Numerisk analysmetod för oddskvot i en stratifierad modell

Transkript

1 U.U.D.M. Projec Repor 25:2 Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell Mikael Jedersröm Examensarbee i maemaik, 3 hp Handledare och examinaor: Ingemar Kaj Maj 25 Deparmen of Mahemaics Uppsala Universiy

2

3 Tiel Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell Uppsasförfaare Mikael Jedersröm Sammanfaning av uppsasförfaaren Den i uppsasen i dealj preciserade hypoesen om e samband som anagis kunna generera en överrepresenaion av huvudskador bland europeiska forwardspelare i NHL fanns de ine söd för i daa som analyseras i uppsasen. Snarare de vikigase analyssvare pekade i en mosa rikning. Sidoresula hiades i daamaeriale som ger indikaion i favör för förusa hypoes vilke möjligen kan uppmunra ill a vidare undersöka saken med kompleerande daakällor. I examensarbees har en meod arbeas fram Numerisk analysmeod för oddskvo i sraifierad modell och meoden finns presenerad i uppsasen, av uppsasförfaare, som en saisisk analysmeod. Maemaiska insiuionen sår ine som ansvarig för innehålle i någo anna hänseende än a goda uppsasen som del i e examensarbee och berakar uräkningar i uppsasen som enskilda och icke validerade räkneexempel. Maemaiska insiuionen sår ine heller som garan för användning av uppsasens meoder i sammanhang uanför ramen av dea examensarbee. Tack Ingemar Kaj, för synpunker och all illmöesgående Innehållsföreckning. Inledning 2. Bakgrund och meodik 3. Daamaerial 4. Meodbeskrivning 5. Daaanalys och resula 6. Käll- och lieraurföreckning

4 . Inledning Jag följer ishockeyn roge samidig finner jag de sörande med dessa miljoner av ohälsosamma hjärnskakningar inom sporen. Jag ville undersöka om de finns möjlighe a hia daa och en analysmeod som kan ge söd för a vissa grupper av hockeyspelare är särskil usaa för spelsiuaioner som resulerar i hjärnskakningar. Jag valde en modell med endas en parameer nämligen parameer för oddskvo. E analysresula som alar för e samband riskerar a bli någo inesägande om ine analysen korrigerar för oväsenliga fakorer. Gruppindelningar skapar jus förusäningar för a kunna korrigera och minska effeken ifrån oväsenliga fakorer. Den valda modellen möjliggör också gruppindelning av spelare och uan a därmed också behöva införa yerligare paramerar. De hela umynnade i en analysmeod som kan användas på en lien daamängd, på en populaion som är indelad i grupper, med e analysförfarande som kan ge indikaion på samband som genererar överrepresenaion och som levererar skaningar av oddskvo inom exaka inervall. Analysmeoden, vår exaka meod, gavs namne Numerisk analysmeod för oddskvo i en sraifierad modell. För a uveckla och esa meoden har vi val e daamaerial och designa en daasudie för dea ändamål. Daasudien hämar daa ifrån NHL och säsongen 23-4 där 42 s. ishockeyspelare hade frånvaro ifrån spel med diagnosen concussion. Frågesällning för daasudien är om de finns e samband mellan a spelare under spel blir usaa för huvudskada och om spelare har amerikansk eller europeisk hockeybakgrund. För a finna jämförelser så används fyra olika analysmeoder för oddskvo. Meod e ill meod fyra syfar på: Meod. Meod 2. Meod 3. Vår exaka meod, osraifierad daa Meod för oddskvo i Profile likelihood, osraifierad daa Vår exaka meod, sraifierad daa Meod 4. Manel-Haenszels meod, sraifierad daa Båda meoderna Profile likelihood (meod 2) och Manel-Haenszels (meod 4) är meoder som kan beecknas som approximaiva. I båda de approximaiva meoderna blir observerad daa (daa i form av skaad oddskvo-parameer) i log skala berakad som e ufall ifrån en normalfördelad sannolikhesmodell. A noera angående oddskvo, ofa berakar vi oddskvoparameern i log skala för a få mer hanerbara siffror a arbea med. Skillnader mellan exaka och approximaiva analysmeoderna kan i försa hand beskrivas av a de approximaiva meoderna analyserar daa via en modell som genererar e normalfördela daaufall vilke ju då bildar e koninuerlig och symerisk fördela daaufall. Mosvarande daaanalys uförd med exak meod analyserar oddskvo ugående ifrån en modell som bildar en diskre och dessuom osymmerisk sannolikhesfördelning för ufallen. Med samma daauppsäningar kan analys med exak meod allså jämföras med analys med en approximaiv meod. Efersom skillnader i resula mellan meoderna ine allid förvänas a vara försumbara, särskil när

5 daa mängden är lien, är de angeläge a ydlig underbygga och beskriva vår exaka meod och e särskil kapiel ägnas å a presenera meoden. Skillnaderna mellan de exaka och approximaiva meoderna förvänas bli ujämnade när daamängden ökar. De är därför inressan a med olika daaunderlag, i försa hand genom vår daasudie, jämföra analysresulaen avseende oddskvo och granska om exaka meoder och approximaiva meoder levererar likbeydande resula. 2. Bakgrund och meodik 2.. Bakgrund E syfe med daasudien är a analysera samband i en siuaion där många hockeyspelare har få sin hälsa degraderade och karriärer ödelagda av hjärnskakning. Svenska hockeyrinkar under 25 kan liknas vid e slagfäl. I NHL upplever jag värom a spele har blivi mycke renare efer a $ böer ges repressiv för huvudacklings förseelser. De kan vara inressan a undersöka möjliga mekanismer eller fakorer som påverkar förekomsen av hjärnskakning inom sporen. I daasudien undersöks en hypoes om a e samband exiserar som enderar a ge en överrepresenaion för europeiska spelare a bli usaa för skadehändelser som leder ill hjärnskakning. En preferens har vari a i försa hand undersöka redovisningsgruppen forwardsspelare i åldern upp ill 32 år. De evenuella fackkunskaper inom hockey som finns a illgå kan anses vara begränsad ill den gruppen. Daauppgifer hämas ifrån säsong 23-4 i NHL och samliga spelare med isid under säsongen bidrar ill daasudiens resula. Inge urval av spelare uförs. Informaion om spelares isider under säsong 23-4 används ine. Endas vå daauppgifer ifrån säsong 23-4 beakas, för varje spelare, aningen hade spelaren diagnosen concussion eller ine och aningen var spelaren amerikan eller europé. Spelare kan indelas i olika grupper, de förekommer en finare indelning av spelare i sraa och även indelningar av spelarna i olika redovisningsgrupper (exempelvis forwards och backar). Daauppgifer för spelare som avgör spelarnas gruppindelning (i sraa) är uesluande hämade ifrån säsong Urval Inge urval görs. Man kan änka sig a reglera modellen genom a välja a ine a med en andel icke-skadade spelare genom a slumpmässig välja u e anal spelare (rerospekiv) bland de icke-skadade spelarna. Fall- och konroll sudier innehåller e momen med urval av konroller (icke-skadade spelare i vår daasudie). Men daasudien är ine en fall- och konrollsudie och inge (rerospekiv) urval av konroller behöver genomföras.

