Livförsäkringsmatematik II

Transkript

1 Livförsäkringsmaemaik II iskrea kommuaionsfunkioner Erik Alm, Hannover Re Sockholm 2013

2 iskre eknik Premier och annuieer bealas diskre ödligheen definieras ofas i en diskre abell (Undanag: de Nordiska länderna) Lähanerlig vid beräkning i kalkylprogram (som Ecel) Vid koninuerlig eknik måse man gära approimaioner för a uföra sina beräkningar iskre änkande fungerar när produkerna blir för komplicerade för a haneras med koninuerlig eknik Läare a förså för uomsående 1

3 iskre eknik ödlighe sker koninuerlig ödligheen är i de Nordiska länderna definierad koninuerlig aasysemen bygger på koninuerlig eknik (och Makehams formel) iskrea händelser är ofa månaliga medan man radiionell arbear med helår som bas vid diskre eknik 2

4 ödfallssannolikhe Sannolikheen a en individ av ålder dör innan han uppnår ålder +1 Kan vara beroende av kalenderår T beecknar kalenderår Ofas definierad via abell Man maimerar ill e sor al, eempelvis 120 Ges ofa i promille 3

5 Anal levande Man änker sig en kohor som är eempelvis vid ålder 0: l() = Vi definierar nu l(+1) = l() * (1-q) På vägen definierar vi p() = 1-q() = l(+1)/l() Så vi får l(+1) = l() * p() 4

6 Räna Vi anar en årlig räna i Vi fassäller diskoneringsfakorn: v = 1/(1+i) Vi fassäller också diskoneringsfakorn v() = v = 1/(1+i) 5

7 Eårig livsfallsförsäkring Tecknas vid år Faller u vid +1 om försäkringsagaren är vid liv Förränas under iden med i Fassäll neopremien = nuvärde av förvänade framida försäkringsubealningar Alernaiv 1, den försäkrade överlever, nuvärde av förvänad ubealning blir p * v * S Alernaiv 2, den försäkrade överlever ine, vi får q * 0, Toal får vi med försäkringssumma 1 E() = p()*v = l(+1)/l()*v(+1)/v() = l(+1)*v(+1) / l()*v() Premien blir E() * S 6

8 Livsfallsförsäkring Premie: E() = p()*v = l(+1)/l()*v(+1)/v() = l(+1)*v(+1) / l()*v() efiniera () = l()*v() Vi får E() = (+1) / () Vi får också E() = (+n) / () för engångsbeald livsfallsförsäkring som faller u om n år (vid ålder +n) 7

9 Bealas årligen så länge den försäkrade lever Summan av livsfallsförsäkringar Engångspremien blir mosvarande summa ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 E Genas börjande livräna 8

10 N efiniera 0 N ( ) ( ) 9

11 Livräna Vi får för vår livsvariga livräna E() = N() / () Om den börjar bealas u från år n (ålder +n) får vi E() = N(+n) / () Och allså vid e år i efersko: N(+1) / () 10

12 Temporär livräna Livräna från ålder ill och med ålder +n-1. Engångspremien blir E() = N()/() N(+n)/() = (N()-N(+n)) / () 11

13 Premielivräna Premier bealas från ålder ill och med ålder +n-1. Nuvärde av dessa blir som mosvarande livräna: (N()-N(+n)) / () muliplicera med den årliga premien 12

14 Livsfallsförsäkring Hopsparande av pensionskapial: Premie bealas årligen, beloppe faller u vid uppnådd ålder +n. Värde av försäkringsersäningen är (+n) / () Värde av premierna är P() * (N() N(+n)) / () Premien blir P() = (+n) / (N() N(+n)) 13

15 Löpande premie Vi ser skillnaden: Vid engångspremie är nämnaren () Vid löpande premie är nämnaren N() N(+n) Generell gäller: Premien * premiebealningsperiod = Försäkringsersäning, dvs Premien = Försäkringsersäning/Premiebealningsperiod 14

16 Livsvarig uppskjuen livräna (pensionsförsäkring) För en livsvarig livräna uppskjuen ill idpunk n ill löpande premie får vi på samma sä P() = N(+n) / (N()-N(+n) 15

17 Försäkring mo dödsfall Eårig försäkring: Försäkringsbeloppe bealas u om den försäkrade dör under åre. (Temporär försäkring) Ubealningar: Belopp, sannolikhe och diskoneringsfakor: Vid dödsfall: S * q * v ½ (Vi anar a dödsfall sker i mien av åre) Vid livsfall: 0 * p * v Vi får: E() = q*v ½ om S=1 16

18 Försäkring mo dödsfall Vi har P = q * v(½) = q()*l()*v(+½) / l() * v() = q() * l() * v(+½) / () Vi definierar förs d() = q() * l() (de avlidnas al) Sedan definierar vi mosvarande kommuaionsfunkion: C() = d() * v(+½) (de avlidnas diskonerade al) För vår eåriga emporära dödsfallsförsäkring får vi P() = C()/() 17

19 Temporär och livsvarig försäkring Försäkring mo dödsfall under perioden + ill ++1 P() = C(+)/() Livsvarig försäkring från : P 0 C ( ) Vi definierar en ny kommuaionsfunkion: 0 M C 18

20 ödsfallsförsäkring Vi får för livsvarig försäkring P() = M() / () Och för emporär försäkring P() = (M() M(+n)) / () Vid löpande premie får vi P() = M() / (N() N(+n)) och P() = (M() M(+n)) / (N() N(+n)) 19

21 Sammansa försäkring -försäkring: Ubealning aningen vid dödsfall under försäkringsperioden, eller vid uppnådd sluålder P() = (M() M(+n) + (+n)) / () Vid löpande premie får vi P() = (M() M(+n) + (+n)) / (N() N(+n)) 20

22 Kommuaionsfunkioner Livräna livsvarig från : N() ödsfallsersäning, livsvarig från : M() Livsfallsersäning, engångsbelopp: () Med hjälp av dea kan man konsruera de flesa premie- och reservformler 21

23 Värdefunkionen Värdefunkionen = Nuvärde av framida förmåner Nuvärde av framida premier = Engångspremien för framida förmåner Nuvärde av framida premier 22

24 Värdefunkionen Livsfallsförsäkring ill engångspremie, försäkringssumma S, faller u vid ålder +n Vi besämmer värdefunkionen vid idpunk (ålder +) Inga framida premier V S n 23

25 Engångsbeald T-försäkring ödsfallsubealningar fram ill +n Inga framida premier Värderingsidpunk V S M M n 24

26 Engångsbeald -försäkring ödsfallsubealningar fram ill +n Livsfallsbealning vid n Inga framida premier Värderingsidpunk V S M M n n 25

27 Ren livsfallsförsäkring, löpande premie Livsfallsbealning vid n Framida premier ill z Värderingsidpunk V S n P( N N z ) 26

28 ödsfallsbealning fram ill n Framida premier ill z Värderingsidpunk z n N N P M M S V ) ( T-försäkring, löpande premie 27

29 ödsfallsbealning fram ill n Livsfallsbealning vid n Framida premier ill z Värderingsidpunk z n n N N P M M S V ) ( -försäkring, löpande premie 28

30 Livräna från n ill m Premiebealning ill n Värderingsidpunk För <=n För >=n z m n N N P N N S V ) ( m N N S V Uppskjuen livräna, löpande premie 29