Svenskt producentprisindex (PPI) En analys av tidsseriens integrationsgrad och säsongsmönster

Transkript

1 Svensk producenprisindex (PPI) En analys av idsseriens inegraionsgrad och säsongsmönser 005:10

2 I serien Bakgrundsfaka preseneras bakgrundsmaerial ill den saisik som avdelningen för ekonomisk saisik vid SCB producerar. De kan röra sig om produkbeskrivningar, meodredovisningar sam olika sammansällningar av saisik som kan ge en överblick och underläa användande av saisiken. Ugivna publikaioner från 001 i serien Bakgrundsfaka ill Ekonomisk saisik 001:1 Offenlig och priva verksamhe saisik om anordnare av välfärdsjänser 1995, 1997 och :1 Forskar kvinnor mer än män? Resula från en arbesidsundersökning rikad ill forskande och undervisande personal vid universie och högskolor år : Forskning och uveckling (FoU) i föreag med färre än 50 ansällda år :3 Föreagsenheen i den ekonomiska saisiken 00:4 Saisik om privaiseringen av välfärdsjänser En sammansällning från SCB:s saisikkällor 003:1 Effeker av minskad dealjeringsgrad i varunomenklauren i Inrasa från KN8 ill KN6 003: Consequences of reduced grade in deail in he nomenclaure in Inrasa from CN8 o CN6 003:3 SAMU. The sysem for co-ordinaion of frame populaions and samples from he Business Regiser a Saisics Sweden 003:4 Projek med anknyning ill projeke Saisik om den nya ekonomin. En karläggning av uvecklingsprojek och uppdrag 003:5 Developmen of Alernaive Mehods o Produce Early Esimaes of he Swedish Foreign Trade Saisics 003:6 Övergång från SNI 9 ill SNI 00: Underlag för a bedöma effeker av idsseriebro 003:7 Sveriges indusriprodukionsindex Tidsserieanalys The Swedish Indusrial Producion Index Time Series Analysis 003:8 Cross-counry comparison of prices for durable consumer goods: Pilo sudy washing machines 003:9 Monhly leading indicaors using he leading informaion in he monhly Business Tendency Survey 003:10 Priva drif av offenlig finansierade välfärdsjänser. En sammansällning av saisik 003:11 Säsongrensning av Naionalräkenskaperna Översik 003:1 En illämpning av TRAMO/SEATS: Den svenska urikeshandeln :13 A noe on improving impuaions using ime series forecass 003:14 Definiions of goods and services in exernal rade saisics Forsäning på omslages redje sida! Ovannämnda rapporer, liksom övriga SCB-publikaioner, kan besällas från: Saisiska cenralbyrån, SCB, Publikaionsjänsen, ÖREBRO, elefon eller fax Du kan också köpa SCB:s publikaioner i Saisikbuiken: Karlavägen 100, Sockholm

3 Bakgrundsfaka Svensk producenprisindex (PPI) En analys av idsseriens inegraionsgrad och säsongsmönser 005:10 Saisiska cenralbyrån 005

4 Economic Saisics The Swedish Producer Price Indices Analysis of he degree of inegraion and of he seasonal paern Saisics Sweden 005 Tidigare publicering Publicerad årligen sedan 001 Previous publicaion Published since 001 Producen SCB, Avdelningen för ekonomisk saisik Producer Box Sockholm Förfrågningar Professor Lars-Erik Öller, fn: Inquiries Saisiska cenralbyrån och Sockholms universie lars-erik.oller@scb.se Handledare Förfaare Professor Rolf Larsson, Uppsala universie Jahnavi Wallin Johanna Rickne Omslag: Aeljén, SCB Om du cierar ur denna publikaion, var god uppge källan: Källa: SCB, Bakgrundsfaka 005 Saisiska cenralbyrån Enlig lagen (1960:79) om upphovsrä ill lierära och konsnärliga verk är de förbjude a hel eller delvis mångfaldiga innehålle i denna publikaion uan medgivande från Saisiska cenralbyrån ISSN x Bakgrundsfaka ISSN Ekonomisk saisik Prined in Sweden SCB-ryck, Örebro 005:0

5 Bakgrundsfaka 005:10 Förord Förord Föreliggande rappor om Producenprisindex har skrivis av vå sudener: Jahnavi Wallin och Johanna Rickne som en c-uppsas i saisik vid Uppsala universie. Den kan ses som en direk forsäning på Bakgrundsfaka 004:17, där Peer Nilsson och Linnéa Kjällqvis undersöke om de finns säsongvariaion och enhesröer i serien över Konsumenprisindex. Saisiska cenralbyrån i sepember 005 Lars-Erik Öller ES/LED

6

7 Bakgrundsfaka 005:10 Innehåll Innehåll Förord...3 Sammanfaning Inledning...9 Producenprisindex Definiion och användningsområde Daa Uvecklingen av svenska priser Tidsserieanalys Dekomponering av en idsserie ARIMA-modellering Saionarie Meod och diagnosik Tes för inegraionsordning Meod och diagnosik för dekomponering Residualanalys Krierier för a välja modell... 5 Resula Enhesro Enhesroses på årsdaa Enhesroses på månadsdaa Perrons enhesroses Sammanfaande resula av enhesroses Dekomponering Modell Modell Sammanfaande resula av dekomponering Slusas...33 Referenser...34 Appendix A...35 A.1 Säsongsröer...36 A. HEGY-eses hjälpregressioner...36 A.3 Beskrivning av programmen TRAMO och SEATS...37 Appendix B...39 B.1 Diagnosik för Modell 1 och...39 B.1.1 Bedömningskrierier för diagnosiken i abell B B. Dekomponering av modell...41 B..1 Säsongsmönsre indela på femårsperioder Saisiska cenralbyrån 5

8 6 Saisiska cenralbyrån

9 Bakgrundsfaka 005:10 Sammanfaning Sammanfaning Producenprisindex (PPI) mäer den genomsniliga prisuvecklingen på svenskillverkade varor och används för omräkning av belopp i löpande priser ill fasa priser och för ekonomisk analys. Denna uppsas undersöker av vilken ordning den svenska PPI-serien är inegrerad sam om serien uppvisar en signifikan säsongsvariaion. För a undersöka inegraionsordningen används enhesrosesen Augmened Dickey Fuller (ADF), Phillips Perron (PP) sam Perrons es som ar hänsyn ill en bruen rend i serien, och saionariesese Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (KPSS) på årsdaa ( ). E enhesroses uvecklad av Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (HEGY) appliceras även på månadsdaa ( ). En ARIMA-modell skaas och serien dekomponeras med programpakeen TRAMO och SEATS. Resulaen visar a de är svår a dra en ydlig slusas om PPI-seriens inegraionsgrad då esen mosäger varandra, sam a PPI uppvisar en över iden minskande säsongsvariaion. Nyckelord: PPI, enhesro, ARIMA-modellering, dekomponering. Saisiska cenralbyrån 7