6 2.3. Oddskvo Resulaen som as fram i daasudien ges i from av oddskvoer, oddskvoen ger e sorleksmå på samband och bakomliggande endens. Skaade oddskvoer kan också användas för a ge e numerär värde för någon yp av observerad överrepresenaion. 42 sycken diagnoser concussion är uppdelade på europeiska och amerikanska hockeyspelare sammanlag 886 s. Med uppdelningen av spelare i fyra kaegorier, med eller uan diagnosen concussion och amerikanska eller europeiska spelare kan en skaning av oddskvo beräknas. Definiionen av oddskvo med parameer noaion: π I vår exempel: Risk för fall (huvudskada) för europeisk spelare. π I vår exempel: Risk för fall (huvudskada) för amerikanska spelare. π Ω Odds. (Må mellan sannolikheer för vå olika möjliga ugångar ( π ) θ Ω θ = Oddskvo. Ω aningen inräffar den ena eller andra ugången.) Tab 2. Oddskvo, fikiva räkneexempel på oddskvoer

7 2.4. Modell anagande om en konsan oddskvo Med gruppindelning av spelarna i sraa följer a risknivåer illås a variera men vad som anas vara konsan över indelningarna är a en förhärskande endens som genererar överrepresenaion eller a e bakomliggande samband är konsan fas risknivåernas sorlek mycke väl kan variera mellan sraa Noaion för variabler Tab 2.2 Noaion för variabler (med värden) Form för daarepresenaion som koningens abell. Tab 2.3 Ekvivalen daainformaion som i ab 2.2

8 2.6. Noaion för variabler vid gruppindelning Tab 2.4 Noaion för variabler när en andel av populaionen är yerligare indelad i grupper På jus den här kombinaionen av daa uförs ingen analys. Dea exempel på indelning ugörs av alla spelare med hög saus som i sin ur är indelad i 2 grupper (2 sraa). Tab 2.5 Ekvivalen daa- informaion som i 2.4

9 2.7. Fyra analysmeoder och maemaisk modell Som redan nämns i inledningen preseneras och används fyra olika meoder för analys av oddskvo: Meod. Meod 2. Meod 3. Meod 4. Vår exaka meod, osraifierad daa Meod för oddskvo i Profile likelihood, osraifierad daa Vår exaka meod, sraifierad daa Manel-Haenszels meod, sraifierad daa Meod e, re (vår exaka meod) och meod fyra (Manel-Haenszels meod) ugår alla re ifrån en maemaisk modell med hypergeomerisk likelihood-funkion. T Hypergeomerisk likelihood-funkion L ( θ ) skrivs enlig [ Clay] T L ( θ ) = T (Alla sraa) = D K ( θ ) i θ D! D! H! H!, K ( θ ) = D θ D! D! H! H! alla möjliga D (2.). T En användbar ansas och god sar när urycke för L ( θ ) ska härledas är a fixera variabelvärdena N, N och D, se ab Forsäning av härledning av L ( θ ) ue- T lämnas. I denna maemaiska modell blir marginalerna i koningensabellerna berakade som fixerade. (Marginalerna i koningensabellerna är variablerna i de via fälen i ab 2.2 och 2.5.) (Eller mosvarande i abellerna ab 2.3 och ab 2.4 där de gröna fälen samlar variablerna som represenerar variabler i modellen som berakas som fixerade.) Efersom vår exaka meod och Manel-Haenszels meod ugår ifrån en hypergeomerisk likelihood-funkion som förusäer den här beingningen av variabler blir de mer lämplig a represenera daa med ensaka rader (som i ab 2.3 och 2.4) och ine re rader som i koningensabell (ab 2.2 och 2.5). Variablerna D observera anal skadade européer (de via fälen i ab 2.3 och 2.4) är slumpvariablerna i den hypergeomeriska modellen. Slumpvariablerna, beecknade D, kan represenera möjliga ufall eller de fakiska observerade ufalle i sraum. De siffervärde som sår jäme symbolen D ( i ab 2.3 och 2.4) är de observerade ufalle för anale skadade européer i sraum. Manel-Haenszels (meod fyra) approximaiva meod för sraifierad daaanalys preseneras i e följande avsni. Vår exaka meod (vilken syfa båda på meod e och meod re) beskrivs i e särskil kapiel 4 Meodbeskrivning. Meod vå (Meod för oddskvo i Profile likelihood, osraifierad daa) skiljer sig ifrån meod e, re och fyra genom a den maemaiska modellen för meoden ine förusäer en beingning av variabler. Tyvärr går de ine a skriva ned e maemaisk uryck för Profile likelihood-funkion som meoden använder men dea är problem som går a hanera genom a approximera Profile log likelihood-funkionen med normalfördelningens log likelihoodfunkion. Meoden preseneras sis i dea kapiel.

