Biomekanik, 5 poäng Kinetik Härledda lagar

Transkript

1 Uöver Newons andra lag, kraflagen, finns också andra samband som kan användas för a lösa olika problem Bland dessa s.k. härledda lagar finns Arbee Energisamband Impuls Rörelsemängdssamband (Impulsmomen Rörelsemängdsmomensamband) Lagarna kallas härledda efersom de kan härledas (as fram) ur Newons andra lag (kraflagen), F = ma. Lagarna ger ingen informaion uöver de man kan få ur kraflagen men erbjuder ofa smidigare lösningar på problem och ger en sörre försåelse för olika förlopp. Efersom lagarna härles ur kraflagen gäller de med samma begränsningar som för kraflagen. De sysem vi suderar en rörelse inom ska forfarande vara e inerialsysem. Silla sående sysem eller sysem som rör sig med konsan hasighe är allså illåna. Även om vi här härleder.ex. sambanden mellan Arbee och Energi ur kraflagen visar de sig a för mer komplicerade sysem som koninuerliga medier (srömmande väskor ec) är en sådan härledning ine längre möjlig. I sådan fall posulerar man sambanden som naurlagar på samma sä som Newons andra lag, F = ma, har posuleras som en naurlag. P. Carlsson

2 Lie grov kan man säga a användningen av de härledda lagarna har sina speciella fördelar inom följande områden Arbee Energilagen: Krafen verkar under en viss sräcka. Impuls Rörelsemängdslagen: Krafen verkar under en viss id. Söförlopp kan också behandlas med dea samband. Observera a de här ine handlar om acceleraionssamband uan hasighessamband! Dea beror på a vi har, som vi ska se senare, inegrera oss upp e seg dv dv från acceleraion ill hasighe (som bekan är ju a = = v ) d ds Som man kanske kan se från derivaorna ovan så inegrerar man fram dv Arbee Energisamband ur derivaan a = v ds Impuls Rörelsemängdssamband kommer från inegrering av dv a =. d P. Carlsson

3 Energilagen, urycker samband mellan Arbee och Energi Arbee En parikel förflyas från punk P ill punk Q under inverkan av en kraf F enlig figur. Krafen delas upp i en komposan F s i angenialrikningen och i en komposan uefer normalen. Om vi änker oss a rörelsen delas upp i små delsräckor ds kan arbee under den infiniesimala (oändlig lilla) förflyningen definieras som dw = F ds s där F s och ds allså ligger uefer samma linje. Arbee mäs i [Nm] eller [J]. Krafens oala arbee under förflyningen från P ill punk Q fås genom addiion av samliga små delförflyningar, eller W PQ = S Q S P F ds s I de fall där F s = kons. får vi de enkla sambande W PQ = F s ( s s ) Q P P. Carlsson 3

4 Observera a kraf och förflyning ska vara uefer samma linje! Om man skjuer på en bil är de försås bara kraf i förflyningens rikning som uför e nyig arbee. Samma sak gäller vid e savag i längdlöpning. Toala arbee för förflyningen av bilen i bilden ovan blir W = F cos Θ s Tvångskrafer, som normalkrafer, uräar inge arbee vid förflyning! Varför? P. Carlsson 4

5 Kan olika sora krafer uräa samma arbee? Ja, men de ar längre id för myran a uföra samma arbee. Effek Förmågan a uräa arbee per idsenhe mäs med effek. Effeken mäs i wa [W] och definieras som dw P = d Då vi idigare definiera dw som dw = F ds s får vi följande uryck för effeken: P = F ds d s = F v s Ifråga om effek finns de försås beydande skillnader mellan myror och elefaner. P. Carlsson 5

6 Verkningsgrad Förhållande mellan uräad arbee och illför arbee under e och samma idsinervall kallas för den mekaniska verkningsgraden η. De mekaniska förluserna kan bero på sådan som olika frikionsförluser i rörliga delar kan i ermer av mekanisk effek skrivas som η = P P u in och anges ofa i procen. Lagen för kineiska energin Kineisk energi För a beskriva en parikels rörelse definieras en ny sorhe, parikelns kineiska energi eller rörelseenergi. T= mv som mäs i samma enheer som arbee, dvs. [Nm] eller [J]. Går vi illbaka ill Newons andra lag, kraflagen, kan vi enkel härleda sambande mellan sorheerna arbee och rörelseenergi för en parikel. För en parikel gäller allmän a F = ma där acceleraionen på kän maner kan skrivas som dv dv ds a = = = d ds d dv v ds P. Carlsson 6

7 Säer vi in dea i Newons andra lag får vi eller F = ma = dv mv ds S ( S v F) ds = mvdv = v mv mv vilke med idigare beeckningar för arbee (W) och rörelseenergi (T) kan skrivas W = T T = ΔT Dea är den s.k. lagen för den kineiska energin. Lagen kopplar ihop krafer, sräckor och hasigheer och säger a: När en parikel förflyas från e läge ill e anna, så är ändringen i den kineiska energin lika med de arbee som har uräas av samliga krafer på parikeln. S ( S v F) ds = mvdv = v mv mv W = T T eller = ΔT T + W = T E mycke användbar samband, som alernaiv ill Newons andra lag! P. Carlsson 7

