För betyget GODKÄND krävs preliminärt minst 28 poäng. För betyget VÄL GOD- KÄND krävs preliminärt minst 43 poäng.

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson Skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment 1, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen 2: Regressionsanalys Måndagen den 25 oktober LÄS DESSA ANVISNINGAR INNAN NI BÖRJAR! Tentamenbeståravfemfrågormeddeluppgifter. Totaltkanmanfå50poäng. Föratt erhålla full utdelning krävs motiverade och fullständigt redovisade lösningar. De som har genomfört och fått godkänt på den frivilliga inlämningsuppgiften får 5 extrapoäng, motsvarande % av maxpoängen. Detta medför att maxpoängen kan bli 55 poäng. För betyget GODKÄND krävs preliminärt minst 28 poäng. För betyget VÄL GOD- KÄND krävs preliminärt minst 43 poäng. Alla hjälpmedel är tillåtna utom att ta hjälp av andra personer, du skall lösa uppgifterna på egen hand. Bifogat finner du en försäkran där du skall intyga att du har löst uppgifterna på egen hand och utan hjälp av andra. Denna skall undertecknas och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Redovisa lösningarna till varje uppgift på separata A4-ark. Deluppgifter redovisas dock påsammaark. Behövsfleränettarkförenuppgifthäftasdessaihop. Häftainteihop redovisningarna till flera olika uppgifter! Skriv ditt namn överst på varje ark. SKRIV TYDLIGT OCH LÄSBART! Fyll i dina personuppgifter på det bifogade försättshäftet. Skriv under försäkran och lägg det tillsammans med dina lösningar i försättshäftet. Markera även vilka uppgifter sombehandlats. Detgårbraattläggahelabunteniettkuvert. Tentamen och försäkran skall lämnas in i samband med undervisningen fredagen den 29 oktober kl , på studentexpeditionen i Hus B, plan 7, rum 724. Lägg inte lösningarna i brevlådan mitt emot hissarna! Återlämning och tentamensgenomgång äger rum måndagen den 8 november vid en ännu inte bestämd tidpunkt, återkommer om detta! Jag är tillgänglig för frågor under tisdagen den 26 oktober kl och , ihusb,plan7,rum790. Detgårocksåbraattringapåtel ,ellerskicka e-post till Michael.Carlson@stat.su.se. LYCKA TILL!

2 1. Din uppdragsgivare kan inte mycket om statistik och vill att du ska förklara några olika begrepp. Menhanärenotåligpersonsomharontomtidochvillhasnabbaochkonkreta förklaringar. För var och en av deluppgifterna nedan ska du alltså ge ett kortfattat svar, ingauppsatser. Begränsaertillmax200ordperuppgift(omduskrivermerslutarhan läsa och frågar någon annan). Använd gärna ordbehandlare eller skrivmaskin. Om du behöver skriva formler eller göra enkla illustrationer kan du alltid göra detta för hand. (a) (2p) Vad är konfidensband och prediktionsband i enkel linjär regressionsanalys och vad är skillnaden mellan dessa begrepp? Var är banden som smalast? (b) (2p) Man talar talar ofta om två typer av ovanliga observationer. Redogör för dessa - gärna med enkla diagram- och ange hur man kan identifiera sådana observationer. (c) (2p) Vad är dummyvariabler för något och när använder man det? Hur många behöver man? (d) (2p) Förklara begreppet multikollinearitet och förkortningen VIF. Varför är multikollinearitet ett problem? 2. Följande datamaterial har samlats in: i X Y Obs! Uppgifterna nedan ska utföras för hand men du kan använda Minitab eller något annat program för att kontrollera dina beräkningar och för att framställa diagram. (a) (3p) Skatta den enkla linjära regressionsmodellen med X som oberoende variabel och Y som beroende variabel. Beräkna även standardfelen för dina parameterskattningar. Sammanfatta sedan dina resultat i en sammanställning liknande Minitabs eller SAS s utskrifter tillsammans med en ANOVA-tablå. Sammanfatta sedan slutresultaten för sig och beräkningarna för sig, tex i en bilaga till uppgiften. (b) (2p) Vad är din slutsats beträffande den skattade modellen? Genomför ett lämpligt test på signifikansnivå α = Ange noll- och mothypotes samt testvariabel och dess fördelning. (c) (2p) Utgå ifrån den enkla linjära regressionsmodellen och låt r beteckna den sedvanliga korrelationskoefficienten. Visa med hjälp av formler ur kurslitteraturen att ˆβ 1 = r n 2 Sˆβ1 1 r 2 Ledning:AnvändattS 2 Y =SST/(n 1)ochattS 2 Y X =SSE/(n 2). (d) (2p) Beräkna korrelationskoefficienten r mellan X och Y och bilda ett 95% konfidensintervall för ρ. Beskriv sambandet mellan konfidensintervallet och testet i (b)-uppgiften ovan. 2