10 8 Saisiska cenralbyrån

11 Bakgrundsfaka 005:10 Inledning 1 Inledning Prisnivå och prisförändringar i e samhälle har sor beydelse för ekonomin efersom informaion om prisläge ligger ill grund för samhällsekonomiska beslu. De är därför vikig a känna ill prisidsseriernas egenskaper för a kunna predikera prisernas framida uveckling. I Sverige mäs prisnivån dels genom prisindex för produkionssidan, däribland producenprisindex (PPI) och dels genom konsumenprisindex (KPI) för konsumionssidan. Producenprisindex mäer den genomsniliga prisuvecklingen på svenskillverkade varor, både de varor som säljs i Sverige och de som exporeras ill ulande, och mäningar finns både på månads- och årsbasis. Inflaion, som innebär a den allmänna prisnivån siger, represeneras av prisseriens posiiva procenuella förändring, dvs. den logarimerade försa differensen. Hur snabb priserna siger beror på flera fakorer såsom konjunkur, ändrade ubudsförhållanden och framför all penningpoliiska beslu. En idigare undersökning (Källqvis och Nilsson 004, kandidauppsas i saisik), skriven på uppdrag av Avdelningen för ekonomisk saisik på Saisiska cenralbyrån (SCB), visade a KPI under perioden uppvisar en signifikan säsongsvariaion och är inegrerad av andra ordningen. Dea innebär a den logarimerade KPI-seriens försa differens, inflaionen, ine är saionär uan karakeriseras av en I(1), vilke beyder a chocker i inflaionen får en permanen effek. Denna uppsas avser a undersöka idsserieegenskaperna hos svensk producenprisindex under perioden , uifrån följande frågesällningar: 1) Av vilken ordning är PPI-serien inegrerad? ) Finns de en säsongsvariaion i PPI-serien och i så fall, hur har den förändras över iden? Resulaen från undersökningen av PPI kommer ill viss del a kopplas ill idigare resula (Källqvis och Nilsson 004) kring KPI-seriens useende och egenskaper. För a söka besvara den försa frågan genomförs de formella sandardesen för enhesro: Augmened Dickey Fuller (se Gujarai 003, s. 815 f.) och Phillips Perron (1988), sam e saionarieses uveckla av Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (199). Om de visar sig a prisserien är ickesaionär blir de även relevan a undersöka seriens försa differens för enhesro. Efersom PPI-serien är relaiv kor kan de missänkas a ovannämnda enhesroses har låg syrka, dvs. a nollhypoesen ine förkasas ros a den är falsk. Syrkan kan ökas genom a använda e enhesroses uveckla av Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (1990) som är speciell uformad för a undersöka idsserier med evenuell förekoms av säsongsvariaion. De är även kän a Augmened Dickey Fuller- och Phillips Perron-esen kan ge felakiga resula om den undersöka serien karakeriseras av krafiga bro i rend eller nivå, vilke ofa är falle för prisserier. Därför uförs Perrons es (1989) som ar hänsyn ill sådana bro. För a besvara uppsasens andra fråga anpassas en modell för PPI-serien med hjälp av programpakeen TRAMO och SEATS som är uvecklade av Saisiska cenralbyrån 9

12 Inledning Bakgrundsfaka 005:10 Augusín Maravall och Vicor Gómez (1997) vid Spaniens cenralbank och som rekommenderas av Eurosa och Europeiska cenralbanken. TRAMO ar bl.a. fram seriens exremvärden och skaar en ARIMA-modell, medan SEATS dekomponerar serien i rendcykel-, säsongs- och irreguljära komponener. Uppsasen avgränsas ill en univaria analys av idsserien för svensk producenprisindex och vale av es för enhesro är även de en form av avgränsning. Vidare används endas programmen TRAMO och SEATS för a undersöka säsongsvariaion i serien. Viken av a avgöra inegraionsgraden hos prisserier och inflaionen beonas i en mängd veenskapliga sudier. Sedan e anal år illbaka bedriver bl.a. Europeiska cenralbanken de omfaande projeke Inflaion Persisence Nework (IPN) för a undersöka inflaionen i de länder som anslui sig ill de moneära samarbee. Vad gäller inflaionens inegraionsgrad har olika veenskapliga sudier kommi fram ill skilda resula. Enlig Henry och Shields (00) visar sandardes för enhesro på ickesaionarie för inflaionsserier från USA, Sorbriannien och Japan. Lee och Wu (001) illämpar enhesroses på paneldaa för inflaionen för 13 OECD-länder och finner a samliga serier är saionära. Corvosier och Mojon (005) argumenerar för a inflaionsserierna för länder inom euroområde är saionära give a hänsyn as ill de nivåskifen som följ av regimskifen i penningpoliiken. Inledningsvis preseneras PPI bl.a. uifrån indexes användningsområde, följ av en redovisning av de daa som används i uppsasen sam en kor beskrivning av svenska prisers uveckling under den undersöka perioden. Därefer inroduceras läsaren i idsserieanalysens grundprinciper sam de mer specifika meoder och den diagnosik som används i uppsasen. Dea följs av en redovisning av undersökningens resula uifrån de inledande frågesällningarna. Avsluningsvis sammanfaas och diskueras resulaen. 10 Saisiska cenralbyrån

13 Bakgrundsfaka 005:10 Producenprisindex Producenprisindex.1 Definiion och användningsområde De finns e fleral svenska prisindex som mäs ifrån produkionssidan där e av de vanligase är PPI. Prisindex i producen- och imporled är cenrala inom samhällsekonomisk analys i de a de används för omräkning av belopp i löpande priser ill värde i fasa priser inom bland anna naionalräkenskaperna och urikeshandelssaisik, sam för prisreglering av långsikiga aval ( Prisindex i producen- och imporled i december, SCB 004). PPI är en sammanvägning av hemmamarknadsprisindex och exporprisindex och anger den genomsniliga prisuvecklingen på svenskillverkade varor oal; de varor som säljs på den svenska marknaden och de som säljs på expor. Beräkningarna av PPI bygger på prisuppgifer som med jämna mellanrum insamlas från omkring 1 00 föreag avseende e urval av represenanvaror. Indexalen beräknas för den oala produkionen cirka noeringar för hemmamarknaden och cirka för exporen. Priserna avser produceners försäljning av svenskillverkade varor och är beräknade exklusive moms och varuskaer. Indexe är e så kalla kedjeindex med årslänkar av Laspeyres-yp och varorna är uppdelade i fem avdelningar enlig nu gällande indelning SPIN Den nu gällande produkindelningen inroducerades 1995 och finns illbakaräknad ill år För idigare index, ill och med december 1994, är redovisningen av indexe baserad på en produkindelning enlig en äldre näringsgrensindelning. Skillnaderna mellan de vå produkindelningarna är beydande och SCB rekommenderar a den äldre serien används så lång som möjlig och a länkning av serierna görs vid december Daa De daamaerial som används i denna uppsas är dels månadsdaa för PPI, perioden januari 1975 december 004 (se figur 1), och dels årsdaa under perioden (se figur ). För a möjliggöra analys av en lång idsserie har den äldre serien ( ) sammanlänkas med den nyare serien ( ) med december 1994 som länkningspunk för månadsdaa och åre 1994 för årsdaa. Daa innefaar prisindex för kaegorierna 3 fiske, jordbruksproduker, skogsproduker, malm och mineral sam indusriprodukion. Daa logarimeras för a jämna u de annars med nivån ökande svängningarna. 1 SPIN 00 är en klassificering av produker enlig Sandard för svensk näringslivsindelning. Grupperna är: A produker från jord- och skogsbruk, B Fisk, C produker från uvinning av mineral, D indusriproduker, E el, gas, värme och vaen. Klassificeringen är väldig lik den äldre Prod-SNI 97 som inroducerades Den nya serien länkas ill den ursprungliga serien genom a muliplicera den nya seriens värden med kvoen mellan den ursprungliga serien och den nya serien för observaionen december 1994/åre Kaegorierna 1-3 enlig SNI69 fram ill december 1994 som mosvaras av kaegorierna A-D enlig SNI97 och SPIN00 från och med Saisiska cenralbyrån 11

