Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012"

Transkript

1 Föreläsning 7 Stokastiska Processer och ARIMA Patrik Zetterberg 19 december / 22

2 Stokastiska processer Stokastiska processer är ett samlingsnamn för Sannolikhetsmodeller för olika tidsförlopp. Stokastisk=slumpmässig En sekvens av stokastiska variabler, X 1, X 2,... som är ordnade tidsmässigt efter t = 1, 2,... Stokastiska processer är vanliga inom ekonometrisk och finansiell analys då man studerar tidsseriers förändring med tiden och gör prognoser. Vi kan dela in de stokastiska processerna efter vissa kriterier: Processens värden kan vara kontinuerliga eller diskreta. Tiden för mätningarna kan vara kontinuerlig eller diskret. 2 / 22

3 Stokastiska processer i diskret tid Om tiden kan räknas upp som en serie klart separerade värden med lika avstånd mellan mätningarna har vi en stokastisk process i diskret tid. Ex. på mätningar av detta slag är år, månader, veckor, etc. I alla stokastiska processer i diskret tid finns ett beroende mellan de inkluderade stokastiska variablerna X 1, X 2, / 22

4 Stokastiska processer med kontinuerlig tid När tiden är kontinuerlig så har man all tid mellan alla tidpunkter hur nära de än är varandra! Man har så att säga all tid! Då säger man att man har en familj av stokastiska variabler {X (t), t T }. De stokastiska variablerna i familjen kan återigen vara diskreta eller kontinuerliga. Man pratar då om diskreta- respektive kontinuerliga stokastiska processer i kontinuerlig tid. Kontinuerlig tid motsvarar att man mäter hela tiden utan upphåll. Vi påminner: i alla stokastiska processer med kontinuerlig tid finns det ett beroende mellan två variabler X ti och X tj.

5 Stokastiska processer i kontinuerlig tid En analys av en process kan ses i flera steg: Kontinuerlig process Slutsatser om processen Mätningar på processen Skattar en modell När vi modellerar en kontinuerlig process har vi alltid diskreta data, men om mätintervallen är väldigt små kan vi ändå modellera observationerna som om de vore kontinuerliga. 5 / 22

6 Typologi för våra stokastiska processer Process\Tid Diskret Kontinuerlig Diskret Markovkedjor, slumpvandring Kontinuerlig ARIMA Brownsk rörelse

7 Diskret process i diskret tid

8 Diskret process i diskret tid

9 Kontinuerlig process i diskret tid

10 Kontinuerlig process i kontinuerlig tid

11 Reder ut begreppen Det är viktigt att vi håller tungan rätt i mun: Processen är en helt slumpmässig sekvens som vi aldrig kan förutse helt och hållet. Modellen vi skattar är vår bästa matematiska gissning för processens rörelser. En realisering är en simulering av en given process som används för att studera verkliga händelser vi inte kan få data på. Vi tänker oss att det för varje tidsserie finns en sann process som vi vill skatta så bra som möjligt. Bra skattningar bra prognoser. 6 / 22

12 ARIMA Vi kommer att lägga stort fokus på de kontinuerliga stokastiska processer uppmätta i diskret tid som kallas ARIMA (AutoRegrssive Integrated Moving Average): ARIMA är ett samlingsnamn för AR, MA, ARMA och ARIMA processer. ARIMA-modeller baseras på tidigare värden av en tidsserie Y t. Vi gör univariata prognoser. ARIMA är en av de mest använda prognosmetoderna och anpassas ofta på makroekonomiska datamaterial, t.ex. inflation, arbetslöshet, etc. 7 / 22

13 Vitt brus Det finns två stokastiska processer som är viktiga för förståelsen av ARIMA-modeller: - Vitt brus (White noise). Det är den enklaste av stokastiska processer. Y t = a t I ett vitt brus saknas mönster (dvs. ingen trend, säsong etc.). Det består av en följd av stokastiska variabler a t, som alla är sinsemellan oberoende (ingen korrelation!) och lika fördelade med väntevärde 0 och konstant varians σ 2. Om det vita bruset dessutom är normalfördelat, har vi vad som kallas Gaussiskt vitt brus. Processen används mycket sällan för prognoser, men är en viktig grundpelare för mer avancerade tidsseriemodeller.