3 (e) (2p) Beräkna på nytt korrelationskoefficienten r mellan X och Y och bilda ett 95% konfidensintervall för ρ men utelämna nu observation nummer 11. Förklara också vad som skulle hända om du genomförde en ny regressionsanalys med denna observation borttagen med avseende på ett test motsvarande den i(b)-uppgiften. (f) (1p) Åskådliggör observationerna i ett diagram och försök förklara resultaten i(d) och(e). (g) (2p) I tabellen nedan finns för varje observation två diagnostiska mått angivna som är framräknade från den fullständiga analysen med samtliga observationer i (a) ovan. Förklara hur de är definierade och analysera sedan siffrorna. Standardiserade Leveragemått i residualer,z i h i I USA försökte man förklara variationen i brottslighet mellan de olika delstaterna med hjälp av en multipel linjär regressionsmodell. Ett antal olika brottsrelaterade och demografiska variabler avseende 47 delstater i USA under året 1960 inhämtades från FBI s Uniform Crime Report och från andra offentliga myndigheter varefter en regressionsanalys genomfördes. I bilagan hittar du en beskrivning av de olika variablerna samt en ofullständig ANOVA-tablå som erhölls vid körningen. Kommentar: När du redovisar dina svar ska i förekommande fall noll- och mothypotes samt testvariabel och dess fördelning anges. Använd genomgående signifikansnivån α=0.05. IbilaganfinnsävenenutökadtabellmedkritiskavärdenförF-fördelningen. (a) (2p)Beräknaochfyllidetiovärdensomsaknasiutskriften. Glöminteattkontrollera att dina svar är konsistenta, dvs att du inte har fått motsägelsefulla resultat. Glöm inte att inte redovisa beräkningarna. (b) (2p) Man vill testa om modellen som helhet fungerar. Vad kan du meddela för slutsats? (c) (2p) Man vill testa om Age tillför något till modellen, givet att Ex0, X och Ed redanärmedimodellen. Vadkandumeddelaförslutsats? (d) (2p) Man vill testa om Ed, Age och U2 tillsammans tillför något till modellen, givetattex0ochx redanärmedimodellen. Vadkandumeddelaförslutsats? (e) (2p)ManvilltestaomX tillförnågottillmodellen,givetattalla deandraredan ärmedimodellen. Vadkandumeddelaförslutsats? 3