10 2.8. Manel-Haenszels meod Manel-Haenszel meod (meod fyra) för oddskvo i sraifierad analys är baserade på hypergeomerisk likelihood- funkion och ger approximaiva resula. Formler som används i Manel-Haenszel meod är framagna genom a söka lämpliga normal log likelihoodapproximaion ill hypergeomerisk log likelihood. Formler as fram genom a approximera log likelihood-funkion för log oddskvo-parameern (give e observera ufall ifrån den diskrea sannolikhesmodellen). Hur jus de följande approximaionerna och formlerna ( ) har agis fram ligger uanför våra ramar men en konroll hur bra och lämpliga approximaionerna är för akuell daa kan fakisk konrolleras grafisk (se sis i dea avsni). Manel- Haenszel skaning av oddskvo θ ges enlig [ Clay] av T T DH DH Q =, R =, N N = = Q θ = R (2.2). E approximaiv sannolikhesvärde för observera ufall med nedansående hypoes och mohypoes kan beräknas genom a bilda urycke (2.3), enlig [ Clay]. Scorees av H : θ =, mohypoes H : θ >. U = Q R, V T DH NN = = NN( N ), U V 2 approximaivχ 2 () (2.3). E approximaiv konfidensinervall för θ bildas genom a använda Wald-es saisika (2.4), enlig [ Clay]. Wald es av H : θ θ = Θ, sandardavvikelse, V s =, QR logθ logθ Θ s 2 2 approximaivχ () (2.4). Med Manel-Haenszel meod och formler ( ) ges verkyg för en läberäknad daaanalys för oddskvo. Hur bra approximaionen i formel (2.4) är för redovisningsgrupperna i vår daasudie kan undersökas grafisk genom a ria upp normal log likelihood-raio kurva med vär-

11 dena i formel (2.4) och sedan jämföra med uppriad hypergeomeisk log likelihood-raio kurva, sådana kurvor har rias upp i fig Meod för oddskvo i Profile likelihood Analysmeoden (meod vå) av oddkvo sker via en Profile likelihood-funkion för oddskvo, meoden ger approximaiva resula och används i osraifierad analys. Profile likelihoodfunkioner grundar sig på e uryck som bildas ifrån Binomial likelihood-funkion. Tab 2.2 åer igen. Koningensabell med noaion för variabler Tab 2.2 Spelarna kan delas upp aningen i gruppen amerikanska spelare eller europeiska spelare. Och {,}-värden kan ges för geografisk exponering. Nedsänk ea sår för europeisk kaegori. En spelares säsong kan också illdelas e {,}-värde och kaegori {D, H}. Kaegori variabel D räknar anale spelare vars spelares säsong innehåller e fall en skada concussion, variabel H räknar anale spelare vars spelares säsonger är fria ifrån skada concussion. Av sammanlag N försök observeras D händelser med ufalle och (N-D) med ufalle. Likelihood för π risk för europeiska spelare blir urycke π ( π ), D N D likelihood för π risk för amerikanska spelare blir urycke π ( π ), D N D likelihood för π och π blir då π D ( ) N π D D ( ) N π π D (2.5). Efer variabelbye och logarimering av (2.5) som ine beskrivs här kan paramerarna π och π byas u mo parameer för oddskvo θ, men även parameern odds för amerikanska spelare Ω illkommer. Den oala log likelihood-funkionen för paramerarna θ (och Ω ) blir efer omskrivningen av (2.5) enlig [ Clay] D N D θ N θ log( Ω ) log( +Ω ) + log( Ω ) log( + Ω ) (2.6). Ω Poängen är a finns kvar i urycke som exra parameer och sör. (I hypergeomeriska likelihood för oddskvo θ används ekniken a införa resrikion på modellen, en beingning av variabler i modellen, vilke möjliggör a bilda likelihood-funkion för θ uan sör paramerar. Men här används en annan eknik som beskrivs här översiklig.) Genom a punkvis i

12 funkionen (2.6) för varje värde på θ ersäa parameern Ω med e algebraisk uryck fås punkvis för varje värde på parameer θ en profile log likelihood-funkion som bara innehåller en parameer θ. De finns inge algebraisk uryck a skriva för profile log likelihoodfunkionen som gäller för varje punkvärde på θ. Profile log likelihood-funkionen måse skrivas om för varje möjlig punkvärde på θ. Och för e punkvärde på oddskvoen θ när en profile log likelihood har definieras så ger den profile log likelihood funkionen e funkionsuryck för varje värde på θ. Punkskaningen av oddskvo är D D θ = H H (2.7). I skaningen (2.7) används en kvo mellan maximum likelihhood-skaning av och en maximum likelihhood-skaning av Ω. Probleme med a ine kunna skriva ned en enhelig Profile likelihood-funkion löses genom a approximera Profile log likelihood-funkionen med normal fördelningens log likelihood. Normalapproximaionen leder fram ill formlerna ( ) och som ger medel för en läberäknad daaanalys. E approximaiv konfidensinervall för oddskvo θ kan bildas enlig [ Clay] genom a bilda Wald-es saisika (2.8). Wald es av H : θ θ = Θ, Ω s = D D H H, logθ log s θ Θ 2 approximaivχ 2 () (2.8) E approximaiv sannolikhesvärde för observera ufall med nedansående hypoes och mohypoes kan beräknas genom a bilda urycke (2.9), enlig [ Clay]. Scorees av H : θ =, mohypoes H : θ >, N U D D N =, V DHN N N 3 =, 2 U V approximaivχ 2 () (2.9). Score-varians V säger någo om krökningen hos akuell log likelihood-funkionen för observerad daa i punken oddskvo=. Noera urycke för V och observera skillnaden mellan hypergeomerisk modell med N N ( N ) i nämnaren och här med modell baserad på en Profile log likelihood-funkion har vi isälle N i nämnaren i urycke för V. Följakligen och sär- 3 skil när daamängden är lien så skiljer sig även daaanalysen i hypergeomerisk modell ifrån daaanalysen i modell baserad på Profile likelihood-funkion.

