3. Matematisk modellering

Transkript

1 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes dynamiska beeende. Vi kan skilja på vå vyper av modeller: Differenialekvaioner, som beskriver koninerliga förlopp. Differensekvaioner, som beskriver sysemegenskaper endas vid diskrea ögonblick. E moiv för användning av idsdiskrea modeller också för beskrivning av koninerliga sysem är a de kan nderläa konsrkionen av idsdiskrea reglaorer, som är den form som vanligvis beövs för prakisk implemenering av e reglersysem. Om önskvär, kan man gå från en sysembeskrivning med differenialekvaioner, efersom sådana kan ransformeras ill differensekvaioner genom s.k. sampling. Differensekvaioner kan ofa, men ine allid, ransformeras ill differenialekvaioner. I denna krs beandlas idskoninerliga modeller. Tidsdiskrea modeller beandlas bl.a. i krserna Reglereknik II oc Modellering oc reglering av sokasiska sysem. Reglereknik I Grndkrs (49300) Modellkonsrkion De finns vå grndprinciper för konsrkion av maemaiska modeller: Fysikalisk modellbygge innebär a man åerför sysemes egenskaper på delsysem, vilkas egenskaper är kända. För ekniska sysem beyder dea vanligvis a man använder de narlagar som beskriver delsysemen. För icke-ekniska sysem (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) ar man i regel inga säkra narlagar. Man måse då i sälle använda ypoeser eller allmän vederagna samband. Sysemidenifiering, eller korare, idenifiering, innebär a man använder observaioner (mäningar) från syseme för a anpassa en modell ill sysemes beeende. Vanligvis gör man speciella experimen för a erålla lämpliga daa för idenifieringen. Idenifiering används ofa som komplemen ill fysikalisk modellbygge,.ex. för a besämma någon osäker parameer. De är vikig a observera a alla modeller ar e begränsa giligesområde. Dea gäller ill oc med de s.k. narlagarna. Newons rörelselagar gäller.ex. ine för asigeer nära ljses. Speciell för modeller besämda genom idenifiering är de skäl a ine använda dem i e område som experimenen ine ger någon informaion om. 3. Maemaisk modellering Modelleringsprinciper 3..3 Fysikalisk modellbygge 3..3 Fysikalisk modellbygge I forsäningen av skall vi beandla modellering gående från fysikaliska samband. Efersom verkliga sysem enderar vara rä komplexa, kan eller vill man i allmäne ine beaka alla dealjer. Man försöker dock illgodose följande någo mosridiga krav: Modellen skall vara illräcklig noggrann för si ändamål, vilke beyder a avvikelsen från sysemes verkliga beeende ine får vara för sor. Modellen skall vara illräcklig enkel a använda,.ex. för sysemanalys oc konsrkion av reglersysem. Vid fysikalisk modellbygge används vå yper av maemaiska samband: balansekvaioner konsiiva relaioner Balansekvaioner Balansekvaioner relaerar addiiva soreer av samma slag i e avgränsa sysem. Man kan säga a de finns vå generella yper av balansekvaioner: flödesbalanser inensiesbalanser 3. Maemaisk modellering 3 3 Allmän ar en flödesbalans för en sore formen pplagring per idsene = inflöde flöde + generering per idsene där pplagring oc generering sker inne i syseme medan inflöde oc flöde anger de som passerar sysemgränsen. När soreen i fråga ine delar i kemiska eller aomära reakioner saknas genereringserm. Exempel på flödesbalanser (är an genereringserm) är Massbalans: pplagrad massa per idsene = massflöde in massflöde Parikelbalans: pplagra anal pariklar / idsene = parikelflöde in parikelflöde Energibalans: pplagrad energi per idsene = energiflöde in energiflöde Srömbalans (Kircoffs :a lag): sröm från knpnk = sröm in ill knpnk En parikelbalans är ofa en s.k. ämnesmängdbalans, där soreen är anale molekyler eller aomer. Härvid är den använda mängdeneen ofa mol, som j rycker e viss anal. 3. Modelleringsprinciper 3 4

