3. Matematisk modellering

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3. Matematisk modellering"

Transkript

1 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3. Maemaisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modellyper För design oc analys av reglersysem beöver man en maemaisk modell, som beskriver sysemes dynamiska beeende. Vi kan skilja på vå vyper av modeller: Differenialekvaioner, som beskriver koninerliga förlopp. Differensekvaioner, som beskriver sysemegenskaper endas vid diskrea ögonblick. E moiv för användning av idsdiskrea modeller också för beskrivning av koninerliga sysem är a de kan nderläa konsrkionen av idsdiskrea reglaorer, som är den form som vanligvis beövs för prakisk implemenering av e reglersysem. Om önskvär, kan man gå från en sysembeskrivning med differenialekvaioner, efersom sådana kan ransformeras ill differensekvaioner genom s.k. sampling. Differensekvaioner kan ofa, men ine allid, ransformeras ill differenialekvaioner. I denna krs beandlas idskoninerliga modeller. Tidsdiskrea modeller beandlas bl.a. i krserna Reglereknik II oc Modellering oc reglering av sokasiska sysem. Reglereknik I Grndkrs (49300) Modellkonsrkion De finns vå grndprinciper för konsrkion av maemaiska modeller: Fysikalisk modellbygge innebär a man åerför sysemes egenskaper på delsysem, vilkas egenskaper är kända. För ekniska sysem beyder dea vanligvis a man använder de narlagar som beskriver delsysemen. För icke-ekniska sysem (ekonomiska, sociologiska, biologiska, o.dyl.) ar man i regel inga säkra narlagar. Man måse då i sälle använda ypoeser eller allmän vederagna samband. Sysemidenifiering, eller korare, idenifiering, innebär a man använder observaioner (mäningar) från syseme för a anpassa en modell ill sysemes beeende. Vanligvis gör man speciella experimen för a erålla lämpliga daa för idenifieringen. Idenifiering används ofa som komplemen ill fysikalisk modellbygge,.ex. för a besämma någon osäker parameer. De är vikig a observera a alla modeller ar e begränsa giligesområde. Dea gäller ill oc med de s.k. narlagarna. Newons rörelselagar gäller.ex. ine för asigeer nära ljses. Speciell för modeller besämda genom idenifiering är de skäl a ine använda dem i e område som experimenen ine ger någon informaion om. 3. Maemaisk modellering Modelleringsprinciper 3..3 Fysikalisk modellbygge 3..3 Fysikalisk modellbygge I forsäningen av skall vi beandla modellering gående från fysikaliska samband. Efersom verkliga sysem enderar vara rä komplexa, kan eller vill man i allmäne ine beaka alla dealjer. Man försöker dock illgodose följande någo mosridiga krav: Modellen skall vara illräcklig noggrann för si ändamål, vilke beyder a avvikelsen från sysemes verkliga beeende ine får vara för sor. Modellen skall vara illräcklig enkel a använda,.ex. för sysemanalys oc konsrkion av reglersysem. Vid fysikalisk modellbygge används vå yper av maemaiska samband: balansekvaioner konsiiva relaioner Balansekvaioner Balansekvaioner relaerar addiiva soreer av samma slag i e avgränsa sysem. Man kan säga a de finns vå generella yper av balansekvaioner: flödesbalanser inensiesbalanser 3. Maemaisk modellering 3 3 Allmän ar en flödesbalans för en sore formen pplagring per idsene = inflöde flöde + generering per idsene där pplagring oc generering sker inne i syseme medan inflöde oc flöde anger de som passerar sysemgränsen. När soreen i fråga ine delar i kemiska eller aomära reakioner saknas genereringserm. Exempel på flödesbalanser (är an genereringserm) är Massbalans: pplagrad massa per idsene = massflöde in massflöde Parikelbalans: pplagra anal pariklar / idsene = parikelflöde in parikelflöde Energibalans: pplagrad energi per idsene = energiflöde in energiflöde Srömbalans (Kircoffs :a lag): sröm från knpnk = sröm in ill knpnk En parikelbalans är ofa en s.k. ämnesmängdbalans, där soreen är anale molekyler eller aomer. Härvid är den använda mängdeneen ofa mol, som j rycker e viss anal. 3. Modelleringsprinciper 3 4

2 3..3 Fysikalisk modellbygge 3..3 Fysikalisk modellbygge Flödesbalanserna rycker fysikaliska konserveringslagar där soreen (nder normala beingelser) är oförsörbar. Därför bör man ndvika volymbalanser, efersom volym ine är en oförsörbar sore oc därmed ine addiiv. En inensiesbalans ar allmän formen ändring per idsene = drivande sore belasande sore där ändringen per idsene avser en sysemegenskap, som genom sysemes växelverkan med omgivningen påverkas av drivande oc belasande soreer. Allmän kan man säga a de är frågan om illämpningar på Newons rörelselagar sam Kircoffs 2:a lag. Exempel på inensiesbalanser är Krafbalans: ändring av rörelsemängd / idsene = drivande kraf belasande kraf Momenbalans: ändring av rörelsemängdmomen / idsene = drivande belasande momen Spänningsbalans (Kircoffs 2:a lag): smman av spänningarna rn en kres = noll Konsiiva relaioner Konsiiva relaioner relaerar soreer av olika slag. Dessa ryck ar ofa karakären av maerialsamband, som beskriver egenskapen os en viss komponen eller e viss delsysem. Dessa samband är saiska i mosas ill balansekvaionerna, som normal rycker dynamiska samband. Exempel på konsiiva relaioner är Oms lag: sambande mellan spänning över oc srömsyrka genom e mosånd Venilkarakerisika: sambande mellan ryckfall över oc flöde genom en venil Bernollis lag: sambande mellan väskenivån i en ank oc väskans srömningsasige Allmänna gaslagen: sambande mellan emperar oc ryck i en gasank 3. Modelleringsprinciper Modelleringsprinciper Fysikalisk modellbygge 3. Maemaisk modellering Arbesgången vid fysikalisk modellbygge Följande arbesgång vid fysikalisk modellbygge rekommenderas:. Säll pp akella balansekvaioner. 2. Använd konsiiva relaioner för a relaera variabler ill varandra sam för a inrodcera lämpliga nya variabler i modellen. 3. Gör dimensionsanalys, dvs konrollera åminsone a alla addiiva ermer i en ekvaion ar precis samma ene! 3. Modelleringsprinciper Modeller för ekniska sysem 3.2. Elekriska sysem Figr 3. visar re grndkomponener i elekriska sysem. Beeckningar: = spänning, i = srömsyrka R = resisans, C = kapacians, L = indkans Elekrisk mosånd (Oms lag): () = Ri () (3.) Kondensaor: () = (0) + i( τ )dτ C (3.2) Spole: i() i() () mosånd kondensaor spole Figr 3.. Grndkomponener i e elekrisk nä. Reglereknik I Grndkrs (49300) i() R () C () L di () = L (3.3) d

