Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan den 27:e augusti.

Transkript

1 Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen hels ine programkod), lägg ill evenuella grafer eller illusraioner och spara svaren som separaa pdf-filer i mapparna C:\ EXAM \Assignmens\Uppgif, C:\ EXAM \Assignmens\Uppgif2, osv. För uppgifer som endas kräver analyiska lösningar eller e resonerade svar kan ni välja a skriva dessa på daorn eller för hand. Skriv ner namne på den daor ni använder på mappen som ni lämnar in ill enamensvaken. Beygsgränser: 2 p för 3:a, 6p för 4:a, 20p för 5:a. Lärarkonak under enamen: Daniel Johansson, Tel: Beskriv de båda veenskaplig cenrala begreppen "modell" och "eori" och diskuera skillnaderna och förhållande mellan dem. 4p) 2. Säll upp e uryck för och beräkna jordens yemperaur T ) sam amosfärsemperaur T 2 ) uifrån en enkel energibalansmodell som beakar inkommande solsrålning, jordensya och en homogen amosfär. Använd Sefan Bolzmanns lag, där Sefan-Bolzmanns konsan σ = Wm -2 K -4. Ana a jordyan är en svarkropp och amosfären är ransparan för korvågig solsrålning, men a amosfären beer sig som en grå kropp, med emissivieen ε=0.8, för långvågig värmesrålning. Jordyan har en albedo α=0.3. R i figuren nedan represenerar jordens radie. 5p) S 0 =368 W/m 2

2 3. De senase åren har den allmänna försåelsen öka för a de finns e approximaiv linjär samband mellan kumulaiva mänskliga CO 2 usläpp och den långsikiga emperaurökningen på jorden. Dea gäller åminsone över den kommande usenårsperioden. Sambande brukar i veenskapliga kresar benämnas Transien Climae Respone o cumulaive Emission TCRE). Du ska uppskaa dea approximaiva linjära samband mellan kumulaiva CO 2 usläpp och dess påverkan på den långsikiga globala medelemperauren. Till di förfogande har du e impulssvar för hur den amosfäriska CO 2 koncenraionen påverkas av en usläppsimpuls och e impulssvar för hur den globala medelemperauren påverkas av en radiaive forcing impuls. Vi anar a Gon CO 2 i amosfären mosvarar 0.28 ppm CO 2 [ppm G - ], och a varje ppm CO 2 i amosfären leder ill en radiaive forcing på [W m 2 ppm - ]. Ana e impulssvar som besår av en summaion av exponenialfunkioner med olika relaxaionsider τ i ). f) = A 0 + A i e /τ i i i CO 2 Temperaur A i [uniless] τ i [yr] A i [KW - m 2 yr) - ] τ i [yr] Skriv ner din lösningsmeodik, illusrera sambande mellan kumulaiva CO 2 usläpp och ökning av den globala medelemperaur och uppskaa luningen. De sisa sege kan göras grov, ni behöver ine använda minsakvadrameoden eller någo liknande). 6p) 4. Ana a vi har vå isolerade populaioner kanske av samma fiskar). Varje populaion har en inern dynamik enlig den logisiska avbildningen x = αx x) y = βy y) Vi anar vidare a en fiskare skördar med konsan insas q i dea sysem, uan a kunna eller bry sig om a) skilja på fisken i populaion x och y. De nya populaionsdynamikerna blir då x = αx x) qx y = βy y) qy Vad blir maximal årlig avkasning, qx+y), i de saionära illsånde? Diskuera hur resulae beror av α/β. Kommenera den biologiska relevansen av di resula. 6p)

3 5. Den vanliga diffusionsekvaionen har fundamenallösningen f = 2 f x 2 f, x) = 4π e a). Hur ser lösningen ill diffusionsekvaionen u för iniialvillkore f0, x) = gx) på de öppna inervalle x ], [)? Lösningen är formell och ges lämpligen på inegralform.) p) Vi änker oss nu en varian av diffusionsekvaionen där också sönderfall förekommer med en viss hasighe α. Ekvaionen blir då f = 2 f x 2 αf x 2 4 b). Vad är fundamenallösningen ill diffusionsekvaionen med sönderfall? p) c). Hur ser lösningen ill diffusionsekvaionen med sönderfall u för iniialvillkore f0, x) = gx) på de öppna inervalle x ], [)? Lösningen är formell och ges lämpligen på inegralform.) p) Lycka ill!

4 Uppgif. Se sidor i Gerlee & Lundh Veenskapliga Modeller Uppgif 2. Se sidor i Goosse m fl Inroducion o climae dynamics and climae modelling Uppgif 3. Använd falning för a beräkna den förhöjda CO 2 koncenraionen, D), ill följd av en usläppsbana E) och med impulsresponsfunkionen f) D) = α E ) f )d 0 där α= Falningsekvaion kan evenuell diskreiseras.ex. med = ) D) = α E ) f ) =0 Använd falning för a beräkna ökningen i emperaur, T), ill följd av den ökade koncenraionen och med impulsresponsfunkionen g) T) = β D ) g )d 0 därβ= [W m -2 ppm - ]. Falningsekvaion kan evenuell diskreiseras.ex. med = ) T) = β D ) g ) = Temperaurökning ºC) Kumulaiva CO2 usläapp Gon CO2) Figur. Relaionen mellan kumulaiva CO2 usläpp och emperaurökning för vå olika usläppsscenarior. Grov räkna får vi 0.4ºC per 000 Gon CO 2, men osäkerheen är sor beroende på scenario och idpunk då man beräknar emperauren.

5 Maximal avkasning från flera isolerade populaioner Syseme har fyra möjliga fixpunker: x,y) = 0,0) x,y) = 0,β q)/β) x,y) = α q)/α,0) x,y) = α q)/α,β q)/β) Den nollskiljda fixpunken är sabil om q är mindre än α respekive β. Avkasningen i de olika fixpunkerna blir: 0, qβ q) β, qα q),q α 2 qα+β) αβ Bäsa avkasning fås i de olika fixpunkerna när Vilke ger avkasning q =?,q = β 2,q = α ) αβ,q = 2 α+β 0, β 4, α ) 4, αβ α+β De kommer a vara opimal a låa q = αβ α+β så länge 3 < α β < 3, i anna fall kommer de a vara bäre a låa en av populaionerna dö u. Slusasen blir a om olika subpopulaioner har olika reprodukionsgrad kan maximering av avkasning leda ill a de svagare populaionerna hel fiskas u. ))

6 Diffusion med sönderfall Den formella lösningen ges av falning: f,x) = 4π dyexp x y)2 4 ) gy) Fundamenallösningen för diffusionsekvaionen med sönderfall är kan hias.ex. via ansas av lösning på formen h )h 2,x)) f,x) = ) exp x2 4π 4 α Den formella lösningen för iniialvillkåre f0,x) = gx) ges även i dea falle av en falning av fundamenallösningen f,x) = ) exp α) dyexp x y)2 gy) 4π 4