14 Producenprisindex Bakgrundsfaka 005:10 Figur 1 Månadsdaa ( jan dec. 004) för producenprisindex (logarimerad serie), nivå (ill vänser) och försa differensen (ill höger) Figur Årsdaa ( ) för producenprisindex (logarimerad serie), nivå (ill vänser) och försa differensen (ill höger) Uvecklingen av svenska priser Efersom prisuvecklingen ill sor del påverkas av samhällsekonomin kan PPI-seriens uveckling försås bäre i ljuse av den svenska ekonomiska hisorien under den berörda idsperioden. Under och 1980-alen var den svenska ekonomins illväx beydlig lägre än idigare och synen på sabiliseringspoliiken var a ekonomiska nedgångar kunde, och borde, moverkas av expansiv finanspoliik och devalveringar (se Prissabilie, Avdelningen för penningpoliik, Riksbanken). Korsikig uppnåddes högre produkion och sysselsäning, och inflaionen och lönesegringarna kunde hållas i schack med sram finanspoliik. I längden följde dock ekonomiska bakslag i form av hög inflaion och valuaspekulaion genemo kronan. Ekonomin kom in i en ond cirkel där den ena inflaions- och devalveringscykeln följde på den andra samidig som arbeslösheen seg och inveseringar och sparande var låga. Uvecklingen ledde fram ill en av de sörsa ekonomiska kriserna i svensk 1 Saisiska cenralbyrån

15 Bakgrundsfaka 005:10 Producenprisindex hisoria, vilken även kom a medföra e beydelsefull sabiliseringspoliisk regimskife. Den 19 november 199 vingades Riksbanken överge den fasa växelkursen genemo ECU:n, föregångaren ill euron. Dea skedde ill följd av urbulens på valuamarknaden och spekulaioner mo kronan grundade i förvänningar om en ny devalvering. Övergången ill rörlig växelkurs ledde ill en krafig depreciering av kronan, vilke i sin ur förde med sig sarka inflaionsimpulser. I dea läge besämdes a penningpoliiken skulle inrikas på a skapa prissabilie. Under 1993 och 1994 bekämpades de krafiga inflaionsimpulserna med en mycke sram penningpoliik. Ine förrän 1995 kunde man gå vidare ill a försöka hålla de uppsaa inflaionsmåle; a begränsa ökningsaken i KPI ill vå procen per år med e oleransinervall på plus/minus en procenenhe. År 1999 lagfäses sluligen inflaionsmåle och idag, sex år senare, har inflaionsförvänningarna falli och den penningpoliiska regimen befäss. Ovan beskrivna uveckling kan även uläsas i figur 1 och över PPI-serien. Den snabba prisökningen under och 1980-ale märks av prisseriens brana luning som sedan maas av under 1990-ale (se prisseriens nivå i figur 1 och ). Den avagande ökningen kan sannolik illskrivas riksbanksreformen och införande av inflaionsmål för penningpoliiken. I grafen över årsdaa för inflaionen (försa differensen i figur ) kan den krafiga inflaionsökningen ill följd av övergången ill rörlig växelkurs 199 uläsas, sam a prisförändringarna variera beydlig mindre sedan 1990-ales andra hälf. Saisiska cenralbyrån 13

16 Tidsserieanalys Bakgrundsfaka 005:10 3 Tidsserieanalys En idsserie { y } T kan berakas som e ufall av en sokasisk process där = 1 = 1,,,T beskriver på varandra följande idpunker 4, och y beskriver de observerade ufalle av en viss variabel för de olika idpunkerna (Planas 1997, s. 13). Analysen av idsserier fokuserar vanligvis på a beskriva vilken process som kunde ha generera de observerade värdena. På så vis kan informaion om serien erhållas, vilke möjliggör predikion. Den daagenererande processen kan beskrivas genom olika modeller, varav Box och Jenkins ARIMA-modell är den som används i denna uppsas. För a modellering och predikion ska kunna uföras krävs a idsserien är (svag) saionär dvs. a dess medelvärde och varians är konsana. 3.1 Dekomponering av en idsserie Värdena i en idsserie kan sägas följa vissa regelbundna mönser som kan urskiljas och analyseras var för sig. Genom analys av idsseriens komponener erhålls inressan informaion om idsseriens karakär. Modern dekomponering brukar skilja på sex komponener (Öhlén 003, s. 4 f.): rend T, cykel C, kalendereffeker K, säsong S, exremvärden E (ouliers) och Irreguljära effeker I (se ekvaion (1)). Trenden avser idsseriens långsikiga uveckling och har sin grund i srukurella förändringar i de bakomliggande daagenererande fakorerna, medan cykeln är en mer korsikig övergående förändring. De är ofa svår a skilja på rend och cykel och man alar därför isälle om rendcykelkomponenen. Med kalendereffeker menas sammansäningen av anal dagar under e kvaral,.ex. anal måndagar under en arbesperiod. Om en idsserie mäs under flera idsperioder under åre, såsom månader eller kvaral, är de vanlig a serien uppvisar en sysemaisk säsongsvariaion. För en prisserie kan sådan variaion exempelvis uppså i samband med sommarrealisaioner, medan en idsserie över jordbruksprodukion kan förvänas ana höga värden under skördeperioden. En idsserie innefaar ofa olika exremvärden, orsakade av exogena effeker eller mäfel. Exremvärdena kan vara av olika karakär, såsom ensaka höga eller låga mävärden eller plösliga förändringar i nivå eller rend. Den irreguljära komponenen represenerar den variaion som ine fångas upp av den för serien skaade modellen. Om modellen är välanpassad blir den irreguljära komponenen hel ickesysemaisk, de vill säga vi brus. Varje observera värde i en idsserie, komponener: O, besår således av ovan beskrivna O = T + C + K + S + E + I. (1) Ekvaion (1) är en addiiv modell, där komponenernas värden ine beror av seriens nivå. I de flesa fall förändras dock komponenerna sysemaisk med nivån, varvid en muliplikaiv form är bäre lämpad: 4 Inervallen mellan observaionerna är ofas, men ine nödvändigvis, lika långa. 14 Saisiska cenralbyrån

