Datorlaborationer i matematiska metoder E2, fk, del B (TMA980), ht05

Transkript

1 Daorlaboraioner i maemaiska meoder E, fk, del B (TMA98), h5 Laboraionen är ej obligaorisk Den besår av re uppgifer som kan ge en bonuspoäng var vid enamina i maemaiska meoder, fk, del B, 5--6, vår 6 och augusi 6 Uppg skall göras läsvecka 5, uppg lv 6, uppg 3 lv 6/7 Laboraionen skall lämnas in ill mig senas i, 6/, kl 9 5 (efer föreläsningen) Häfa ihop lösningarna, skriv namn och personnummer längs upp på varje inlämna blad, på blad med maple; blad uan namn eller uan personnummer beakas ej Laboraionen lämnas illbaka med enan Syfe Du skall lära dig a unyja daorn för a uföra beräkningar och för a visualisera dina resula och därmed öka försåelsen Laboraionen ar upp: Spekral avskärning: hur bra approximerar F-inegralen resp F-serien en funkion? Laplace-, Fourier-, z-ransformaion: beräkning, ampliudspekrum, energi, illämpning på filer (lösning av begynnelsevärdesproblem, sabilie, sinuses), samplingseoreme Orogonalserier Uppgif Denna uppgif behandlar Laplaceransformaion och Fourierransformaion Du skall lära dig a ransformera med maple och se hur bra den spekrala avskärningen approximerar en funkion (speciell θ resp δ ) a) Ria θ () och dess spekrala avskärning θ ( ) för = π och för = i samma diagram ( < < ) b) Ria den spekrala avskärningen δ ( ) av δ ( ) för = π och för = 39π i var si diagram ( < < ) ( ) ( ) c) Laplaceransformera ( x x x x sin sinh 3 s + s+ ) θ ( x) s+ s +, inversransformera ( ) ( ) sin( π x) e x d) Fourierransformera f ( x ) = x, ria f ( x) och dess spekrala avskärning f ( x) för = 3π i samma diagram ( 3 < x < 3) ma98/mv7

2 Uppgif Denna uppgif behandlar idskoninuerliga filer Du skall öva in begreppen filer, frekvensöverföringsfunkion, ampliudkarakerisik, överföringsfunkion, kausalie, sabilie (pol), sinussvar (ransiener) E kausal filer F har illsåndsekvaionen P ( D) y = Q( D)x med 3 P( D) = D + D + D + 6D + 8 och Q( D) = ( D + ) 5 5 a) Besäm filres impulssvare h och filres segsvar J b) Är filre sabil? c) Ria filres ampliudkarakerisik för ω < 9 och beskriv filre d) Vilke filer fås om man ersäer ( D) e) Besäm svare på Q med ( D) = ( D ) Q? + sin och på sin θ ( ) och ria dessa svar för < < 6 i samma diagram f) Besäm y () = svare på x() e cos i samma diagram = och ria ( ) () x och y för 6 < < 6 Uppgif 3 Denna uppgif behandlar idsdiskrea filer och z-ransform Du skall öva in begreppen frekvenssvar (sinussvar), ampliudkarakerisik, överföringsfunkion, kausalie, sabilie (pol) E kausal diskre LTI-filer har överföringsfunkionen ( z) a) Ria enhescirkeln och polerna Är filre sabil? b) Beräkna filres impulssvar h och ria h [ n] för n jα c) Ria filres ampliudkarakerisik ( e ) H = 3 96 z 6 z + 37 z z 3 z 8 z 3 z + 33z 8 H för α < π och ange filres yp d) Besäm svare på sin n π och på sin n π [ ] θ n och ria dessa svar för n 9 i samma diagram e) Tesa samplingseoreme genom a ria f ( ) = θ ( ) = + Si( π ) (uppg a) och den :e delsumman n= f ( n) sinc( π ( n) ) för = 7 i samma diagram ( 3 < < 7) π π ma98/mv7

3 Anvisningar, ledningar, ips Allmän Förbered dig innan du säer dig vid daorn, skriv ner de du vill göra med daorn Gå igenom maple exemplen förs Försök även a lösa uppgiferna så lång de går för hand (maple konrollräknar) Läs uppgifsexen noggran (ex "ria i samma plo" eller "i var si plo"), kommenera allid resulae (dvs maples svar), svara på frågorna! Kolla rimligheen av resulaen! Följ anvisningarna! Glöm ej namn/persnr på varje blad, häfa ihop bladen! För beräkning av Laplace- resp Fourier-ransform och deras inversa ransformer skall inegral-ransformaions-pakee laddas in (wih(inrans)) Maple kan räkna med δ (= Dirac) och θ (= Heaviside) Lieraurips: RBIsrael: Calculus: The Maple Way (Addison-Wesley,996) Till uppgif sin a), b) ( ) θ () = + Si( ), δ ( ) = (föreläsning, BB, ex 3 sid 5) π π c) Se ex d) Följ ex3: för a kunna beräkna (numerisk) och ria den spekrala avskärningen skall du beräkna j imaginärdelen av inegranden fˆ ω ( ω) e (med Im, evalc och simplify) och moivera a den är udda (ej rivial, bevis krävs, men lå maple göra de) för a slippa a inegrera den, beräkna sedan ˆ π ω x ( ) realdelen och moiverar a den är jämn, då är f ( x) = Re f ( ω) e Till uppgif Följ ex, där finns alla nödvändiga ips dω j a) Glöm ej a kolla a grad(nämnare) grad(äljare)! e) Sinussvare skall du kunna (skall ej beräknas med Fourierransform!) f) Här är h ˆ( ω) = H ( jω) varför?, enklare än mi ex sid ) Glöm ej evalc för a kunna ria! Till uppgif 3 För beräkning av z-ransform och invers z-ransform behöver du ine ladda in någo Den diskrea enhespulsen i punken, dvs δ [ n] = δ [ n ], fås med charfcn[] (characerisic funcion of {}), enhessege är Heaviside, men skapa hels själv dessa funkioner så a maple riar dem även i origo, ex så här: puls : = n > piecewise( n =,) och seg : = n > piecewise( n >=,) Tänk på a maple bara räknar med ensidig z-ransform, du måse allså lägga ill fakorn θ [ n]! Skapa en m-fil som riar diskrea signaler så som du ycker bäs, se ex5a Försök a förenkla svaren (h, sinussvar ), pröva med evalc, combine, conver(,radical), conver(,sincos), simplify, mm Om inge hjälper a evalf och evenuell Re (realdelen) för plo, men kolla numerisk a imaginärdelen kan försummas! Se ex5! ma98/mv7 3

