System med variabel massa

Transkript

1 Sysem med variabel massa (YF kap. 8.6) Generella Newon II: ሜF ex = dplj, där p lj = mഥv och ሜF d ex är alla yre krafer som verkar på föremåle. Om kroppens massa ändras genom a vi illför massor dm per idsenhe d : ሜF ex = m dvlj d + vlj dm d Ex.: Caribbean reef squid : Ökar sin massa genom a svälja vaen, och kan hoppa 2 m över vaenyan (och flyga 10m) genom a sprua u vane! Ex.: En regndroppe börjar falla i yngdkraffäle genom e moln, och p.g.a. a väska koninuerlig kondenseras så växer den så a dm d = k. Besäm hasigheen som funkion av iden! (Vaenångan i molne anas vara i vila.)

2 Yerligare exempel på sysem med variabel massa Ex. Transporband. Här är hasigheen konsan, så ሜF = dp/d lj = vdm/d lj Ex. Rake. Massan minskar efersom bränsle kasas u bakå! v e relaiv hasighe mellan bränngaser och rake.

3 lj lj lj Härledning rakeekvaionen (YF kap. 8.6) Besäm förändring i rörelsemängd relaiv inerialsysem (.ex. jorden) då bränsle med massa Δm kasas u (Obs: Δm < 0). Förbränningsgaser Rörelsemängd vid iden +D Rörelsemängd vid iden vlj v lj + vlj e v + Δvlj Δm m + Δm Δm m + Δm ሜP() = mvlj ሜP( + Δ) = (m + Δm)( v lj + Δv) lj + ( Δm)( v lj + vlj e ) = mv lj + mδvlj Δmvlj e (ΔmΔvlj är lie och försummas!) lj v e = Hasighe på förbränningsgaser relaiv rake, v + Δv = Rakeens hasighe vid + Δ m = Rakeens oala massa vid, m + Δm = Rakeens oala massa vid + Δ Förändring i rörelsemängd: DP Dv F = lim = lim ( m v D 0 D D 0 D ሜF är summan av alla exerna krafer,.ex. yngdkraf, lufmosånd. e Δ ሜP = ሜP( + Δ) ሜP() = mδvlj Δmvlj e Dm dv dm ) = m ve ሜF = m dvlj D d d d vlj e Rakeekvaionen Ex.: Besäm vlj om ሜF=0 och vlj e konsan! dm d

4 Cirkelrörelse med konsan vinkelhasighe/vinkelacceleraion Konsan vinkelhasighe: ω = dθ d = konsan න θ 0 θ = θ 0 + ω( ) θ (YF kap ) d θ = ω න d ω = dθ d θ = θ 0 + න Konsan vinkelacceleraion: α = dω ω d = konsan න dω = α න d ω 0 ω = ω 0 + α( ) න ωd = න dθ θ = θ 0 + න ωd θ θ 0 ω 0 + α( ) d θ = θ 0 + ω 0 ( ) + α 2 ( ) 2

5 ሷ ሶ Ƹ ˆ Cirkelrörelse med varierande far (YF kap. 9.3) rˆ Om faren varierar har acceleraionen både en komponen in mo cenrum, a N, och en komponen i angenens rikning a T. Då a T = dv/d och v = wr erhålles: a T = Rdw/d = Ra där a är vinkelacceleraionen. jfr polära koordinaer: a lj = a r r Ƹ + a θ መθ = ( rሷ rθሶ 2 ) r Ƹ + (2rሶ θ ሶ + rθ) ሷ መθ Cirkelrörelse r = R r = 0 (hasighe r led) r = 0 (acceleraion rƹ led) θ ሶ = ω (vinkelhasighe) θ ሷ = α (vinkelacceleraion) a lj = a N r Ƹ + a T መθ = Rω 2 r Ƹ + Rα መθ

6 Kineisk energi hos roerande kroppar (YF kap. 9.4) Beraka en fas kropp som har en rörelse relaiv si masscenrum. Den enda möjliga rörelse är roaion. Kroppen kan berakas som om den är sammansa av pariklar. Om kroppen roerar med vinkelhasigheen w, har parikel i faren: v i = R i ω, där R i är de vinkelräa avsånde från roaionsaxeln Summerar vi över alla pariklar som kroppen besår av får vi den kineiska roaionsenergin: E k, ro = i 1 2 m iv i 2 = i 1 2 m ir i 2 ω 2 = 1 2 i m i R i 2 ω 2 E k, ro = 1 2 Iω2 Sorheen I kallas kroppens röghesmomen (eng. momen of ineria). 2 I = m i R i i 6

7 Beräkning av röghesmomen Allmän gäller för beräkning av röghesmomen för kroppar med konsan densie ρ: I = σ i m i R i 2 = R 2 dm = R 2 ρdv = ρ R 2 dv, (YF kap. 9.4, 9.6) där R är de vinkelräa avsånde ill roaionsaxeln, och inegraionsgränserna besäms av kroppens form och sorlek. (se YF Ex ) Ex.: visa dea! Jfr. Physics Handbook F

8 Seiners sas (YF kap. 9.5) Om man känner röghesmomene relaiv en axel genom kroppens masscenrum I CM, så erhålles röghesmomene relaiv en parallell axel på avsånd d som: I = I CM + Md 2 Sambande ovan kallas Seiner s sas alernaiv parallellaxel-eoreme. M CM I CM kring denna axel d I = I CM + Md 2 kring denna axel 8

9 d A Bevis av Seiners sas (YF kap. 9.5) Anag är a röghesmomene run masscenrum är kän (I cm ). Vi vill besämma röghesmomene run P (I p ) som har koordinaer (a,b). Koordinasysemes origo O säer vi i kroppens masscenrum (com). Beraka en massa dm vid punk A som har koordina (x,y). Avsånde r mellan A och P är då: I P = නr 2 dm = න(x a) 2 + (y b) 2 dm = r = (x a) 2 + (y b) 2 = න(x 2 + y 2 )dm 2a න xdm 2b න ydm + න(a 2 + b 2 )dm = (x cm = 1 M නxdm, y cm = 1 M නydm) = I cm 2aMx cm 2bMy cm + (a 2 + b 2 ) නdm = I cm + Md 2 x cm = y cm = 0 නdm = M (a 2 + b 2 ) = d 2