14 Slumpvandring - Slumpvandring (Random Walk). Y t = Y t 1 + a t, där a t är vitt brus. Y t = Y t 1 + a t = (Y t 2 + a t 1 ) + a t = Y t 2 + a t 1 + a t = (Y t 3 + a t 2 ) + a t 1 + a t = Y t 3 + a t 2 + a t 1 + a t. = Y 0 + a 1 + a a t 2 + a t 1 + a t Här ser vi att Y t är en summa av oberoende stokastiska variabler, samt en konstant Y 0.

15 Slumpvandring Tolkningen av en slumpvandring är att vi har en modell där seriens värde vid tidpunkt t är detsamma som förra tidpunktens värde, med en avvikelse som är helt slumpmässig. Ibland har vi även med ett intercept i slumpvandringen. Modellen kallas då en slumpvandring med drift: där a t är vitt brus. Y t = δ + Y t 1 + a t = δ + Y 0 + a t 8 / 22

16 Slumpvandring Den skattade modellen för en enkel slumpvandring kan skrivas ŷ t = y t 1 Prognosen en tidsperiod framåt är lika med dagens värde på tidsserien! Därför är slumpvandring ofta en referenspunkt vid prognosticering. om dagens värde är en lika bra gissning för morgondagens värde som gissningen baserat på en avancerad modell, då borde den avancerade modellen nog skrotas... 9 / 22

17 Autoregressiva modeller av olika ordning I modellerna nedan antas a t vara en följd av (gaussiskt) vitt brus. AR(1)-modellen Y t = φ 1 Y t 1 + a t AR(2)-modellen Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + a t AR(p)-modellen Y t = φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t φ p Y t p + a t

18 Glidande medelvärdes-modeller av olika ordning MA(1)-modellen Y t = a t θ 1 a t 1 MA(2)-modellen Y t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2 MA(q)-modellen Y t = a t θ 1 a t 1 θ 2 a t 2... θ q a t q

19 AR, MA och ARMA-modeller I AR-modellerna förklaras Y t av tidigare värden på tidsserien. Modellens utseende avgörs av de parvisa korrelationer φ, φ 2,..., φ p som finns mellan Y t och dess laggar Y t 1, Y t 2,..., Y t p. I MA-modellerna förklaras Y t av ett glidande medelvärde (Moving average) av en följd oberoende stokastiska feltermer, a t, a t 1,..., a t q. Dessa viktas genom parametrarna θ 1, θ 2,..., θ q Vi kan kombinera en AR(p) och en MA(q) till en ARMA(p,q)-modell: Y t = φ 1Y t 1 + φ 2Y t 2,... + φ py t p + a t θ 1a t 1 θ 2a t 2... θ qa t q 10 / 22

20 ARMA-modeller ARMA(p,q) modellen kan tyckas logisk eftersom en tidsserie, t.ex. ett börsindex: Påverkas av (och korrelerar med) tidigare indexvärden. Också påverkas av yttre (slumpmässiga) faktorer, exempelvis prischocker. Vi kan aldrig helt förutspå börsens index. Men det finns nackdelar med modellen: 1 Om vi har hög korrelation mellan Y t och laggade värden beter sig AR-modellen som en slumpvandring. För att detta inte ska ske måste Y t vara stationär. 2 Vi tar bara hänsyn till andra variablers påverkan på Y t genom slumptermerna. Vi fokuserar på stationäritetsvillkoret. 11 / 22

