TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 13 jan 2014

Transkript

1 TENTAMEN HF00 och HF008 TEN jan 04 Anals och linjär algebra, HF008 (Medicinsk teknik), lärare: Richard Eriksson Anals och linjär algebra, HF008 (Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och anals, HF00 (Datateknik), lärare: Armin Halilovic Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: För godkänt krävs 0 av ma 4 poäng För betg A, B, C, D, E, F krävs, 9,,, 0 respektive 9 poäng Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad Miniräknare ej tillåten Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betg F) Skriv endast på en sida av papperet Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifter skall markeras med krss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningarna Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Dessa uppgifter (och ) behöver du som är godkänd på KS:en inte göra 00 ( + ) (ln ) Beräkna gränsvärdena a) lim b) lim (p) ( + ) a) Bestäm ekvationer för tangenten och normalen till (p) π kurvan cos i den punkt på kurvan som har -koordinaten sin b) Beräkna och förenkla derivatan av g( ) ln( ), 0 < < π (p) π 4π Visa att sin + sin( + ) + sin( + ) 0 (p)

2 4 Bestäm alla asmptoter till kurvan f ( ) (p) 5 Beräkna den obestämda integralen arctan() (p) Beräkna den obestämda integralen (p) 7 Beräkna den bestämda integralen (p) 8 Lös följande separabla differentialekvation (p) ' ( ) b) Ange lösningen på eplicit form ( dvs på formen f () ) 9 Lös följande differentialekvation (p) + 4 ' + + 7, med begnnelsevillkor ( 0), ' (0) 0 0 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets (p) om L henr, R 0 ohm, C farad och U 4 V Vid t0 gäller följande villkor: ( 0) 0 i ampere och ( 0) i ampere/sekund Tips: Spänningsfallet över en spole med induktansen L är lika med L i ( Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i( Spänningsfallet över en kondensator med kapasitansen C R är lika med q ( / C, där q ( i(

3 Lösningsförslag till TEN i kursen HF00 och HF008 den jan 04 ( ( + )) ( + ) ( + ) ( + ) a) lim lim lim lim ( + ) ( ( + )) ( + )) ( + )) Alternativ: L Hospitals regel två gånger och förkortat 99 00(ln ) b) L Hospital (t uttrcket är av tp ) ger 00(ln ) lim lim 99 Fortsätter man med L Hospitals regel (99 gånger) får man till slut lim00! 0 Svar a) b) 0 a) cos, ' sin π π ( ) cos( ) ' ( π ) π sin( ) Tangentens lutning är då k T Tangentens ekvation: kt ) ( dvs ( π ) [ eller π + + ] Normalens ekvation: kn ) ( Från k N har vi k T k N Normalens ekvation blir ( π ) [ eller π + ] b) cos sin g' ( ) ( ) 4 sin cos sin sin Svar a) ( π ) b) ( π ) Rättningsmall: rätt eller fel

4 Vi använder additionsformeln (finns på formelblad) och får π 4π sin + sin( + ) + sin( + ) π π 4π 4π sin + sin cos + cos sin + sin cos + cos sin sin + sin ( ) + cos + sin ( ) + cos ( ) 0 vsv Svar Se lösningen Rättningsmall: Utnttjar rätt trigonometriska samband p+visat påstående p 4 Bestäm alla asmptoter till kurvan f ( ), 0 (p) för 0 4 Lägg märke till att Därför för < 0, för f ( ) +, för 0 < 0 Uttrcket ej definierat då Vertikal asmptot (eftersom f () ± då ± Vad händer då ±? För > 0 är och funktionen kan skrivas som f ( ) Polnomdivision ger f ( ) Eftersom uttrcket 0 då har funktionen en sned asmptot för positiva På samma sätt undersöker vi funktionen för negativa : För <0 är och funktionen kan skrivas som + f ( )

5 N polnomdivision ger f ( ) + + Eftersom uttrcket 0 negativa då har funktionen en sned asmptot + för Svar Vertikal asmptot, en höger sned asmptot och en vänster sned asmptot + Rättningsmall: Visat förståelse för vad asmptot är och fått fram minst en asmptot rätt p, alla asmptoter rätt p 5 arctan,,, Svar + + Rättningsmall: Rätt metod och rätt val av u och v p Rätt lösning på den enkla rationella integralen p Allt rätt p? Då täljarens gradtal är tre och nämnarens är två gör vi först en polnomdivsion Dvs + Vi får då: ( +) + ln( +) + Svar + ++ Rättningsmall: Rätt polnomdivisionp Rätt lösning av p Allt rätt p 7! ( )

6 Svar ( ) Rättningsmall: Rätt substitution och korrekt hantering av gränsernap Allt rätt p 8 ' ( ) Först separerar vi variabler: d d ( ), Vi kan dela ekvationen med om 0 dvs om ± 4 Anmärkning Det är uppenbart att funktioner 4 och 4 är också lösningar till ekvationen (båda leden blir 0 ) d ( ) d Vi integrerar båda leden, d ( ) d (formelblad) arcsin( ) + 4 C Alltså arcsin( ) + C 4 är lösningen till DE ( på implicit form) b) Eplicit form: Vi löser ut () arcsin( ) 4 + C 4 sin( + C) 4sin( + C) Svar: a) arcsin( ) + C 4 b) 4sin( + C) Anmärkning Förutom ovannämnda lösningar finns det också två "singulära lösningar": 4 och 4 är också lösningar till ekvationen (båda leden blir 0 ) Rättningsmall: p för varje del Allt korrekt p (ingen avdrag om man inte ange singulära lösningar ± 4 ) ' + + 7, med begnnelsevillkor ( 0), ' (0) 0 i) Först löser vi den tillhörande homogena ekvationen

7 + 4 ' + 0 r + 4r + 0 har rötterna r och r Den allmänna lösningen blir då C e + C e ii) En partikulär lösning bestämmer vi med hjälp av följande ansats: A + B A och 0 p p p som vi substituerar i + 4 ' och får 4 A + ( A + B) + 7 eller A + (4A + B) + 7 Härav A och 4 A + B 7 som ger A och B Därför p + och nu bildar vi H + p dvs C e + Ce + + som är den allmänna lösningen iii) Med hjälp av villkorna ( 0), ' (0) 0 bestämmer vi C och C : ( 0) C + C + C + C (ekv ) För att använda andra villkoret derivera vi lösningen C e C e + Från ' (0) 0 har vi C C + 0 ekv Slutligen från ekv och ekv får vi C och C 0 Därför e + + är den lösning som satisfierar de givna villkoren Svar e + + Rättningsmall: +p för homogena delen + p för en partikulär lösning Allt korrektp

8 0 Bestäm, för t > 0, strömmen i( i nedanstående LR krets om L henr, R 0 ohm, C farad och U 4 V Vid t0 gäller följande villkor: ( 0) 0 Lösning: Från kretsen får vi följande diff ekv L i + R i( + q( U C ( (ekv) (efter subst L, R och C) i ( + 0i( + q( 4 (ekv ) Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 0i ( + i( 0 (ekv ) r + 0r + 0 har rötterna i ampere och ( 0) r och r 8 i ampere/sekund Härav i( t 8t Ce + Ce För att bestämma C och C använder vi begnnelsevillkoren i ( 0) 0 och i ( 0) och får C + C 0 8C C Härav C, C och därför i( e t e 8t Svar i( e t e 8t Rättningsmall: p för korrekta ekvationen p om homogena delen är korrekt löst Allt korrektp