4 (f) (2p) Vartefter de fem förklaringsvariabler kommer in i modellen ska ju förklaringsgradenr 2 öka. BeräknaR 2 förvarochenavdessafemmodellerna(dvsmodellen med endast Ex0 som prediktor, modellen med Ex0 och X som prediktorer, osv). (g) (2p) Det kausala sambandet mellan polismyndigheternas kostnader(ex0) och antalet anmälda brott (R) är inte helt klart här. Vad är det som påverkar vad? Resonera kortfattat(0-200 ord) kring orsakssambandet. 4. I bilagan återfinns utskrifter och diagram för tre olika modeller; Modell 1 är en enkel linjärmodellmedxsomprediktorochy somberoendevariabel;modell2ärenutökning avmodell1tillenkvadratiskmodell,dvsmedenx 2 -termtillagd;modell3ärocksåen kvadratisk modell men här har prediktorvariabel X först centrerats runt sitt medelvärde, dvsx c = ( X X ) ochx 2 c =( X X )2 ärförklaringsvariabler. Kommentar: Hela den här uppgiften ska besvaras på max ett A4-blad, dvs max två sidor. (a) (2p) Redogör för de modellantaganden som måste gälla för en linjär regressionsmodell. (b) (2p) Granska resultatutskrifterna och diagrammen och kommentera sedan varje modell utifrån antagandena. (c) (2p) Förklara kortfattat skillnaderna och likheterna mellan Modell 2 och Man vill predicera sannolikheten för högt blodtryck hos vuxna män med ledning av vikt och om personen röker eller inte. Definiera följande variabler: { 0 omlågtblodtryck Y = 1 om högt blodtryck X = personensviktikg { 0 ompersoneninteröker Z = 1 om personen röker En logistisk regressionsmodell har skattats och följande resultat erhölls: LogOdds(Y =1 X,Z) = X+1.181Z (a) (2p) Beräkna den skattade sannolikheten för högt blodtryck, dels för en person som väger80kgochrökerdelsförenpersonsomväger65kgochinteröker. (b) (2p) Beräkna det skattade oddset för högt blodtryck, dels för en person som väger 80kgochinterökerdelsförenpersonsomväger65kgochrökersamtgeentolkning av resultatet i ord. (c) (2p) Beräkna den skattade relativa förändringen i oddset för högt blodtryck om manökariviktmed20kgochbörjarröka. (d) (2p) Visa att den logistiska regressionsmodellen med en förklaringsvariabel har en lämplig värdemängd, dvs det som resulterar från modellen uppfyller de krav vi brukar ställa på sannolikheter. 4

5 Bilaga till uppgift 3 Variabel Förklaring (samtliga variabler gäller för 1960) R antal anmälda brott per 1 miljon invånare Age antal män i åldersgruppen per 00 invånare Ed genomsnittligt antal år i utbildning, personer i åldersgruppen 25-uppåt Ex0 polismyndigheternas kostnader (anslag) per capita U2 antal arbetslösa män per 00 i åldersgruppen X antal familjer per 00 med inkomst lägre än halva medianinkomsten Källa: Regression Analysis: R versus Ex0; X; Ed; Age; U2 The regression equation is R = ,23 Ex0 + 0,635 X + 2,03 Ed + 1,02 Age + 0,914 U2 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant -524,37 95,12-5,51 0,000 Ex0 1,2331 0,1416 8,71 0,000 1,8 X 0,6349 0,1468 4,32 0,000 3,5 Ed 2,0308 0,4742 4,28 0,000 2,9 Age 1,0198 0,3532 2,89 0,006 2,0 U2 0,9136 0,4341 2, 0,041 1,4 S =? R-Sq =? % R-Sq(adj) =? % Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression???? 0,000 Error??? Total Source DF Seq SS Ex X Ed Age U Unusual Observations Obs Ex0 R Fit SE Fit St Resid ,40 4,44 6,74 62,96 3,12R ,00 118,39 6,22-43,39-2,13R ,30 149,64 11,02-45,34-2,49R R denotes an observation with a large standardized residual.

6 Tabell. Kritiska gränser för F-fördelningen, α = 0.05 Frihetsgrader täljaren nämnaren : : : : : : : : : : : : : : Framtagen mha Minitab ver14

