regressionsmodell utan förklaringsvariabler: y i = β 0 + ɛ i ɛ i iid N ( 0, σ 2 ) Prior: p(µ, σ) Om µ och σ antas oberoende apriori (boken): p (µ, σ) = p (µ) p (σ). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 3 / 29
4 Normal data, okänd varians Priorn för µ och σ 2 kan också speciceras enligt: p ( µ, σ 2) = p ( µ σ 2) p ( σ 2) Standard icke-informativ prior är en uniform prior för (µ, ln σ): p ( µ, σ 2) 1 σ 2. Fördelen med standard icke-informativ prior: betingade posteriorn p ( µ σ 2) och den marginella posteriorn p ( σ 2) följer kända fördelningar. ger acceptabla resultat om man har mycket data. Nackdelar: om man har lite data bör man specicera en rimligare prior (se oberoende priors i boken), eftersom priorn blir mer viktig vid lite data. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 4 / 29
5 Normal data, okänd varians, linjär regressionsmodell Modell för linjär regression: Y 1,..., Y n µ, σ 2, x iid N(µ, σ 2 ) µ = βx, där variansen σ 2 är okänd och vektor med förklaringsvariabler x = (1 x 1... x k ) och parametrar β = (β 0 β 1... β k ) i stället för endast µ = β 0 i föregående modell. Om β och σ antas oberoende apriori (boken): p (β, σ) = k j=0 p (β j ) p (σ). Standard icke-informativ prior är här en uniform prior för parametrarna (β, ln σ): p ( ) β, σ 2 1 x σ. 2 Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 5 / 29
6 Normal data, okänd varians, linjär regressionsmodell Fördelen med den standard icke-informativa priorn p (β, ln σ): betingade posteriorn p ( β σ 2) och den marginella posteriorn p ( σ 2) följer även här kända fördelningar. ger acceptabla resultat om man har mycket data jämfört med antalet förklaringsvariabler i x. Nackdelar: om man har lite data eller många förklaringsvariabler, så bör man specicera en rimligare prior (se oberoende priors i boken). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 6 / 29
7 Normal data, okänd varians - exempel Ett slumpmässigt urval av 32 bilar har dragits från 1974 Motor Trend US magazine, se datamaterialet mtcars från R:s dataexempel. Slutgiltigt mål: multipel linjär regressionsanalys med den beroende variabeln y = miles/(us) gallon för en bils bränsleförbrukning. 1 miles/gallon motsvarar ungefär 0,43 kilometer per liter. Transformera om y till kilometer per liter. Modell utan förklaringsvariabler: Y 1,..., Y n µ, σ 2 iid N(µ, σ 2 ) µ = β 0 där både medelvärdet µ och variansen σ 2 är okända. Oberoende priors för µ och σ (använd t.ex. webbverktyget för att elicitera priorn): µ N ( 10, 10 2) σ Uniform (0, 20) Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 7 / 29
8 Normal data, okänd varians - visualisera priors Plotta priors för µ och σ för att plotta dina antaganden apriori. Plotta data y för att se vad dina priors ger för apriori information om antal kilometer per liter. 1 Dra många värden på µ och σ från priorfördelningarna. 2 Dra betingade värden y µ, σ 2 givet värdena i punkt 1. Verkar dina priors rimliga? Om inte, ändra priors för µ och σ tills du blir nöjd. Kontakta experter, t.ex. bilhandlare, bilverkstäder, bilföreningar, etc., om du behöver hjälp med att elicitera en rimlig prior. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 8 / 29
9 Normal data, okänd varians - kvadratisk approximation Kvadratisk approximation med funktionen map i R-paketet rethinking, se R-koden Kod_Moment2.R. Problem med kvadratisk approximation för σ, eftersom standardavvikelse- eller variansparametrar har en tendens att vara skeva åt höger. Lösning: kvadratisk approximation blir i bland bättre för ln σ. Marginell posteriorfördelning för σ bestäms genom att antilogaritmera posteriorfördelningen för ln σ: σ i = exp [(ln σ) i ], där i är den i:te samplade dragningen från respektive posteriorfördelning. Jämför posteriorfördelningarna för σ med respektive kvadratisk approximation för σ och ln σ. Om ln σ y 1,..., y n N(µ n, σ n ), så följer posteriorfördelningen för σ en log-normal fördelning med parametrar µ n och σ n. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 9 / 29