3 3.2. Elekriska sysem 3.2. Elekriska sysem 4Exempel 3.. E passiv analog lågpassfiler. Figr 3.2 visar e passiv analog lågpassfiler. Hr beror spänningen () R på gångssidan av spänningen in () på ingångssidan om kresen är obelasad på in () C () gången? Beeckningar: Figr 3.2. E passiv lågpassfiler. R () = spänningen över mosånde, ir () = srömmen genom mosånde C () = spänningen över kondensaorn, ic () = srömmen genom kondensaorn Om vi räknar alla spänningar (spänningsfall) som posiiva, ger Kircoffs andra lag för e varv rn vänsra respekive ögra slingan in () = R() + C() () = C () Då gången är obelasad läcker ingen sröm oc vi ar ir () = ic () 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 9 Kombinering av oc oc insäning av (3.) ger () = in () R ir () Vidare ger kombinering av oc (3.2) () = C() = C(0) + ic( )d C τ τ 0 Derivering av båda leden i m.a.p. iden ger d = ic() = ir() (6) C C där sisa likeen fås från. Kombinering av oc (6) ger slligen d RC + () = in () (7) Dea är en differenialekvaion av försa ordningen. Kresen är e lågpassfiler, som filrerar bor öga frekvenser i in (). I prakiken ar man också en försärkare på gångssidan, som gör a man kan belasa kresen an a slar gälla Modeller för ekniska sysem Elekriska sysem 3.2. Elekriska sysem 4Exempel 3.2. Enkel RLC-kres. Figr 3.3 visar en enkel RLC-kres driven av en srömkälla. R L i Hr beror spänningen över kondensaorn av C srömmen från srömkällan? Beeckningar: R () = spänningen över mosånde, Figr 3.3. Enkel RLC-kres. ir () = srömmen genom mosånde C () = spänningen över kondensaorn, ic () = srömmen genom kondensaorn L () = spänningen över spolen, il () = srömmen genom spolen Kircoffs lagar ger C() = R() + L() i () = ir() + ic() ir () = il () 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 dil Insäning av (3.) oc (3.3) i : C() = R ir() + L d ( i ( ) ic ( ) ) Eliminering av ir () oc il () : C() = R ( i() ic() ) + L dc Enlig ekv. (6) i Ex. 3. gäller: ic () = C (6) dc d i ( ) C dc Insa i ger dea C () = R i() C L + 2 d C dc di eller efer yfsning: LC RC () () 2 C R i L (7) där i () är insignal oc () är signal. C Dea är en differenialekvaion av andra ordningen Modeller för ekniska sysem 3 2

4 3.2 Modeller för ekniska sysem Mekaniska sysem Mekaniska sysem Modelleringen av mekaniska sysem baserar sig i vdsak på Newons andra lag F = ma (3.4) där F är den kraf som påverkar massan m oc a är massans acceleraion. F 4Exempel 3.3. Odämpad pendel. Figr 3.4 visar en odämpad svängande pendel. Pendeln kan röra sig endas i den 2-dimensionella bildens plan. Dess ppängningspnk är på avsånde oc dess masspnk i pendelns nedre ända på avsånde y från de verikala plane ill vänser. Hr beror masspnkens orisonella posiion y på ppängningspnkens posiion? Figr 3.4. Svängande pendel. Övriga beeckningar: l = pendelns längd, θ = dess vinkel mo verikalplane m = masspnkens massa, = masspnkens verikala posiion F = kraf som påverkar pendeln i ppängningspnken i pendelns negaiva rikning 3. Maemaisk modellering 3 3 y l θ m Då pendeln påverkas av ppängingskrafen F oc graviaionskrafen mg, fås enlig Newons andra lag orisonell krafkomponen: my = F sinθ verikal krafkomponen: m = F cosθ + mg y oc är andra idsderivaan av y resp., dvs acceleraionen i respekive rikningar. Anag a pendelns svängning är målig så a vinkeln θ allid är lien. Då rör sig pendeln knappas alls i verikal rikning oc vi kan ana a 0. Eliminering av F ger då y+ ganθ = 0 Vinkeln θ ges av de rigonomeriska sambande y y anθ = l där sisa lede följer av a l när θ är lien. Kombinering av oc ger modellen y+ ( g/ l) y = ( g/ l) Märk a approximaionerna 0 oc θ lien begränsar modellens gilige Modeller för ekniska sysem Mekaniska sysem Mekaniska sysem 4Exempel 3.4. Fjädringssyseme för en bil. a) b) k m () b y() Figr 3.5. a) Fjäderppängd massa med dämpning; b) bilsödämpare. 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 5 k k 2 m m 2 b y () y 2 () () a) Hr beror posiionsavvikelsen från e jämviksläge, y, () av krafen () för den fjäderppängda massan m? I jämviksläge gäller y = = 0 (frånse eneerna). Om den posiiva verikala rikningen räknas nedå, ger Newons andra lag för fjädern oc dämpningscylindern my = ky by + () dvs my + by + ky = () där b oc k är konsaner. Graviaionskrafen mg ingår ine; den påverkar även jämviksläge oc elimineras därför när avvikelsen från jämviksläge modelleras. b) Hr beror posiionsavvikelserna y () oc y2 () i en bilsödämpar av, () som beecknar verikala ojämneer i nderlage? m är bilens massa, m 2 är massan os jl oc axel, b oc k beskriver bilsödämparens dynamik oc k 2 däckes elasicie. I jämviksläge är y = y2 = = 0. Då den posiiva rikningen räknas ppå, fås my = k( y2 y) + b( y 2 y ) my 2 2 = k( y y2) + b( y y 2) + k2( y2) Dea är vå kopplade andra ordningens differenialekvaioner, som beskriver bilkarossen oc jlens verikala rörelse som fnkion av verikala ojämneer i nderlage Modeller för ekniska sysem 3 6

5 3.2 Modeller för ekniska sysem Processekniska sysem modelleras ypisk med flödesbalanser (mass- oc energibalanser) oc konsiiva relaioner. 4 Exempel 3.5. Väskebeållare med fri flöde. En volymsröm illförs koninerlig beållaren oc en volymsröm q srömmar fri genom självryck, förorsaka av väskeöjden i beållaren. Beållaren ar en konsan värarea A oc loppsröre ar effekiva värarean a. Hr beror väskenivån av inflöde? Vi anar a väskan ar konsan densie ρ. d Massbalans: ( ρ A ) ρ ρq A Figr 3.6. Beållare med fri flöde. = Efersom densieen oc värarean är konsana, kan dea förenklas ill d A q = 3. Maemaisk modellering 3 7 A a { q Enlig Bernollis lag gäller för srömningen av väska den konsiiva relaionen v = 2g där v är srömningsasigeen oc g är yngdkrafsacceleraionen. På grnd av konrakion ( vena conraca ) i början av srömningsröre, fås volymsrömmen q enlig q = av = a 2g där a är srömningsröres effekiva värarea, som är någo mindre än den verkliga värarean. Kombinering av oc ger slligen d a 2g = + A A dvs en olinjär differenialekvaion som beskriver r nivån beror av inflöde Modeller för ekniska sysem 3 8 4Exempel 3.6. Blandningsank. Två volymsrömmar F oc F 2, med koncenraionerna (massa/volym) c resp. c 2 av någon i Flöde Flöde 2 F, c F2, c 2 väskan ingående komponen X, blandas koninerlig i beållaren oc en volymsröm F 3, med c Flöde 3 koncenraionen c 3, as. Väskan i beållaren, F3, c 3 som ar en konsan värarea A, når öjden. Koncenraionen i beållaren av komponen X är c. Figr 3.7. Blandningsank. Omrörningen i beållaren anas vara perfek. Hr beror nivån oc koncenraionen c (oc c 3 ) av övriga variabler? De är rimlig a ana a väskans densie i de olika srömmarna är konsan oc lika om väskans emperar är konsan oc koncenraionen av komponener är målig. Analog med Ex. 3.5 fås då efer borförkorning av densieen d Toal massbalans: A F F2 F3 = + Usrömmen F 3 kan vi ine eliminera, efersom vi ine ve vad den beror av. 3.2 Modeller för ekniska sysem 3 9 Vi kan också sälla pp en massbalans för varje ingående komponen i insrömmarna, en d pariell massbalans: ( ) d Ac = F c + F c F c Om omrörningen i beållaren är perfek ar vi fllsändig omblandning, vilke beyder a koncenraionen överall i beållaren är lika. Dea beyder också a koncenraionen i srömmen måse vara lika den i beållaren, dvs vi får den konsiiva relaionen c3 = c Uveckling av derivaan i enlig prodkregeln sam beakande av ger d dc Ac + A = Fc + F2c2 F33 c varefer kombinering med ger dc A F( c c) F2( c2 c) = + Dea är en linjär differenialekvaion med (i allmäne) icke-konsana paramerar Modeller för ekniska sysem 3 20