7 Bilaga till Uppgift 4 Modell 1) Regression Analysis: Y versus X The regression equation is Y = 24,1 + 1,54 X Predictor Coef SE Coef T P Constant 24,8 4,452 5,41 0,000 X 1,5436 0,4409 3,50 0,001 S = 6,89002 R-Sq = 22,2% R-Sq(adj) = 20,4% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 581,91 581,91 12,26 0,001 Error ,31 47,47 Total ,22 Unusual Observations Obs X Y Fit SE Fit St Resid 14 4,7 11,59 31,36 2,48-19,77-3,08R 18 14,1 31,85 45,83 2,14-13,99-2,14R 28 5,1 16,24 32,03 2,31-15,79-2,43R 38 14,0 31,58 45,72 2,11-14,14-2,15R R denotes an observation with a large standardized residual. Lack of fit test Possible curvature in variable X (P-Value = 0,000 ) Possible lack of fit at outer X-values (P-Value = 0,000) Overall lack of fit test is significant at P = 0,000 Plots for Y 99 Normal Probability Plot of the s s Versus the Fitted Values Percent Fitted Value Histogram of the s s Versus the Order of the Data Frequency Observation Order

8 Modell 2) Regression Analysis: Y versus X; X2 The regression equation is Y = - 63,5 + 20,7 X - 0,983 X2 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant -63,500 2,389-26,58 0,000 X 20,6593 0, ,26 0,000 45,9 X2-0, , ,60 0,000 45,9 S = 1,15426 R-Sq = 97,9% R-Sq(adj) = 97,8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,3 1283,6 963,46 0,000 Error 42 56,0 1,3 Total ,2 Source DF Seq SS X 1 581,9 X ,4 Unusual Observations Obs X Y Fit SE Fit St Resid 4,2 42,682 44,952 0,219-2,270-2,00R 14 4,7 11,587 11,857 0,654-0,270-0,28 X 19 13,4 39,814 36,769 0,379 3,045 2,79R 28 5,1 16,241 16,615 0,556-0,375-0,37 X R denotes an observation with a large standardized residual. X denotes an observation whose X value gives it large influence. No evidence of lack of fit (P >= 0,1). Plots for Y Normal Probability Plot of the s 99 3,0 s Versus the Fitted Values Percent ,5 0,0-1,5 1-3,0-1,5 0,0 1,5 3,0-3, Fitted Value Histogram of the s 3,0 s Versus the Order of the Data Frequency ,5 0,0-1,5 0-2,4-1,2 0,0 1,2 2,4-3, Observation Order

9 Modell 3) Regression Analysis: Y versus Xc; Xc2 The regression equation is Y = 44,6 + 1,35 Xc - 0,983 Xc2 Predictor Coef SE Coef T P VIF Constant 44,6085 0, ,15 0,000 Xc 1, , ,19 0,000 1,0 Xc2-0, , ,60 0,000 1,0 S = 1,15426 R-Sq = 97,9% R-Sq(adj) = 97,8% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,3 1283,6 963,46 0,000 Error 42 56,0 1,3 Total ,2 Source DF Seq SS Xc 1 581,9 Xc ,4 Unusual Observations Obs Xc Y Fit SE Fit St Resid 4 0,34 42,682 44,952 0,219-2,270-2,00R 14-5,13 11,587 11,857 0,654-0,270-0,28 X 19 3,59 39,814 36,769 0,379 3,045 2,79R 28-4,70 16,241 16,615 0,556-0,375-0,37 X R denotes an observation with a large standardized residual. X denotes an observation whose X value gives it large influence. No evidence of lack of fit (P >= 0,1). Percent Normal Probability Plot of the s Plots for Y s Versus the Fitted Values 3,0 1,5 0,0-1,5 1-3,0-1,5 0,0 1,5 3,0-3, Fitted Value Histogram of the s 3,0 s Versus the Order of the Data Frequency ,5 0,0-1,5 0-2,4-1,2 0,0 1,2 2,4-3, Observation Order

10 Fitted Line Plot Y = 24,11 + 1,544 X Regression 95% CI 95% PI S 6,89002 R-Sq 22,2% R-Sq(adj) 20,4% 40 Y X Fitted Line Plot Y = - 63, ,66 X - 0,9828 X**2 Regression 95% CI 95% PI S 1,15426 R-Sq 97,9% R-Sq(adj) 97,8% Y X Fitted Line Plot Y = 44,61 + 1,346 Xc - 0,9828 Xc**2 Regression 95% CI 95% PI S 1,15426 R-Sq 97,9% R-Sq(adj) 97,8% Y ,0-2,5 0,0 Xc 2,5 5,0