10 Normal data, okänd varians - posterior för nya obs. Posteriorn för ŷ i linjär regression utan förklaringsvariabler är posteriorn för medelvärdet µ. Posterior prediktiv fördelning för nya observationer ỹ givet data y 1,..., y n, p (ỹ y). Modellutvärdering med replikerade data (in-sample t): plotta p (ỹ y) genom att dra värden från posteriorfördelningen (µ, σ) y 1,..., y n : 1 Dra många värden på (µ, σ) från posteriorfördelningen. 2 Dra nya observationer ỹ från ỹ µ, σ 2 N(µ, σ 2 ) givet (µ, σ) i punkt 1. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 10 / 29
11 Normal data, okänd varians - posteriorn för µ, σ Även om µ och σ antas vara oberoende apriori, så tillåts dom vara beroende aposteriori. Funktion för kovariansen mellan µ och σ från posteriorn: vcov (). Korrelationsmatris: cov 2cor (). Dra posteriorvärden för µ och σ direkt från multivariat normalfördelning (kvadratisk approximation): mvrnorm (n = Nsamples, mu = coef (), Sigma = vcov ()) Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 11 / 29
12 Normal data, okänd varians - uniform prior p (µ, ln σ) Modell: Y 1,..., Y n µ, σ 2 iid N(µ, σ 2 ) Prior: p ( µ, σ 2) ( σ 2) 1 p ( µ σ 2) c p ( σ 2) ( σ 2) 1 Betingad posterior för µ σ 2 : p ( ) µ σ 2, y 1,..., y n p ( y 1,..., y n µ, σ 2) p ( µ σ 2) µ σ 2, y 1,..., y n N ( ȳ, σ 2 /n ) Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 12 / 29
13 Normal data, okänd varians - uniform prior Marginell posterior för σ 2 : p(σ 2 y 1,..., y n ) = p(µ, σ 2 y 1,..., y n ) dµ = p(y 1,..., y n µ, σ 2 ) p ( µ, σ 2) dµ = σ 2 y 1,..., y n Inv χ 2 (n 1, s 2 ), där s 2 är urvalsvariansen för data y 1,..., y n. Inv χ ( 2 n 1, s 2) är en skalad invers χ 2 fördelning: (n 1) s 2 y σ 2 1,..., y n χ 2 (n 1). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 13 / 29
14 Normal data, okänd varians - sampla från posteriorn Dra värden från posteriorfördelningen för σ 2 : 1 Dra ett värde f ( σ 2) = (n 1)s2 rchisq i R) σ 2 från χ 2 (n 1). (använd funktion 2 Beräkna det dragna värdet för σ 2, givet värdet f ( σ 2) i punkt 1, enligt: σ 2 = (n 1) s2 f (σ 2 ) 3 Upprepa denna procedur många gånger för att få många dragna värden från posteriorfördelningen för σ 2. Dra värden från den betingade posteriorfördelningen µ σ 2 : µ i σ 2 i, y 1,..., y n N(ȳ, σ 2 i /n), där i är den i:te samplade dragningen från respektive posteriorfördelning för σ 2 och µ σ 2. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 14 / 29
15 Enkel linjär regression Enkel linjär regression: Modellen kan skrivas som: y i = β 0 + β 1 x i + ɛ i ɛ i iid N ( 0, σ 2 ) Y 1,..., Y n µ i, σ 2 iid N(µi, σ 2 ) µ i = β 0 + β 1 x i, där parametrarna β 0, β 1 och variansen σ 2 är okända. Prior: p(β 0, β 1, σ) Om (β 0, β 1, σ) antas oberoende apriori (boken): p (β 0, β 1, σ) = p (β 0 ) p (β 1 ) p (σ). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 15 / 29
16 Enkel linjär regression - exempel Enkel linjär regressionsanalys med den beroende variabeln y = miles/(us) gallon för en bils bränsleförbrukning och förklaringsvariabeln x = vikt i ton för en bil. 1 miles/gallon motsvarar ungefär 0,43 kilometer per liter. Transformera om y till kilometer per liter. 1 pound motsvarar ungefär 0,45 kilo. Transformera om x till ton. Modell: Y 1,..., Y n µ i, σ 2 iid N(µ i, σ 2 ) µ i = β 0 + β 1 x i Oberoende priors för (β 0, β 1, σ): β 0 N ( 10, 10 2) β 1 N ( 5, 5 2) ln σ N (ln 10, (ln 2) 2) Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 16 / 29
17 Enkel linjär regression - posteriorresultat Kvadratisk approximation med funktionen map i R-paketet rethinking, se R-koden Kod_Moment2.R. Sammanfattning av posteriorn sker oftast genom att presentera tabeller och plottar över posteriorresultatet. Plottar av posteriorn ger oftast mer information om posteriorn än vad tabeller ger. All osäkerhet om olika kvantiteter i modellen kan plottas men inte återges i tabeller. Man kan ge mer viktning till tabeller när man blir mer van vid att tolka posteriorresultatet. Typisk tabell inkluderar posterior medelvärdet, standardavvikelsen och kredibilitetsintervall (t.ex % och 95.2 %). Oddset för positiv eller negativ lutning kan beräknas för lutningsparametern β 1. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 17 / 29