6 4Exempel 3.7. Varmvaenberedare. Insrömmen vaen är e massflöde m med Flöde emperaren T oc srömmen e massflöde m 2 m, F, T med emperaren T 2. Vane, med massan M, ppvärms i varmvaenberedaren ill en emperar Q Flöde 2 M T genom illförsel av en effek Q. Omrörningen i T m 2, F2, T2 varmvaenberedaren anas vara perfek. Figr 3.8. Varmvaenberedare. Hr beror vaenmängden oc emperaren i varmvaenberedaren av övriga variabler? d Massbalans: M = m m 2 de Energibalans: = E E 2 + Q där E oc E 2 är energisrömmar som följer med insrömmen respekive srömmen. Energin i en sbsans är proporionell mo dess massa eller massflöde oc för väskor gäller med god noggranne a den även är proporionell mo emperaren. Dea ger Konsiiva relaioner: E = cptm, E = cptm, E 2 = c p T 2 m 2 där c p är den specifika värmekapacieen för (i dea fall) vaen (anas vara konsan). Kombinering av oc sam veckling av derivaan enlig kedjeregeln ger dm dt Q T + M = Tm T2m 2 + cp Anagande om perfek omrörning innebär a även den konsiiva relaionen T2 = T gäller. Eliminering av d M / med ger då dt Q M = m ( T T) + cp Ekvaion oc anger r massan oc emperaren i varmvaenberedaren beror av insrömmen oc ppvärmningseffeken Q. 3.2 Modeller för ekniska sysem Modeller för ekniska sysem 3 22 Om man i sälle för masseneer vill använda volymeneer fås från med M = ρ A oc m = ρf dt Q ρa = ρf( T T ) + (6) cp Obs. a ekv. (6) ine försäer a densieen är konsan. En varierande densie förefaller dock göra mer komplicerad ryck i volymeneer. Man kan dock visa a även om densieens beroende av emperaren ine är försmbar, är effekerna i sådana a de enderar a varandra. En el adekva form för ryck i volymeneer är därför d A F F2 = (7) 4Exempel 3.8. Gas i slen ank. Figr 3.9 illsrerar en slen gasank med n, p n 2, p2 volymen V, ämnesmängden (molmängden) n, rycke p oc emperaren T. Venil Venil 2 V, n, p, T Insrömmen ill anken ar molflöde n Figr 3.9. Gas i slen ank oc rycke p, srömmen ar molflöde n 2 oc rycke p 2. Venil 2 kan användas för reglering genom jsering av venilläge. Hr beror rycke p i anken av övriga variabler? dn Ämnesmängdbalans: n n2 = Molflöde genom en venil i konsan läge är proporionell mo kvadraroen av ryckdifferensen över venilen. Dessom kan man ana a proporionaliesfakorn är proporionell mo kvadraen på venilläge. Molsrömmarna ges då av 2 konsiiva relaionerna: n = k p p, n 2 = k2 p p2 3.2 Modeller för ekniska sysem Modeller för ekniska sysem 3 24

7 3. Maemaisk modellering Vidare kan man ana a idealgaslagen pv = nrt gäller. Här är R den allmänna gaskonsanen oc T är emperaren ryck i Kelvin. Om emperaren T är konsan, ger insäning av oc i dp RT dn RT 2 = = ( k p p k 2 p p 2 ) V V som, även om den är av försa ordningen, är en relaiv komplicerad olinjär differenialekvaion Modeller för ekniska sysem 3 25 Vi ar i e anal exempel ärle differenialekvaioner som beskriver beeende os ypiska ekniska (del)sysem. Differenialekvaionerna är i flera fall olinjära. Även om de är linjära, ar de i allmäne icke-konsana koefficiener, efersom dessa vanligvis är beroende av någon fysikalisk sore. Därmed är de svår, kanske omöjlig, a finna generella lösningar ill differenialekvaionerna. Man är då vngen a sdera specialfall oc/eller göra förenklande anaganden. Vanliga förenklingar är a ana a vissa soreer är konsana, ros a de i verkligeen kanske varierar någo; ana a insignaler som förändras gör de på någo ideal men rimlig sä. I prakiken är de ofa illräcklig a känna ill sysemes beeende inom någo begränsa operaionsområde, dvs i näreen av en given arbespnk. Den förenkling man då ofa kan göra är a linjärisera modellekvaionerna kring denna arbespnk. Reglereknik I Grndkrs (49300) 3 26 De är i själva verke så, a de effekiva analys-, synes- oc designmeoder som nyjas både i den klassiska oc den moderna en i allmäne försäer a sysemmodellen är linjär. Denna begränsning anses vara accepabel när reglersysemes ppgif är a ålla syseme vid eller i näreen av en önskad arbespnk. Om syseme är så olinjär, eller dess operaionsområde så sor, a dess beeende ine kan beskrivas med en linjär modell, kan man ofa nyja flera linjära modeller som linjäriseras kring olika arbespnker. Av ovan nämnda orsaker eferföljs e fysikalisk modellbygge vanligvis av en linjärisering av den ärledda modellen, besående av en eller flera olinjära differenialekvaioner. Vi skall är begränsa oss ill sysem som kan beskrivas med ordinära differenialekvaioner; pariella differenialekvaioner beandlas således ine. Beraka en n:e ordningens ordinär differenialekvaion skriven på formen f( y,, y, y, ) = 0 (3.5) Vi ar för enkeles skll ine inkldera evenella derivaor av insignalen. Dylika kan beandlas el analog med derivaorna av signalen y. Vanligvis ingår derivaorna linjär i fnkionen f, men ärledningen kräver ine dea. Fnkionen i (3.5) kan linjäriseras genom en Taylorserieveckling av försa ordningen kring en arbespnk ( y,, y, y, ), som saisfierar ekvaion (3.5). Ofa är arbespnken e saionärillsånd (derivaorna = 0), men beöver ine vara de. Linjärisering av (3.5) genom Taylorserieveckling ger f f( y,, y, y, ) f( y,, y, y, ) + y y + ( ) y f f ( y y ) ( y y) ( ) f f f y y f f (3.6) 3. Maemaisk modellering Maemaisk modellering 3 28