11 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment 1, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen 2: Regressionsanalys, 5 poäng Torsdagen den 30 september Se kurslitteraturen. 2. Enkel linjär regression: (a) Sammanfattning av resultaten: Regression Analysis: Y versus X The regression equation is Y = ,324 X Predictor Coef SE Coef T P Constant 213,72 79,42 2,69 0,025 X 0,3244 0,4332 0,75 0,473 S = 40,9968 R-Sq = 5,9% R-Sq(adj) = 0,0% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,56 0,473 Error Total Följande beräkningar behövs: dvs i X Y X 2 Y 2 XY Σ xi = 1992 x 2 i = xi y i = yi = 2997 y 2 i =832615

12 samt och SST = (y i ȳ) 2 = y 2 i ( y i ) 2 n = x = 1992/ x 2 s 2 x = i 1( x n i ) 2 = (1992) n MK-skattningar av regressionsparametrar: ˆβ 1 = n x i y i ( y i )( x i ) n x 2 i ( x i ) 2 ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x= yi n ˆβ 1 Givet parameterskattningar får man: och = xi n = i Ŷ =ˆβ 0 +ˆβ 1 X e=y Ŷ e Σ SSE = (y i ŷ) 2 = e 2 i SSR = SST SSE= =942.1 s 2 e=s 2 Y X= SSE n 2 = Standardfelen för parameterskattningarna: 1 = s sˆβ0 e n + x 2 1 = (n 1)s 2 x 11 + (1992/11) s e = = sˆβ1 s x n

13 (b) Hypotesprövning: H 0 :β 1 =0 mot H 1 :β 1 0 Testvariabel T = ˆβ 1 sˆβ1 t(9) underh 0 alternativt FörkastaH 0 om F = MSR MSE F(1,9) underh 0 T obs >t (9) = alternativt Man observerar resp F obs >F (1,9) 0.05 =5.12 T obs = <2.262 F obs = <5.12 VikaninteförkastaH 0 på5%-signifikansnivå,detverkarintefinnasettregressionssambandmellanx ochy. (c) Vi har från kurslitteraturen att samt vilket ger ˆβ 1 Sˆβ1 S y = ˆβ 1 = S y S x r och Sˆβ1 = SST n 1 S e S x n 1 och S y x =S e = = S yrs x n 1 = S y r n 1 = S x S e S e SST r n 1 n 2 = = SSE n 1 = r n 2 SSE SST = r n 2 1 SSR SST SSE n 2 SST n 2 n 1 SSE r n 1 SST SSE r n 2 = r n 2 1 R 2 = r n 2 1 r 2 vilket skulle visas. 3

14 (d) Korrelationskoefficienten r mellan X och Y : alternativt r = = n x i y i ( x i )( y i ) n x 2i ( x i ) 2 n y 2 i ( y i ) S x S x r=ˆβ 1 =ˆβ S 1 = y SST/(n 1) / och ett 95% konfidensintervall för ρ: L z = 1 ( ) 1+r 2 ln z 1 α/2 = 1 ( ) r n 3 2 ln = = och analogt vilket ger U z = = dvs L ρ = e2l Z 1 e 2L Z +1 = e2 ( ) 1 e 2 ( ) +1 = U ρ = e2u Z 1 e 2U Z +1 = e e = ( ; ) Observera att intervallet för ρ täcker 0 (noll) och att hypotesen H 0 : ρ = 0 inte skulle förkastas; detta test är helt ekvivalent med testen i(b) vilket visades i(c). (e) Korrelationskoefficienten r mellan X och Y utan observation nummer 11; vi behöver justera summorna i(a) enligt i=1 i=1 i=1 vilket ger x i = =1765 y i = =2796 i=1 i=1 x i y i = = r = = n x i y i ( x i )( y i ) n x 2i ( x i ) 2 n y 2 i ( y i ) 2 x 2 i = = y 2 i = =