18 Enkel linjär regression - posteriorresultat Hög korrelation mellan interceptet β 0 och lutningen β 1 (r β0,β 1 = 0.957) kan medföra svårigheter att skatta modellen i mer komplicerade modeller med er förklaringsvariabler = Centrera eller standardisera förklaringsvariablerna. Om inte möjliga värden skiljer sig avsevärt mellan förklaringsvariablerna, så räcker det med centrering x c = x x. x x Annars är det bättre med standardisering x s = σ. X Skattade modeller med standardiserade förklaringsvariabler kan vara mer svårtolkade, men man kan konvertera tillbaka till estimationsresultat på originalskala för förklaringsvariablerna. Fördelen med standardiserade förklaringsvariabler är att man kan jämföra magnituderna på lutningsparametrarna för förklaringsvariablerna, eftersom förklaringsvariablernas värden är standardiserade till samma skala. Viktigt om mycket blir signikant pga mycket data. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 18 / 29
19 Enkel linjär regression - posteriorresultat Plotta den skattade regressionslinjen från map (maximum a posteriori) skattningarna. Alla regressionslinjer från alla posteriordragningar för β 0 och β 1 kan plottas enligt: µ ij = β 0j + β 1j x i, där i gäller för observation i och j är den j:te samplade dragningen från posteriorfördelningen för (β 0, β 1 ). Posteriorfördelningen för förväntad bensinförbrukning för en bil med vikt 1.5 ton (motsvarande vikt för x 0 ): µ 1500, j = β 0j + β 1j x 0, där j är den j:te samplade dragningen från posteriorfördelningen för (β 0, β 1 ). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 19 / 29
20 Enkel linjär regression - posteriorintervall för y och ŷ Posteriorfördelningen för förväntad bensinförbrukning för alla möjliga bilar som väger mellan 0.8 och 2.4 ton. Kredibilitetsintervall för ŷ i = kredibilitetsintervall för µ i som funktion av olika bilvikter x i en gur. Prediktionsintervall för y i som funktion av olika bilvikter x i en gur. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 20 / 29
21 Bayesiansk förklaringsgrad Beräkna den klassiska förklaringsgraden för varje samplat värde s från posteriorn: Rs 2 = SSR s SST = n i=1 (ŷ is ȳ) 2 n i=1 (y i ȳ) 2 Gelman et al (2017) argumenterar för att en alternativ förklaringsgrad är bättre, eftersom förklaringsgraden ovan kan leda till R 2 > 1 vid lite data och informativa priorfördelningar, se följande dokument: gelman/ research/unpublished/bayes_r2.pdf Alternativ Bayesiansk förklaringsgrad: Bayesian R 2 s = SSR s SSR s + SSE s = n i=1 (ŷ is ȳ) 2 n i=1 (ŷ is ȳ) 2 + n i=1 (y i ŷ is ) 2 Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 21 / 29
22 Bayesiansk residualanalys Ej standard med residualanalys i Bayesiansk statistik. Val av modell är subjektivt och det är mer vanligt att utvärdera konkurrerande modeller mot varandra utifrån två huvuddrag: 1 hur bra är modellen på att replikera data (in-sample t) 2 hur bra prediktionsförmåga har modellen (out-of sample t). Om residualanalys används, så kan den utvärderas på vanligt sätt. Obs! För varje observation i data har man en posteriorfördelning över residualen för denna observation: r is = y i ŷ is för varje samplat värde s. Plotta residualerna mot µ för att undersöka om det är konstant variation σ kring µ. Undersök även här hur bra det linjära antagandet verkar vara för hur µ är länkat till förklaringsvariabler. Undersök om residualerna är normalfördelade med histogram. Undersök om residualerna verkar vara beroende av varandra över observationsordning. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 22 / 29
23 Multipel linjär regression - utvärdera posteriorn för (β, σ) I stort sett alla posteriorutvärderingar kan göras för den multipla linjära regressionsmodellen som för den enkla linjära regressionsmodellen, dvs 1 Tabeller över posteriorresultat för respektive parameters marginella posteriorfördelning, t.ex. medelvärde, standardavvikelse och kredibilitetsintervall. 2 Visualisering av marginella posteriorfördelningen för varje lutningsparameter. Inte viktigt vid kvadratisk approximation eller i fall där posteriorn är lik en multivariat normalfördelning. Fokusera på vissa marginella posteriorfördelningar som visar något avvikande. 3 Oddset för positiv eller negativ lutning kan beräknas för respektive lutningsparametern β j till en förklaringsvariabel j. 4 Visualisering av bivariata posteriorfördelningar kan vara intressant för att undersöka hur eekten från två förklaringsvariabler samvarierar. Contour plots är vanligt. 5 Parametrarnas korrelationsmatris kan redovisas. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 23 / 29