21 Stationäritet Stationäritet kan delas upp i två styrkor: 1 Strikt stationäritet - Kräver att E(Y t ) och V (Y t ) är konstanta för alla t. Dessutom ställs högra krav på fördelningens egenskaper, t.ex. skevhet och kurtosis. 2 Svag stationäritet - E(Y t ) = µ och V (Y t ) = σ 2 är konstanta. Dessutom är kovariansen mellan två punkter 1 och 2 på serien densamma som för två andra punkter 3 och 4, givet att avstånden 1-2 och 3-4 är desamma: Cov(Y t, Y t+k ) = γ k Med andra ord beror γ k på avståndet k och inte tiden t. 12 / 22

22 Stationäritet Varför bryr vi oss om stationäritet? ARIMA-modellerna ställer kravet att tidsserien ska vara svagt stationär, detta för att parametrarna i modellen ska kunna skattas: Om Y t har en unik fördelning vid varje tidpunkt: Y t N(µ t, σ 2 t ) måste vi skatta totalt 2t parametrar! Detta är teoretiskt omöjligt då vi har bara har t observationer Kom ihåg ifrån regression att vi bara kan skatta parametrarna om antalet observationer är större antalet parametrar, n > k. 13 / 22

23 Stationäritet Under övningarna ska bevisa att Vitt brus Y t = a t är en stationär tidsserie. En slumpvandring Y t = Y t 1 + a t är inte stationär. Nu fokuserar vi istället på bevisen för att en stationär tidsserie Z t i AR(1) och MA(1) modellerna uppfyller: E(Z t ) = µ V (Z t ) = σ 2 Cov(Z t, Z t+k ) = γ k 14 / 22

24 AR(1) modellens egenskaper Den autoregressiva modellen av ordning 1, AR(1), har följande form z t = φ 1 z t 1 + a t. Konstanten φ 1 är en okänd parameter som måste skattas utifrån stickprovet, och slumptermen a t är vitt brus. Ibland vill man en konstant med i modellen som då skrivs: z t = δ + φ 1 z t 1 + a t Det teoretiska medelvärdet fås genom att vi tar väntevärdet av båda sidor: E(z t ) = δ + φ 1 E (z t 1 ) + E (a t ) (1)

25 AR(1) modellens egenskaper Eftersom z t antas vara stationär gäller att E(z t ) = E (z t 1 ) = µ så att (1) kan skrivas som dvs. µ = δ + φ 1 µ + 0 µ = δ 1 φ 1 För att räkna ut den teoretiska variansen använder vi en annan form på modellen. Låt δ = µ (1 φ 1 ), d v s z t = µ (1 φ 1 ) + φ 1 z t 1 + a t eller (z t µ) = φ 1 (z t 1 µ) + a t (2)

26 AR(1) modellens egenskaper Kvadrera bägge sidor av (2) och tag väntevärdet av resultatet, vilket ger E (z t µ) 2 = φ 2 1E (z t 1 µ) 2 +2φ 1 E [(z t 1 µ) a t ]+E ( a 2 t ) (3) Då z t är stationär, så har vi E (z t µ) 2 = E (z t 1 µ) 2 = V (z t ) Vilket medför att vi kan skriva om (3) som: V (z t ) = φ 2 1V (z t ) σ 2 a dvs. σ2 a V (z t ) = 1 φ 2 1

27 AR(1)-modellens egenskaper Vi har alltså både E(Z t ) och V (Z t ) som inte beror på t. Det går även att bevisa att Cov(Z t k, Z t ) endast beror på laggen k och inte t. Eftersom Cov(Z t k, Z t ) beror på k och V (Z t ) är konstant beror autokorrelationen Corr(Z t k, Z t ) också endast på k. Den teoretiska autokorrelationen Corr(Z t k, Z t ) för AR(1)-modellen är: ρ k = φ k 1 Som vi kan se så är ρ k en avtagande funktion av k. 15 / 22

28 MA(1)-modellens egenskaper På samma sätt kan vi undersöka egenskaperna för en stationär tidsserie Z t i en MA(1)-modell med driftterm: Z t = µ + a t + θ 1 a t 1 Där a t är vitt brus. Väntevärdet beräknas som: E(Z t ) = E(µ + a t θ 1 a t 1 ) = E(µ) + E(a t ) E(θ 1 a t 1 ) = E(µ) + E(a t ) θ 1 E(a t 1 ) = µ Eftersom E(a t ) = E(a t 1 ) = 0 16 / 22