8 Symbolen f anger a parialderivaorna besäms vid arbespnken ( y,, y, y, ). Vi inrodcerar variablerna Δy y y,, Δy y y, Δy y y, Δ (3.7) som anger soreernas avvikelser från deras värden i arbespnken. Vi kan kalla dylika variabler för avvikelsevariabler, eller el enkel Δ-variabler. Kombinering av (3.5), (3.6), (3.7) oc beakande av a arbespnken saisfierar (3.5) ger f f f f y y y 0 Δ + + Δ + Δ + Δ = y y y (3.8) f f f f Dea är en linjär n:e ordningens ordinär differenialekvaion med konsana koefficiener. Om derivaor av insignalen finns i den rsprngliga olinjära ekvaionen, kommer dessa a ingå i (3.8) på mosvarande sä som derivaorna av signalen y. Anmärkning: Om arbespnken ine är e saionärillsånd så a.ex. y 0, är y försås en fnkion av iden. Därmed ger derivering av Δ y i definiionen Δy y y ine Δy y an Δ y = y y y i enlige med definiionen av Δ y i ekvaion (3.7). 3. Maemaisk modellering 3 29 Derivaorna ingår ofa linjär i ekv. (3.5). De är då ine nödvändig a gå ifrån de implicia rycke (3.5). En :a ordningens ordinär differenialekvaion kan.ex. skrivas y = g( y, ) (3.9) Vi kan linjärisera vänsra lede oc ögra lede skil för sig. När vi då beakar a arbespnken skall saisfiera (3.9), får vi g g Δ y = Δ y+ Δ y (3.0) g g Anag a vi ar en konsiiv relaion, som relaerar en sore z ill y enlig sambande z = ( y) (3.) Linjärisering ger Δ z = ( d dy) Δ y (3.2) En linjär dynamikmodell med Δ z som beroende variabel kan då erållas genom kombinering av (3.0) oc (3.2), vilke ger d g d g Δ z = Δ y = Δ z+ Δ dy y dy (3.3) g g 3. Maemaisk modellering Exempel 3.9. Linjärisering av differenialekvaion. Linjärisera den i exempel 3.5 ärledda differenialekvaionen d a 2g = + A A kring en arbespnk ( )., Tillämpning av ekvaion (3.9) oc (3.0) ger eller dδ a 2g a 2g = + Δ + + Δ A A A A,, a 2g a 2g = Δ + Δ = Δ + Δ A A 2A A dδ a g = Δ + Δ 3 A 2 A 3. Maemaisk modellering 3 3 Övning 3.. En reglervenil ar vid e give ryck venilkarakerisikan x F = C( α )/( α ) där F är volymsrömmen väska genom venilen, x är venilens läge (mellan 0 oc ), C oc α är konsaner. Reglervenilens läge x påverkas av en syrsignal enlig sambande Tx + x = K där T oc K är konsana paramerar. Besäm en linjär dynamikmodell, som anger r volymsrömmen F beror av syrsignalen i näreen av en arbespnk ( F, ). 3. Maemaisk modellering 3 32

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att knna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan

Läs mer

2 Laboration 2. Positionsmätning

2 Laboration 2. Positionsmätning 2 Laboraion 2. Posiionsmäning 2.1 Laboraionens syfe A sudera olika yper av lägesgivare A sudera givarnas saiska och dynamiska egenskaper 2.2 Förberedelser Läs laboraionshandledningen och mosvarande avsni

Läs mer

Informationsteknologi

Informationsteknologi Föreläsning 2 och 3 Informaionseknologi Några vikiga yper av maemaiska modeller Blockschemamodeller Konsaner, variabler, paramerar Dynamiska modeller Tillsåndsmodeller en inrodkion Saiska samband Kor översik

Läs mer

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation

Om antal anpassningsbara parametrar i Murry Salbys ekvation 1 Om anal anpassningsbara paramerar i Murry Salbys ekvaion Murry Salbys ekvaion beskriver a koldioxidhalen ändringshasighe är proporionell mo en drivande kraf som är en emperaurdifferens. De finns änkbara

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k)

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: A=kB. A= k (för ett tal k) TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex A är proporionell mo B A är omvän proporionell mo B Formell beskrivning de finns

Läs mer

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el.

Läs mer

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning

Följande uttryck används ofta i olika problem som leder till differentialekvationer: Formell beskrivning OLIKA TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER Följande uryck används ofa i olika problem som leder ill differenialekvaioner: Tex Formell beskrivning A är proporionell mo B de finns e al k så a A=kB A

Läs mer

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti.

Tentamen: Miljö och Matematisk Modellering (MVE345) för TM Åk 3, VÖ13 klockan 14.00 den 27:e augusti. Tenamen: Miljö och Maemaisk Modellering MVE345) för TM Åk 3, VÖ3 klockan 4.00 den 27:e augusi. För uppgifer som kräver en numerisk lösning så skriv ned di svar och hur ni gick ill väga för a lösa uppgifen

Läs mer

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1

{ } = F(s). Efter lång tid blir hastigheten lika med mg. SVAR: Föremålets hastighet efter lång tid är mg. Modul 2. y 1 ösningsförslag ill enamensskrivning i SF1633 Differenialekvaioner I Tisdagen den 7 maj 14, kl 8-13 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är

Läs mer

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller!

bättre säljprognoser med hjälp av matematiska prognosmodeller! Whiepaper 24.9.2010 1 / 5 Jobba mindre, men smarare, och uppnå bäre säljprognoser med hjälp av maemaiska prognosmodeller! Förfaare: Johanna Småros Direkör, Skandinavien, D.Sc. (Tech.) johanna.smaros@relexsoluions.com

Läs mer

Elektroteknik MF1016 och MF1017 föreläsning 2

Elektroteknik MF1016 och MF1017 föreläsning 2 Elekroeknik MF1016 och MF1017 föreläsning 2 När en srömbryare slås ill och e baeri kopplas in ill en kres ppkommer likspänningar och liksrömmar i kresen, vi kan kalla de e DC illsånd. Liksrömmarna och

Läs mer

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd.

Från kap. 25: Man får alltid ett spänningsfall i strömmens riktning i ett motstånd. Från kap. 5: Ohm s lag Hög poenial på den sida där srömmen går in Låg poenial på den sida där srömmen går u Man får allid e spänningsfall i srömmens rikning i e mosånd. Från kap. 5: Poenialskillnaden över

Läs mer

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde

Introduktion till Reglertekniken. Styr och Reglerteknik. Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Vad är Reglerteknik? Önskat värde Börvärde Syr och Reglereknik FR: Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Syr- och reglereknik H Adam Lagerberg Vad är Reglereknik? Behov av syrning Vad är Reglereknik? Läran om Åerkopplade Sysem Blockschema Syr-

Läs mer

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.

3D vattenanimering Joakim Julin Department of Computer Science Åbo Akademi University, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo. 3D vaenanimering Joakim Julin Deparmen of Compuer Science Åbo Akademi Universiy, FIN-20520 Åbo, Finland e-mail: jjulin@nojunk.abo.fi Absrak Denna arikel kommer a presenera e anal olika algorimer för a

Läs mer

Mät upp- och urladdning av kondensatorer

Mät upp- och urladdning av kondensatorer elab011a Namn Daum Handledarens sign. Laboraion Mä upp- och urladdning av kondensaorer Varför denna laboraion? Oscilloskope är e vikig insrumen för a sudera kurvformer. Avsiken med den här laboraionen

Läs mer

3. Matematisk modellering

3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3. Matematisk modellering 3.1 Modelleringsprinciper 3.1.1 Modelltyper För design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska

Läs mer

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen

För de två linjerna, 1 och 2, i figuren bredvid gäller att deras vinkelpositioner, θ 1 och θ 2, kopplas ihop av ekvationen Knemak vd roaon av sela kroppar Inledande knemak för sela kroppar. För de vå lnjerna, och, fguren bredvd gäller a deras vnkelposoner, θ och θ, kopplas hop av ekvaonen Θ Θ + β Efersom vnkeln β är konsan

Läs mer

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden

Kursens innehåll. Ekonomin på kort sikt: IS-LM modellen. Varumarknaden, penningmarknaden Kursens innehåll Ekonomin på kor sik: IS-LM modellen Varumarknaden, penningmarknaden Ekonomin på medellång sik Arbesmarknad och inflaion AS-AD modellen Ekonomin på lång sik Ekonomisk illväx över flera

Läs mer

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén

FÖRDJUPNINGS-PM. Nr 4. 2010. Räntekostnaders bidrag till KPI-inflationen. Av Marcus Widén FÖRDJUPNNGS-PM Nr 4. 2010 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen Av Marcus Widén 1 Ränekosnaders bidrag ill KP-inflaionen dea fördjupnings-pm redovisas a en ofa använd approximaiv meod för beräkning av

Läs mer

2009-11-20. Prognoser

2009-11-20. Prognoser 29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska

Läs mer

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator

BASiQ. BASiQ. Tryckoberoende elektronisk flödesregulator Tryckoberoende elekronisk flödesregulaor Beskrivning är en komple produk som besår av e ryckoberoende A-spjäll med mäenhe som är ansluen ill en elekronisk flödesregulaor innehållande en dynamisk differensryckgivare.