2 3..3 Fysikalisk modellbygge 3..3 Fysikalisk modellbygge Flödesbalanserna rycker fysikaliska konserveringslagar där soreen (nder normala beingelser) är oförsörbar. Därför bör man ndvika volymbalanser, efersom volym ine är en oförsörbar sore oc därmed ine addiiv. En inensiesbalans ar allmän formen ändring per idsene = drivande sore belasande sore där ändringen per idsene avser en sysemegenskap, som genom sysemes växelverkan med omgivningen påverkas av drivande oc belasande soreer. Allmän kan man säga a de är frågan om illämpningar på Newons rörelselagar sam Kircoffs 2:a lag. Exempel på inensiesbalanser är Krafbalans: ändring av rörelsemängd / idsene = drivande kraf belasande kraf Momenbalans: ändring av rörelsemängdmomen / idsene = drivande belasande momen Spänningsbalans (Kircoffs 2:a lag): smman av spänningarna rn en kres = noll Konsiiva relaioner Konsiiva relaioner relaerar soreer av olika slag. Dessa ryck ar ofa karakären av maerialsamband, som beskriver egenskapen os en viss komponen eller e viss delsysem. Dessa samband är saiska i mosas ill balansekvaionerna, som normal rycker dynamiska samband. Exempel på konsiiva relaioner är Oms lag: sambande mellan spänning över oc srömsyrka genom e mosånd Venilkarakerisika: sambande mellan ryckfall över oc flöde genom en venil Bernollis lag: sambande mellan väskenivån i en ank oc väskans srömningsasige Allmänna gaslagen: sambande mellan emperar oc ryck i en gasank 3. Modelleringsprinciper Modelleringsprinciper Fysikalisk modellbygge 3. Maemaisk modellering Arbesgången vid fysikalisk modellbygge Följande arbesgång vid fysikalisk modellbygge rekommenderas:. Säll pp akella balansekvaioner. 2. Använd konsiiva relaioner för a relaera variabler ill varandra sam för a inrodcera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs konrollera åminsone a alla addiiva ermer i en ekvaion ar precis samma ene! 3. Modelleringsprinciper Modeller för ekniska sysem 3.2. Elekriska sysem Figr 3. visar re grndkomponener i elekriska sysem. Beeckningar: = spänning, i = srömsyrka R = resisans, C = kapacians, L = indkans Elekrisk mosånd (Oms lag): () = Ri () (3.) Kondensaor: () = (0) + i( τ )dτ C (3.2) Spole: i() i() () mosånd kondensaor spole Figr 3.. Grndkomponener i e elekrisk nä. Reglereknik I Grndkrs (49300) i() R () C () L di () = L (3.3) d

3 3.2. Elekriska sysem 3.2. Elekriska sysem 4Exempel 3.. E passiv analog lågpassfiler. Figr 3.2 visar e passiv analog lågpassfiler. Hr beror spänningen () R på gångssidan av spänningen in () på ingångssidan om kresen är obelasad på in () C () gången? Beeckningar: Figr 3.2. E passiv lågpassfiler. R () = spänningen över mosånde, ir () = srömmen genom mosånde C () = spänningen över kondensaorn, ic () = srömmen genom kondensaorn Om vi räknar alla spänningar (spänningsfall) som posiiva, ger Kircoffs andra lag för e varv rn vänsra respekive ögra slingan in () = R() + C() () = C () Då gången är obelasad läcker ingen sröm oc vi ar ir () = ic () 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 9 Kombinering av oc oc insäning av (3.) ger () = in () R ir () Vidare ger kombinering av oc (3.2) () = C() = C(0) + ic( )d C τ τ 0 Derivering av båda leden i m.a.p. iden ger d = ic() = ir() (6) C C där sisa likeen fås från. Kombinering