29 MA(1)-modellens egenskaper Vi fortsätter med att beräkna variansen för MA(1)-modellen: V (Z t ) = V (µ + a t θ 1 a t 1 ) = V (µ) + V (a t θ 1 a t 1 ) = V (µ) + V (a t ) + θ1v 2 (a t 1 ) 2Cov(a t, a t 1 ) = 0 + σa 2 + θ1σ 2 a 2 0 = σa(1 2 + θ1) 2 Eftersom V (a t ) = V (a t 1 ) = σa 2 och Cov(a t, a t 1 ) = 0 17 / 22

30 MA(1)-modellens egenskaper Det går att visa att den teoretiska autokorrelationen Corr(Z t k, Z t ) för MA(1)-modellen kan beskrivas med funktionen: ρ k = { θ 1 om k = 1 1+θ1 2 0 om k > 1 Vi kan se att ρ k bryts av vid lag k = q = / 22

31 Autokorrelation och Partiell autokorrelation Förutom den teoretiska autokorrelationen så är den teoretiska partiella autokorrelationen en funktion som är användbar i analysen av AR och MA modeller. den teoretiska partiella autokorrelationen betecknas ρ kk Är den avskalade autokorrelationen mellan två tidpunkter t och t + k, där korrelationen som går igenom mellanliggande tidpunkter har eliminerats. 19 / 22

32 Autokorrelation och Partiell autokorrelation Det går att visa att ρ kk för AR(1) modellen är: { ρ k om k = 1 ρ kk = 0 om k > 1 och att ρ kk för MA(1) modellen är: Vi kan se att: ρ kk = θk 1 (1 θ2 1 ) 1 θ 2(k+1) 1 ρ kk för AR(1) modellen bryts av vid lag k=p=1. ρ kk för MA(1) modellen är en avtagande funktion av k. 20 / 22

33 Autokorrelation och Partiell autokorrelation Generellt kan vi beskriva utseendet för funktionerna ρ k och ρ kk för AR(p), MA(q) och ARMA(p,q) processer: Process ρ k ρ kk AR(p) Avtar Bryts vid lag p MA(q) Bryts vid lag q Avtar ARMA(p,q) Avtar Avtar 21 / 22

34 Sammanfattning Vi har nu sett de teoretiska förutsättningarna för: Stationäritet hos tidsserier hur vi matematiskt kan undersöka om en process är stationär. Autokorrelation och partiell autokorrelation för olika processer Nästa lektion tillämpar vi resultaten för att svara på frågorna: Hur kan vi upptäcka, testa och lösa problemet med icke-stationära tidsserier? Hur ser vi vilken ARIMA-modell man bör anpassa på en tidsserie? Hur skattar vi parametrarna i en ARIMA-modell? Hur gör vi prognoser? 22 / 22

Stokastiska processer med diskret tid

Stokastiska processer med diskret tid Stokastiska processer med diskret tid Vi tänker oss en följd av stokastiska variabler X 1, X 2, X 3,.... Talen 1, 2, 3,... räknar upp tidpunkter som förflutit från startpunkten 1. De stokastiska variablerna

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

ARIMA del 2. Patrik Zetterberg. 19 december 2012 Föreläsning 8 ARIMA del 2 Patrik Zetterberg 19 december 2012 1 / 28 Undersöker funktionerna ρ k och ρ kk Hittills har vi bara sett hur autokorrelationen och partiella autokorrelationen ser ut matematiskt

Läs mer

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari 2013 1 / 1 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process

Läs mer

Något om val mellan olika metoder

Något om val mellan olika metoder Något om val mellan olika metoder Givet är en observerad tidsserie: y 1 y 2 y n Säsonger? Ja Nej Trend? Tidsserieregression Nej ARMA-modeller Enkel exponentiell utjämning Tidsserieregression ARIMA-modeller