17 Bakgrundsfaka 005:10 Tidsserieanalys O = T C K S E I. () För a underläa idsserieanalysen ransformeras ofa muliplikaiva modeller () ill addiiva (1) genom a seriens värden logarimeras. Genom a dekomponera en idsserie kan dess rend, cykel, säsong och exremvärden analyseras var för sig. Bland anna möjliggör säsongsrensning av en idsserie jämförelser mellan inill varandra liggande observaioner i iden. Om man ine säsongsrensar finns risk för felolkningar efersom skillnaden mellan vå observaioner i verkligheen ill sora delar kan bero på skillnaden i säsong. Dekomponering kan genomföras med olika meoder, där de ARIMA-modellbaserade programpakeen TRAMO och SEATS illämpas i denna sudie. 3. ARIMA-modellering Enlig Box-Jenkins (Box, Jenkins och Reinsel 1994) meod för idsseriemodellering kan idsserien { y } T förklaras dels av seriens värden under idigare perioder och dels av sokasiska chocker. Beroende av idigare pe- = 1 rioder, de laggade värdena, kallas för ekvaionens auoregressiva (AR)-del och skrivs som: y + = φ 1 y φ p y p a, (3) där felermerna a är oberoende, idenisk fördelade, i.i.d. ( 0, σ ), och de esimerade φ -koefficienerna beskriver hur beroende av idigare perioder ser u. Anale laggade värden som förklarar förändringarna i y beecknas med p, och processen skrivs som AR(p). E verkyg som ofa används inom idsserieanalys är den så kallade backshifoperaorn som definieras som: B y = y k k, k = 1,,... E polynom av p ordning p i backshifoperaorn anar formen: φ ( B) = 1+ φ1 B φ p B och genom a lösa φ ( B) = 0 fås p röer 5. Skillnad görs mellan röer som ligger uanför enhescirkeln, dvs. har e absolubelopp sörre än e, och röer som ligger innanför enhescirkeln, med absolubelopp mindre än eller lika med e 6 (Planas 1997, s. 3). Modell (3) kan med hjälp av backshifoperaorn skrivas som: p ( φ B... φ p B ) y = a 1 1, (4) och förenklas ill ( B ) y = a φ. (5) En idsseries samband med de laggade sokasiska felermerna a beskrivs av en så kallad MA(q)-process (moving average) där q beecknar laggordningen. Liksom för AR-processen kan urycke (6) förenklas med hjälp av backshifoperaorn ill (7) och polynome (8): 5 Exempel: roen av ( z) = 1+ φz = 0 6 I exemple ovan är roen av φ är z = 1/ φ. 1 +φz, vilke är uanför enhescirkeln om < 1 φ. Saisiska cenralbyrån 15

18 Tidsserieanalys Bakgrundsfaka 005:10 y = a θ a... θ a 1 1 q q (6) y y ( θ B θ q ) a = (7) ( B) a = θ. (8) Om de så kallade inveribiliesvillkore för en MA(q)-process är uppfyll, dvs. a röerna ill de karakerisiska polynome θ ( B) = 0 ligger uanför enhescirkeln, kan den skrivas om på AR-form. För a uppnå parsimonie, a inkludera så få paramerar som möjlig i modellen, specificeras dock vid behov både AR- och MA-delar. Kombinaionen beecknas ARMA(p,q) och skrivs som: y eller = µ + φy φ y + a θ a 1... θ a ( B) y θ ( B) a 1 p p 1 q q, (9) φ =. (10) En förusäning för genomförande av en ARMA-modellering är a serien är saionär eller a den kan saionariseras genom a serien differenieras en eller flera gånger (saionarie förklaras närmare i avsni 3.3). Anale differenieringar som behövs för a saionarisera en serie beecknas med d, och modellen blir då ARIMA(p,d,q), där I sår för inegrerad. Om idsserien har en säsongsvariaion kan de också krävas säsongsdiffereniering, D s, för a få serien saionär. Likaså kan säsongs- AR- och MAermer inkluderas för a modellera idsserien och modellen är en ARIMA av ordning (p,d,q)*(p,d,q) s med polynomformen: φ ( Θ a, (11) s d D s B ) Φ( B ) s y = θ ( B) ( B ) d d D där beecknar differenieringen ( 1 B), s beecknar s D säsongsdifferenieringen ( 1 B ), s beecknar anale observaioner per s år (för månadsdaa är s =1) och där Φ ( B ) är säsongs-ar-polynome och s Θ ( B ) är säsongs-ma-polynome. 3.3 Saionarie Saionarie innebär a idsseriens medelvärde (1) och varians (13) är konsana, medan auokovariansen (14), kovariansen mellan olika idsperioder, är oberoende av idsindexe och endas är relaera ill avsånde mellan idpunkerna i iden k (Gujarai 003, s. 797 f.). E ( ) = µ = 1,,..., T (1) y ( y ) E( y µ ) = γ (0) Var (13) E = [( Y µ )( Y µ )] = γ (k) +, (14) k för k = 1,,,T-k. Om dessa villkor är uppfyllda möjliggör de en generalisering av seriens värden ill andra, framida idsperioder (predikion). 16 Saisiska cenralbyrån

19 Bakgrundsfaka 005:10 Tidsserieanalys Om serien har en enhesro innebär de a den är icke-saionär, e konsan medelvärde exiserar ine och variansen är oändlig. För en ARMAmodell innebär icke-saionarie a röerna i AR-polynome, φ ( B) = 0, ligger på eller innanför enhescirkeln (Planas 1997, s. 9 ff.). När en idsserie har en enhesro kan den ofa saionariseras genom en differeniering och kallas då inegrerad av försa ordningen, I(1). Har den vå enhesröer och måse differenieras vå gånger är den I(), medan en saionär serie beecknas I(0). En idsserie kan eoreisk se även vara saionär kring en deerminisisk rend, dvs. ha konsan varians kring en rend som går a förusäga exak. Om en serie är inegrerad av försa ordningen blir chocker i serien persisena (Juselius 004, Gujarai 003). För en AR(1) exempelvis blir inverkan av en krafig förändring vid en idpunk permanen i de hänseende a serien ine åervänder ill e fas medelvärde, uan hela seriens nivå skifar. De observerade värde vid en viss idpunk blir således inge anna än summan av alla chocker i idigare perioder. En idsserie som uppvisar säsongsvariaion (Hylleberg m.fl. 1990, s. 18) kan beskrivas som en av, eller en kombinaion av, följande processer: 1) deerminisisk säsongsprocess som är genererad av säsongsdummyvariabler, kan prognosiseras felfri och ändrar aldrig sin form, ) saionär säsongsprocess, genererad av en ill synes oändlig auoregression där samliga röer ligger uanför enhescirkeln, och 3) icke-saionär säsongsprocess eller inegrerad säsongsprocess som blir saionär efer differeniering. En säsongsinegrerad series egenskaper liknar egenskaperna hos en vanlig inegrerad serie. Föruom oändlig varians har idsserien e lång minne och effekerna av chocker håller således i sig länge och kan förändra säsongsmönsre permanen. För månadsdaa finns de olv möjliga enhesröer, en ickesäsongs- och elva säsongsröer 7 (se Appendix A, avsni A.1 för maemaik kring säsongsröerna). 7 En av de elva säsongsröerna är en reell ro, medan de andra ugör fem par av s.k. komplexa konjugaer, de vill säga par av komplexa röer. Saisiska cenralbyrån 17