Läs mer

Laboration 3: Växelström och komponenter

Laboration 3: Växelström och komponenter TSTE20 Elekronik Laboraion 3: Växelsröm och komponener v0.2 Ken Palmkvis, ISY, LiU Laboraner Namn Personnummer Godkänd 1 Översik I denna labb kommer ni undersöka beeende när växelspänningar av olika frekvens

Läs mer

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER

5B1134 MATEMATIK OCH MODELLER FEMTE FÖRELÄSNINGEN INTEGRALER 5B1134 MATEMATK OC MODELLER EMTE ÖRELÄSNNGEN NTEGRALER 1. OM NTEGRALER 1.1. Primiiva unkioner. Vi har se idigare a vissa unkioner,, har primiiva unkioner, dvs en unkion,, vars derivaa. Om är en primiiv

Läs mer

Om exponentialfunktioner och logaritmer

Om exponentialfunktioner och logaritmer Om eponenialfunkioner och logarimer Anals360 (Grundkurs) Insuderingsuppgifer Dessa övningar är de änk du ska göra i ansluning ill a du läser huvudeen. Den änka gången är som följer: a) Läs igenom huvudeens

Läs mer

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996

Jobbflöden i svensk industri 1972-1996 Jobbflöden i svensk induri 1972-1996 av Fredrik Andersson 1999-10-12 Bilaga ill Projeke arbeslöshesförsäkring vid Näringsdeparemene Sammanfaning Denna udie dokumenerar heerogenieen i induriella arbesällens

Läs mer

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning

Programvara. Dimmer KNX: 1, 3 och 4 utgångar Elektriska/mekaniska egenskaper: se produktens användarhandbok. TP-anordning Radioanordning Programvara Dimmer KNX: 1, 3 och 4 ugångar Elekriska/mekaniska egenskaper: se produkens användarhandbok Produkreferens Produkbeskrivning Programvarans ref TP-anordning Radioanordning TXA661A TXA661B Dimakor

Läs mer

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000

Genom att uttrycka y-koordinaten i x ser vi att kurvan är funktionsgrafen till y = x 2. Lektion 2, Flervariabelanalys den 19 januari 2000 Lekion, Flervariabelanals den 9 januari..6 Finn hasighe, far och acceleraion vid idpunk av en parikel med lägesvekorn Genom a urcka -koordinaen i ser vi a kurvan är funkionsgrafen ill. Beskriv också parikelns

Läs mer

Skillnaden mellan KPI och KPIX

Skillnaden mellan KPI och KPIX Fördjupning i Konjunkurläge januari 2008 (Konjunkurinsiue) Löner, vinser och priser 7 FÖRDJUPNNG Skillnaden mellan KP och KPX Den långsikiga skillnaden mellan inflaionsaken mä som KP respekive KPX anas

Läs mer

Texten " alt antagna leverantörer" i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår.

Texten  alt antagna leverantörer i Adminstrativa föreskrifter, kap 1 punkt 9 utgår. I Anal: 4 Bilaga Avalsmall Ubilning (si. 6) Föryligane önskas om vilken sors ubilning som avses i skrivningen Ubilning skall illhanahållas kosnasfri 0 :40:04 Se a sycke. "Vi leverans ubilar leveranören

Läs mer

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6

Uppgift 1 (max 5p) Uppgift 2 (max 5p) Exempeltenta nr 6 ppgf (max 5p) Exempelena nr 6 ppgfen går u på a förklara några cenrala begrepp nom kursen. Svara korfaa men kärnfull och ange en förklarng på e fåal menngar som ydlg beskrver var och e av de fem begreppen.

Läs mer

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t))

KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3. P(t)=(x(t),y(t),z(t)) T=(x (t),y (t),z (t)) r(t)=(x(t),y(t),z(t)) Kurvor på parameerform KURVOR OCH PÅ PARAMETERFORM KURVOR I R 3 P=xyz T=x y z r=xyz En kurva i R 3 anges ofas på parameerform med re skalära ekvaioner: x = f 1, y = f, z = f 3, D R * För varje får vi en

Läs mer

Mekanik. Fysik 4, Rörelselagarna. En kropps rörelse. Grafer. Likformig rörelse. Herman Norrgrann Sir Isaac Newton, 1643-1727. 1.1 Likformig rörelse

Mekanik. Fysik 4, Rörelselagarna. En kropps rörelse. Grafer. Likformig rörelse. Herman Norrgrann Sir Isaac Newton, 1643-1727. 1.1 Likformig rörelse Meknik sik 4, Rörelselgrn Hermn Norrgrnn Sir Isc Newon, 1643-1727 lileo lilei, 1564-1642 En kropps rörelse 1.1 Likformig rörelse Rörelse r Hsighe (ekor) Likformig rörelse rfer Likformig rörelse om hsigheen

Läs mer

Lösningar till Matematisk analys IV,

Lösningar till Matematisk analys IV, Lösningar ill Maemaisk anals IV, 85. Vi börjar med kurvinegralen 5 5 dx + 5 x5 + x d. Sä P x, = 5 5 och Qx, = 5 x5 + x. Vi använder Greens formel för a beräkna den givna kurvinegralen. Efersom ine är en

Läs mer

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001

Lösningar till tentamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001 Lösningar ill enamen i Kärnkemi ak den 21 april 2001 Konsaner och definiioner som gäller hela enan: ev 160217733 10 19 joule kev 1000 ev ev 1000 kev Gy A 60221367 10 23 mole 1 Bq sec 1 Bq 10 6 Bq joule

Läs mer

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll?

Diskussion om rörelse på banan (ändras hastigheten, behövs någon kraft för att upprätthålla hastigheten, spelar massan på skytteln någon roll? Likformig och accelererad rörelse - Fysik 1 för NA11FM under perioden veckorna 35 och 36, 011 Lekion 1 och, Rörelse, 31 augusi och sepember Tema: Likformig rörelse och medelhasighe Sroboskopfoo av likformig-

Läs mer

3 Rörelse och krafter 1

3 Rörelse och krafter 1 3 Rörelse och krafer 1 Hasighe och acceleraion 1 Hur lång id ar de dig a cykla 5 m om din medelhasighe är 5, km/h? 2 En moorcykel accelererar från sillasående ill 28 m/s på 5, s. Vilken är moorcykelns

Läs mer

Finavia och miljön år 2007

Finavia och miljön år 2007 M I L J Ö Ö V E R S I K T 2007 Finavia och miljön år 2007 Anhängiga miljöillsånd runom i lande År 2007 gav Väsra Finlands miljöillsåndsverk e beslu om a bevilja Tammerfors-Birkala flygplas e miljöillsånd

Läs mer

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags...