4 a) Visa a polerna ligger innanför enhescirkeln, ria även! n 3 b) Rä (?) impulssvar är h[ n] = ( ) ( ) e) Se BB sid3 ( T = nπ n cos 3 ( + n ) θ [ n] 3 ) Pröva gärna med olika! Se ex5c Kommenera (de resula du får av maple)! AMÄRKIGAR: ) I ex ser vi hur bra F-serien approximerar periodiska f även då f innehåller impulser Kolla själv med ex impulsåge u() = δ ( m) som har Fourierserien jnπ e Ria delsummorna m= n= jn sin( + ) e = sin för olika ( 3 < < 6 3) Ta mins 5 numpoins n= ) Fibonacci-alen finns i maple i kombinaorik-pakee som laddas in med wih(combina); kolla ex F =,F =, F39 = 3355 som fås som >combina[fibonacci](); observera a maple börjar numreringen med Tia vad snabb de växer: F99 = fibonacci(3); ) Även differensekvaioner (rekurrensekvaioner) kan enkel lösas med maple, se ex5a Och precis som för differenialekvaioner (odeplo) kan lösningen rias (med REplo), då måse LREools -pakee laddas in (se ex5b) På sid 5 finns dea exempel lös med MATLAB I ex6 får du e exempel på "uveckling i Legendre-polynom": Legendre-polynom finns i maple: ladda in pakee orogonala polynom (wih(orhopoly)), skriv sedan bara P(n,x), då får du Legendrepolynome av grad n i variabeln x Observera a uvecklingen map egenfunkionerna (O-syseme) P(n,x) ger en mycke bäre (snabbare) approximaion än ex uveckling i Taylorpolynom, men ffa kan ju även icke deriverbara funkioner som ex x, sin( x), sin( x) θ ( x), cos( x) θ ( x), sgn( x) uvecklas Lös själv ex följande uppgif (se ena 96-8-, uppg 3, som du har lösningen ill): Beräkna e polynom P av grad högs 7 så a fele ( P( x) x sin( π x) ) dx blir minimal Ria P( x), x sin( πx) och Mclaurinpolynome av grad 7 ill x sin( πx) för x i samma diagram, så a man ser bra skillnaden mellan dem [kom ihåg Tayloruvecklingen ( aylor( ) ), polynome (som kan rias) får du sedan med conver] Lycka ill! Bernhard ma98/mv7

5 MATLAB-EXEMPEL Vi berakar (de hemska) filre från exemple 5 (maple-ex): filre har illsåndsekvaionen 3y[ n] 6y[ n ] 8y[ n ] + 66y[ n 3] 58y[ n ] + y[ n 5] = [ n] + ( ) x[ n ] + ( 9 3) x[ n ] ( 8+ 3) x[ n 3] + ( 5 3 8) x[ n ] = 3x Skriv in koefficienerna framför y (polynome P) som vekor A, koefficienerna framför x (polynome Q) som vekor B och insignalen x som vekor X, då fås lösningen Y med >Y = filer(b,a,x) Y kan sedan ploas (med sem (med eller uan 'filled'), som vanlig "linje-graf", som punker, eller som lodräa sräckor med bar) Vi vill beräkna impulssvare för n =, soppar allså in vekorn X = [,,,,,,,,,,,,]: A=[ ]; B=[3 7*sqr(3)-79 9-*sqr(3) -8-*sqr(3) -8+5*sqr(3) ]; X=[ ]; Y=filer(B,A,X) Y = Columns hrough Columns 8 hrough : plo(y) å, de känns ju igen från maple-exemple: 6 8 Eller vi riar de "diskre": med bar(y,) : eller med sem(y,'filled') : Usignalen ill ex x[ n] n π = sin θ [ n] fås med =::3; X=sin(pi*/); Y=filer(B,A,X); sem(y) Anm: Du kan ange för vilka n MATLAB skall ria (men obs, måse vara samma längd): sem(:,y) eller bar([::3],y,) ma98/mv7 5