Läs mer

TMS136. Föreläsning 10

TMS136. Föreläsning 10 TMS136 Föreläsning 10 Intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov kan göra punktskattningar för fördelnings-/populationsparametrar En punkskattning är som vi minns ett tal som är en (förhoppningsvis

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 24/2 kl16.00 i B497. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, HT2013 2014-02-07 Skrivtid: 13.00-18.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

Hemuppgift 2 ARMA-modeller

Hemuppgift 2 ARMA-modeller Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 2 ARMA-modeller 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika simuleringar

Läs mer

Hemuppgift 3 modellval och estimering

Hemuppgift 3 modellval och estimering Lunds Universitet Ekonomihögskolan Statistiska Institutionen STAB 13 VT11 Hemuppgift 3 modellval och estimering 1 Inledning Denna hemuppgift är uppdelad i två delar. I den första ska ni med hjälp av olika

Läs mer

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013

Logistisk regression och Indexteori. Patrik Zetterberg. 7 januari 2013 Föreläsning 9 Logistisk regression och Indexteori Patrik Zetterberg 7 januari 2013 1 / 33 Logistisk regression I logistisk regression har vi en binär (kategorisk) responsvariabel Y i som vanligen kodas

Läs mer

Formler och tabeller till kursen MSG830

Formler och tabeller till kursen MSG830 Formler och tabeller till kursen MSG830 Deskriptiva mått För ett datamängd x 1,, x n denieras medelvärde standardavvikelse standardfelet (SEM) Sannolikheter x = 1 n n i=1 = x 1 + + x n n s = 1 n (x i x)

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer

Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Diskussionsproblem för Statistik för ingenjörer Måns Thulin thulin@math.uu.se Senast uppdaterad 20 februari 2013 Diskussionsproblem till Lektion 3 1. En projektledare i ett byggföretaget ska undersöka

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar

Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Analys av egen tidsserie

Analys av egen tidsserie Analys av egen tidsserie Tidsserieanalys Farid Bonawiede Samer Haddad Michael Litton Alexandre Messo 9 december 25 3 25 Antal solfläckar 2 15 1 5 5 1 15 2 25 3 Månad Inledning Vi har valt att betrakta

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder

TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent

Läs mer

Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study

Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie. Forecasting the exchange rate index KIX A comparative study Kandidatuppsats Statistiska institutionen Bachelor thesis, Department of Statistics Nr 2013:14 Prognostisering av växelkursindexet KIX En jämförande studie Forecasting the exchange rate index KIX A comparative

Läs mer

Föreläsning 7. Statistikens grunder.

Föreläsning 7. Statistikens grunder. Föreläsning 7. Statistikens grunder. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Föreläsningens innehåll Översikt, dagens föreläsning: Inledande

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

Regressions- och Tidsserieanalys - F8

Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Regressions- och Tidsserieanalys - F8 Klassisk komponentuppdelning, kap 7.1.-7.2. Linda Wänström Linköpings universitet November 26 Wänström (Linköpings universitet) F8 November 26 1 / 23 Klassisk komponentuppdelning

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 14

MVE051/MSG Föreläsning 14 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 14 Petter Mostad Chalmers December 14, 2016 Beroende och oberoende variabler Hittills i kursen har vi tittat på modeller där alla observationer representeras av stokastiska

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov

10. Konfidensintervall vid två oberoende stickprov TNG006 F0-05-06 Konfidensintervall för linjärkombinationer 0. Konfidensintervall vid två oberoende stikprov Antag att X, X,..., X m är ett stikprov på N(µ, σ ) oh att Y, Y,..., Y n är ett stikprov på N(µ,

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset.