15 och ett 95% konfidensintervall för ρ: L z = 1 ( ) 1+r 2 ln z 1 α/2 = 1 ( ) r n 3 2 ln = = och analogt vilket ger U z = = dvs L ρ = e2l Z 1 e 2L Z +1 = e e U ρ = e2u Z 1 e 2U Z +1 = e e ( ; ) Observera att intervallet för ρ inte täcker 0(noll), dvs om man testade motsvarande hypotesh 0 :ρ=0skulledennaförkastas. Eftersomdettatestärheltekvivalent medtesteni(b)vilketvisadesi(c)skullevimaoförkastahypotesenh 0 :β 1 =0. (f) Ett diagram Regr.linje utan obs.nr Y 260 Regr.linje med obs.nr Observation nr X Som man ser kommer obs.nr 11 få ett stort inflytande på skattningen av modellen; den kommer att dra ner linjen så att lutningen blir mindre samtidigt som den kommer att generera en stor residual vilket får betydelse för analysen(mse blir större). (Regressionslinjerna krävs inte för full poäng) (g) Standardiseraderesidualer,z i definieras z i = e i S e = y i ŷ i S e Som en enkel tumregel kan man(som Minitab) undersöka observationer med standardiserade residualer som är absolut större än ca 2(vilket motsvarar ungefär 5% 5

16 sannolikhet). I materialet finns tre sådana: observationer 8, och 11, speciellt nr 11harenväldigtstorresidual. Leveragemåttet,h i,definieras h i = 1 n + (x i x) 2 (n 1)s 2 x Omh i liggernäraettinnebärdettaattdeni:teobservationenhartvingatinmodellennästangenompunkten(x i,y i ).Enligttumregelnskamanseuppförobservationer där h i > 2(k+1) n ochviserattobservationnr. 11har = 2(1+1) 11 h 11 =0.4087> ochdärmedserutatthahaftettstortinflytandepåmodellen. 3. Multipel linjär regression: (a) Uppgifter som saknas: S = 21,3016 R-Sq = 72.96% R-Sq(adj) = 69,97% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression ,0 22,13 0,000 Error ,756 Total i. frånseqssdelenavutskrifitenfårman SSR = SSR(Ex0)+SSR(X Ex0)+SSR(Ed Ex0,X) +SSR(Age Ex0,X,Ed)+SSR(U2 Ex0,X,Ed,Age) = =50205 ii. SSE=SST SSR= =18604 iii. Fem prediktorer 5 frihetsgrader för SSR iv. n k 1=41frihetsgraderförSSE v. MSR= SSR = k 5 vi. MSE= SSE n k 1 = vii. F obs = 50205/ / viii. R 2 =0 SSR SSE =0 (1 SST SST) 72.96% =0 ( ) ix. Radj 2 1 SSE/(n k 1) 69.67% SST/(n 1) x. S= MSE=

17 (b) Overall F-test: Testvariabel är FörkastaH 0 om Man observerar F = MSR MSE = H 0 : β 1 =β 2 =β 3 =β 4 =β 5 =0 H 1 : minstenavβ j 0, j=1,...,5 SSR/k SSE/(n k 1) F(5,41) underh 0 F obs >F (5,41) 0.05 = F obs =22.129> Nollhypotesenförkastas,minstenavβ j,j=1,...,5,ärsignifikantskiljtfrånnoll, regressionsmodellen som helhet håller. (c) Partiellt F-test: Testvariabel är H 0 : β 4 =0 Ex0, X ochedärmedimodellen H 1 : β 4 0 Ex0, X ochedärmedimodellen F = MSR(Age Ex0,X,Ed) MSE(Ex0,X,Ed,Age) SSR(Age Ex0,X,Ed) = (SSE(Ex0,X,Ed,Age,U2)+SSR(U2 Ex0,X,Ed,Age)) / (n 5) F(1,42) underh 0 FörkastaH 0 om Man observerar F obs = F obs >F (1,42) 0.05 = ( ) /42 = > Nollhypotesen förkastas, givet att Ex0, X och Ed är med i modellen så är β 4 signifikant skiljt från noll, tillskottet från Age är signifikant. (d) Multipelt partiellt F-test: H 0 : β 3 =β 4 =β 5 =0 Ex0ochX ärmedimodellen H 1 : minstenavβ j 0, j=3,4,5 Ex0ochX ärmedimodellen Testvariabel är F = MSR(Ed,Age,U2 Ex0,X) MSE(Ex0,X,Ed,Age,U2) (SSR(Ed Ex0,X)+(Age Ex0,X,Ed)+SSR(U2 Ex0,X,Ed,Age)) /3 = SSE(Ex0,X,Ed,Age,U2) / (n 6) F(3,41) underh 0 7