24 Multipel linjär regression - utvärdera posteriorn för ỹ och ŷ I stort sett alla posteriorutvärderingar kan göras för den multipla linjära regressionsmodellen som för den enkla linjära regressionsmodellen, dvs 1 Posteriorfördelningen för µ kan redovisas för specika värden på vektorn med förklaringsvariabler x. 2 Prediktionsintervall och den prediktiva fördelningen för y kan redovisas för specika värden på vektorn med förklaringsvariabler x. 3 Replikering av data kan jämföras med faktiska data för modellutvärdering. (in-sample t) 4 Prediktioner för nya värden kan redovisas från den prediktiva fördelningen p (ỹ y). Den prediktiva förmågan kan utvärderas mellan modeller utifrån olika prediktionsmått. (out-of sample t) 5 Och mycket annat... Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 24 / 29
25 Multipel linjär regression - exempel Multipel linjär regressionsanalys med beroende variabel y = miles/(us) gallon för en bils bränsleförbrukning x 1 = manuell växellåda (=1) x 2 = vikt i ton x 3 = antal hästkrafter x 4 = tid i sek på en kvarts mile x 5 = antal framåtväxlar 1 miles/gallon motsvarar ungefär 0,43 kilometer per liter. Transformera om y till kilometer per liter. 1 pound motsvarar ungefär 0,45 kilo. Transformera om x 1 till ton. Standardisera alla förklaringsvariabler förutom dummyvariabeln x 1. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 25 / 29
26 Multipel linjär regression - exempel Modell: Y 1,..., Y n µ i, σ 2 iid N(µi, σ 2 ) µ i = β 0 + β 1 x 1i + β 2 x 2i + β 1 x 3i + β 2 x 4i + β 1 x 5i = βx i, där variansen σ 2 är okänd och med vektorn av förklaringsvariabler som x i = (1 x 1i... x ki ) för observation i samt vektorn med parametrar β = (β 0 β 1... β k ). Om β och σ antas oberoende apriori (boken): p (β, σ) = k j=0 p (β j ) p (σ). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 26 / 29
27 Multipel linjär regression - uniform prior p (β, σ 2 ) Modell: Y 1,..., Y n µ, σ 2 iid N(µ, σ 2 ) µ = βx Prior: Betingad posterior: p ( β, σ 2) ( σ 2) 1 p ( β σ 2) c p ( σ 2) ( σ 2) 1 β σ 2, y, X N ( ˆβ, Vβ σ 2 ), ˆβ = ( X ) 1 X X y V β = ( X ) 1 X, där X är en n k matris med förklaringsvariabler. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 27 / 29
28 Multipel linjär regression - uniform prior p (β, σ 2 ) Marginell posterior för σ 2 x, y : där s 2 = (y x β ) (y x β ) n k σ 2 y Inv χ 2 (n k, s 2 ), Inv χ 2 ( n k, s 2) är en skalad invers χ 2 fördelning: (n k) s 2 σ 2 y χ 2 (n k). Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 28 / 29
29 Multipel linjär regression - uniform prior: posterior samples Dra värden från posteriorfördelningen för σ 2 : 1 Dra ett värde f ( σ 2) = (n k)s2 rchisq i R) σ 2 från χ 2 (n k). (använd funktion 2 Beräkna det dragna värdet för σ 2, givet värdet f ( σ 2) i punkt 1, enligt: σ 2 = (n k) s2 f (σ 2 ) 3 Upprepa denna procedur många gånger för att få många dragna värden från posteriorfördelningen för σ 2. Dra värden från den betingade posteriorfördelningen β σ 2, y, X : ( ) β i σi 2, y, X N ˆβ, Vβ σi 2, där i är den i:te samplade dragningen från respektive posteriorfördelning för σ 2 X, y och β σ 2, y, X. Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 29 / 29
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 3 - Överanpassade modeller, regularisering, informationskriterium, modelljämförelse, Markov chain Monte Carlo (MCMC) Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris
Läs merBayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 4 - Logistisk regression, Binomialregression, Poissonregression, Multilevelmodeller Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA,
Läs merBayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp
Bayesiansk statistik, 732g43, 7.5 hp Moment 1 Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, LiU) Bayesiansk statistik 1 / 43 Översikt moment 1: introduktion till Bayesiansk statistik
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 1, kap Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20
732G71 Statistik B Föreläsning 1, kap. 3.1-3.7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 20 Exempel, enkel linjär regressionsanalys Ett företag vill veta