ES, ISY Andra kurser under ht 2014! Räkna inte med att ha en massa tid då! Och ni har nog glömt en del så dags... Prakisk info, fors. ös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor som Kens

Läs mer

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion)

Liten formelsamling Speciella funktioner. Faltning. Institutionen för matematik KTH För Kursen 5B1209/5B1215:2. Språngfunktionen (Heavisides funktion) Insiuionen för maemaik KTH För Kursen 5B09/5B5: Lien formelsamling Speciella funkioner Språngfunkionen (Heavisides funkion) u() =, om > 0, 0, om < 0. Signumfunkionen sign =, om > 0,, om < 0. Rekangelfunkionen

Läs mer

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL!

Exempeltenta 3 SKRIV KLART OCH TYDLIGT! LYCKA TILL! Exempelena 3 Anvisningar 1. Du måse lämna in skrivningsomslage innan du går (även om de ine innehåller några lösningsförslag). 2. Ange på skrivningsomslage hur många sidor du lämnar in. Om skrivningen

Läs mer

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET?

KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? KOLPULVER PÅ GAMLA FINGERAVTRYCK FUNGERAR DET? En undersökning av hur väl kolpulver framkallar åldrade fingeravryck avsaa på en ickeporös ya. E specialarbee uför under kriminaleknisk grundubildning vid

Läs mer

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14

Håkan Pramsten, Länsförsäkringar 2003-09-14 1 Drifsredovisning inom skadeförsäkring - föreläsningsaneckningar ill kursavsnie Drifsredovisning i kursen Försäkringsredovi s- ning, hösen 2004 (Preliminär version) Håkan Pramsen, Länsförsäkringar 2003-09-14

Läs mer

System, Insignal & Utsignal

System, Insignal & Utsignal Kap 1 Signaler och Sysem x Sysem y = H{x} 1 Sysem, Insignal & Usignal Insignal x() x[n] SYSTEM H! H = sysemoperaorn Usignal y() = H{y()} y[n] = H{x[n]} w E SYSTEM = en maemaisk modell av e fysikalisk sysem,

Läs mer

2. Reglertekniska grunder

2. Reglertekniska grunder 2. Reglertekniska grunder 2.1 Signaler oc system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som åverkar systemets beteende, oc utsignaler, som beskriver dess beteende. Beroende å sammananget

Läs mer

Växelkursprognoser för 2000-talet

Växelkursprognoser för 2000-talet Naionalekonomiska insiuionen Kandidauppsas Januari 28 Växelkursprognoser för 2-ale Handledare Thomas Elger Fredrik NG Andersson Förfaare Kenh Hedberg Sammanfaning Tiel: Växelkursprognoser för 2-ale Ämne/kurs:

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic A 2.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic A 2.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekroniska skydd Micrologic.0, 5.0, 6.0, 7.0 Lågspänningsurusning nvändarmanual Building a Newavancer Elecricl'élecricié World Qui fai auan? Elekroniska skydd Micrologic.0, 5.0, 6.0 och 7.0 Inrodukion

Läs mer

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210.

Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B1210. Tenamensskrivning i Maemaik IV, 5B Tisdagen den 4 november 6, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mahemaics Handbook Redovisa lösningarna på e sådan sä a beräkningar och resonemang är läa a följa Svaren skall ges

Läs mer

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning

Ingen återvändo TioHundra är inne på rätt spår men behöver styrning Hans Andersson (FP), ordförande i Tiohundra nämnden varanna år och Karin Thalén, förvalningschef TioHundra bakom solarna som symboliserar a ingen ska falla mellan solar inom TioHundra. Ingen åervändo TioHundra

Läs mer

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING

BETONGRÖR - EN PRISVÄRD OCH LÅNGSIKTIG LÖSNING LAGT RÖR LIGGER S: Eriks rörsysem är en både prisvärd och ångsikig ösning och rörsysem i beong är dessuom överägse bäs ur mijösynpunk. Beong besår nämigen huvudsakigen av väkända naurmaeria som kaksen,

Läs mer

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet

Strategiska möjligheter för skogssektorn i Ryssland med fokus på ekonomisk optimering, energi och uthållighet 1 File = SweTrans_RuMarch09Lohmander_090316 ETT ORD KORRIGERAT 090316_2035 (7 sidor inklusive figur) Sraegiska möjligheer för skogssekorn i Ryssland med fokus på ekonomisk opimering, energi och uhållighe

Läs mer

Realtidsuppdaterad fristation

Realtidsuppdaterad fristation Realidsuppdaerad frisaion Korrelaionsanalys Juni Milan Horemuz Kungliga Tekniska högskolan, Insiuion för Samhällsplanering och miljö Avdelningen för Geodesi och geoinformaik Teknikringen 7, SE 44 Sockholm

Läs mer

Diverse 2(26) Laborationer 4(26)

Diverse 2(26) Laborationer 4(26) Diverse 2(26) (Reglereknik) Marin Enqvis Reglereknik Insiuionen för sysemeknik Linköpings universie Föreläsare och examinaorer: Marin Enqvis (ISY) Simin Nadjm-Tehrani (IDA) Lekionsassisener: Jonas Callmer

Läs mer

Toleranser varmvalsat stångstål. Toleranser rundstång enligt SS 212502 Diameter. Toleranser varmvalsat stångstål.

Toleranser varmvalsat stångstål. Toleranser rundstång enligt SS 212502 Diameter. Toleranser varmvalsat stångstål. Längdoleranser enlig SS 212001. Följande abell gäller endas sänger 2500. Toleransklass Gränsavmå Anmärkning Övre Undre L0 (1) +10% 10% Cirkalängd L1 +100 100 L2 (2) +100 0 L3 (3) +40 0 L4 (4) +20 0 L5

Läs mer

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6

Kolla baksidan på konvolut för checklista Föreläsning 6 0/1/014 10:17 Prakisk info, fors. Lös uppgif Fyll i e konvolu (åeranvänds ills uppgifen godkänd) TST0 lekronik Konvolu hias ovanpå den svara brevlåda som svar lämnas i Svar brevlåda placerad i samma korridor

Läs mer

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2

Föreläsning 8. Kap 7,1 7,2 Föreläsning 8 Kap 7,1 7,2 1 Kap 7: Klassisk komponenuppdelning: Denna meod fungerar bra om idsserien uppvisar e saisk mönser. De är fyra komponener i modellen: Muliplikaiv modell: Addiiv modell: där y

Läs mer

1. Geometriskt om grafer

1. Geometriskt om grafer Arbesmaerial, Signaler&Sysem I, VT04/E.P.. Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den

Läs mer

43.036/1 NRT 107 F031 8...38 P, PI, P-PI 110...230 V~ 0.28 NRT 107 F041 8...38 P, PI, P-PI 24 V~ 0.28

43.036/1 NRT 107 F031 8...38 P, PI, P-PI 110...230 V~ 0.28 NRT 107 F041 8...38 P, PI, P-PI 24 V~ 0.28 43.036/1 NR 10: Regulaor för lufkondiionering (värme/kyla) Kompak regulaor för lufkondiionering med pulsade ugångar för 2- och 4-rörs sysem för värme och kyla i separaa rum. Lämplig för alla yper av byggnader.