av oc (6) ger slligen d RC + () = in () (7) Dea är en differenialekvaion av försa ordningen. Kresen är e lågpassfiler, som filrerar bor öga frekvenser i in (). I prakiken ar man också en försärkare på gångssidan, som gör a man kan belasa kresen an a slar gälla Modeller för ekniska sysem Elekriska sysem 3.2. Elekriska sysem 4Exempel 3.2. Enkel RLC-kres. Figr 3.3 visar en enkel RLC-kres driven av en srömkälla. R L i Hr beror spänningen över kondensaorn av C srömmen från srömkällan? Beeckningar: R () = spänningen över mosånde, Figr 3.3. Enkel RLC-kres. ir () = srömmen genom mosånde C () = spänningen över kondensaorn, ic () = srömmen genom kondensaorn L () = spänningen över spolen, il () = srömmen genom spolen Kircoffs lagar ger C() = R() + L() i () = ir() + ic() ir () = il () 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 dil Insäning av (3.) oc (3.3) i : C() = R ir() + L d ( i ( ) ic ( ) ) Eliminering av ir () oc il () : C() = R ( i() ic() ) + L dc Enlig ekv. (6) i Ex. 3. gäller: ic () = C (6) dc d i ( ) C dc Insa i ger dea C () = R i() C L + 2 d C dc di eller efer yfsning: LC RC () () 2 C R i L (7) där i () är insignal oc () är signal. C Dea är en differenialekvaion av andra ordningen Modeller för ekniska sysem 3 2

4 3.2 Modeller för ekniska sysem Mekaniska sysem Mekaniska sysem Modelleringen av mekaniska sysem baserar sig i vdsak på Newons andra lag F = ma (3.4) där F är den kraf som påverkar massan m oc a är massans acceleraion. F 4Exempel 3.3. Odämpad pendel. Figr 3.4 visar en odämpad svängande pendel. Pendeln kan röra sig endas i den 2-dimensionella bildens plan. Dess ppängningspnk är på avsånde oc dess masspnk i pendelns nedre ända på avsånde y från de verikala plane ill vänser. Hr beror masspnkens orisonella posiion y på ppängningspnkens posiion? Figr 3.4. Svängande pendel. Övriga beeckningar: l = pendelns längd, θ = dess vinkel mo verikalplane m = masspnkens massa, = masspnkens verikala posiion F = kraf som påverkar pendeln i ppängningspnken i pendelns negaiva rikning 3. Maemaisk modellering 3 3 y l θ m Då pendeln påverkas av ppängingskrafen F oc graviaionskrafen mg, fås enlig Newons andra lag orisonell krafkomponen: my = F sinθ verikal krafkomponen: m = F cosθ + mg y oc är andra idsderivaan av y resp., dvs acceleraionen i respekive rikningar. Anag a pendelns svängning är målig så a vinkeln θ allid är lien. Då rör sig pendeln knappas alls i verikal rikning oc vi kan ana a 0. Eliminering av F ger då y+ ganθ = 0 Vinkeln θ ges av de rigonomeriska sambande y y anθ = l där sisa lede följer av a l när θ är lien. Kombinering av oc ger modellen y+ ( g/ l) y = ( g/ l) Märk a approximaionerna 0 oc θ lien begränsar modellens gilige Modeller för ekniska sysem Mekaniska sysem Mekaniska sysem 4Exempel 3.4. Fjädringssyseme för en bil. a) b) k m () b y() Figr 3.5. a) Fjäderppängd massa med dämpning; b) bilsödämpare. 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 5 k k 2 m m 2 b y () y 2 () () a) Hr beror posiionsavvikelsen från e jämviksläge, y, () av krafen () för den fjäderppängda massan m? I jämviksläge gäller y = = 0 (frånse eneerna). Om den posiiva verikala rikningen räknas nedå, ger Newons andra lag för fjädern oc dämpningscylindern my = ky by + () dvs my + by + ky = () där b oc k är konsaner. Graviaionskrafen mg ingår ine; den påverkar även jämviksläge oc elimineras därför när avvikelsen från jämviksläge modelleras. b) Hr beror posiionsavvikelserna y () oc y2 () i en bilsödämpar av, () som beecknar verikala ojämneer i nderlage? m är bilens massa, m 2 är massan os jl oc axel, b oc k beskriver bilsödämparens dynamik oc k 2 däckes elasicie. I jämviksläge är y = y2 = = 0. Då den posiiva rikningen räknas ppå, fås my = k( y2 y) + b( y 2 y ) my 2 2 = k( y y2) + b( y y 2) + k2( y2) Dea är vå kopplade andra ordningens differenialekvaioner, som beskriver bilkarossen oc jlens verikala rörelse som fnkion av verikala ojämneer i nderlage Modeller för ekniska sysem 3 6