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 7. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29
732G71 Statistik B Föreläsning 7 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 29 Detaljhandelns försäljning (fasta priser, kalenderkorrigerat) Bertil Wegmann
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F4
Regressions- och Tidsserieanalys - F4 Modellbygge och residualanalys. Kap 5.1-5.4 (t.o.m. halva s 257), ej C-statistic s 23. Linda Wänström Linköpings universitet Wänström (Linköpings universitet) F4 1
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Trunkerade data och Tobitregression Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 10, 2015 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Trunkerade data
Läs merF13 Regression och problemlösning
1/18 F13 Regression och problemlösning Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/3 2013 2/18 Regression Vi studerar hur en variabel y beror på en variabel x. Vår modell
Läs merPrediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval
Läs merFöreläsning 2. Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5,2 5,3
Föreläsning Kap 3,7-3,8 4,1-4,6 5, 5,3 1 Kap 3,7 och 3,8 Hur bra är modellen som vi har anpassat? Vi bedömer modellen med hjälp av ett antal kriterier: visuell bedömning, om möjligt F-test, signifikanstest
Läs merFöreläsning 12: Linjär regression
Föreläsning 12: Linjär regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 4, 2017 Exempel Vi vill undersöka hur ett ämnes specifika värmeskapacitet (ämnets förmåga att magasinera
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 8. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 23
732G71 Statistik B Föreläsning 8 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning Klassisk komponentuppdelning bygger på en intuitiv
Läs merTAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval
TAMS65 - Föreläsning 11 Regressionsanalys fortsättning Modellval Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Repetition (t-test för H 0 : β i = 0) Residualanalys Modellval Framåtvalsprincipen
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet November 4, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F1 November 4, 2013 1 / 25 Statistik B, 8 hp
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 28, 2012 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 28, 2012
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 12, 2013 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 12, 2013
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F1
Regressions- och Tidsserieanalys - F1 Kap 3: Enkel linjär regression Linda Wänström Linköpings universitet May 4, 2015 Wänström (Linköpings universitet) F1 May 4, 2015 1 / 25 Regressions- och tidsserieanalys,
Läs merFöreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012
Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår
Läs merStatistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1
Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data Bertil Wegmann Avdelning statistik, IDA, Linköpings universitet November 18, 2016 Bertil Wegmann (statistik, LiU) Kategoriska data November 18, 2016
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 3. Bertil Wegmann. November 4, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 3 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 4, 2015 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 4, 2015 1 / 22 Kap. 4.8, interaktionsvariabler Ibland
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 22 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 22 augusti 2008 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312, hus
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs meroberoende av varandra så observationerna är
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 1, 1-5-7 REGRESSION (repetition) Vi har mätningarna ( 1, 1 ),..., ( n, n
Läs merSTATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA
STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys
Läs merFMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 9,
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 9, 8-5-4 EXEMPEL: Hur mycket kunder förlorar vi om vi höjer biljettpriset?