18 FörkastaH 0 om F obs >F (3,41) 0.05 = Man observerar F obs = ( ) / /41 = > Nollhypotesenförkastas,givetattEx0ochXsåärminstenavβ 3,β 4,β 5 0,dvs det sammantagna tillskottet från Ed, Age och U2 är signifikant (e) Enkelt t-test: Testvariabel är H 0 : β 2 =0 Ex0, Ed, AgeochU2ärmedimodellen H 1 : β 2 0 Ex0, Ed, AgeochU2ärmedimodellen T = ˆβ 2 Sˆβ2 t(41) underh 0 FörkastaH 0 om Man observerar T obs >t (46) = F (1,46) 0.95 = = T obs = =4.3249> Nollhypotesen förkastas, β 2 är signifikant skiljt från noll givet att alla de övriga prediktorerna är med i modellen. (f) Förklaringsgraden R 2 för var och en av de fem modellerna. R 2 definieras som kvotenssr/sst.(nedanärr 2 indexeradfrån1till5ochavseralltsådefem modellerna.) i. ii. iii. R 2 1 = SSR(Ex0) SST R 2 2= SSR(Ex0)+SSR(X Ex0) SST = = =R = R 2 3 = SSR(Ex0)+SSR(X Ex0)+SSR(Ed Ex0,X) SST = R =

19 iv. v. R4 2 = SSR(Ex0,...,U2) SSR(U2 Ex0,X,Ed,Age) SST = = R 2 5 = SSR(Ex0,...,U2) SST = = (g) Det kausala sambandet mellan polismyndigheternas kostnader (Ex0) och antalet anmäldabrott(r)ärinteheltklarthär. Ärenhögbrottslighetorsakadavstörre anslag till polisen? Eller ökar anslagen till polismyndigheten när brottsligheten stiger? Nu var den beroende variablen definierad som antalet anmälda brott. Kan det finnas ett kausalt samband mellan allmänhetens benägenhet att faktiskt anmäla brott och polisens möjligheter att utreda det? 4. Jämförelser av modeller med och utan kvadratisk term: (a) Se kurslitteraturen. (b) Modell1somärenrenlinjärmodellserinteutattpassaallsbratilldatamaterialet. DettaframgårblaavettlågtR 2 (22.2%)ochävenavtestenislutetpåutskriften (Lack-of-fit-testen). Det finns starka tecken i residualerna på ett kvadratiskt samband mellan X och Y. Detta medför att residualerna inte heller ser ut att vara normalfördelade(probability-plotten och histogrammet). Det finns även svaga men inte oroande tecken på heteroskedasticitet, dvs ej lika varians. Modell 2 och 3 som bägge innehåller en kvadratisk term passar däremot mycket bratilldatamaterialet(r 2 =97.9%). ernaärhyfsatnormalfördelade,men de uppvisar däremot tydliga tecken på heteroskedasticitet med en ökande varians i Y förökandevärdenpåx. Det är omöjligt att utala sig om eventuella beroenden utan mer information om vad detärsommäts, hurdataharsamlatsinetc.. Detfinnsintehellernågratecken på att det sätt som observationerna är ordnade skulle tyda på några beroenden. (c) Modellerna2och3innehållerbådaenkvadratisktermmenimodell3harprediktorn först centrerats innan man har utökat med den kvadratiska termen. Detta medför att samtliga resultat i utskrifterna, så när som parameterskattningarna och variansinflationsfaktorerna (VIF), är identiska. Centreringen innebär helt enkelt attmanflyttary-axelntillsammanivåsom x,mengenomattgöradettaharman påintetsättpåverkatdetfunktionellasambandetmellanx ochy;styrkanisambandet är intakt. Det är relativt enkelt att visa hur parameterskattningarna för den ena kan användas för att härleda skattningarna för den andra, dvs ˆβ 0 =ˆγ 0 ˆγ 1 x+ˆγ 2 x 2 ˆβ 1 =ˆγ 1 2ˆγ 2 x ˆβ 2 =ˆγ 2 och ˆγ 0 =ˆβ 0 +ˆβ 1 x+ˆβ 2 x 2 ˆγ 1 =ˆβ 1 +2ˆβ 2 x ˆγ 2 =ˆβ 2 Notera att koefficienten för den kvadratiska termen är densamma i båda modellerna vilket kan bekräftas i utskrifterna. Genom att centrera först har dessutom VIF arna 9