20 Meod och diagnosik Bakgrundsfaka 005:10 4 Meod och diagnosik Nedan preseneras de olika ess för inegraionsordning sam diagnosiken för val av ARIMA-modell och dekomponering som kommer a användas i undersökningen. 4.1 Tes för inegraionsordning En idsseries inegraionsordning kan i e försa skede undersökas genom a sudera figurer över originalserien respekive seriens differens (Gujarai 003, s. 807 f.). Om originalseriens medelvärde verkar variera över iden kan den anas vara karakeriserad av en I(1). I e andra skede kan idsseriens auokorrelaionsfunkion (ACF) suderas. Tecken på icke-saionarie är a den försa ACF-koefficienen ligger nära e och a koefficienernas värden avar långsam. E mer formell es för enhesro är Dickey-Fuller-ese (Gujarai 003, s. 815 f.) som kan illusreras genom a ugå ifrån en AR(1)-process: y = µ + ρ 1 + ε, (15) y där ε är vi brus. Om ρ = 1 är serien icke-saionär, dvs. en slumpvandring med sokasisk rend, drif, och variansen ökar med iden om µ > 0 (minskar om µ < 0 ). Nollhypoesen om enhesro, ρ = 1, esas mo hypoesen a ρ < 1. Tese uförs genom a y 1 subraheras från båda sidorna i ekvaionen: y = µ + γ 1 + ε, (16) y där γ = ρ 1. Under nollhypoesen om enhesro följer -saisikan för γ en fördelning som abuleras med hjälp av Mone Carlo-meoder och beecknas med τ. Tese kan genomföras på olika sä, beroende på om man ror a serien har en sokasisk rend (drif eller inercep) µ, en deerminisisk rend eller båda delarna. Dickey-Fuller-ese gäller endas då serien följer en AR(1)-process och de uvidgade Dickey-Fuller-ese har uvecklas för a undersöka serier som kan vara auokorrelerade av högre ordning, p (Enders 1995, s. 5). Teses nollhypoes H 0 : ρ 1 = γ = 0, innebär a serien har en enhesro och esas i den uvidgade hjälpregressionen: y p 1 + δ + = α + i i y 1 i ε = µ + γy. = 1,,..., T (17) Genom a esa en uvidgad regression som innefaar laggade värden av den beroende variabeln får man okorrelerade residualer. Anale laggar, p, väljs så a residualerna blir bleka dvs. vi brus. ADF-ese är begränsa ill a undersöka om serien är inegrerad av grad e, I(1), och för a esa hypoeser om högre inegraionsgrad genomförs ese på seriens försa respekive högre differenser. Phillips och Perron (1988) uvecklade e enhesroses som är en generalisering av Dickey-Fuller-ese. Tese har mindre srika villkor vad gäller 18 Saisiska cenralbyrån

21 Bakgrundsfaka 005:10 Meod och diagnosik felermernas fördelning genom a den illåer a felermerna är svag beroende. Principen är densamma som för de uvidgade DF-ese och ekvaion (17) skaas, men -saisikan för γ korrigeras. Tese använder en ickeparamerisk meod för a konrollera för auokorrelaion av högre ordning i idsserien och kan liksom ADF uföras med e inercep, respekive med inercep och rend. Både Dickey-Fuller- och Phillips-Perron-esen har kriiseras för a ha låg syrka. Nollhypoesen om enhesro förkasas således ofa ine ros a serien egenligen är saionär (Henry och Shields 004, s. 483). Kwiakowski, Phillips, Schmid och Shin (199) argumenerar därför för behove av e saionarieses som komplemen ill de vanliga esen för enhesro. KPSS esar om idsserien y är saionär, där y anas kunna dekomponeras i en deerminisisk rend, en slumpvandring r och en saionär felerm ε : y = ξ + + ε. (18) r Slumpvandringen r definieras som: r = r 1 + u, där u är i.i.d. (0, σ u ). Iniialvärde r o berakas som fixera. Saionarieshypoesen är a σ u = 0, och efersom ε anas vara saionär, är y rendsaionär under nollhypoesen. Tese kan även uföras uan rend, ξ = 0, och serien är då nivåsaionär under nollhypoesen. Tessaisikan baseras på: ˆ η = T, (19) där S / ˆ σ ε S beecknar den pariella residualsumman, S = e i, = 1,, T, där e är den skaade residualen från regressionen (18) på y med eller uan rend, och ˆ σ ε represenerar den esimerade residualvariansen. Tessaisikans fördelning är abulerad med hjälp av Mone Carlo-meoden. Genom a uföra enhesroses på månadsdaa isälle för på årsdaa fås fler observaioner och därigenom kan eses syrka ökas. Efersom ovannämnda es kan få missvisande resula om idsserien uppvisar en säsongsvariaion har Hylleberg, Engle, Granger och Yoo (1990) uveckla en meod som esar för enhesröer i idsserier med säsongsvariaion. Meoden esar roen för nollfrekvensen (den vanliga roen), respekive röerna för var och en av säsongsfrekvenserna för enhesro. Därigenom kan allså enhesröer på säsongsfrekvenser uppäckas. I HEGY-ese anas a idsserien är genererad av följande process (Aguierre 000, s. 15): 1 ϕ ( B) X = α + α + α D + ε, (0) 0 1 k = k k där ε är vi brus och de deerminisiska ermerna kan ugöras av en konsan α 0, en linjär rend och elva säsongs-dummies i= 1 D k. För a Saisiska cenralbyrån 19

22 Meod och diagnosik Bakgrundsfaka 005:10 undersöka om polynome i backshifoperaorn, ϕ (B), har enhesröer på noll- och/eller säsongsfrekvenserna, uförs ese enlig ekvaionen: 1 ϕ(b) Y13 = α 0 + α1 + α k Dk + π kyk, 1 + ε. (1) k= 1 k= 1 Y k ( k = 1,,...,13) är hjälpvariabler som erhålls genom a filrera variabeln som suderas, X (se Appendix A, avsni A., för definiion av hjälpvariablerna). Yerligare laggade värden av Y 13 kan behöva inkluderas i modellen för a felermen ska bli fri från auokorrelaion. Ekvaion (1) skaas med OLS och de erhållna saisikorna jämförs med kriiska värden baserade på Mone Carlo-resula (Beaulieu och Miron 1993). Efersom de ine går a särskilja paren av komplexa röer esas dessa parvis (Hylleberg m.fl. 1990, s. 1 ff.). E anna fall då ADF- och PP-esen kan ge missvisande resula är om den undersöka serien karakeriseras av e skife i inercep, rendbro eller båda delarna. Perron (1989) argumenerar för a de enhesroses som Dickey Fuller och Phillips Perron presenerar ofa leder ill a nollhypoesen om enhesro acceperas, ros a serien i själva verke är rendsaionär, give e rendbro. Genom a uföra enhesroses beinga på e nivå- och/eller rendskife, kan man komma ill en mer korrek slusas om seriens inegraionsgrad. Perrons es för enhesro illåer a serien har e rendbro och/eller e nivåskife, som anas inräffa vid idpunken TB ( 1 < TB < T ), både under noll- och alernaivhypoesen. För a esa serien för enhesro beinga e rendbro används en esprocedur där brypunken väljs manuell uifrån eoreiska grunder. Tese uförs genom a förs a bor renden i serien genom a skaa regressionen: ( y = µ + β1 + γdt + y, () och sedan esregressionen: ( y k = y + β i = i y 1 i ( ( α 1 + ε, (3) där DT = TB om > T, annars 0. Nollhypoesen om enhesro förkasas ej då α = 1, men om den förkasas innebär de a serien kan anas vara B saionär kring en deerminisisk rend med e bro vid idpunk T. B När Perrons es för enhesro isälle uförs beinga på e nivåskife i serien, används esregressionen: y k ( ) + αy 1 + = β y = µ + θdu + β. (4) 1 + β D TB + i 1 3i i ε Här är DU = 1 om < TB, annars 0, D ( TB) = 1 om = T B + 1, annars 0. Differenieringar av den beroende variabelns laggade värden införs för a undvika auokorrelerade residualer. Även i dea fall esas nollhypoesen α = 1, men a den förkasas innebär a serien kan anas vara saionär give e nivåskife vid idpunk T B. Allmän se är de vikig a använda en esregression som speglar den sanna daagenererande processen. Om inercepe eller renden felakig 0 Saisiska cenralbyrån