5 3.2 Modeller för ekniska sysem Processekniska sysem modelleras ypisk med flödesbalanser (mass- oc energibalanser) oc konsiiva relaioner. 4 Exempel 3.5. Väskebeållare med fri flöde. En volymsröm illförs koninerlig beållaren oc en volymsröm q srömmar fri genom självryck, förorsaka av väskeöjden i beållaren. Beållaren ar en konsan värarea A oc loppsröre ar effekiva värarean a. Hr beror väskenivån av inflöde? Vi anar a väskan ar konsan densie ρ. d Massbalans: ( ρ A ) ρ ρq A Figr 3.6. Beållare med fri flöde. = Efersom densieen oc värarean är konsana, kan dea förenklas ill d A q = 3. Maemaisk modellering 3 7 A a { q Enlig Bernollis lag gäller för srömningen av väska den konsiiva relaionen v = 2g där v är srömningsasigeen oc g är yngdkrafsacceleraionen. På grnd av konrakion ( vena conraca ) i början av srömningsröre, fås volymsrömmen q enlig q = av = a 2g där a är srömningsröres effekiva värarea, som är någo mindre än den verkliga värarean. Kombinering av oc ger slligen d a 2g = + A A dvs en olinjär differenialekvaion som beskriver r nivån beror av inflöde Modeller för ekniska sysem 3 8 4Exempel 3.6. Blandningsank. Två volymsrömmar F oc F 2, med koncenraionerna (massa/volym) c resp. c 2 av någon i Flöde Flöde 2 F, c F2, c 2 väskan ingående komponen X, blandas koninerlig i beållaren oc en volymsröm F 3, med c Flöde 3 koncenraionen c 3, as. Väskan i beållaren, F3, c 3 som ar en konsan värarea A, når öjden. Koncenraionen i beållaren av komponen X är c. Figr 3.7. Blandningsank. Omrörningen i beållaren anas vara perfek. Hr beror nivån oc koncenraionen c (oc c 3 ) av övriga variabler? De är rimlig a ana a väskans densie i de olika srömmarna är konsan oc lika om väskans emperar är konsan oc koncenraionen av komponener är målig. Analog med Ex. 3.5 fås då efer borförkorning av densieen d Toal massbalans: A F F2 F3 = + Usrömmen F 3 kan vi ine eliminera, efersom vi ine ve vad den beror av. 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 9 Vi kan också sälla pp en massbalans för varje ingående komponen i insrömmarna, en d pariell massbalans: ( ) d Ac = F c + F c F c Om omrörningen i beållaren är perfek ar vi fllsändig omblandning, vilke beyder a koncenraionen överall i beållaren är lika. Dea beyder också a koncenraionen i srömmen måse vara lika den i beållaren, dvs vi får den konsiiva relaionen c3 = c Uveckling av derivaan i enlig prodkregeln sam beakande av ger d dc Ac + A = Fc + F2c2 F33 c varefer kombinering med ger dc A F( c c) F2( c2 c) = + Dea är en linjär differenialekvaion med (i allmäne) icke-konsana paramerar Modeller för ekniska sysem 3 20