13 3. Daamaerial Daamaeriale ur vilka alla idenifierade huvudskador hämas är en daabas [DB] med informaion som är fri illgänglig på Inerne. Daamaeriale har vissa briser som underlag a bedöma de samband som uppsasen syfar ill men bäre underlag fanns ine a illgå uan kosnad. Daamaeriale fungerar också och umärk som räkneexempel. 3.. Redovisningsgrupper i daasudien Daamaeriale innehåller 886 spelare ifrån säsong 23-4 och med c:a 4 sycken spelare som har en diagnos hjärnskakning. En grupp spelare Forwards är uvald a ugöra huvudinresse för analysen av daamaeriale. Resulae ifrån gruppen Forwards preseneras i resulaen som huvudresulae för daasudien. Övriga resula ifrån övriga spelaregrupper preseneras som sidoresula. Populaionen delas in i 4 sycken redovisningsgrupper: Forwards, backar, erfararna spelare, rookies sam grupperna i förening. Dessuom preseneras respekive redovisningsgrupp med eller uan yerligare separaa indelningar (sraa). (Resulaen ifrån redovisningsgrupper backar, erfararna spelare, rookies uelämnas.) 3.2. Sraifiering Gruppindelning av hockeyspelarna har ske genom en procedur som av urymmes skäl ine redogörs för här. Avsiken med gruppindelning är a minska beydelsen av möjliga riskfakorer som kan förvänas söra analysen av e samband mellan fakorer eller spelarkaegorier och benägenhe hos spelare a ådra sig en huvudskada. Syfe med sraifiering är a ge de riskfakorer som är uvalda a vara meningsfulla e sörre urymme och ugöra en dominerande förklaringsgrund ill de samband som evenuell går a påvisa i daamaeriale. De riskfakorer som ine är av primär inresse och som därför genom uförd gruppindelning ska ges en minskad beydelse i daaanalysen är spelsil, saus (spelar värde i $), spelares sorlek (kg). Bakomliggande fakorer som vals u vara inressana och a hypoeisk kunna vara av beydelse för e samband sam spekulaiv besäms a kunna anses vara nära knue ill spelarens härkoms (geografiska illhörighe aningen europeisk eller amerikansk) är spelarens hockeyubildning, olika änkbara skäl ill a ine bli berakad som likvärdig av publik, medier, disciplin nämnd och övriga spelare.

14 4. Meodbeskrivning Dea kapiel är vik enbar ill beskrivning av vår exaka analysmeod för oddskvo. Meoden är egenligen endas en enda meod men efersom meoden fungerar uan några ändringar i beräkningskod för båda sraifierad daa och osraifierad daa kan den anses fungera som vå meoder. Meoden som idigare nämns ugår ifrån en maemaisk modell med hypergeomerisk likelihood-funkion. Modellanaganden och hur modellen ska kunna användas i e sammanhang i verkligheen lämnas för illfälle, de behandlas i kapiel 2. Som räkneexempel för meoden används vår daasudie och beräkningar med daa ifrån sudien åskådliggörs med figurer i slue av kapile. Umärkande för meoden är a den ine använder någon abellfördelning för a ange ufallsmöjligheer och sannolikheer för ufall. Isälle så används hypergeomerisk sannolikhesfunkion ill a ange alla möjliga ufall i dealj sam a beräkna sannolikhe exak för varje specificera möjlig ufall. När daa är sraifiera så växer anale möjliga ufall och beräkningsmängden ökar snabb. De finns olika former a välja för represenaionen av enskilda daaufall. E enskil daaufall kan dessuom aningen vara e observera daaufall eller e möjlig ufall. Valda represenaionen av daaufallen i meoden är maximum likelihood-skaning av oddskvo. Bör noeras a de saknas algebraisk uryck och formel för maximum likelihood-skaning i hypergeomerisk likelihood-funkion för oddskvo. Maximum likelihood-skaning av oddskvo måse beräknas numerisk genom a maximera likelihood-funkion för oddskvo med akuell daa. E överraskande resula för hypergeomerisk likelihood-funkion för oddskvo i sraifierad modell är a anale möjliga olika siffervärden för ufallen som kan bildas med represenaionen maximum likelihood-skaning av oddskvo är e begränsa anal. I följande exer uvecklas resonemange yerligare kring varför de möjliga ufallen bildar en diskre och begränsad ufallsmängd. Ugående ifrån en daauppsäning skapas en saisk ufallsmängd av maximum likelihoodskaningar av oddskvo. Meoden bygger sedan allså på a för den skapade oföränderliga ufallsmängden bilda och beräkna exaka sannolikhesfördelningar. Sannolikhesfördelningen för ufallen ändras beroende av de akuella värde på oddskvo-parameern. Sannolikhesfördelningarna är beräkningsbeungande a räkna fram efersom en sannolikhesfördelning besår av e sor anal möjliga ufall som växer snabb med daasorlek. I vår daasudie hias en daauppsäning där anale möjliga ufall är cirka 5. Och sannolikheerna för dem alla måse beräknas. Dessuom kan meoden kräva a beräkningen av sannolikheer kan behöva ske så många gånger som 8 gånger för samma daauppsäning. En ny sannolikhesfördelning måse beräknas för varje värde på oddskvo-parameern. I meoden och med daaexemple med 5 möjliga ufall besår ufallsmängden av oddskvo skaningar endas av e fåal diskrea gemensamma värden. Anale diskrea möjliga värden som ufallen i ufallsmängden kan ana i exemple ovan är endas omkring 4 olika värden. Meoden använder som nämns ine en abellfördelning för daaanalysen. De är dessa ovan beskrivna exaka diskrea sannolikhesfördelningar som ugör grunden för all analys i meoden. Och för a sammanfaa, en daauppsäning i daasudien har en ufallsmängd av möjliga ufall som är saisk. Men daauppsäningens sannolikheer för möjliga ufall förändras och beror av värde på parame-

