Mat Grundkurs i matematik 3-II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mat Grundkurs i matematik 3-II"

Transkript

1 Mat Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 14 Projektioner 19 Principalkomponenter 21 2 Differentialekvationssystem 26 Randvärdesproblem 34 3 Partiella differentialekvationer 38 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 2 / 39

2 Gauss metod Antag att vi skall bestämma alla lösningar till ekvationssystemet Med hjälp av Gauss algoritm får vi 2x 1 +3x 2 2x 3 x 4 = 3 2x 1 3x 2 +3x 3 +3x 4 = 4 4x 1 +6x 2 7x 3 8x 4 = 9 6x 1 +9x 2 7x 3 5x 4 = r 2 r 2 + r 1 r 3 r 3 2r 1 r 4 r 4 3r 1 r 3 r 3 + 3r 2 r 4 r 4 + r 2 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 3 / 39 forts Nu ser via att endast kolumnerna ett och tre innehåller pivot-element, dvs element i matrisen som är det första som inte är noll på sin rad Därför kan vi välja de variabler (x 2 och x 4 ) på vars kolumner det inte finns pivot-element fritt så vi väljer x 2 = s och x 4 = t och eftersom ekvationerna är 2x 1 + 3x 2 2x 3 x 4 = 3 x 3 + 2x 4 = 1, G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 4 / 39

3 Forts så får vi lösningarna x 1 x 2 x 3 = x s 1 + t Om vi skriver ekvationssystemet i formen AX = B så ser vi att varje lösning till ekvationen AX = kan skrivas i formen X = sx 1 + tx 2 där X 1 = 1 och X 2 = 2 Dessutom är det ganska enkelt att visa att 1 om sx 1 + tx 2 = så är s = t = Detta innebär att (X 1, X 2 ) är en bas för vektorrummet N (A) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 5 / 39 Forts LU-uppdelning Av de två termerna i LU-uppdelningen av koefficientmatrisen A är U koefficientmatrisen för ekvationssystemet i trappstegsform, dvs U = Eftersom vi inte tillämpade partiell pivotering gjorde vi inga radbyten och det betyder att vi får A = LU och inte PA = LU med någon permutationsmatris P När vi gör radoperationer multiplicerar vi med matriser från vänster, dvs vi multiplicerar och detta innebär att L skall vara en sådan matris att då de radopertioner som gjordes ovan tillämpas på L (i samma ordning) så får man enhetsmatrisen Dessutom ser vi att vi kan bygga upp L stegvis så att eftersom den första kolumnen in det första steget är G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 6 / 39

4 Forts LU-uppdelning så väljer vi L 1 = Om vi tillämpar de tre första radopertionerna på denhär matrisen får vi enhetsmarisen I nästa steg är den tredje kolumnen G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 7 / 39 Forts LU-uppdelning Eftersom vi inte gör något mera med första raden behöver vi inte bry oss om det första elementet men resten dividerar vi med det andra elementet som är 1 och då vi sätter in detta i L 1 så får vi 1 L 2 = Observera att eftersom L 2 (1, 2) = så påverkar de tre första radoperationerna i första steget inte den andra kolumnen i L 2 Eftersom vi åstadkommit en matris U i trappstegsform med dessa operationer ser vi att L = L 2 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 8 / 39

5 Geometrisk tolkning av en matris Låt Först beräknar vi A 2 och får A 2 = A = [ [ [ = [ 2 6, 1 3 så att vi ser att A 2 = A Nästa steg är att beräkna AX då [ [ [ X =, ja för att se vad vektorerna AX gemensamt och vi får [ [ [ [ A =, A = ja A [ 1 = 2 [ 14 7 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 9 / 39 Exempel, forts Vi får följande figur: AX 1 AX 3 X 3 X 1 X 2 AX 2 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39

6 forts För att kunna ge en geometrisk tolkning av avbildningen X AX så noterar vi att man av figuren ser att bildpunkterna (AX ) ligger på linjen y = 1 2x så att (u, v) är projektionen av punkten (x, y) på denhär linjen, men detta är inte en fråga om en ortogonal projektion, (A är inte [ 3 symmetrisk!) utan projektionen räknas i riktningen av vektorn 1 Detta hänger ihop med att denna vektor är en egenvektor för egenvärdet G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Basbyte Antag att vektorerna v 1, v 2 och v 3 utgör en bas i R 3 En annan bas är definierad med hjälp av ekvationerna u 1 = v 1 v 2 + 2v 3, u 2 = 2v 1 v 3 och u 3 = v 2 + 3v 3 Om nu koordinaterna för en vektor i basen (u 1, u 2, u 3 ) är [ T, vad är koordinaterna för den här vektorn i basen (v 1, v 2, v 3 )? Lösning:Vi kan skriva (där vi har vektorer som element i 1 3-matriser) [ u1 u 2 [ u 3 = v1 v 2 v Om koordinaterna för en vektor x i basen (u 1, u 2, u 3 ) är [ T så betyder det att x = [ u 1 2 u 2 u 3 1 = 2u 1 u 2 + 3u 3 3 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