Läs mer

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB

Rörelse. Hastighet. 166 Rörelse Författarna och Zenit AB Rörelse Hur kan en acceleraion ara negai? Vad innebär de a en rörelse är likformig? Kan å händelser ara samidiga, men ändå ine? Vilken acceleraion får en fri fallande kropp? Vad menas med likformig accelererad

Läs mer

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:

Dagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer: Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och

Läs mer

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010

Betalningsbalansen. Tredje kvartalet 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Bealningsbalansen Tredje kvarale 2010 Saisiska cenralbyrån 2010 Balance of Paymens. Third quarer 2010 Saisics Sweden 2010 Producen Producer Saisiska cenralbyrån,

Läs mer

5 VÄaxelkurser, in ation och räantor vid exibla priser {e ekter pºa lºang sikt

5 VÄaxelkurser, in ation och räantor vid exibla priser {e ekter pºa lºang sikt 5 VÄaxelkurser, in aion och räanor vid exibla priser {e eker pºa lºang sik Som vi idigare noera anar vi a den reala väaxelkursen pºa lºang sik Äar oberoende av penningmäangden och väaxelkursen beror dºa

Läs mer

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Andra kvartalet 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Bealningsbalansen Andra kvarale 2012 Saisiska cenralbyrån 2012 Balance of Paymens. Second quarer 2012 Saisics Sweden 2012 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering

Tjänsteprisindex för varulagring och magasinering Tjänseprisindex för varulagring och magasinering Branschbeskrivning för SNI-grupp 63.12 TPI-rappor nr 14 Kaarina Båh Chrisian Schoulz Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik, SCB November 2005

Läs mer

Föreläsning 7 Kap G71 Statistik B

Föreläsning 7 Kap G71 Statistik B Föreläsning 7 Kap 6.1-6.7 732G71 aisik B Muliplikaiv modell i Miniab Time eries Decomposiion for Försäljning Muliplicaive Model Accurac Measures Från föreläsning 6 Daa Försäljning Lengh 36 NMissing 0 MAPE

Läs mer

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010

Modellering av Dynamiska system. - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 2010 Modellering av Dynamiska system - Uppgifter till övning 1 och 2 17 mars 21 Innehållsförteckning 1. Repetition av Laplacetransformen... 3 2. Fysikalisk modellering... 4 2.1. Gruppdynamik en sciologisk modell...

Läs mer

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet

Modeller och projektioner för dödlighetsintensitet Modeller och projekioner för dödlighesinensie en anpassning ill svensk populaionsdaa 1970- Jörgen Olsén juli 005 Presenerad inför ubildningsuskoe inom Svenska Akuarieföreningen den 1 sepember 005 Modeller

Läs mer

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen

IF1330 Ellära KK1 LAB1 KK2 LAB2. tentamen IF1330 Ellära F/Ö1 F/Ö4 F/Ö F/Ö5 F/Ö3 Srömkreslära Mäinsrumen Baerier Liksrömsnä Tvåpolsasen KK1 LAB1 Mäning av U och I F/Ö6 F/Ö7 Magnekres Kondensaor Transiener KK LAB Tvåpol mä och sim F/Ö8 F/Ö9 KK3

Läs mer

Miljörapport 2014. Marma Avloppsreningsverk. Söderhamns Kommun

Miljörapport 2014. Marma Avloppsreningsverk. Söderhamns Kommun Miljörappor 2014 Marma Avloppsreningsverk Söderhamns Kommun Miljörappor 2014 Marma Avloppsreningsverk 2 (19) Innehållsföreckning Grunddel... 3 Texdel... 4 1. Verksamhesbeskrivning... 4 2. Tillsånd... 4

Läs mer

FÖRSVARETS MATERIELVERK FÖRSVARSSTANDARD FSD 5153

FÖRSVARETS MATERIELVERK FÖRSVARSSTANDARD FSD 5153 2001-02-09 3 1 (29) Grupp M04-T SMÄLTSVETSNING SAMT HÅRD- OCH SVETSLÖDNING PÅ LUFTVÄRDIGHETSPÅVERKANDE FÖRSVARSMATERIEL Innehållsföreckning Huvudrubrik DEFINITIONER OCH BETECKNINGAR 1-2 1 ALLMÄNT 2 2 KVALITETSSYSTEM

Läs mer

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster

Tjänsteprisindex för detektiv- och bevakningstjänster; säkerhetstjänster Tjänseprisindex för deekiv- och bevakningsjänser; säkerhesjänser Branschbeskrivning för SNI-grupp 74.60 TPI- rappor nr 17 Camilla Andersson/Kamala Krishnan Tjänseprisindex, Prisprogramme, Ekonomisk saisik,

Läs mer

Background Facts on Economic Statistics

Background Facts on Economic Statistics Background Facs on Economic Saisics 2003:12 En illämpning av TRAMO/SEATS: Den svenska urikeshandeln 1914 2003 An applicaion of TRAMO/SEATS: The Swedish Foreign Trade Series 1914 2003 Exporen år 1914-2003

Läs mer

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2)

U = W + Q (1) Formeln (1) kan även uttryckas differentiells, d v s om man betraktar mycket liten tillförsel av energi: du = dq + dw (2) Inre energi Begreppet energi är sannerligen ingen enkel sak att utreda. Den går helt enkelt inte att definiera med några få ord då den förekommer i så många olika former. Man talar om elenergi, rörelseenergi,

Läs mer

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM

Lektion 4 Lagerstyrning (LS) Rev 20130205 NM ekion 4 agersyrning (S) Rev 013005 NM Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. De är indelade i fyra nivåer där nivå 1 innehåller uppgifer som hanerar en specifik problemsällning i age. Nivå innehåller

Läs mer

VÄXELSTRÖM. Växelströmmens anatomi

VÄXELSTRÖM. Växelströmmens anatomi VÄXESTÖM Nu skall vi lämna den relaiv sabila liksrömmens värd, säa snurr på saker och ing och gräva fram komplexmaen i illämpningens ljus. iksröm är egenligen bara e specialfall av växelsröm, fas med frekvensen

Läs mer

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker

Konsumtion, försiktighetssparande och arbetslöshetsrisker Fördjupning i Konjunkurläge juni 12 (Konjunkurinsiue) Konjunkurläge juni 12 75 FÖRDJUPNING Konsumion, försikighessparande och arbeslöshesrisker De förvänade inkomsborfalle på grund av risk för arbeslöshe

Läs mer

Aerodynamik - Prestanda

Aerodynamik - Prestanda Aerodynamik - Prestanda Syfte/mål med föreläsningarna: Förståelse för digram och ekvationer Förståelse för vad som styr design 1 Innehåll Vad ska vi gå igenom? C L /C D -polarkurva Rörelseekvationer Flygning

Läs mer

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual

Elektroniska skydd Micrologic 2.0 och 5.0 Lågspänningsutrustning. Användarmanual Elekoniska skydd Lågspänningsuusning Användarmanual Building a Newavancer Elecicl'élecicié World Qui fai auan? Elekoniska skydd Inodukion ill de elekoniska skydde Lära känna de elekoniska skydde Funkionsöversik

Läs mer

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige?

Att studera eller inte studera. Vad påverkar efterfrågan av högskole- och universitetsutbildningar i Sverige? NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala universie Examensarbee C Förfaare: Ameli Frenne Handledare: Björn Öcker Termin och år: VT 2009 A sudera eller ine sudera. Vad påverkar eferfrågan av högskole- och

Läs mer

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14.

Tentamen på grundkursen EC1201: Makroteori med tillämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. STOCKHOLMS UNIVERSITET Naionalekonomiska insiuionen Mas Persson Tenamen på grundkursen EC1201: Makroeori med illämpningar, 15 högskolepoäng, lördagen den 14 februari 2009 kl 9-14. Tenamen besår av io frågor

Läs mer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA APRIL 2016 Insiuionen för illämpad mekanik, Chalmers ekniska högskola TENTAMEN I HÅFASTHETSÄA F MHA 08 6 AI 06 ösningar Tid och plas: 8.30.30 i M huse. ärare besöker salen 9.30 sam.00 Hjälpmedel:. ärobok i hållfasheslära:

Läs mer

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012

Betalningsbalansen. Fjärde kvartalet 2012 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Bealningsbalansen Fjärde kvarale 212 Saisiska cenralbyrån 213 Balance of Paymens. Fourh quarer 212 Saisics Sweden 213 Producen Producer Saisiska cenralbyrån, enheen

Läs mer

LABORATION 1 ELEKTRISK MÄTTEKNIK OCH MÄTINSTRUMENT

LABORATION 1 ELEKTRISK MÄTTEKNIK OCH MÄTINSTRUMENT nsiuionen för fysik och maerialveenskap Beng Lindgren, jan 9 LABORAON ELEKRSK MÄEKNK OCH MÄNSRMEN Mål: A kunna hanera de vanligase mekaniska och elekriska mäinsrumenen. A kunna koppla upp enklare elekronikkresar

Läs mer

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna.