15 ervärde för oddskvoen, En diskre sannolikhesfördelning måse allså beräknas för varje värde på oddskvo-parameern och för varje daauppsäning. I följande ges specifikaioner för meoden, en segvis beskrivning av meodiken för meodens genomförande och figurer preseneras för a ydliggöra meodiken i meoden. I framsällningen hias även en skissad bevisföring som säger a de finns e gemensam exremvärde på oddskvo-parameern i hypergeomerisk likelihood- funkion för oddskvo i sraifierad modell för daaufall med samma anal exponerade fall. Den gemensamma exrempunken moiverar a daaufallen sammanfaller ill en påfallande diskre ufallsmängd av skaade oddskvoer på de sä som nämns ovan. De beräkningsunga numeriska beräkningarna genomförs i programmeringsmiljön MATLAB och koden finns i uppsasförfaarens ägo. 4.. Faka om meod Resula som levereras ifrån Numerisk analysmeod för oddskvo i sraifierad modell : Maximum Likelihood- skaning av gemensam oddskvo för sraifierad daa. 95 % Konfidens inervall för oddskvo-parameer. (Exaka p-värden). 9 % Konfidens inervall för oddskvo-parameer. (Exaka p-värden). Tes och P-värde: Exak sannolikhe för observerad daa med en nollhypoes oddskvo=. Tes med signifikans nivå.5. P-värden angivna med en enkel sidig mohypoes. Syrka: Sannolikhe (exak) för a deekera signifikans med en oddskvo =2.2. Konroll av modellanpassning för observerad daa. Andra faka: Modell: Hypergeomerisk likelihood funkion för oddskvo. Numeriska beräkningar för ML-skaning av oddskvo och exaka konfidensinervall. Meoden är verifierad a fungera med upp ill 42 exponerade fall och -7 sraa och med anal konroller upp ill 8s. Programkod är skriven i MATLAB. Resulaen ges med re siffrors noggrannhe. Daa inpu sam meodens meodikseg för beräkningarna ges i meodbeskrivning Meodikseg. Daainpu ill meoden Följande variabler behöver laddas och är illräcklig för a kunna genomföra alla beräkningar i meoden för akuell daauppsäning. 2 T [,,...,,..., N ]: Anal exponerade objek i respekive sraum. N N N 2 T [,,...,,..., N ]: Anal icke exponerade objek i respekive sraum. N N N 2 T [ D, D,..., D,, D ]: Anale fall i respekive sraum. 2 T [,,...,,..., D ]: Anale observerade exponerade fall i respekive sraum. D D D Den maemaiska modellen som används beskrivs av hypergeomerisk likelihood-funkion. 2 T 2 T 2 T Variablerna [ D, D,..., D,, D ], [ N, N,..., N,..., N ] och [ N, N,..., N,..., N ] är fixerade av modellbeingelserna och berakas som konsaner. Variablerna 2 T [,,...,,..., D ] är de sokasiska variablerna i modellen. D D D

16 4.3. Meodikseg 2. Generera samliga ufall 2 T Alla möjliga ufall skrivna på formen [ D, D,..., D,..., D ] och ine enbar de enskilda observerade ufalle genereras i e daorprogram och samlas i en daasrukur. Anale möjliga ufall växer exponeniell och för en daauppsäning med 7 sraum med 886 spelare genererades exempelvis c:a 5 olika möjliga ufall. Mängden C definieras a ugöras av samliga möjliga ufall på formen 2 T [,,...,,..., D ]. yi D D D 2 T C och beecknar e ufall represenerad på formen [,,...,,..., D ]. y observerad y i D D D beecknar observera ufall och är e ufall av alla möjliga ufall i C Meodikseg 3. Välja en skaning av oddskvo Varje möjlig ufall besående av daa ifrån T olika sraa ranformeras ill e endimensionell 2 T ufallsvärde genom a för varje ufall på formen [ D, D,..., D,..., D ] beräkna en skaning av oddskvo θ. Maximum likelihood-skaning θml y i som skaning av oddskvo är e naurlig alernaiv a välja. För varje möjlig ufall yi ( yi C) skaas en θ ML för y i. Maximum likelihood-skaning θml yi skaas för alla yi numerisk genom a maximera hypergeomeriska likelihood-funkion för oddskvo i sraifierad modell och akuell ufall. y i 4.5. Meodikseg 4. Ordna alla ufall efer sorlek För a kunna ordna alla möjliga ufall yi Cvisar de sig a summan D är illräcklig informaion för a ordna ufallen. A ordna alla möjliga ufall efer summan D är ekvivalen med a ordna alla yi C efer sorleken på skaningen av oddskvo θml y i i hypergeomerisk likelihood-funkion för oddskvo och i sraifierad modell. T ( D = D.) = Yerligare förydligande: Ufall yi C med samma summa D har exrempunker med gemensam punk på parameeraxeln θ, exrempunkerna har samma värde på θ vilke är de väsenliga för skaningen av oddskvo θml y i. Exrempunkerna har olika maximum värden på funkion L ( θ ), se formel (4.) nedan, vilke för skaningarna av θ T ine är väsenlig. Med hjälp av maemaisk uryck nedan, se (4.2), skissas en bevisföring som säger a samliga möjliga ufall med idenisk summa D har exrempunker med en gemensam punk på parameeraxeln.

