a) Beräkna arean av triangeln ABC då A= ( 3,2,2), B=(4,3,3) och C=( 5,4,3).

Transkript

1 TENTAMEN -Jan-8, HF och HF8 Momen: TEN (Linjär algebra), 4 hp, skriflig enamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 85-5, Plas: Campus Haninge Lärare: Marina Arakelan, Inge Jovik och Armin Halilovic Eaminaor: Armin Halilovic Begsgränser: Mapoäng 4 För beg A, B, C, D, E, F krävs, 9,,, respekive 9 poäng Hjälpmedel på enamen TEN: Udelad formelblad Miniräknare ej illåen Kompleering: 9 poäng på enamen ger rä ill kompleering (beg F) Skriv endas på en sida av pappere Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifer skall markeras med krss på omslage Denna enamenslapp får ej behållas uan lämnas in illsammans med lösningar Fullsändiga lösningar skall preseneras ill alla uppgifer Uppgif (4p) a) Beräkna arean av riangeln ABC då A (,,), B(4,,) och C( 5,4,) b) Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av vekorerna u (,,), v (,,) och w (,5,5) Uppgif (p) Kraferna FF (,, ), FF (,, ) och FF (, 4, ) påverkar en parikel a) Vilken är den oala krafen på parikeln? b) Vilken mokraf behövs för a den oala krafen ska bli noll? Uppgif (p) Den räa linjen L går genom punken (, ) och är parallell med vå plan z och z Besäm linjens ekvaion Uppgif 4 (p) Lös ekvaionssseme

2 Uppgif 5 (4p) i a) (p) Besäm imaginärdelen av de komplea ale z i 4i b) (p) Åskådliggör i de komplea alplane < Re( z ) 9 c) (p) Åskådliggör i de komplea alplane z i Uppgif (p) Lös ekvaionen z iz 4 i Uppgif 7 (4p) Besäm samliga egenvärden och egenvekorer ill marisen Uppgif 8 (p) Volmen av en pramid som spänns upp av vekorerna OA, OB, och OC är 5 Besäm längden av OC om OA OB, OA OC, OB OC, OA och OB Lcka ill

3 FACIT Uppgif (4p) a) Beräkna arean av riangeln ABC då A (,,), B(4,,) och C( 5,4,) b) Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av vekorerna u (,,), v (,,) och w (,5,5) Lösning: AB (,,), AC (,,) C C C i j k a) Arean C C C AB AC i j k b) Volmen Svar: a) Arean AB AC b) Volmen 4 Räningsmall: a) Korrek urck i j k ger p All korrek p Saknas i formeln ger - p b) All korrek p -p för varje räknefel Uppgif (p) Kraferna FF (,, ), FF (,, ) och FF (, 4, ) påverkar en parikel a) Vilken är den oala krafen på parikeln? b) Vilken mokraf behövs för a den oala krafen ska bli noll? Lösning: a) Den oala krafen på parikeln är F F F F (5,, ) b) Den mokraf som behövs för a den oala krafen ska bli noll är F (5,, ) Svar: a) ( 5,, ) b) ( 5,, ) Räningsmall: a),b) Rä eller fel

4 Uppgif (p) Den räa linjen L går genom punken (, ) och är parallell med vå plan z och z Besäm linjens ekvaion Lösning: Linjens rikningsvekor v är vinkelrä mo planens normalvekorer N (,, ) och N (,,) Därför v i j k N N i j k (,, ) Linjens ekvaion är (,, z) (,, ) (,, ) eller z Svar: (,, z) (,, ) (,, ) Räningsmall: En korrek normalvekor ger p All korrek p Uppgif 4 (p) Lös ekvaionssseme Lösning sseme saknar lösning eller har oändlig många lösningar 4 4

5 Svar: Sseme har oändlig många lösningar Räningsmall: Korrek meod och en korrek variabel ger p All korrek p Uppgif 5 (4p) i a) (p) Besäm imaginärdelen av de komplea ale z i 4i b) (p) Åskådliggör i de komplea alplane < Re( z ) 9 c) (p) Åskådliggör i de komplea alplane z i Lösning a) i z i 4i ( i)( 4i) i ( 4i)( 4i) 9 9 i i 8 i 7i i i i 7 7 Härav 7 Im( z ) 7 b) c) Vi kan skriva cirkelns ekv på följande sä z ( i)

6 Cirkelns cenrum är i punken i och radien är R i - Svar: a) 7 Im( z ), b) se figuren c) se figuren 7 Räningsmall: a) Korrek beräkning av korrekp i i 4i 7 eller 9 i i ger en poängall b) Rä eller fel c) Rä eller fel Uppgif (p) Lös ekvaionen z iz 4 i Lösning Lå z i Från ekvaionen får vi i( i) 4 i i 4 i Dea ger sseme 4 som medför Därmed z i Svar: z i

7 Räningsmall: a) Korrek ill ekvaionen i i 4 ger p Korrek ill sseme 4 ger oal p All korrekp Uppgif 7 (4p) Besäm samliga egenvärden och egenvekorer ill marisen Lösning A X X A ) ( ) ( Denna ekvaion har (,)(,) som lösning, men nollvekorn illås ine som egenvekor För a ekvaionen ska ha fler lösningar krävs a ssemes de 4 9 ) ( 4 ger Då och ger Då och Allså; X och X Svar: 4 X, X,

8 Räningsmall: a) Korrek meod och e egenvärde p Två korreka egenvärdenp egenvärden Korreka egenvekorer:, ger p och, ger p Uppgif 8 (p) Volmen av en pramid som spänns upp av vekorerna OA, OB, och OC är 5 Besäm längden av OC om OA OB, OA OC, OB OC, OA och OB Lösning: Meod Från OA OC, OB OC, får vi a vekorn OC är vinkelrä mo både OA och OB C O a B A Om vi berakar riangeln OAB som basen av pramiden blir höjden lika med h OC Från OA OB har vi π OA OB cosα cosα cosα α Basans area är B OA OB sinα Nu, efersom volmen V B h har vi h 5 h 5 Allså OC h 5

9 Svar: OC 5 Räningsmall (meod ): Korrek p All korrek p cos α ger p Korrek basans area B ger oal Meod Lå N OC OB Efersom vekorn OC är vinkelrä mo alla re vekorer OA, OB och N, ligger vekorerna OA, OB och N i samma plan Beeckna vinkeln mellan π ligger i samma plan har vi γ α OA och OB med α Efersom vekorerna OA, OB och N π OA OB OA OB cosα cosα α π π π π Då γ γ Får volmen gäller V ( OC OB) OA 5 V ( OC OB) OA cosγ 5 Efersom OB OC, då gäller a OB OC π ( OC OB) OC OB sin( OC; OB) OC sin OC V OC cosγ OC cosγ OC OC Från V 5 har vi ekvaionen

10 OC Svar: 5 5 OC 5 5 Räningsmall (meod ): Korrek V OC cos α B ger oal p All korrek p ger p Korrek urcke för volmen