23 Bakgrundsfaka 005:10 Meod och diagnosik ueslus ur modellen kan eses syrka gå mo noll när sickprovssorleken ökar. Allför många regressorer i ekvaionen, däremo, ökar absoluvärde för de kriiska värde och kan leda ill a en falsk nollhypoes ine kan förkasas (Enders 1995, s. 54 ff.). E sä a avgöra vilka regressorer som ska inkluderas i esekvaionen är a börja med den mins resrikiva modellen. Efersom enhesroses har svår a förkasa nollhypoesen behöver man ine gå vidare om den förkasas, men om så ine är falle är de nödvändig a genom es avgöra om allför många regressorer använs. Olika informaionskrierier (se avsni 4.. nedan) användes för a avgöra hur många regressorer som bör finnas med i esregressionen. 4. Meod och diagnosik för dekomponering Tidigare uförde Saisiska cenralbyrån dekomponering och säsongsrensning av makroekonomiska idsserier med hjälp av proceduren X-11-ARIMA. Efer e uvecklingsarbee 1999 infördes dock programpakeen TRAMO och SEATS då de gav e resula av högre kvalie (Öhlén 003, s. 3 ff.). TRAMO, Time Series Regression wih ARIMA Noise, Missing Observaions and Ouliers, är e program som idenifierar och korrigerar för saknade observaioner och exremvärden och kan skaa speciella effeker såsom kalendereffeker. Dessuom skaas en ARIMA-modell för den korrigerade serien. SEATS, Signal Exracion in ARIMA Time Series, är e program för esimering av ickeobserverbara komponener i idsserier. Med ugångspunk i den av TRAMO skaade ARIMA-modellen dekomponeras idsserien i en rendcykel- och en säsongskomponen, sam en residual (irreguljär komponen) (en mer eknisk genomgång av programmen ges i Appendix A, avsni A.3). För a användaren ska kunna analysera och avgöra vilken ARIMA-modell och dekomponering som bäs passar akuella daa anger programmen resulaen av flera residualess liksom värden för olika informaionskrierier Residualanalys Efersom man vill finna en ARIMA-modell som så bra som möjlig förklarar variaionen i daa, undersöks residualerna för auokorrelaion. Om de finns auokorrelaion yder de på a de innefaar sysemaisk variaion som egenligen bör införlivas i modellen (Planas 1997, s. 56). För a konrollera för auokorrelaion i residualerna från en anpassad ARIMA-modell används den så kallade Ljung Box-Q (Gujarai 003, s. 813). Saisikan följer en χ -fördelning med (m-p-q) frihesgrader och definieras som: Q LB = T m ( T + ) i= 1 ˆ ρ k, (5) T k där T beecknar anale observaioner, m anale laggar och ρ k auokorrelaionskoefficienen vid lagg k. Saisikan esar om samliga auokorrelaionskoefficiener upp ill lagg k är lika med noll och om hypoesen godas anses serien vara vi brus. Denna essaisika har uvecklas för a även inkludera specifika säsongslaggar då es uförs på månadsdaa. Om man exempelvis vill undersöka Saisiska cenralbyrån 1

24 Meod och diagnosik Bakgrundsfaka 005:10 evenuell förekoms av auokorrelaion på de 1:e och 4:e lagglängderna används Pierce-Q: [ ] ( T + ) r ( 1) /( T 1) + r ( 4) /( 4) Q s = T T, (6) som Pierce visa följer en χ -fördelning med vå frihesgrader (Planas 1998, s. 57). E anna säa a undersöka auokorrelaion är a genomföra Runs es, också kän som Gearys es (Gujarai 003, s. 465). Tese mäer slumpmässigheen i residualernas ecken genom a de delas upp i sekvenser, där en sekvens är de anal posiiva eller negaiva residualer som ligger efer varandra. Många sekvenser innebär a residualerna ofa byer ecken och indikerar negaiv seriell auokorrelaion, medan e lie anal sekvenser indikerar posiiv seriell auokorrelaion. Genom a beräkna Q-saisikan för de kvadrerade residualerna kan residualerna esas för ickelinearie (Maravall och Sanchez 000). Om de kvadrerade residualerna är auokorrelerade yder de på icke-linearie, av ypen beingad heeroskedasicie, och a de bör modelleras med ARCHmodeller. Normalie i residualerna är en förusäning för a skaningen av koefficiener med hjälp av maximum-likelihoodmeoden ska bli korreka. För a esa om residualerna är normalfördelade beräknas skevhes- och kurosises uifrån residualernas redje respekive fjärde momen. Skevheen S anges av de redje momene m 3, m3 S = T ~ N (0,6), (7) 3 σˆ medan kurosis K beräknas uifrån de fjärde momene m, 4 m 3 ˆ σ 4 K = T ~ (0,4) 4 N. (8) Skevhe innebär a fördelningen är sned å höger eller å vänser. Kurosis innebär aningen a fördelningen har en spesig oppighe samlad mo mien eller en mer uspridd oppighe. Tillsammans kan saisikorna S och K kombineras i Bowman-Shenons normalieses, vars essaisika, N, ges av: N = S + K, som, give a S och K är oberoende, följer en χ - fördelning med vå frihesgrader (Planas 1997, s. 58 f.). 4.. Krierier för a välja modell När de gäller a avgöra vilken ARIMA-modell som bäs passar daa kan Bayes informaionskrierium (BIC) och Akaikes informaionskrierium (AIC) användas (Box, Jenkins och Reinsel 1994, s. 00 f.). Måle är a finna högsa likelihood med minsa anal paramerar och den modell som har de lägsa värde på krierierna är a föredra. Krierierna är baserade på a minimera funkionen: ( ˆ ) + ( p q) g( n) G( p, q) = ln σ a +, (9) Saisiska cenralbyrån