17 4.6. Meodikseg 5. Ordna ufallen kring observera ufall 2 T Observerad daa ugörs av endas e av de möjliga ufallen av ypen [ D, D,..., D,..., D ] med en skaad oddskvo ˆ θ ML yobserverad. En illusraion över när samliga möjliga ufall på formen ˆ θml yi blivi ordnade framgår nedan i figur, se fig 4.. Samliga ufall yi, yi C, skrivna på formen ˆ θml yi delas in i re kaegorier. Kaegori - mera exrem än observerad daa (gröna saplar i fig 4.). Kaegori 2 - likvärdig med observerad daa allså lika sor som ˆ θ ML yobserverad (svar sapel). Kaegori 3 - mindre exrem än observerad daa (rosa saplar i fig 4.) Meodikseg 6. Sannolikhe för varje ufall Sannolikheen beräknas för varje ufall y i C. Sannolikhesfördelningar för ufallen y i bildas genom a beräkna sannolikheerna med akuell värde på oddskvoen θ. Akuell värde på oddskvoen θ ändras allefer när meodens konfidensinervall, p-värden och syrka ska 2 T beräknas. Sannolikheen för varje enskil ufall av ypen [ D, D,..., D,..., D ] beräknas genom a använda sannolikhesfunkionen Py ( T i θ ) illika likelihood-funkion L ( θ ). Likelihood L ( θ ) presenerades även i kap 2, se (2.), och skrivs åer igen T (4.). Hypergeomerisk likelihood-funkion (och sannolikhesfunkion Py ( i θ )) T L ( θ ) = T (Alla sraa) = D K ( θ ) i θ D! D! H! H!, K ( θ ) = D θ D! D! H! H! alla möjliga D (4.). OBS! Som idigare anys, se ab 2.3, Variablerna D, D, H och H innehåller ekvivalen informaion som den alernaiva represenaionen för daainpu i variablerna, N, och D. N D För a visa a samliga möjliga ufall med samma anal exponerade fall D också har e gemensam exremvärde på oddskvo-parameern i hypergeomerisk likelihood-funkion för oddskvo i sraifierad modell bildas urycke (4.2). En skissarad bevisföring ges här (på begäran kan en ydligare förklaring visas). Efer logarimering av (4.) och variabel bye och derivering fås urycke T ( γ ( β )) = - β T ( D = D.) = T (log K γ ( β )) T + D (4.2). β = =

18 För värden på β där urycke (4.2) anar värde noll erhålls en maximum likelihoodskaning av oddskvo. Försa ermen i (4.2) ill vänser om likheseckne är per definiion idenisk för varje möjlig ufall. Alla ufall med samma oalsumma anal exponerade fall (andra ermen D ) kommer också ha gemensamma maximum likelihoodskaningar θml av oddskvo-parameern. Slusasen av bevisföringen unyjas ill a moivera varför ufallen sammanfaller ill en påfallande diskre ufallsmängd av skaade oddskvoer. Resulae a ufall med samma summa D har gemensam skaning på oddskvoen unyjas i meodikseg ovan när ufallsmängden ordnas Konfidensinervall för oddskvo Konfidensinervall för oddskvo beräknas genom a följa meodikseg ill 6 enlig ovan. Meodikseg 6 upprepas genom a en serie av olika värden på oddskvo-parameern prövas ieraiv ills a summerade sannolikheer för enskilda ufall som är mindre exrem än observera ufall bildar summan.95. (Vilke är ekvivalen med a summan av rosa saplar blir.95 i fig 4.2.) E parameervärde på oddskvoen och undre gräns i e 9 % konfidensinervall för oddskvo har därmed beräknas koppla ill e exak p-värde =.5. Och generell bildas övre (eller nedre) gränser i konfidensinervall ieraiv genom en algorim som gissar en serie av odds, en serie som konvergerar, mo en oddskvo som ger en summerad sannolikhesmassa för samliga möjliga ufall mera (eller mindre) exrem än observerad daa e give sannolikhesvärde (.975 eller.95) Tes och sannolikhesvärde för ufall. P- värde Ufallsmängden av maximum likelihood-skaningar av oddskvo bildas på sä som beskrive ovan genom meodikseg -5. När sannolikhesfördelningen för samliga ufall bildas, enlig meodikseg 6, så väljs oddskvo =. P-värde beräknas genom a summera sannolikheer för möjliga ufall (i form av θml skaningar) mera exrem eller lika sor som observera ufall, se fig 4.4. Teses hypoes och signifikansnivå är: nollhypoes H : θ =, mohypoes H : θ >, signifikans nivå: Syrka Meodens syrka eller presanda på meoden beräknas genom a använda meodens es ill a fassälla kriisk gräns för akuell daauppsäning. Sedan beräknas exaka sannolikheen för a uppnå kriisk gräns med en förhärskande oddskvo på =2.2, se räkneexempel i fig 4.5.

19 4.. Konroll av modellanpassning hos daa Konroll av modellanpassning hos daa kan enkel genomföras genom a granska varje observera ufall D i sraa och i [ D 2 T, D,..., D,..., D ]. och om någo observera ufall D (eller en serie av flera observerade D ) har e all för låg sannolikhesvärde kan anagande om en konsan oddskvo vara felakig för observerad daa Figurer förklarade Fig 4. -fig 4.5 delar samma möjliga diskrea ufallsmängd (men har olika sannolikhesfördelningar för ufallen efersom oddskvoens värde varierar). De gemensamma ufallsmängderna har blivi uräknade ugående ifrån samma daainpu (886 spelare i redovisningsgrupp Förenade, samliga spelare ). Exempelvis svar sapel, i fig , som samlar en delmängd av ufallsmängden innehåller c:a 2 olika möjliga ufall vilke går a uläsa ur fig 4.. Dessa möjliga 2 ufall i svar sapel delar e gemensam diskre värde på ˆ θml yi. Ufall som har samma anal exponerade fall (samma anal europeiska spelare med huvudskada) har alla e gemensam värde på maximum likelihood skaningen av oddskvo, vilke har moiveras i e ovansående avsni. När sannolikheer ska beräknas, exempelvis för a vi ska erhålla e ufall placerad i hopen av möjliga ufall i svara sapeln så måse samliga 2 separaa sannolikheer för varje möjlig ufall i svara sapeln beräknas separa och sedan adderas samman. Summan av samliga anal ufall (Gröna, svara och rosa saplar) besår av c:a 5 sycken ufall. Separa uräknade sannolikheer för samliga c:a 5 ufall beräknas och en sannolikhesfördelning bildas med akuell värde på oddskvo-parameern. (I daa koden konrolleras också a summan av c:a 5 ermer verkligen summeras exak ill =.) I fig 4.2, fig 4.3, 4.4 och fig 4.5 visar exempel på bildande av exaka sannolikhesfördelningar för ufallen med represenaionen för ufallen i form av maximum likelihood-skaning av oddskvo. Med olika värden på oddskvo-parameern har sannolikheen för samliga möjliga ufall beräknas genom a använda hypergeomerisk likelihood-funkion (4.) för oddskvoen. De olika värdena på oddskvo-parameern som används i figurerna är oddskvo θ =.886 (i fig 4.2), oddskvo θ =3.3 (i fig 4.3), oddskvo θ = (i fig 4.4) och oddskvo θ =2.2 (i fig 4.5).