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merStatistisk analys av komplexa data
Statistisk analys av komplexa data Kategoriska data, ht 2017 Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (STIMA, IDA, LiU) Kategoriska data 1 / 28 Översikt kategoriska data Kategoriska
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merLaboration 2: Styrkefunktion samt Regression
Lunds Tekniska Högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 2 Styrkefunktion & Regression FMSF70&MASB02, HT19 Laboration 2: Styrkefunktion samt Regression Syfte Styrkefunktion Syftet med dagens
Läs merFöreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens
Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 12, 2014 Oberoende stickprov Vi antar att vi har två oberoende stickprov n 1 observationer
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F3
Regressions- och Tidsserieanalys - F3 Multipel regressionsanalys kap 4.8-4.10 Linda Wänström Linköpings universitet 7 maj Wänström (Linköpings universitet) F3 7 maj 1 / 26 Lite som vi inte hann med när
Läs merMatematisk statistik kompletterande projekt, FMSF25 Övning om regression
Lunds tekniska högskola, Matematikcentrum, Matematisk statistik Matematisk statistik kompletterande projekt, FMSF Övning om regression Denna övningslapp behandlar regression och är tänkt som förberedelse
Läs mer1/23 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet
1/23 REGRESSIONSANALYS F4 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/23 Multipel regressionsanalys Multipel regressionsanalys kan ses som en utvidgning av enkel linjär regressionsanalys.
Läs mer10.1 Enkel linjär regression
Exempel: Hur mycket dragkraft behövs för att en halvledare skall lossna från sin sockel vid olika längder på halvledarens ben. De halvledare vi betraktar är av samma storlek (bortsett benlängden). 70 Scatterplot
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs mer1 Förberedelseuppgifter
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMS086 & MASB02 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: bli
Läs merMatematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10. Laboration. Regressionsanalys (Sambandsanalys)
Matematikcentrum 1(4) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 HT10 Laboration Regressionsanalys (Sambandsanalys) Grupp A: 2010-11-24, 13.15 15.00 Grupp B: 2010-11-24, 15.15 17.00 Grupp C: 2010-11-25,
Läs merMatematisk statistik, Föreläsning 5
Matematisk statistik, Föreläsning 5 Ove Edlund LTU 2011-12-09 Ove Edlund (LTU) Matematisk statistik, Föreläsning 5 2011-12-09 1 / 25 Laboration 4 Jobba i grupper med storlek 2 Ove Edlund (LTU) Matematisk
Läs merLaboration 2 multipel linjär regression
Laboration 2 multipel linjär regression I denna datorövning skall ni 1. analysera data enligt en multipel regressionsmodell, dvs. inkludera flera förklarande variabler i en regressionsmodell 2. studera
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F7
Regressions- och Tidsserieanalys - F7 Tidsserieregression, kap 6.1-6.4 Linda Wänström Linköpings universitet November 25 Wänström (Linköpings universitet) F7 November 25 1 / 28 Tidsserieregressionsanalys
Läs merFinansiell statistik. Multipel regression. 4 maj 2011
Finansiell statistik Föreläsning 4 Multipel regression Jörgen Säve-Söderbergh 4 maj 2011 Samband mellan variabler Vi människor misstänker ofta att det finns många variabler som påverkar den variabel vi
Läs merTentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp. Exempeltenta 4
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för hållbar samhälls- och teknikutveckling Statistik Tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA001, 15 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare (Formelsamling bifogas
Läs merFöreläsning 8. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 8 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Enkel linjär regression (kap 17.1 17.5) o Skatta regressionslinje (kap 17.2) o Signifikant lutning? (kap 17.3, 17.5a) o Förklaringsgrad
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merEtt A4-blad med egna handskrivna anteckningar (båda sidor) samt räknedosa.
