Differentialekvationssystem

Transkript

1 3227 Differenialekvaionssysem Behållaren A innehåller 2 lier, behållaren B innehäller 3 lier och behållaren C 4 lier salvaen Vid idpunken är salhalen i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren C 3 g sal per lier väska Till behållaren A pumpas med hasigheen 2 lier per minu ren vaen Väskan i behållaren A blandas och 3 lier väska pumpas per minu över ill behållarenb Till behållarenb pumpas också2 lier per minu av en väska som innehållerf() g sal per lier vid idpunken, och av den väl blandade väskan pumpas lier per minu illbaka ill behållarena och 5 lier per minu pumpas ill behållarenc Till behållarenc pumpas lier ren vaen per minu Innehålle i behållarenc blandas och lier väska pumpas ill behållaren B och 5 lier per minu pumpas u också väl Ge e differenialekvaionssyem ur vilke man kan lösa salmängderna i behållarna, (men du behöver ine lösa syseme) Lösning: Lå x() vara salmängden i behållaren A, y() salmängden i behållaren B och z() salmängden i behållaren C vid idpunken Efersom väskemängderna hela iden förblir oförändrade så är salhalerna x()/2, y()/3 och z()/4 (g/l) Differenialekvaionssyeme blir därför x () x() y() 3 y () x() 2 3 y() z() 4 + 2f() med z () y() 3 5 z() 4 5 x() 8, y() 6, z() 2 Dehär differenialekvaionssyseme kan skrivas i formen Y () AY () + F() där A och F() 2f() Beräkna e A med hjälp av Cayley-Hamilons eorem då A 3 Lösning: Vi räknar u egenvärden ill marisen A och efersom den karakerisiska ekvaionen är () ( λ) de(a λi) de λ (3 λ) 2 4λ + 4 så får vi som lösningar, λ 2 ± 4 4 { 2, 2,

2 så a vi har e dubbel egenvärde λ λ 2 2 Med söd av Cayley-Hamilons eorem kan vi besämma e A genom a räkna u koefficienerna c och c 2 så a e A c I + c A Enlig Cayley-Hamilons eorem är λ 2 e dubbel nollsälle ill funkionen e λ (c + c λ) så a vi får ekvaionerna e 2 c + c 2, e 2 c Lösningarna är försås c e 2 och c e 2 2e 2, och därför är e A ( e 2 2e 2) I + e 2 A e 2 I + e 2 3 Lös differenialekvaionen Y () AY (), Y () 2 då A Du kan unyja de fakum a A har egenvärdena λ och λ 2 med egenvekorer X och X 2 och a Y 2 2 är en generaliserad egenvekor för de dubbla egenvärde Lösning: De fakum a Y 2 är en generaliserad egenvekor innebär a (A ( )I)Y 2 X 2 som man lä kan konsaera Vi besämmer lösningen i formen Y () c e λ X + c 2 e λ 2 X 2 + c 3 ( e λ 2 X 2 + e λ 2 Y 2 ) För a konsaera a Y verkligen är en lösning obsreverar vi a Y () c e λ λ X + c 2 e λ 2 λ 2 X 2 + c 3 e λ 2 λ 2 X 2 + c 3 e λ 2 (X 2 + λ 2 Y 2 ), och efersom AX j λ j X j och AY 2 λ 2 Y 2 + X 2 så gäller fakisk Y () AY () För a besämma c, c 2 och c 3 säer vi in och får 2 c + c 2 + c 3 2, och ur dehär ekvaionssyseme kan vi lösa c, c 2 2 och c 3 Lösningen blir allså Y () e 2e 2e e e e 4 Beräkna e A då A Lösning: Förs räknar vi u egenvärdena och vi får () λ de(m λi) de λ λ 2 +,

3 så a λ ±i Enlig Cayley-Hamilons sas har vi e A c I + c A och denna ekvaion gäller också då vi isälle förm säer in egenvärdena, dvs e i c + c i, e i c c i Genom a addera ekvaionerna får vic cos() och genom a a skillnaden får vic sin() Då blir cos() sin() e A cos() + sin() sin() cos() I 5 LåA och B där X X 2 2, I I 2 2 och X AB, BA, e A, e B, e A e B, e B e A och e A+B Vad kan man konsaera Lösning: En enkel räkning visar a A n X n, och efersom e A n n! An så ser vi a e A I e X Vi kan också konsaera med hjälp av indukion a X B n n X n vilke innebär a Efersom så ser vi också a e B n n! Bn I n e A+B n! Xn n n! Xn A + B ] I, 2X I 2 X (e 2X I) e 2X I X (e X I) e X 2π Beräkna 2π Efersom e X e 2X I så har vi e A e B e A+B I så a e A e B e B e A e A+B Men I I X AB X X X 2 ja BA X X X 2 Här har vi allså e exempel på marisera och B sådana a AB BA men e A e B e B e A e A+B