6 4Exempel 3.7. Varmvaenberedare. Insrömmen vaen är e massflöde m med Flöde emperaren T oc srömmen e massflöde m 2 m, F, T med emperaren T 2. Vane, med massan M, ppvärms i varmvaenberedaren ill en emperar Q Flöde 2 M T genom illförsel av en effek Q. Omrörningen i T m 2, F2, T2 varmvaenberedaren anas vara perfek. Figr 3.8. Varmvaenberedare. Hr beror vaenmängden oc emperaren i varmvaenberedaren av övriga variabler? d Massbalans: M = m m 2 de Energibalans: = E E 2 + Q där E oc E 2 är energisrömmar som följer med insrömmen respekive srömmen. Energin i en sbsans är proporionell mo dess massa eller massflöde oc för väskor gäller med god noggranne a den även är proporionell mo emperaren. Dea ger Konsiiva relaioner: E = cptm, E = cptm, E 2 = c p T 2 m 2 där c p är den specifika värmekapacieen för (i dea fall) vaen (anas vara konsan). Kombinering av oc sam veckling av derivaan enlig kedjeregeln ger dm dt Q T + M = Tm T2m 2 + cp Anagande om perfek omrörning innebär a även den konsiiva relaionen T2 = T gäller. Eliminering av d M / med ger då dt Q M = m ( T T) + cp Ekvaion oc anger r massan oc emperaren i varmvaenberedaren beror av insrömmen oc ppvärmningseffeken Q. 3.2 Modeller för ekniska sysem Modeller för ekniska sysem 3 22 Om man i sälle för masseneer vill använda volymeneer fås från med M = ρ A oc m = ρf dt Q ρa = ρf( T T ) + (6) cp Obs. a ekv. (6) ine försäer a densieen är konsan. En varierande densie förefaller dock göra mer komplicerad ryck i volymeneer. Man kan dock visa a även om densieens beroende av emperaren ine är försmbar, är effekerna i sådana a de enderar a varandra. En el adekva form för ryck i volymeneer är därför d A F F2 = (7) 4Exempel 3.8. Gas i slen ank. Figr 3.9 illsrerar en slen gasank med n, p n 2, p2 volymen V, ämnesmängden (molmängden) n, rycke p oc emperaren T. Venil Venil 2 V, n, p, T Insrömmen ill anken ar molflöde n Figr 3.9. Gas i slen ank oc rycke p, srömmen ar molflöde n 2 oc rycke p 2. Venil 2 kan användas för reglering genom jsering av venilläge. Hr beror rycke p i anken av övriga variabler? dn Ämnesmängdbalans: n n2 = Molflöde genom en venil i konsan läge är proporionell mo kvadraroen av ryckdifferensen över venilen. Dessom kan man ana a proporionaliesfakorn är proporionell mo kvadraen på venilläge. Molsrömmarna ges då av 2 konsiiva relaionerna: n = k p p, n 2 = k2 p p2 3.2 Modeller för ekniska sysem Modeller för ekniska sysem 3 24

7 3. Maemaisk modellering Vidare kan man ana a idealgaslagen pv = nrt gäller. Här är R den allmänna gaskonsanen oc T är emperaren ryck i Kelvin. Om emperaren T är konsan, ger insäning av oc i dp RT dn RT 2 = = ( k p p k 2 p p 2 ) V V som, även om den är av försa ordningen, är en relaiv komplicerad olinjär differenialekvaion Modeller för ekniska sysem 3 25 Vi ar i e anal exempel ärle differenialekvaioner som beskriver beeende os ypiska ekniska (del)sysem. Differenialekvaionerna är i flera fall olinjära. Även om de är linjära, ar de i allmäne icke-konsana koefficiener, efersom dessa vanligvis är beroende av någon fysikalisk sore. Därmed är de svår, kanske omöjlig, a finna generella lösningar ill differenialekvaionerna. Man är då vngen a sdera specialfall oc/eller göra förenklande anaganden. Vanliga förenklingar är a ana a vissa soreer är konsana, ros a de i verkligeen kanske varierar någo; ana a insignaler som förändras gör de på någo ideal men rimlig sä. I prakiken är de ofa illräcklig a känna ill sysemes beeende inom någo begränsa operaionsområde, dvs i näreen av en given arbespnk. Den förenkling man då ofa kan göra är a linjärisera modellekvaionerna kring denna arbespnk. Reglereknik I Grndkrs (49300) 3 26 De är i själva verke så, a de effekiva analys-, synes- oc designmeoder som nyjas både i den klassiska oc den moderna en i allmäne försäer a sysemmodellen är linjär. Denna begränsning anses vara accepabel när reglersysemes ppgif är a ålla syseme vid eller i näreen av en önskad arbespnk. Om syseme är så