TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B2/A , arctan x x 2 +1

Transkript

1 LUNDS TENISA HÖGSOLA MATEMATI TENTAMENSSRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELURS B/A3, 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med fullsändiga moiveringar. Beräkna följande inegraler. ( ) a) π x sin(x) dx b) arcan x x + dx c) x(x+) dx a) Lös ekvaionen ln+lnsinx+lncosx. (.4) b) Finn alla komplexa lösningar ill ekvaionen z 3 z +. (.6) 3 Finn alla y(x) som uppfyller { y (x)+4y (x)+5y(x) 5x+5, y() 5, y (). 4 a) En elekrisk laddning q i punken (,) och en elekrisk laddning q i punken (x,) ger upphov ill en poenial V(x) i punken (,) som ges av kq V(x) kq, +x V(x) där k är en konsan. Beräkna gränsvärde lim. (.5) x x b) Visa a inegralen dx är konvergen om och endas om α <. (.5) xα 5 Lå f: [,] ], [ vara en koninuerlig funkion sådan a f är deriverbar i ],[ och angenen i punken (a,f(a)) ill grafen y f(x) skär x-axeln i punken (,) för alla a i inervalle ],[. a a) Visa a f uppfyller differenialekvaionen y (a,f(a)) ( a,) ( ) f(a) f (a) a a, < a <. (.3) b) Finn f om f(). Du får använda differenialekvaionen i a) även om du ine lös den uppgifen. (.7) x VAR GOD VÄND

2 6 Lå f(x), x, vara en sräng växande funkion med koninuerlig derivaa, och sådan a f(). Lå >. Om vi förskjuer grafen y f(x), x, en längdenhe ill höger längs x-axeln får vi en homogen skiva, se figur. y y f(x) + x Anag a skivans densie är ρ. Skivans yngdpunk har en x-koordina som ges av x T xdm m, där m dm är skivans massa. a) Visa a skivans massa är f(). (.) b) Härled formeln x T f() ( x+ ) f (x)dx. (.4) c) Finn alla f så a x T () + för alla >. Du får använda formeln i 3 b) även om du ine lyckas visa den. (.4) LYCA TILL!

3 LUNDS TENISA HÖGSOLA MATEMATI LÖSNINGAR TILL SRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELURS B, 8 3 a) Alernaiv. Genom inegraion pariell får man a π x sin x dx [ x cos x] π + π cos x dx π. Alernaiv. Beraka arean mellan y sin x, x π och x-axlen. Dess yngdpunk, som av symmeri är π, ges av π x sin x dx/ π sin x dx. Sålunda är π x sin x dx π π sin x dx π. b) arcan x dx [ (arcan +x x) ] π. 3 c) Vi beräknar förs a b dx b x(x+) ( x x+ ) dx [ln x ln(x + )] b ln b ln(b + ) + ln ln b + ln. Nu får vi a b+ lim b ln b x(x+) b+ + ln. Men b b+ dx ln. dx x(x+) när b och ln, så vi får a a) ln + ln sin x + ln cos x ln( sin x cos x) sin x x π + πk, där k är e helal. Av de härur erhållna x är de endas x π +πk, k helal, som duger som lösningar ill den ursprungliga 4 ekvaionen. Svar: x π + πk där k är e helal. 4 b) Man ser a z är en lösning. Sålunda är z + en fakor ill z 3 z +, och man finner a z 3 z + (z +)(z z +) (z +)((z ) +). Sålunda är lösningarna z, ± i. Svar: z, ± i. 3 Den karakerisiska ekvaionen är r + 4r + 5, vilken har lösningarna r ± i. Sålunda är lösningarna ill den homogena ekvaionen y(x) Ae x cos x + Be x sin x. För a finna en parikulärlösning ansäer vi y(x) ax+b. Då är 4a+5ax+5b 5x + 5. Sålunda måse a och b 5. Vi har nu a en allmän lösning ill differenialekvaionen är y(x) e x cos x+ Be x sin x + x +. Begynnelsevärde y() ger a A. Sluligen ger 5 5 begynnelsevärde y () a B. Svar: y(x) + x 5 e x sin x.

4 4 a) Lå U() +. Vi uvecklar U() med Maclaurins formel. Vi finner a U(), U () (+) 3/ och U (). Maclaurins formel ger oss a U kan framsällas som U() + B(), där B är en funkion som är begränsad i e inervall run origo. Nu är V (x) kq( U(x )) kq x + kqx 4 B(x ) ) kq x + B (x), där B är en funkion som är begränsad i e inervall run origo. Sluligen får vi a V (x) x kq + x B (x) kq, när x. Svar: Gränsvärde är kq. b) Se läroboken, sas 3., sidan a) Tangenen i punken (a, f(a)) har ekvaionen y f(a) f (a)(x a). Den skär x-axlen i punken (, ). Sålunda är f(a) f (a) ( a). Dea a a är den söka differenialekvaionen. b) Ekvaionen kan lösas som en lineär eller separabel differenialekvaion. Vi har a f (a) f(a) a a / a + / a +. Härav följer a ln f(a) ln a + ln a + + C ln a + C. Efersom f > och a < har vi allså a f(a) D a där D e C är en posiiv konsan. Villkore f() ger a D. Sålunda har vi a f(a) a. Svar: f(x) x. 6 a) Vi skivar upp i skivor parallella med x-axeln. En sådan skiva har längden och höjden dy. Massan av blir därför f() ρ dy f(). b) Alernaiv. Vi skivar upp i skivor parallella med y-axlen och jocklek dx. Vi får olika uryck för dm beroende på i vilke inervall x ligger. f(x) dx, x dm (f(x) f(x )) dx, < x (f() f(x )) dx, < x +

5 Vi har därför a x T f() x T dm xf(x) dx + xf(x) dx + x dm x(f(x) f(x )) dx + + x(f() f(x )) dx xf(x ) dx + + xf() dx. Om vi i den andra inegralen i raden ovanför säer x s får vi (s+)f(s) ds. Därför är xf(x) dx + xf(x ) dx f(s) ds f(x) dx, och vi får a x T f() f(x) dx + + xf() dx ( + )f() f(x) dx. Inegrerar vi pariell och använder a f() får vi a x T f() ( + )f() [(x + )f(x)] + (x + )f (x) dx, (x + )f (x) dx vilke är den söka formeln. Alernaiv. Vi skivar upp i skivor parallella med x-axlen. En sådan skiva ligger mellan x och x+, har bredden och jockleken dy f (x)dx. Varje skiva har således en massa dm f (x)dx och yngdpunk x +. De följer a x T f() x T dm (x + )f (x) dx. c) Vi säer x T + och deriverar med avseende på. Dea ger oss differenialekvaionen f() + ( + )f () ( + )f (). Efer förenkling får vi f() f (). Man löser denna ekvaion aningen som en separabel eller en lineär differenialekvaion. Lösningen ges av f() C, där C är en konsan. onsanen C är godycklig, y om f uppfyller sambande i uppgif b, så uppfyller också g(x) kf(x) samma samband, oavse värde på k. Efersom f ska vara växande på inervalle [, [ måse C >. Svar: f(x) Cx, där C är en godycklig posiiv konsan. 3