Tentamensgenomgång och återlämning: Måndagen 9/6 kl12.00 i B413. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen, plan 7 i B-huset. Statistiska institutionen Nicklas Pettersson Skriftlig tentamen i Finansiell Statistik Grundnivå 7.5hp, VT2014 2014-05-26 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Godkänd miniräknare utan lagrade formler eller

Läs mer

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014

Jesper Rydén. Matematiska institutionen, Uppsala universitet Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Föreläsning 1. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper@math.uu.se Tillämpad statistik 1MS026 vt 2014 Varför tillämpad statistik? Användningsområden i medicin, naturvetenskap

Läs mer

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1

Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning 1 Statistik B Regressions- och tidsserieanalys Föreläsning Kurskod: 732G7, 8 hp Lärare och examinator: Ann-Charlotte (Lotta) Hallberg Lärare och lektionsledare: Isak Hietala Labassistenter Kap 3,-3,6. Läs

Läs mer

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler

4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Föreläsning 2 4.3 Stokastiska variabler (slumpmässiga variabler) 4.4 Väntevärde och varians till stokastiska variabler Stokastiskavariabler Stokastisk variabel (eng: random variable) En variabel vars värde

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Informationsfönster som kvalitetsmått på prediktioner

Informationsfönster som kvalitetsmått på prediktioner Informationsfönster som kvalitetsmått på prediktioner Sandra Malkey Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics Kandidatuppsats 2013:10 Matematisk statistik Oktober

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 2 augusti 217, klockan 8-12 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827 Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper Tobias Abenius February 21, 2012 Envägs variansanalys (ANOVA) I envägs variansanalys utnyttjas att

Läs mer

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

5B Portföljteori och riskvärdering

5B Portföljteori och riskvärdering B7 - Portföljteori och riskvärdering Laboration Farid Bonawiede - 89-09 Alexandre Messo - 89-77 - Beräkning av den effektiva fronten för en portfölj Uppgiften går ut på att beräkna de portföljer som ger

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Enkel och multipel linjär regression

Enkel och multipel linjär regression TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0

Läs mer

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004

Tenta i Statistisk analys, 15 december 2004 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, ML 15 december 004 Lösningar Tenta i Statistisk analys, 15 december 004 Uppgift 1 Vi har två stickprov med n = 5 st.

Läs mer

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov

Varför statistik? det finns inga dumma frågor, bara dumma svar! Serik Sagitov Summer Science Camp, Tjärnö, 8 August 2012 Varför statistik? Serik Sagitov http://www.math.chalmers.se/ serik/ Avdelningen för matematisk statistik Matematiska Vetenskaper Chalmers Tekniska Högskola och

Läs mer

Bengt Ringnér. October 30, 2006

Bengt Ringnér. October 30, 2006 Väntevärden Bengt Ringnér October 0, 2006 1 Inledning 2 Väntevärden Låt X vara en stokastisk variabel som representerar ett slumpmässigt försök, t ex att mäta en viss storhet. Antag att man kan göra, eller

Läs mer

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2015-10-23 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Jesper Martinsson,

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet

1/31 REGRESSIONSANALYS. Statistiska institutionen, Stockholms universitet 1/31 REGRESSIONSANALYS F1 Linda Wänström Statistiska institutionen, Stockholms universitet 2/31 Kap 4: Introduktion till regressionsanalys. Introduktion Regressionsanalys är en statistisk teknik för att

Läs mer

Kovarians och kriging

Kovarians och kriging Kovarians och kriging Bengt Ringnér November 2, 2007 Inledning Detta är föreläsningsmanus på lantmätarprogrammet vid LTH. 2 Kovarianser Sedan tidigare har vi, för oberoende X och Y, att VX + Y ) = VX)

Läs mer

Hur måttsätta osäkerheter?

