TENTAMEN HF1006 och HF1008

Transkript

1 TENTMEN HF6 och HF8 Daum TEN 8 april Tid 8- nalys och linjär algebra, HF8 Medicinsk eknik), lärare: Jonas Senholm nalys och linjär algebra, HF8 Elekroeknik), lärare: Marina rakelyan Linjär algebra och analys, HF6 Daaeknik), lärare: rmin Halilovic Eaminaor: rmin Halilovic eygsgränser: För godkän krävs av ma poäng För beyg,, C, D, E, F krävs, 9, 6,, respekive 9 poäng Hjälpmedel på enamen TEN: Udelad formelblad Miniräknare ej illåen Kompleering: 9 poäng på enamen ger rä ill kompleering beyg F) Skriv endas på en sida av pappere Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifer skall markeras med kryss på omslage Denna enamenslapp får ej behållas efer enamensillfälle uan lämnas in illsammans med lösningarna Fullsändiga lösningar skall preseneras ill alla uppgifer Uppgif p) a) Lå f ), R esäm den evenuella inversen ill funkionen f) cos b) esäm derivaan ill f ) Tips nvänd logarimisk derivering) ) c) eräkna lim e d) eräkna lim sin Uppgif p) Lå f ) ) a) p) esäm funkionens saionära punker och deras yp b) p) esäm evenuella asympoer ill f ) c) p) Skissa funkionens graf Uppgif p) a) esäm andra ordningens Taylorpolynom kring punken dvs Maclaurinpolynom) ill funkionen f ) cos i radianer) b) eräkna skillnaden mellan funkionen och Taylorpolynome då 6 Tips: E Taylorpolynom av ordning vå, som uvecklas kring a) sä: P ) f a) f a) a) f a) ) a, beräknas på följande Var god vänd!

2 Uppgif p) esäm arean mellan kurvan f ) och -aeln då Tips: nvänd variabelsubsiuion) Uppgif p) esäm följande inegral 7 d Uppgif 6 p) eräkna följande vå generaliserade inegraler: a) d b) e d Uppgif 7 p) Lös följande differenialekvaion med avseende på v dv d v, v) nge lösningen på epliciform Uppgif 8 p) Lös differenialekvaionen y y e y Uppgif 9 p) esäm srömmen i och kondensaorns laddning q i nedansående RC kres där R ohm, C farad u sin ) vol Vid är laddningen q) coulomb Tips: Spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i eller korare R i Spänningsfalle över en kondensaor med kapaciansen C är lika med U R q / C, dvs q U C Dessuom gäller q i C

3 Lycka ill! FCIT Uppgif p) a) Lå f ), R esäm den evenuella inversen ill funkionen f) cos b) esäm derivaan ill f ) ) c) eräkna lim e d) eräkna lim sin Lösning: a) f ), R y, R y ± y) ± y Vi har vå lösningar för några y R, därför saknar f) en invers funkion Svar a: Funkionen saknar en invers funkion b) Med hjälp av logarimlagarna får vi cos ln f ) ln ln ln cos ln ) Deriverar ln f ) : Dln f ) sin cos an Dln f ) f ' ) f ) f ' ) f ) Dln f ) cos f ' ) an )

4 Svar b: cos f ' ) an ) c) lim lim Svar c: e d) lim sin [yp, L' Hospials regel] e lim cos Svar d: Räningsmall: rä eller fel för varje del a,b,c eller d Uppgif p) Lå f ) ) a) p) esäm funkionens saionära punker och deras yp b) p) esäm evenuella asympoer ill f ) c) p) Skissa funkionens graf Lösning: Saionära punker f ) ) ) ) ) 8 ) 8 ) ) f ) 8 ),, 6

5 Funkionen f ) ) är ine definierad i, därför är ine en saionär punk Försaderivaans eckensudie: ) f ) ej def - f ) erraspunk ej def min I punken 6 har funkionen lokal minimum 7 f 6 ) Punken är en errasspunk där f ) b) sympoer ill f ) : ) I punken är nämnaren och äljaren Därför f ) ± då och därmed är en verikal asympo Polynomdivision: 6 f ) ) Från 6 f ) ser man a 6 f ) går mo då Därför y är en sned asympo c) Grafen