20 kraftigtreduceratsvilketocksåärattvänta. MankanfrånVIFimodell2härleda korrelationenmellanx ochx 2 till r x,x 2=0989 vilket innebär multikollinearitet. Från modell 3 härleds istället korrelationen mellan X c = ( X X ) ochx 2 c =( X X )2 till r xc,x 2 c =0 Observera vidare att residualplottarna för modellerna 2 och 3 är identiska vilket de också ska vara. erna definieras ju som e i =y i ŷ i =y i ˆβ 0 ˆβ 1 x ˆβ 2 x 2 =y i ˆγ 0 ˆγ 1 (x x) ˆγ 2 (x x) 2 Skillnaden framgår i diagrammen Fitted Line Plot på sista sidan i respektive skalor på x-axlarna. 5. Logistisk regressionsmodell: (a) Respektive sannolikheter för högt blodtryck skattas till exp( ) P(Y =1 X=80,Z=1) = 1+exp( ) exp( 1.25) = 1+exp( 1.25) = = exp( ) P(Y =1 X=65,Z=0) = 1+exp( ) exp( 1.621) = 1+exp( 1.621) = = (b) Oddset för högt blodtryck, för respektive person, skattas till P(Y =1 X=80,Z=0) Odds(Y =1 X=80,Z=0) = P(Y =0 X=80,Z=0) = exp( ) = exp( 2.431)= P(Y =1 X=65,Z=1) Odds(Y =1 X=65,Z=1) = P(Y =0 X=65,Z=1) = exp( ) = exp( 0.44)= Det är respektive ggr vanligare att drabbas av högt blodtryck än att inte drabbas för respektive person.

21 (c) Denrelativaförändringenioddsetförhögtblodtryckommanökariviktmed20 kg och börjar röka skattas till Odds(Y =1 X=x+20,Z=1) OR = Odds(Y =1 X=x,Z=0) = exp( (x+20) ) exp( x ) = exp( x) exp( x) =exp(0.1)=1.628 (d) För exponentialfunktionen gäller att och Därmed gäller att och Ommanharatt lim w exp(w)>0 w R lim exp(w)=0 och lim exp(w)= w w exp(w) 1+exp(w) 0< exp(w) 1+exp(w) <1 exp(w) =0 och lim w 1+exp(w) =1 w=β 0 +β 1 x β k x k ochkoefficienternaβ 0,...β k allaärändliga(absolutmindreän )insermanatt Pr(Y =1 X 1 =x 1,...X k =x k )= exp(w) 1+exp(w) kommer att gå mellan 0 och 1 för olika val av prediktorvärden. Modellen uppfyller således kraven för sannolikhetsfunktioner. 11