Var försiktig med elektricitet, laserstrålar, kemikalier osv. Ytterkläder får av säkerhetsskäl inte förvaras vid laborationsuppställningarna. Laborationsregler Förberedelser Läs (i god tid före laborationstillfället) igenom laborationsinstruktionen och de teoriavsnitt som laborationen behandlar. Till varje laboration finns ett antal förberedelseuppgifter.

Läs mer

IE1206 Inbyggd Elektronik

IE1206 Inbyggd Elektronik E06 nbyggd Elekronik F F3 F4 F Ö Ö P-block Dokumenaion, Seriecom Pulsgivare,, R, P, serie och parallell KK LAB Pulsgivare, Menyprogram Sar för programmeringsgruppuppgif Kirchoffs lagar Nodanalys Tvåpolsasen

Läs mer

in t ) t -V m ( ) in - Vm

in t ) t -V m ( ) in - Vm 1 Föreläsning 17/11 Hambley asni 14.5 14.7 Komparaorn ej i Hambley) En komparaor anänds för a agöra eckne på den differeniella insignalen. Komparaorn besår a en operaionsförsärkare som aningen saknar åerkoppling

Läs mer

Konjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram

Konjunkturinstitutets finanspolitiska tankeram Konjunkurinsiues finanspoliiska ankeram SPECIALSTUDIE NR 16, MARS 2008 UTGIVEN AV KONJUNKTURINSTITUTET KONJUNKTURINSTITUTET (KI) gör analyser och prognoser över den svenska och ekonomin sam bedriver forskning

Läs mer

Frekvensanalys. Systemteknik/Processreglering Föreläsning 8. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar. Exempel:G(s)= 2

Frekvensanalys. Systemteknik/Processreglering Föreläsning 8. Exempel: experiment på ögats pupill. Frekvenssvar. Exempel:G(s)= 2 Frekvensanals Frekvenssvar Ssemeknik/Processreglering Föreläsning 8 Bode- och Nqisdiagram Sabilie och sabiliesmarginaler Läsanvisning: Process Conrol: 6. 6. Frekvensanals Sdera hr ssem reagerar på signaler

Läs mer

Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet 12/3/2014. Bedömningskriterier. Grund rekvisiten

Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet. Arbetstagarbegreppet 12/3/2014. Bedömningskriterier. Grund rekvisiten Föreläsning 2 Ingående Innehåll Upphörande LAS Kollekivaval Ansällningsaval Arbesgivare Arbesagare Arbesagarbegreppe Arbesagarbegreppe Grund rekvisien 1. Aval (frivillighe) 2. Fysisk person 3. Ena paren

Läs mer

001 Tekniska byråns information. Värmefrån ventiler. Inom alla områden av såväl nyprojektering som ombyggnad och drift av redan byggda hus riktas inom

001 Tekniska byråns information. Värmefrån ventiler. Inom alla områden av såväl nyprojektering som ombyggnad och drift av redan byggda hus riktas inom pe" `sfk K ".` _. :...... -.Y BS 00 Byggnadssyelsen Teknska byåns nfomaon 979-04 Vämefån venle VÄRMEAVGVNNG CENTRALER M M FRÅN OSOLERADE VENTLER UNDER- nom alla omåden av såväl nypojekeng som ombyggnad

Läs mer

Vad är den naturliga räntan?

Vad är den naturliga räntan? penning- och valuapoliik 20:2 Vad är den naurliga ränan? Henrik Lundvall och Andreas Wesermark Förfaarna är verksamma vid avdelningen för penningpoliik, Sveriges riksbank. Vilken realräna bör en cenralbank

Läs mer

Inbyggd radio-styrenhet 1-10 V Bruksanvisning

Inbyggd radio-styrenhet 1-10 V Bruksanvisning Version: R 2.1 Ar. r.: 0865 00 Funkion Radio-syrenheen möjliggör en radiosyrd ändning/ släckning och ljusdämpning av en belysning. Inkopplingsljussyrkan kan sparas i apparaen som memory-värde. Bejäning

Läs mer

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14

Timmar, kapital och teknologi vad betyder mest? Bilaga till Långtidsutredningen SOU 2008:14 Timmar, kapial och eknologi vad beyder mes? Bilaga ill Långidsuredningen SOU 2008:14 Förord Långidsuredningen 2008 uarbeas inom Finansdeparemene under ledning av Srukurenheen. I samband med uredningen

Läs mer

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014

WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 WALLENBERGS FYSIKPRIS 2014 Tävlingsuppgifter (Finaltävlingen) Riv loss detta blad och lägg det överst tillsammans med de lösta tävlingsuppgifterna i plastmappen. Resten av detta uppgiftshäfte får du behålla.

Läs mer

10. Kinetisk gasteori

10. Kinetisk gasteori 10. Kinetisk gasteori Alla gaser beter sig på liknande sätt. I slutet av 1800 talet utvecklades matematiska sätt att beskriva gaserna, den så kallade kinetiska gasteorin. Den grundar sig på en modell för

Läs mer

1 Cirkulation och vorticitet

1 Cirkulation och vorticitet Föreläsning 7. 1 Cirkulation och vorticitet Ett mycket viktigt teorem i klassisk strömningsmekanik är Kelvins cirkulationsteorem, som man kan härleda från Eulers ekvationer. Teoremet gäller för en inviskös

Läs mer

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper.

Enda tillåtna hjälpmedel är papper, penna, linjal och suddgummi. Skrivtid 4 h. OBS: uppgifterna skall inlämnas på separata papper. KTH Mekanik Fredrik Lundell Mekanik mindre kurs för E1 och Open1 Läsåret 05/06 Tentamen i 5C110 Mekanik mk, kurs E1 och Open 1 006-03-15 Var noga med att skilja på skalärer och vektorer. Rita tydliga figurer

Läs mer

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet

Personlig assistans en billig och effektiv form av valfrihet, egenmakt och integritet Personlig assisans en billig och effekiv form av valfrihe, egenmak och inegrie En jämförelse mellan kosnaderna för personlig assisans och kommunal hemjäns 1 Denna rappor är en försa del av e projek vars

Läs mer

Finansmarknaden; En översikt av instrument och värderingsmodeller

Finansmarknaden; En översikt av instrument och värderingsmodeller Finansmarknaden; En översik av insrumen och värderingsmodeller Jan R. M. Röman Deparmen of Mahemaics and Physics Mälardalen Universiy, weden Mälardalen Universiy INLEDNING... Akieopionens villkor... Akieerminens

Läs mer

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30

FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18. Ansvarig lärare: Helene Lidestam, tfn 282433 Salarna besöks ca kl 15.30 Tekniska högskolan vid LiU Insiuionen för ekonomisk och indusriell uveckling Produkionsekonomi Helene Lidesam TENTAMEN I TPPE13 PRODUKTIONSEKONOMI för I,Ii FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015, KL 14-18 Sal: Provkod:

Läs mer