Tentamen Linköpings universitet, Institutionen för datavetenskap, Statistik Kurskod och namn: Datum och tid: Jourhavande lärare: Tillåtna hjälpmedel: 732G71 Statistik B 2016-12-13, 8-12 Bertil Wegmann
Läs merBild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II
Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I
Läs merPreliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet
Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merMVE051/MSG Föreläsning 14
MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 17 februari
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 17 februari 2010 9 14 Examinator: Anders Björkström, tel. 16 45 54, bjorks@math.su.se Återlämning: Rum 312,
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-10-12 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merResidualanalys. Finansiell statistik, vt-05. Normalfördelade? Normalfördelade? För modellen
Residualanalys För modellen Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F7 regressionsanalys antog vi att ε, ε,..., ε är oberoende likafördelade N(,σ Då
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 9. Bertil Wegmann. December 1, IDA, Linköpings universitet
732G71 Statistik B Föreläsning 9 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet December 1, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B December 1, 2016 1 / 20 Metoder för att analysera tidsserier Tidsserieregression
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merSpridningsdiagram (scatterplot) Fler exempel. Korrelation (forts.) Korrelation. Enkel linjär regression. Enkel linjär regression (forts.
Spridningsdiagram (scatterplot) En scatterplot som visar par av observationer: reklamkostnader på -aeln and försäljning på -aeln ScatterplotofAdvertising Ependitures ()andsales () 4 Fler eempel Notera:
Läs merDel 2 tillsammans med förberedelsefrågor - tid för inlämning och återlämning meddelas senare.
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen VT 2009 Tatjana Pavlenko och Bertil Wegmann OBLIGATORISK INLÄMNINGSUPPGIFT STATISTISK TEORI, GK 10 och GK 20:2, heltid, VT 2009 Den obligatoriska inlämningsuppgiften,
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med det i praktiken kanske viktigaste området inom kursen nämligen
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 6 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 6: Regression Syftet med den här laborationen är att du skall bli
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 15: Multipel linjär regression Anna Lindgren 28+29 november, 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F15: multipel regression 1/22 Linjär regression
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-08-15 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merTAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys
TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Problem 1 PS29 Vid ett test av bromsarna på en bil bromsades bilen upprepade gånger från en hastighet
Läs merFormler och tabeller till kursen MSG830
Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)
Läs merFiloson bakom Bayesiansk statistik med tillämpningar inom hjärnavbildning och budgivningar på ebay
Filoson bakom Bayesiansk statistik med tillämpningar inom hjärnavbildning och budgivningar på ebay Bertil Wegmann STIMA, IDA, Linköpings universitet October 5, 2017 Bertil Wegmann, STIMA, IDA, LiU Bayesiansk
Läs merMetod och teori. Statistik för naturvetare Umeå universitet
Statistik för naturvetare -6-8 Metod och teori Uppgift Uppgiften är att undersöka hur hjärtfrekvensen hos en person påverkas av dennes kroppstemperatur. Detta görs genom enkel linjär regression. Låt signifikansnivån
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Linjär Regression Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Linjär Regression y i y 5 y 3 mätvärden x i, y i y 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 6 x
Läs merLABORATION 3 - Regressionsanalys
Institutionen för teknikvetenskap och matematik S0001M Matematisk statistik LABORATION 3 - Regressionsanalys I denna laboration ska du lösa ett antal uppgifter i regressionsanalys med hjälp av statistik-programmet
Läs merRegressionsanalys av lägenhetspriser i Spånga
Regressionsanalys av lägenhetspriser i Spånga Mahamed Saeid Ali Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2016:11 Matematisk statistik Juni 2016
Läs merTentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober 2017 9 14 Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/672 12 18, ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida
Läs merLösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Lösningsförslag till tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp Fredagen den 13 e mars 015 1 a 13 och 14
Läs merGör uppgift 6.10 i arbetsmaterialet (ingår på övningen 16 maj). För 10 torskar har vi värden på variablerna Längd (cm) och Ålder (år).