6 Svar: a) 6 är en minimipunk, är en errasspunk b) en verikal asympo y är en sned asympo c) se ovansående graf Räningsmall: a) p för uräkning av vå saionära punker eller p för uräkning av en saionär punk sam en korrek bedömning av punkens yp b) p för korreka asympoer c) p för korrek graf med alla elemen från a och b) Uppgif p) a) esäm andra ordningens Taylorpolynom kring punken dvs Maclaurinpolynom) ill funkionen f ) cos i radianer) b) eräkna skillnaden mellan funkionen och Taylorpolynome då 6 Tips: E Taylorpolynom av ordning vå, som uvecklas kring a) sä: P ) f a) f a) a) f a) ) a, beräknas på följande Lösning: eräkna funkionens derivaor: f ) sin, f ) 9cos f ), f ), f ) 9

7 Dea insäes i formeln: 9 ) ) ) ) ) ) f f f P Skillnad mellan funkion och Taylorpolynom då 6 : cos cos 6 6 P f Svar: Taylorpolynome är 9 ) P Skillnaden är 8 Räningsmall: Korrek Taylorpolynom ger poäng Korrek skillnad ger poäng Uppgif p) esäm arean mellan kurvan ) f och -aeln då Tips: nvänd variabelsubsiuion) Lösning: Funkionen har en definiionsmängd: Dess graf skär -aeln då och då För posiiva är också funkionen posiiv Sök area d d ) Inegralen kan beräknas med både variabelsubsiuion och pariell inegraion Variabelsubsiuion:, ) d d d d d ) ) d d

8 ) 6 e a Svar: rean är ) 6 areaenheer ae) Räningsmall: Korrek variabelsubsiuion al korrek pariell inegraion, men sedan fel ger poäng Lie räknefel i slue av beräkningarna, - poäng Uppgif p) esäm följande inegral: d 7 Lösning: Inegranden är en raionell funkion, vars äljare har lägre grad än nämnaren Då behöver man ine uföra polynomdivision Däremo ska nämnaren undersökas, Då gäller a: ) ) Efersom nämnaren kan fakoriseras kan man göra en parialbråksuppdelning: ) ) ) ) ) ) ) ) 7 7 ) ) ) 7 Idenifikaion av koefficienerna i vänser äljare med mosvarande koefficiener i höger äljare ger följande ekvaionssysem: 7 vilke ger a 7 Nu kan inegralen besämmas:

9 7 d d C ln ln Svar: Inegralen blir ln ln C Räningsmall: Korrek parialbråksuppdelning ger poäng Uppgif 6 p) eräkna följande vå generaliserade inegraler: a) d b) e d Lösning: a) d d [ ] Inegralen divergerar b) e e d e e Svar: a) dvs inegralen är divergen b) / Räningsmall: poäng per deluppgif rä eller fel) Uppgif 7 p) Lös följande differenialekvaion med avseende på v dv d v v) nge lösningen på epliciform Lösning: För a separera variabler delar vi ekvaionen med v v under anagande dv v d, dvs v ±

10 nmärkning: Funkionerna v och v, uppenbar saisfierar ekvaionen dv v, men ine villkore v), allså är de INTE lösningar ill vår d begynnelsevärdesproblem Vi inegrerar ekvaionen: dv v d Vi löser u v: v ln ) C v Den allmänna lösningen på implici form) v ln ) C v v C e v De v v Från v) får vi D llså e v v v v) e v ve e v e ) e ) e ) v e ) Svar: e ) v e ) Räningsmall: poäng för den allmänna lösningen Uppgif 8 p) Lös differenialekvaionen y y e y Svar: y C e sin Ce cos e Räningsmall: poäng för den homogena delen, poäng för den parikulära lösningen Uppgif 9 p) esäm srömmen i och kondensaorns laddning q i nedansående RC kres

11 där R ohm, C farad u sin ) vol Vid är laddningen q) coulomb Tips: Spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i eller korare R i Spänningsfalle över en kondensaor med kapaciansen C är lika med U R q / C, dvs q U C Dessuom gäller q i C Lösning: a) Från kresen får vi följande diff ekv q R i u ekv) C Efer subs R och C har vi i q sin eller i q sin ekv) Från q ' i får vi : q q sin ekv ) Härav q H Ce *) [ Lösningen för homogena delen ] nsasen q p sin cos och därmed q sin cos subsiueras i ekv som gör cos sin sin cos sin Vi idenifierar koefficiener framför sinus- och cosinusfunkioner på båda sidor: och

12 Härav och Därmed q p sin cos Den allmänna lösningen är q ) Ce Från q) för vi C och då blir q För a få i deriverar vi q : i Svar: q i Räningsmall: poäng för den homogena delen, poäng för den parikulära lösningen Korrek q eller i ger poäng ll korrek p