25 Bakgrundsfaka 005:10 Meod och diagnosik där p = 0,1,,p*, q = 0,1,,q*, där p* och q* är förbesämda övre gränser, ˆ σ a är maximum-likelihoodesimae av residualvariansen av den skaade ARMA(p,q)-modellen och g (n) är en sraffakor för inkluderande av en yerligare variabel i modellen. Sraffakorn, g (n) definieras olika för olika informaionskrierier. Om g ( n) = ln( n) / n mosvarar ekvaion (9) BIC och är g ( n) = / n fås AIC. Skillnaden mellan de vå krierierna är a BIC har e sörre sraff för överparamerisering. En annan indikaion på en bra modell skaad genom TRAMO och SEATS är a säsongs- och rendkomponenerna har så lien varians som möjlig, medan den irreguljära komponenen har så hög varians som möjlig (Maravall och Sánchez 000, s. 15). Om säsongs- och rendkomponenerna har lien varians blir esimaen mer precisa. En bra modell bör heller ine ha allför många exremvärden, då anken med modellen är a den ska förklara daa så bra som möjlig. Saisiska cenralbyrån 3

26 Resula Bakgrundsfaka 005:10 5 Resula 5.1 Enhesro En undersökning av PPI-seriens ACF på årsdaa visar a den försa auokorrelaionskoefficienen är 0,898 och funkionen ycks ava relaiv långsam (se figur A., Appendix A). De finns även en anydan om enhesro i seriens försa differens i figur 1, då inflaionsaken ine vari konsan över idsperioden. Sammanage yder dea på a de kan finnas mins en enhesro i serien, vilke esas formell nedan för både års- och månadsdaa Enhesroses på årsdaa För a undersöka av vilken ordning PPI-serien är inegrerad uförs förs enhesrosesen ADF och PP, sam saionariesese KPSS på logarimerade årsdaa ( ). Anledningen ill a årsdaa används i dessa es är, som idigare diskueras, a undvika sörningar av evenuell säsongsvariaion i daa. Vid uförande av enhesroses kan esresulaen komma a variera beroende på vilka komponener som inkluderas i regressionsmodellen. Enlig den grafiska analysen av PPI-serien (se avsni.3) uppvisar den en posiiv luning som avar någo från och med andra halvan av 1990-ale. De kan änkas a PPI-serien har en rend efersom ökningen i prisnivån, inflaionen, har vari posiiv under den sörsa delen av den undersöka idsperioden. De kan dock ine anas a prisökningen vari lika sor varje år, föruom möjligvis under perioden då inflaionen sabiliseras kring riksbankens inflaionsmål (för KPI). Uifrån dea resonemang skulle en deerminisisk rend för originalserien endas verka logisk för den senare perioden. De är även veksam om en deerminisisk rend för PPIseriens försa differens, inflaionen, bör inkluderas. Grafisk analys visar dock a seriens värden verkar falla över iden för a sabiliseras mo slue av perioden (se figur över försa differensen). Medelvärde är skil från noll under och 1980-alen då Sverige hade relaiv hög inflaion, och sabiliseras sedan på en lägre nivå från och med 1990-ale och den reformerade penningpoliiken, vilke skulle kunna innebära a de finns e skife i nivån. Slusasen om vilka deerminisiska komponener som bör inkluderas uifrån eoreiska resonemang och grafisk analys blir således oklar. Därför uförs enhesrosesen för original- och inflaionsserien både med alernaivhypoeserna om saionarie kring e medelvärde skil från noll och om saionarie kring en deerminisisk rend. Resulaen finns i abell 1 nedan. 4 Saisiska cenralbyrån

27 Bakgrundsfaka 005:10 Resula Tabell 1 Enhesroses av PPI, logarimerad årsdaa ( ) Nivå Försa differensen Andra differensen Tes Konsan Kons. och rend Konsan Kons. och rend Konsan Kons. och rend ADF essaisika _ 4.056* _ _.3 _ 4.30* _ 5.01* _ 4.873* p-värde lagg PP essaisika _ 5.86* _ _.13 _ 5.189* _ 13.38* _ 1.34* p-värde KPSS essaisika 0.673* 0.194* 0.630* 0.16* Kriisk 1% värde 5% % * markerar signifikan resula på mins fem procens nivå. ADF: Schwarz informaionskrierium används för a besämma anal laggar och sju laggar används som mes. Resulae visar a när ADF- och PP-esen uförs på seriens nivå, under anagande om a den har en konsan och rend, yder esresulaen sark på a serien är icke-saionär. KPSS-resulae bekräfar dea resula genom a förkasa nollhypoesen om saionarie. Trenden blir dock ickesignifikan i ADF-ese (p-värde = 0,345) och Schwarz informaionskrierium minskar marginell när renden as bor (från -4,05 ill -4,06). När esregressionen skaas uan rend förkasas nollhypoesen om enhesro av ADF- och PP-esen med e sark signifikan resula. Mo dea resula sälls dock resulae av KPSS-ese som yder på a serien är icke-saionär då nollhypoesen om saionarie förkasas. Tesresulaen för originalserien, när esen uförs uan rend, alar således emo varandra, varför de ine är ine klar vilken slusas som bör dras. Dea kan bero på a daa ine innehåller illräcklig informaion för a avgöra om serien är saionär eller icke-saionär. En annan orsak skulle kunna vara a serien har e rendbro som bör as med i beräkningen vid eses uförande, vilke esas nedan i Vid undersökning av PPI-seriens försa differens, inflaionen, blir slusaserna om saionarie åerigen olika beroende på vilka komponener som inkluderas i esregressionen. När serien esas med ADF- och PP-ese och en rend inkluderas, yder esresulaen på a serien är saionär kring en deerminisisk rend (och med e medelvärde skil från noll). Dock mosägs dea av KPSS-ese som förkasar hypoesen om saionarie kring en deerminisisk rend. När renden as med i ADF-ese sänks Schwarz informaionskrierium ill -4,17, jämför med värde -3,98 då endas e inercep as med, och renden är signifikan (p-värde = 0,005), vilke sammanage yder på a en rend bör inkluderas. Skaas esregressionen uan Saisiska cenralbyrån 5

28 Resula Bakgrundsfaka 005:10 rend är esresulaen enheliga och yder på a försa differensen är ickesaionär 8. För PPI-seriens andra differens är slusaserna av esresulaen enheliga. Nollhypoesen om enhesro förkasas och saionarieshypoesen kan ine förkasas, vilke yder på a andra differensen är saionär. De är för samliga es vikig a ha i åanke a de är uförda på en relaiv kor serie, och a årsdaa innehåller få observaioner, varför esen får låg syrka. Undersökningen kompleeras därför med HEGY-ese uför på månadsdaa Enhesroses på månadsdaa Ekvaion (1) skaas för a erhålla esima av π i och esimaens sandardfel och resulaen av HEGY-ese redovisas abell. Om π i = 0, för i = 1,,,1, är serien säsongsinegrerad och de är passande a använda 1 säsongsfilre (1- B ) (Aguierre 000, s. 18). Om π 1 = 0 kan hypoesen om roen +1 (nollfrekvensen), som mosvarar den vanliga roen som esas ovan, ine förkasas. De förekommer inga säsongsenhesröer om π ill π 1 är signifikan skilda från noll. Efersom de ine går a särskilja paren av komplexa röer esas de för vå och vå. Grunda på idigare resonemang kring vilka komponener a inkludera i esregressionen görs ese med konsan respekive med konsan och rend. Deerminisiska säsongskomponener inkluderas i modellen. Visserligen förlorar ese lie i syrka om säsongs-dummies används när de egenligen ine behövs (Beaulieu och Miron 1993, s. 318), men denna förlus i syrka får vägas mo den felspecifikaion i modellen (bias) som uppsår om säsongs-dummies exkluderas när de egenligen bör införlivas i modellen. Tabell Resula av HEGY-es för enhesro, månadsdaa PPI ( ) Konsan Konsan och rend Nollhypoes Frekvens Skaad saisika Kriisk värde 5 % Skaad saisika Kriisk värde 5 % 1 π = _ 4.18* _.81 _ 4.63* _ 3.3 π = 0 π ( mån) 0.95 _ _.84 3 π 3 = π 4 = 0 π (4 mån) π 5 = π 6 = 0 π 6 (1 mån) 7.78* * π 7 = π 8 = 0 5π 6 (.4 mån) 5.44^ ^ π 9 = π 10 = 0 π 3 (6 mån) 8.7* * π = π 0 π 3 (3 mån) 3.8* * = Kriiska värden är från Beaulieu och Miron (1993). * markerar signifikan resula på fem procens nivå och ^ markerar signifikan resula på io procens nivå. Tese är skaa med säsongsdummy-variabler. Max anal laggar är 1 och 4 laggar erhålls med BIC. 8 Enhesrosese på inflaionen genomfördes även uan vare sig konsan eller rend. Precis som i falle med endas en konsan, blev resulae a nollhypoesen om enhesro ine kan förkasas på fem procens nivå. 6 Saisiska cenralbyrån