7 Forts Men nu är x = [ v 1 v 2 v vilket innebär att koordinaterna är = [ v 1 v 2 v G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Egenvärden och egenvektorer Om man skall bestämma egenvärden och egenvektorer till matrisen [ så börjar man med att räkna ut den karakteristiska ekvationen, dvs ([ ) 2 λ 4 det = λ 2 2λ 4 = 1 λ ur vilket vi kan lösa egenvärdena λ = 1 ± 5 En egenvektor som hör till egenvärdet kan fås som lösning till systemet [ [ G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

8 Egenvärden, forts Till egenvektor kan vi alltså välja X 1 = [ För egenvärdet 1 5 får vi på motsvarande sätt [ [ så att vi till egenvektor kan välja X 2 = [ G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Dubbla egenvärden och en matris som inte kan diagonaliseras [ 1 1 För att bestämma matrisens A = egenvärden och 4 3 egenvektorer löser vi först den karakteristiska ekvationen ([ ) (1 λ) 1 det(a λi ) = det = λ 2 + 2λ + 1 = 4 ( 3 λ) Som lösningar får vi, λ = 1 ± 1 1 = { 1, 1, av vilket vi ser att λ = 1 är ett dubbelt egenvärde I nästa steg räknar vi ut en egenvektor som hör till egenvärdet 1, dvs vi löser ekvationen (A + I )X = Med Gauss metod får vi, G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

9 Forts [ r 2 r 2 2r 1 [ 2 1 Av detta ser vi att om vi väljer x 2 = 1 så får vi ur ekvationen 2x 1 x 2 = lösningen x 1 = 1 2 Som egenvektor kan vi alltså välja [ T, eller lika väl X 1 = [ 1 2 T Alla andra egenvektorer kommer att vara av formen tx1 så det finns bara en linjärt oberoende egenvektor Vi kan alltså inte bilda en inverterbar matris av egenvektorerna, men vi kan försöka hitta en generaliserad egenvektor, dvs en vektor Y 1 med den egenskapen att (A λ 1 I )Y 1 = X 1 Vi skall då igen lösa ekvationssystemet med Gauss metod och vi [ får r 2 r 2 2r 1 [ G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Forts Den första ekvationen säger att 2y 1 y 2 = 1 så om vi väljer y 2 = 1 får vi y 1 = 1 så att Y 1 = [ 1 1 Vi kan nu bilda matrisen V = [ 1 1, 2 1 och vi får V 1 AV = [ [ [ 1 1 = 2 1 [ [ = [ Resulatet blir alltså inte en diagonalmatris, utan bara nästan en sådan, (dvs en uppåt triangulär matris med egenvärdena på diagonalen och endel ettor ett steg upp från diagonalen) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

10 Formeln för en ortogonal projektion? Om man vill härleda formeln för en ortogonal projektion på delrummet uppspännt av ett antal givna vektorer så kan man resonera på följande sätt: Antag att vektorerna är givna som kolumnvektorer Då kan man av dem bilda en matris A Om vektorerna inte är linjärt oberoende kan man lämna bort de som kan skrivas som linjära kombinationer av de andra så att man kan anta att kolumnerna i A är linjärt oberoende Eftersom varje produkt AX är en linjär kombination av kolumnerna i A kan vi utgå ifrån att projektionsmatrisen P kan skrivas som P = AB Om vi vill att projektionen skall vara ortogonal (dvs PX ((I P)X ) så måste P vara symmetrisk, dvs P T = B T A T = P = AB Detta lyckas bättre om B = CA T för då är P T = AC T A T och vi måste dessuton kräva att C = C T För att P skall vara en projektion måste P 2 = P vilket innebär att ACA T ACA T = ACA T Åtminsone ett sätt att få detta villkor uppfyllt är att välja C = (A T A) 1 och då blir P = A(A T A) 1 A T G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Projektionen P (P 2 = P) är ortogonal (PX X PX, dvs PX är vinkelrät mot X PX ) om och endast om P är symmetrisk Varför: Vi har följande ekvivalenser PX X PX (PX ) T (X PX ) = X T P T X = X T P T PX Om P är symmetrisk så är P T = P och P T P = PP = P = P T så att X T P T PX = X T P T X för alla X, dvs PX X PX för alla X Om PX X PX för alla X så har vi X T P T X = X T P T PX för alla X Men eftersom X T P T X är en 1 1-matris (dvs ett tal) så är (X T P T X ) T = X T PX och X T 1 2 (P + PT )X = X T P T PX Om för en symmetrisk matris A (som 1 2 (P + PT ) P T P) gäller X T AX = för alla X sä är A = dvs 1 2 (P + PT ) = P T P Om vi multiplicerar båda sidorna av den här ekvationen med P T så får vi, eftersom P T P T = (PP) T = P T att 1 2( P T P + P T) = P T P T P = P T P så att P T = P T P Men P T P är en symmetrisk matris och därför måste också P T och såldes P också vara det G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 2 / 39