20 4.3. Figurer Fig 4. Ufallsmängd. Anal möjliga ufall och ufallen i en ordnad ufallsmängd Fig 4. Kommenar. Daainpu som används i fig 4. (och även i fig ) hias i abell och ugörs av 886 spelare i redovisningsgruppen Förenade, samliga spelare. Kommenar 2. Fig 4. visar en ordnad mängd av alla möjliga ufall. Daa är samliga 886 spelare i 7 sraa. Om anale europeiska och amerikanska spelare skulle ha vari lika sora skulle cenrum för sapelsamlingen förskjuas ifrån ~.4 ill noll. Kommenar 3. Svar sapel innehåller c:a 2 olika möjliga ufall varav e av dessa ufall är de observerade ufalle. Fig 4.2 Konfidensinervall (9 %) nedre gräns Fig 4.2 Kommenar. Fig 4.2 innehåller samma daainpu som fig 4.. Svara sapeln innehåller c:a 2 sycken möjliga ufall. När sannolikheer ska beräknas, exempelvis för a vi ska erhålla e ufall placerad i hopen av möjliga ufall i svara sapeln så måse samliga 2 separaa sannolikheer för varje möjlig ufall i svara sapeln beräknas och sedan adderas samman. Kommenar 2. Sannolikhesfördelning för oddskvoskaningar beror av värde på oddskvo-parameern. Olika värden på oddskvo-parameern prövas ieraiv ända ills a summan av rosa saplar blir.95. En undre gräns för e 9 % konfidensinervall för oddskvo har därmed beräknas. Kommenar 3. Här ges en förklaring ill denna olkning av 9 % konfidensinervall. Skulle meoden upprepas med en bakomliggande oddskvo>.886 och vi noerar e ny hypoeisk observera ufall, sannolikheen för a de nya observerade ufalle skulle vara lika sor eller sörre än de fakiska observerade värde.69 (se fig 4.) blir då >.5. Genom a upprepa förfarande ovan och även bilda en övre gräns så skapas e konfidensinervall för oddskvo. Innanför inervalles gränser och för varje värde på den bakomliggande oddskvoen kommer e bilda 9% sannolikhesinervall (dubbelsi-

21 dig kring oddskvoen) för en ny hypoeisk observaion och ny skaning av oddskvoen allid inrymma de observerade värde.69. Fig 4.3 Konfidensinervall (9 %) övre gräns Fig 4.4 P- värde, sannolikhe för observera ufall (med es specificera ovan) Fig 4.5 Beräkning av syrka för meod

22 4.4. Figurer, del 2, med osraifierad daauppsäning Fig 4.6 Konfidensinervall (9 %) nedre gräns, osraifierad analys

23 5. Daaanalys och resula Varje redovisningsgrupp i daasudien finns både represenerad i en osraifierad represenaion av daa och en sraifierad daauppsäning. Daaabeller med genomförda sraifieringar i vå redovisningsgrupper redovisas nedan, redovisningsgrupperna är Forwards och Förenade, samliga spelare (se ab 5..2 och 5.2.2). Daa i abellerna är uesluande ifrån säsong 23-4 i NHL för ishockeyspelare. Ugående ifrån daauppsäningarna i daaabellerna nedan (i ab ) ges underlag ill a beskriva daaufalle med maemaiska modeller i form av uppriade log likelihood-raio kurvor för log oddskvo. Två hypergeomriska likelihood-funkioner och vå normala likelihood-funkioner används som maemaiska modeller för akuell daa. Log likelihood-raio kurvor för båda sraifierad daa och osraifierad daa blir uppriade i figurer nedan, vilke blir fyra kurvor uppriade i varje graf och redovisningsgrupp (se fig 5. och fig 5.2). Uppriade log likelihood-raio kurvor ugör e komplemen ill daaanalysen för de fyra analysmeoderna av oddskvo som används i daasudien. Resula ifrån de fyra analysmeoderna för oddskvo redovisas i resulaabeller för de vå redovisningsgrupperna Forwards och Förenade, samliga spelare (se ab ). Sluligen kommer en sammanfaning av daasudien och några kommenarer kring vår exaka meod.

24 5.. Daarepresenaion och daa för spelare 23-4 Tab 5.. Uan gruppindelning. Forwards. Primär redovisningsgrupp Tab 5..2 Gruppindelning av Forwards. Primär redovisningsgrupp E sraum föll bor som innehöll enbar 53 amerikanska spelare och med e fall. Redovisningsgrupp: Forwards (a).

25 Tab 5.2. Uan gruppindelning. Förenade, samliga spelare Tab Gruppindelning av Förenade, samliga spelare Redovisningsgrupp: Förenade, samliga spelare (u).

26 5.2. Log likelihood-raio grafer ill de fyra meoderna Uppriade log likelihood-raio kurvor för oddskvo i log skala ger en kompleerande bild över hur de fyra meoderna fungerar för akuell daa. Log likelihood-raio kurvorna kan ge yerligare analyssvar om man skulle välja a använda kurvorna ill de ändamåle. Några analyssvar har dock ine hämas ur uppriade kurvor. Uppriade kurvor kan användas ill en översiklig grafisk jämförelse med de siffervärden som har levereras ifrån de fyra olika analysmeoderna för oddskvo. För samma redovisningsgrupp rias fyra log likelihood-raio ploar i samma graf. Ploarna är uppriade för den likelihood-funkion vilken respekive analysmeod ugår ifrån. De är vå normala och vå hypergeomeriska log likelihood-funkion kurvor uppriade i samma figur. Graferna ger bl.a. informaion om hur närliggande normal likelihoodfunkionen är kurvan för hypergeomerisk likelihood-funkion för given daauppsäning. Graferna illusrerar även uppnådd effek av sraifiering, förändring av varians sam värde på skaningen av oddskvo går a uläsa genom a jämföra ploar med eller uan sraifiering Uppriade log likelihood-raio kurvor Fig Uppriade log likelihood kurvor som avser de fyra analysmeoderna: )Exak meod osraifierad daa analys (hypergeomerisk log likelihood). 2)Normal approximaion av Profile- likelihood och osraifierad daaanalys. 3)Exak meod sraifierad (hypergeomerisk log likelihood). 4)Normal approximaion med Manel-Haenszel meod i sraifierad daaanalys. (Sraifierade daauppsäningen 5..2 är uppriad i fig 5.. Osraifierade daauppsäningen i ab 5.2. och sraifierade daauppsäningen i ab är uppriad i fig 5.2.) Fig 5. Fyra analysmeoders olika log likelihood-raio kurvor, givna för daa Forwards Fig 5. Anm. Skevhe beror av ojämn proporion av spelarkaegorier 235/69. Anm 2. Daainpu för de fyra ploarna är enbar ifrån abell Forwards.