olinjär, eller dess operaionsområde så sor, a dess beeende ine kan beskrivas med en linjär modell, kan man ofa nyja flera linjära modeller som linjäriseras kring olika arbespnker. Av ovan nämnda orsaker eferföljs e fysikalisk modellbygge vanligvis av en linjärisering av den ärledda modellen, besående av en eller flera olinjära differenialekvaioner. Vi skall är begränsa oss ill sysem som kan beskrivas med ordinära differenialekvaioner; pariella differenialekvaioner beandlas således ine. Beraka en n:e ordningens ordinär differenialekvaion skriven på formen f( y,, y, y, ) = 0 (3.5) Vi ar för enkeles skll ine inkldera evenella derivaor av insignalen. Dylika kan beandlas el analog med derivaorna av signalen y. Vanligvis ingår derivaorna linjär i fnkionen f, men ärledningen kräver ine dea. Fnkionen i (3.5) kan linjäriseras genom en Taylorserieveckling av försa ordningen kring en arbespnk ( y,, y, y, ), som saisfierar ekvaion (3.5). Ofa är arbespnken e saionärillsånd (derivaorna = 0), men beöver ine vara de. Linjärisering av (3.5) genom Taylorserieveckling ger f f( y,, y, y, ) f( y,, y, y, ) + y y + ( ) y f f ( y y ) ( y y) ( ) f f f y y f f (3.6) 3. Maemaisk modellering Maemaisk modellering 3 28

8 Symbolen f anger a parialderivaorna besäms vid arbespnken ( y,, y, y, ). Vi inrodcerar variablerna Δy y y,, Δy y y, Δy y y, Δ (3.7) som anger soreernas avvikelser från deras värden i arbespnken. Vi kan kalla dylika variabler för avvikelsevariabler, eller el enkel Δ-variabler. Kombinering av (3.5), (3.6), (3.7) oc beakande av a arbespnken saisfierar (3.5) ger f f f f y y y 0 Δ + + Δ + Δ + Δ = y y y (3.8) f f f f Dea är en linjär n:e ordningens ordinär differenialekvaion med konsana koefficiener. Om derivaor av insignalen finns i den rsprngliga olinjära ekvaionen, kommer dessa a ingå i (3.8) på mosvarande sä som derivaorna av signalen y. Anmärkning: Om arbespnken ine är e saionärillsånd så a.ex. y 0, är y försås en fnkion av iden. Därmed ger derivering av Δ y i definiionen Δy y y ine Δy y an Δ y = y y y i enlige med definiionen av Δ y i ekvaion (3.7). 3. Maemaisk modellering 3 29 Derivaorna ingår ofa linjär i ekv. (3.5). De är då ine nödvändig a gå ifrån de implicia rycke (3.5). En :a ordningens ordinär differenialekvaion kan.ex. skrivas y = g( y, ) (3.9) Vi kan linjärisera vänsra lede oc ögra lede skil för sig. När vi då beakar a arbespnken skall saisfiera (3.9), får vi g g Δ y = Δ y+ Δ y (3.0) g g Anag a vi ar en konsiiv relaion, som relaerar en sore z ill y enlig sambande z = ( y) (3.) Linjärisering ger Δ z = ( d dy) Δ y (3.2) En linjär dynamikmodell med Δ z som beroende variabel kan då erållas genom kombinering av (3.0) oc (3.2), vilke ger d g d g Δ z = Δ y = Δ z+ Δ dy y dy (3.3) g g 3. Maemaisk modellering Exempel 3.9. Linjärisering av differenialekvaion. Linjärisera den i exempel 3.5 ärledda differenialekvaionen d a 2g = + A A kring en arbespnk ( )., Tillämpning av ekvaion (3.9) oc (3.0) ger eller dδ a 2g a 2g = + Δ + + Δ A A A A,, a 2g a 2g = Δ + Δ = Δ + Δ A A 2A A dδ a g = Δ + Δ 3 A 2 A 3. Maemaisk modellering 3 3 Övning 3.. En reglervenil ar vid e give ryck venilkarakerisikan x F = C( α )/( α ) där F är volymsrömmen väska genom venilen, x är venilens läge (mellan 0 oc ), C oc α är konsaner. Reglervenilens läge x påverkas av en syrsignal enlig sambande Tx + x = K där T oc K är konsana paramerar. Besäm en linjär dynamikmodell, som anger r volymsrömmen F beror av syrsignalen i näreen av en arbespnk ( F, ). 3. Maemaisk modellering 3 32