8 Ex. E lie föremål har hasigheen v A = 5 m/s vid A. Om vi borser från frikionen, besäm hasigheen v B vid B. Behöver vi känna ill banans form för uräkningen? Svar: v B = 3,05 m/s Ex. Injänad lägesenergi kan åervinnas som rörelseenergi. Brädåkaren, kusin Throckmoron åker i en ramp som har formen av en kvars cirkel. Den oala massan av Throckmoron och brädan är 5 kg och rampen har en radie av R = 3,0 m. Beräkna Throckmorons hasighe vid läge om han sarar från sillasående i läge och brädan har en konsan rullmosånd av F R =0 N. Svar: v = 7,4 m/s Krafer under nerfaren P. Carlsson 8

9 Poeniell energi i en linjär fjäder För en linjär elasisk fjäder gäller F = kx Arbee för a dra u fjädern från viloläge ill öjningen (sräckan) x, dvs. den i fjädern lagrade poeniella energin får vi ur sambande x x Fdx = kxdx = kx 0 0 Ex 3. En elasisk lina med den naurliga längden (vilolängden) l 0 som används vid så kallad bungee jump från en bro med höjden h esas med hjälp av en provkropp med massan m. Linans maximala längd vid dea prov uppmäs ill l. Besäm den högsa illåna massan m max en hoppare kan ha för a han ine ska slå mo vaenyan. Besäm h 3 massans värde speciell om l0 =, l = h 4 sam om provkroppens massa är m = 50 kg. Beraka hopparen som en parikel. Svar: m max = 50 kg. Delresula, fjäderkonsanen k för linan är: mgl k = l l ( ) 0 P. Carlsson 9

10 Impuls - Rörelsemängd Ur Newons andra lag kan yerligare samband härledas som komplemen ill denna. Vi inför e par nya begrepp, en parikels rörelsemängd och den impuls en kraf ger upphov ill under en viss id. Rörelsemängd En parikels rörelsemängd p definieras som p = mv Rörelsemängden är allså en vekor som hela iden är parallell med hasighesvekorn. Enheen blir [kgm/s]. Derivering av p med avseende på iden ger p& = m v& = ma vilke med Newons andra lag ger F = p& och kan på vanlig sä delas upp i komposaner så a F = p& = mv x x x osv. för övriga koordinaer. P. Carlsson 0

11 Går vi illbaka ill Newons andra lag får vi: eller dv F = p& = mv& = m d Fd = mdv som kan inegreras ill v Fd = mdv = mv mv = p v p Inegralen i vänserlede kallas impulsen och sambande F d = p p eller p + Fd = p kallas impulslagen och säger a den impuls som illförs parikeln, är lika med ändringen av rörelsemängden. Också här kan urycken delas upp i komposaner uefer valda koordinarikningar som F x d = p x p x P. Carlsson

12 Om krafen är konsan och de handlar om rälinjig rörelse får vi de enkla sambanden F x = mv mv 0 Lagen har också sin användning i siuaioner där en kropp påverkas under e mycke kor idsinervall,.ex. söförlopp eller kollisioner av olika slag Ex 4. En 500 kg:s personbil har hasigheen 30 km/h uppför en backe med luningen 0% när föraren gasar under 8 s och får upp hasigheen ill 60 km/h. Beräkna hur sor medelkraf som verkar mellan drivhjul och asfal under de 8 s. Behandla bilen som en parikel och borse från lufmosånde. Svar: Medelkraf F = 3,03 kn P. Carlsson

13 Ex 5 En ennisspelare slår ill bollen med si racke medan bollen ännu är på väg uppå. Bollens hasighe före illslag är v = 5 m/s och efer illslage har hasigheen öka ill v = m/s, med rikningar som framgår av illusraionen. Om 60-gr bollen är i konak med rackeen under 0,05 s, besäm sorleken på den medelkraf R som påverkar bollen under illslage. Besäm också vilken vinkel β som R bildar med horisonalplane. Svar: Medelkraf R= 43,0 N, β = 8,68 o P. Carlsson 3

14 Konservering av rörelsemängd Om den oala kraf som verkar på en parikel (eller e parikelsysem) under e viss idsinervall är noll, ger villkore F = 0 insa i impulslagen a rörelsemängden p är konsan under de akuella idsinervalle. Fd = p p = p = p 0 Dea är.ex. falle under söförlopp: Lika sor kraf som den ena kroppen påverkar den andra med, lika sor kraf får den själv känna av enlig Newons redje lag. I falle med kolliderande kroppar sår p resp. p för oala rörelsemängden för de inblandade kropparna före och efer söen. Vi berakar allså hela syseme samidig. För söen ovan gäller m v p + ( F + F) d = p p + m v eller = p = m v ' + m v ' P. Carlsson 4

15 Ex 6. En 75-g projekil med hasigheen 600 m/s slår in i och fasnar i en 50 kg:s vagn som sår silla före kollisionen. Beräkna hur sor hasighe v vagnen med den inbäddade projekilen har efer kollisionen sam hur sor energiförlusen är under kollisionen uryck i procen. Svar: v = 0,899 m/s, Procenuell energiförlus är 99,9 %. P. Carlsson 5