27 Fyra analysmeoders olika log likelihood-raio kurvor, givna för daa Förenade, sam- Fig 5.2 liga spelare Fig 5.2 Anm.. Skevheen i blå ploen osraifierad är näsan bora beroende av ökad daamängd. Anm 2. Skevheen i (gröna) ploen för sraifierad hypergeomerisk likelihood besår (men med minskad skevhe). Kvarvarande skevhe är ine enbar oönskad, uan värom, skulle fördelningen i varje sraum vara idenisk skulle vikigase anledningen ill sraifieringen ine vara verksam. Kvarvarande skevhe kan ses som e ecken på en lyckad sraifiering. Anm 3. Den horisonala sreckade röda linjen är av e inresse för a jämföra analysmeodernas 9% konfidensinervall. Där likelihood-raio kurvan korsar den horisonala röda linjen mosvaras (mosvaras exak eller approximaiv får lämnas osag) av gränserna i e 9% konfidensinervall för en koninuerlig fördelning som följer uppriad likelihood. Anm 4. En konsekvens av a exaka meoden ugår ifrån en diskre ufallsmängd resulerar i a meoden också har en mer konservaiv olkning av konfidensinervall. Osraifierad log likelihood-kurvor ger e söd för e inervall med oddskvo>. (Blåa ploarna korsar röda linjen när log odds >.) Vår exaka meod ger ine e söd för oddskvo>, i abell hias isälle värde.985. Orsaken ill a exaka meoden levererar e värde mindre än = för nedre inervallgräns i e 9 % konfidensinervall får en förklaring och kanske kan inses genom a granska den diskrea sannolikhesfördelningen som bildas med en oddskvo =.985 (i fig4.6) och konsaera a sannolikheen för de diskrea observerade ufalle är så sor som 2.7 %.

28 5.4. Resula. Forwards spelare, 23-4, primär redovisningsgrupp

29

30 5.5. Resula. Förenade, samliga spelare

31

32 5.6. Kommenarer. Daasudie Söd saknades för söka sambande mellan ishockeyspelare och huvudskador i illgänglig daa och i primär redovisningsgrupp besående av forwards spelande i NHL säsong Men för vå redovisningsgrupper som ine vari i fokus för daasudien gav daaanalysen vå funna resula som anyder e samband och en bakomliggande endens om a europeiska spelare i en högre grad är drabbade av hjärnskakningar än de amerikanska spelarna. E av de funna resulaen som avses hias i abell 5.4., de andra funna resulae fanns i en redovisningsgrupp som har uelämnas av urymmesskäl. Den approximaiva daaanalysen gav signifikana värden men mosvarande daaanalys för daa med vår exaka meod gav ine signifikana värden. Borse ifrån a en slusas om signifikans ine fick söd av båda meoderna och a beydelsen reduceras av a redovisningsgruppen ine vari i fokus i daasudien så finns yerligare e skäl a fäsa lien vik vid de funna resulaen. Daa bakom dessa funna resula är osraifierad och daa har ine blivi korrigerad genom en sraifiering som rensar undan effeker ifrån ovidkommande fakorer som eroderar innebörden av e evenuell samband Slukommenarer. Meod En exak meod har uformas och givis namne Numerisk analysmeod för oddskvo i sraifierad modell. Meoden analyserar samband eller en förhärskande endens som genererar överrepresenaion. Som i sycke ovan nämnda exemple med värden hämade i abell 5.4. så kan exak meod och approximaiv meod lämna olika svar. Olikheerna i exemple i abell 5.4. kan bäs förklaras av a den exaka meoden använder en konservaiv olkning av p- värden och konfidensinervall vilke är en direk konsekvens av a meodiken i den exaka meoden vid beräkningen av p-värden och konfidensinervall beakar a maximum likelihoodskaningar av oddskvo i akuell modell har en påfallande diskre (och ine koninuerlig) ufallsmängd. En yerligare visad olikhe mellan analysmeoderna för oddskvo illusreras av a sudera uppriade log likelihood-raio kurvor för log oddskvo. Uppriade kvadraiska (symmeriska) normala log likelihood-raio kurvor avviker ifrån uppriade någo skeva hypergeomriska log likelihood-raio kurvor vid akuell daa. Uppriade log likelihood-raio kurvor för log oddskvo (figurer 5. och 5.2) visar a när daamängden var lien (~2 fall) så var område för oddskvo som observerad daa ger sörs söd för a inrymma sanna värde på oddskvoen skev. Med en sörre daamängd (~4 fall) minskade skevheen men försvann ine. Den exaka meodens analys av oddskvo är anpassad efer skevhe. I redovisad daasudie, och generell när daamängden ine är all för sor, levererar vår exaka meod maximum likelihood-skaning av gemensam oddskvo för gruppindelad daa med exaka konfidensinervall för oddskvo sam exaka sannolikhesvärden för observerad daa.

33 6. Käll- och lieraurföreckning 6.. Tryck maerial [ Clay] Clayon, David. Saisical Models in Epidemiology. Oxford Universiy, sidor 66-78, Inerne och i uppsasförfaarens ägo [DB] Vollman, Rober. Sas compiled by Rober Vollman. Place, URL :// Daabas, 887 poser med samliga akiva spelare säsongsdaa 23-4 och 22-3, 24.