4 6 Lå Y () vara en lösning ill differenialekvaionen Y () AY () + F() där A är en n n-maris med egenvärden λ j så a Re(λ j ) µ <, j,,n och F är en koninuerlig funkion så a lim F() F Visa a lim Y () Y där Y är lösningen ill ekvaionen AY + F Du kan ana a e A c( + k )e µ Lösning: Ana förs a F Efersom µ < gäller också e A C η e η, där < η < µ och C η är någon konsan Lösningen ill differenialekavionen kan skrivas i formen och vi får Y () e A Y () + Y () e A Y () + e A( s) F(s) ds, e A( s) F(s) ds C η e η Y () +C η e η( s) F(s) ds Om F är koninuerlig och lim F() så finns de en konsan c F så a F() c F för all Därför får vi Y () C η e η Y () + C η 2 e η( s) c F ds + C η 2 C η e η Y () + C ηc F e η( s) max 2 s F(s) ds η e η C η 2 + η max F(s) 2 s Efersom lim F() så gäller också lim max 2 s F(s) och vi ser a lim Y () efersom η > Om F löser vi Y ur ekvaionen AY + F (vilke är möjlig efersom A är invererbar vilke i sin ur är en följd av a inge egenvärde är Om vi nu låerz() Y () Y ser vi a Z uppfyller ekvaionen Z () AZ() + F() F Efersom lim (F() F ) kan vi illämpa de resula vi bevisa ovan och vi får lim Z() vilke är vad vi skulle visa Sabilie 7 Lå y() vara lösningen ill differenialekvaionen y (y 2 + y)(y 2 2y + ), y() a Har ekvaionen en asympoisk sabil jämvikslösning? Skissera olika lösningar Lösning: Funkionens f(x) (x 2 + x)(x 2 2x + ) graf ser ungefär u på följande sä: Av dea ser vi a f(x) > då x <, < x < ja x >, så a för de -inervall där y() <, < y() < och y() > så äry sräng växande På mosvarande sä är f(x) < då < x < så a i sådana inervall där < y() < så är funkioneny sräng avagande Av dea kan vi dra slusasen a lim y() ifall y() < eller ifall < y() <, och lim y() ifall y() >, för i de falle kommer de a finnas en punk så a

5 lim y() +, dvs lösningen exiserar ine för alla Av dea kan vi dra slusasen a endas är en asympoisk sabil jämvikslösning Lösningarna ser ungefär u på följande sä: Besäm jämvikspunkerna ill differenialekvaionssyseme y () y () y 2 () + 2y ()y 2 (), y 2 () y () y 2 () Vilka av dessa är asympoisk sabila? Lösning: För jämvikspunkerna gäller y y 2 + 2y y 2, y y 2, av vilke följer a y y 2 så a 2y + 2y 2 och y y 2 eller y y 2 Jämvikspunkerna är allså och ] ] y y Vi definierar F(Y ) 2 + 2y y 2 y då Y Då blir derivaan av funkionen y y 2 y 2 F F (Y ) I punken får vi derivaan ] ( + 2y2 ) ( + 2y ) () F Vi beräknar denhär marisens egenvärden: () λ de ( λ) λ 2 +, av vilke följer a λ ± i och efersom den reella delen är negaiv så är jämvikslösningen asympoisk sabil ] Funkionen F har i punken derivaan ] () F ]

6 Vi räknar u denhär marisens egenvärden: () λ de λ λ 2 2, av vilke följer a λ ± 2 och efersom de ena egenvärde är posiiv så är jämvikslösningen ] ine asympoisk sabil 9 Anag a F : R n R n är koninuerlig, F(Y ), F är deriverbar i Y och derivaans F (Y ) egenvärden har alla negaiv reell del Visa a Y är asympoisk sabil jämvikspunk för differenialekvaionssyseme Y () F(Y ()) Lösning: Anag a Y (I anna fall gör man e variabelbye Z() Y () Y ) Lå A F () och G(Y ) F(Y ) AY så af(y ) AY +G(Y ) Differenialekvaionssyseme kan nu skrivas som Y () AY () + G(Y ()),, och lösningen är då Y () e A Y () + e A( s) G(y(s)) ds Efersom A:s egenvärden har negaiv reell del finns de e al µ > och en konsan c < så a e A ce µ, (Om A har flerdubbla egenvärden kan man bli vungen a välja µ så a µ > Re (λ j ) för alla j men om alla egenvärden är enkla kan man välja µ max{re (λ(j))}) Efersom A är deriverbar finns de e al δ > så a Om nu Y () δ då, T] så får vi Y δ G(Y ) µ Y 2c Y () ce µ Y () + Lå nu z vara lösningen ill ekvaionen z() e µ z() + µ 2 vilke är ekvivalen med a ce µ( s) G(y(s)) ds e µ c Y () + µ 2 e µ( s) Y (s) ds, e µ( s) z(s) ds,, z () µz() + m u 2z() µ 2 z(), T] Av dea följer a z() e µ 2 z() Om vi nu väljer z() δ och om Y () är sådan a c Y () < δ så finns de e al T > så a Y () z() då T Nu får vi Y (T) e µt c Y () + µ 2 T e µ(t s) Y (s) ds < e µt + µ 2 T e µ(t s) z(s) ds z(t),

7 och dea innebär, efersom z() och Y () är koninuerliga, a de finns e al T > T så a Y () z() då T Av dea kan vi dra slusasen a Y () z() för alla och vi ser a är en asympoisk sabil jämvikspunk