Hur måttsätta osäkerheter? Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys

Prediktera. Statistik för modellval och prediktion. Trend? - Syrehalt beroende på kovariater. Sambands- och trendanalys Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren Prediktera Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/28 Statistik för modellval

Läs mer

732G71 Statistik B. Föreläsning 9. Bertil Wegmann. December 1, IDA, Linköpings universitet

732G71 Statistik B. Föreläsning 9. Bertil Wegmann. December 1, IDA, Linköpings universitet 732G71 Statistik B Föreläsning 9 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet December 1, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B December 1, 2016 1 / 20 Metoder för att analysera tidsserier Tidsserieregression

Läs mer

TMS136. Föreläsning 5

TMS136. Föreläsning 5 TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Sannolikheter och kombinatorik

Sannolikheter och kombinatorik Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd

PROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik

Läs mer

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA

STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA STATISTISK ANALYS AV KOMPLEXA DATA LONGITUDINELLA DATA Linda Wänström Linköpings universitet 12 December Linda Wänström (Linköpings universitet) LONGITUDINELLA DATA 12 December 1 / 12 Explorativ Faktoranalys

Läs mer

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ.

Vi har en ursprungspopulation/-fördelning med medelvärde µ. P-värde P=probability Sannolikhetsvärde som är resultat av en statistisk test. Anger sannolikheten för att göra den observation vi har gjort eller ett sämre / mer extremt utfall om H 0 är sann. Vi har

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1907, SF1908 samt SF1913 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONS- DAGEN DEN 9:E JANUARI 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

LINKÖPINGS UNIVERSITET TENTA 92MA31, 92MA37, 93MA31, 93MA37 / STN 2 9GMA05 / STN 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET TENTA 92MA31, 92MA37, 93MA31, 93MA37 / STN 2 9GMA05 / STN 1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen TENTA 9MA31, 9MA37, 93MA31, 93MA37 / STN 9GMA5 / STN 1 1 juni 16, klockan 8.-1. Jour: Jörg-Uwe Löbus Tel: 79-687) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet

732G71 Statistik B. Föreläsning 4. Bertil Wegmann. November 11, IDA, Linköpings universitet 732G71 Statistik B Föreläsning 4 Bertil Wegmann IDA, Linköpings universitet November 11, 2016 Bertil Wegmann (IDA, LiU) 732G71, Statistik B November 11, 2016 1 / 34 Kap. 5.1, korrelationsmatris En korrelationsmatris

Läs mer

F11. Kvantitativa prognostekniker

F11. Kvantitativa prognostekniker F11 Kvantitativa prognostekniker samt repetition av kursen Kvantitativa prognostekniker Vi har gjort flera prognoser under kursen Prognoser baseras på antagandet att historien upprepar sig Trenden följer

Läs mer

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) F8.1 Kvantiler (3) F8.1 Kvantiler (3) F8.2 Räkna regler för väntevärdet (3) F8.3 Olikheter (X) F8.4 Sannolikgenererande funktioner (X) F8.5

Läs mer

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall

Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 22: Tidsserieanalys I Sebastian Andersson Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 15 december 2015 Data kan generellt sett delas in i tre kategorier: 1 Tvärsnittsdata:

Läs mer

Statistisk försöksplanering

Statistisk försöksplanering Statistisk försöksplanering Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Skriftlig tentamen 3 hp 51SF01 Textilingenjörsutbildningen Tentamensdatum: 2 November Tid: 09:00-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005

Teoretisk statistik. Gunnar Englund Matematisk statistik KTH. Vt 2005 Teoretisk statistik Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Vt 2005 Inledning Vi skall kortfattat behandla aspekter av teoretisk statistik där framför allt begreppet uttömmande (ibland kallad tillräcklig

Läs mer

Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap

Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap Estimering av Value at Risk baserat på ARCH/GARCH-modeller för index tillhörande Largecap och Smallcap Jimmy Eriksson Widfors Kandidatuppsats i matematisk statistik Bachelor Thesis in Mathematical Statistics

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition

Läs mer

Tidsserier och Prognoser

Tidsserier och Prognoser Tidsserier och Prognoser Mattias Villani Sveriges Riksbank och Stockholms Universitet Stockholm, Oktober 2008 Mattias Villani () Tidsserier och Prognoser Stockholm, Oktober 2008 1 / 16 Översikt Tidsserier,

Läs mer