29 Bakgrundsfaka 005:10 Resula Resulae visar a nollhypoesen om enhesro förkasas på mins io procens signifikansnivå för alla säsongsfrekvenser föruom för hypoes och 3. Även nollhypoesen om enhesro på nollfrekvensen, dvs. den vanliga roen som idigare esas för i avsni 5.1.1, förkasas på fem procens nivå. De är vär a noera a samma resula nås oavse om en rend inkluderas eller ej. HEGY-eses resula yder således på a PPI-serien ine har en enhesro (på nollfrekvensen) Perrons enhesroses Efersom Perron-ese, som ar hänsyn ill rendbro och nivåskife, ine genomförs i den idigare analysen av KPI (Källqvis och Nilsson 004), uförs Perrons es för både KPI ( ) och PPI ( ). För de logarimerade originalserierna genomförs ese för enhesro beinga på en bruen rend, och för inflaionen genomförs ese beinga på e nivåskife. Dessa sörningar anas ha uppkommi ill följd av omläggningen av svensk sabiliseringspoliik under början av 1990-ale och brypunken läggs därför mellan 1990 och När Perrons es för enhesro uförs på den svenska KPI-serien yder resulaen på a originalserien är icke-saionär, se abell 3. Vär a noera är a rendvariabeln i esregressionen blir signifikan, liksom den negaiva rendbrosvariabeln DT för bro vid åren 1990, 1991 och 199. När ese uförs för KPI-seriens försa differens blir resulae a serien endas kan anses saionär give a nivåskife inräffar år För övriga år är serien, enlig esresulae, icke-saionär. Dummyvariabeln för nivåskife θ blir dock signifikan på femprocensnivån för samliga es. Resulae av Perrons es på PPI-serien blir däremo någo annorlunda. För den logarimerade originalserien kan nollhypoesen om enhesro beingad på e rendbro ine förkasas för någo av rendbrosåren. Till skillnad från KPI är ine rendbrosvariabeln DT signifikan. Anledningen ill dea skulle kunna vara a KPI-serien är beydlig längre (se Appendix A, figur A.3) och a e rendbro därför blir ydligare, eller a rendbroe för PPI sker gradvis under en längre period. För PPI-seriens försa differens kan serien anses saionär beinga på e nivåskife give a dea inräffa 1990, 1991 eller För år 199 kan nollhypoesen om enhesro give e nivåskife förkasas på närmare io procens signifikansnivå. Saisiska cenralbyrån 7

30 Resula Bakgrundsfaka 005:10 Tabell 3 Enhesroses på prisserie, logarimerad årsdaa KPI ( ) och PPI ( ) med rendbro 9 ( ( ( k ( : y = µ + β1 + γdt + y ; y = α y + βi y i + ε 1 i = 1 KPI T λ k 1 ˆβ ~ ˆβ γ 1 γ ( ~ T ~ α ) ~ B 1 / seα 5% 10% ,7 1 0,005,85-0,005 -,35 -,44-3,85-3, ,7 1 0,005,87-0,004-1,96 -,4-3,85-3, ,8 1 0,005,85-0,005 -,30 -,68-3,8-3, ,8 1 0,005,84-0,004-1,66 -,66-3,8-3,50 PPI ,5 0 0,007 0,64-0,007-0,85-0,93-3,90 _ ,6 0 0,003 0,31-0,004-0,50-0,65-3,95 _ ,6 0-0,001-0, -0,001-0,08-0, -3,95 _ ,6 0-0,008-1,03 0,00 0,8 0,40-3,95 _ Tabell 4 Enhesroses på försa differensen, logarimerad årsdaa KPI ( ) och PPI ( ) y = µ + θdu + β k 1 + β D TB + αy 1 + β y + i 1 3 i ε med nivåskife: ( ) = KPI T λ k ~ T β ˆβ β ) 1 θ 1 β 1 α / se ~ B θ α 5% 10% ,7 0 0,001,444-0,048-3,768 0,039 1,799 _ 4.33* -3,80-3, ,7 0 0,001 1,864-0,037 -,671-0,031-1,445 _ ,80-3, ,8 0 0,000 1,14-0,034 -,136-0,031-1,445 _ ,75-3, ,8 0 0,000 1,14-0,03 -,139-0,007-0,301 _ ,75-3,46 PPI ,6 0 0,003-1,954-0,005-0, -0,01-0,699 _ 3.846* -3,76-3, ,6 0-0,004 -,815 0,014 0,685-0,051-1,786 _ 4.157* -3,76-3, ,6 0-0,004 -,650 0,01 0,999 0,018 0, ,76-3, ,7 0 0,018 0,588 0,010 0,468 0,010 0,333 _ 3.876* -3,80-3, Sammanfaande resula av enhesroses I abell 5 nedan preseneras en sammansällning av resulaen av de olika uförda esen för enhesro. För PPI-seriens nivå, när esen uförs med en konsan, alar esresulaen emo varandra. Enlig ADF- PP- och HEGYese är serien saionär, medan KPSS förkasar saionarieshypoesen. Om en rend inkluderas i esregressionerna alar esen för a PPI-seriens nivå är ickesaionär, föruom HEGY-ese som förkasar nollhypoesen om enhesro på nollfrekvensen. Nollhypoesen om enhesro på säsongsfrekvenserna förkasades på io procens signifikansnivå för fyra av sex säsongsfrekvenser. Försa differensen är enlig esresulaen icke-saionär, när esen uförs med konsan, men är enlig Perrons es saionär give e nivåskife vid åralen 1990, 1991 och När esen uförs med en rend alar KPSS emo resulaen av ADF- och PP-esen. Andra differensen är däremo saionär enlig samliga uförda es. 9 Perrons es genomförs med hjälp av RATS v. 4. för Windows. 8 Saisiska cenralbyrån