Matematikcentrum Matematisk statistik MASB11: BIOSTATISTISK GRUNDKURS DATORLABORATION 4, 21 MAJ 2018 REGRESSION OCH FORTSÄTTNING PÅ MINIPROJEKT II Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska bekanta
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2013-08-27 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson och
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merLABORATION 3 - Regressionsanalys
Institutionen för teknikvetenskap och matematik S0001M Matematisk statistik, LP1, HT 2015, Adam Jonsson LABORATION 3 - Regressionsanalys I denna laboration ska du lösa ett antal uppgifter i enkel regressionsanalys
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merFöreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer
Läs merTENTAMEN GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER
Statistiska institutionen Frank Miller Dan Hedlin Skrivtid: 09.00-14.00 TENTAMEN GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2014-03-21 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade tabeller
Läs merFöreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression
Föreläsning 15, FMSF45 Multipel linjär regression Stas Volkov 2017-11-28 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F15 1/23 Linjär regression Vi har n st par av mätvärden (x i, y i ), i = 1,..., n
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merRättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:
Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F3
Regressions- och Tidsserieanalys - F3 Multipel regressionsanalys kap 4.8-4.10 Linda Wänström Linköpings universitet November 6, 2013 Wänström (Linköpings universitet) F3 November 6, 2013 1 / 22 Interaktion
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merThomas Önskog 28/
Föreläsning 0 Thomas Önskog 8/ 07 Konfidensintervall På förra föreläsningen undersökte vi hur vi från ett stickprov x,, x n från en fördelning med okända parametrar kan uppskatta parametrarnas värden Detta
Läs merF12 Regression. Måns Thulin. Uppsala universitet Statistik för ingenjörer 28/ /24
1/24 F12 Regression Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/2 2013 2/24 Dagens föreläsning Linjära regressionsmodeller Stokastisk modell Linjeanpassning och skattningar
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs merF11. Kvantitativa prognostekniker
F11 Kvantitativa prognostekniker samt repetition av kursen Kvantitativa prognostekniker Vi har gjort flera prognoser under kursen Prognoser baseras på antagandet att historien upprepar sig Trenden följer
Läs merTAMS65 DATORÖVNING 2
TAMS65 DATORÖVNING 2 Datorövningen behandlar multipel linjär regression Förberedelser Läs allmänt om regressionsanalys i boken och på föreläsningsanteckningarna Glöm inte att rensa minnet och alla fönster
Läs merRegressions- och Tidsserieanalys - F8
Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning
Läs merLycka till!
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B1503 STATISTIK MED FÖRSÖKSPLANERING FÖR K OCH B MÅNDAGEN DEN 25 AUGUSTI 2003 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 790 7416. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merMultipel Regressionsmodellen
Multipel Regressionsmodellen Koefficienterna i multipel regression skattas från ett stickprov enligt: Multipel Regressionsmodell med k förklarande variabler: Skattad (predicerad) Värde på y y ˆ = b + b
Läs merFöreläsning 9: Linjär regression del II
Föreläsning 9: Linjär regression del II Johan Thim (johan.thim@liu.se) 29 september 2018 No tears, please. It s a waste of good suffering. Pinhead Vi fixerar en vektor u T = (1 u 1 u 2 u k ), där u i kommer
Läs mer732G71 Statistik B. Föreläsning 6. Bertil Wegmann. IDA, Linköpings universitet. Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 15
732G71 Statistik B Föreläsning 6 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B 1 / 15 Efterfrågeanalys Metoder för att studera sambandet mellan efterfrågan på
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs merREGRESSIONSANALYS. Martin Singull
REGRESSIONSANALYS Martin Singull 16 april 2018 Innehåll 1 Beroendemått och stokastiska vektorer 4 1.1 Beroendemått........................................... 4 1.2 Stokastiska vektorer.......................................
Läs merLaboration 4 R-versionen
Matematikcentrum 1(5) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 VT13, lp3 Laboration 4 R-versionen Regressionsanalys 2013-03-07 Syftet med laborationen är att vi skall bekanta oss med lite av de funktioner
Läs merKorrelation kausalitet. ˆ Y =bx +a KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION
KAPITEL 6: LINEAR REGRESSION: PREDICTION Prediktion att estimera "poäng" på en variabel (Y), kriteriet, på basis av kunskap om "poäng" på en annan variabel (X), prediktorn. Prediktion heter med ett annat
Läs merF7 Polynomregression och Dummyvariabler
F7 Polnomregression och Dummvariabler Antag att man börjar med enkel linjär regression. Kap Polnomregression Emellanåt upptäcker man samband som är kvadratiska, kubiska osv. Allmänt: polnom av k:te ordningen
Läs mer