11 Hur skall man minimera kvadratsummor? Punkterna (x j, y j ), j = 1,, n är givna och man skall bestämma en linje ax + by = så att summan av kvadraterna av avstånden från punkterna till linjen är så liten som möjligt (Ett mera allmänt fall är att linjen är ax + by = c och då kan man först visa att linjen kommer att gå genom punkten (x, y) = ( 1 n n j=1 x j, 1 n n j=1 y j) så att ekvationen kan skrivas som a(x x) + b(y y) = och genom att ersätta (x j, y j ) med (x j x, y y) kommer man tillbaka till situationen här) För att få en linje måste vi anta att inte både a och b är noll så vi kan lika bra kräva att a 2 + b 2 = 1 Avståndet från punkten (x j, y j ) till linjen ax + by = är då ax j + by j så vi skall minimera uttrycket [ n a j=1 (ax j + by j ) 2 då a 2 + b 2 = 1 Om vi låter X = så skall vi minimera b (A T X ) T A T X då X T X = 1 För detta bildar vi Lagrange-funktionen L(X, λ) = (A T X ) T A T X λ(x T X 1) = X T AA T X λ(x T X 1) Derivatorna med avseedna på X och λ skall vara så vi får G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Forts L X = X T (AA T + (AA T ) T ) 2λX T =, L λ = X T x 1 = Eftersom (AA T ) T = AA T så ger det första villkoret ekvationen AA T X = λx, Vilket innebär att λ är ett egenvärde för AA T och X är en egenvektor med längden 1 Funktionens värde blir då X T AA T X = λx T X = λ så vi skall välja λ så liten som möjligt Nu är AA T = USV T V T S T U T = USS T U T och eftersom U är ortogonal, dvs U 1 = U T så ser vi att kolumnerna i U är egenvektorer för AA T och egenvärdena är S(j, j) 2 Detta innebär att summan av avstånde från punkterna (x j, y j ) till linjen ax + by = är S(2, 2) 2 Om man vill ha riktningsvektorn för [ linjen ax + by = så tar a man en vektor som är ortogonal mot vektorn och en sådan vektor är b U(:, 1) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

12 Minsta kvadratsummor Om man skall bestämma den räta linje som bäst beskriver datapunkterna (2, ), (, 3), ( 2, 3) och ( 3, 4), så måste man först bestämma vad man menar med bäst och i detta sammanhang är det att summan av kvadraterna av avstånden från punkterna till linjen är så liten som möjligt För att göra detta skall vi först räkna ut medelvärdet av punkternas koordinater, och det blir x = x(j) = 75 och y = 1 4 j=1 4 y(j) = 25 j=1 Vi byter ut punkterna (x j, y j ) mot (x j x, y j y) och sätter in dem i en matris [ A = Nästa steg är att räkna ut (åtminsone en del av) singulärvärdesuppdelningen av A Först räknar vi G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Forts AA T = [ Nu skall vi räkna ut denhär matrisens egenvärden och vi får först den karakteristiska ekvationen ([ ) det(aa T (1475 λ) 15 λi ) = det = λ λ (9 λ) 2 = Som lösningar får vi, λ = ± = { 22761, 98851, av vilket vi ser att egenvärdena är λ 1 = och λ 2 = I nästa steg räknar vi ut en egenvektor som hör till det största egenvärdet λ 1 = dvs vi löser ekvationen (AA T 22761I )X = Med Gauss metod får vi G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

13 Forts [ [ r 2 r r 1 Av detta ser vi att om vi väljer x 2 = 1 så får vi ur ekvationen 8115x 1 15x 2 = lösningen x 1 = 1316 Vi kan till egenvektor alltså välja X 1 = [ T I dethär fallet är det inte nödvändigt att normalisera egenvektorn så att den har längden 1 Den räta linjen vi sökt har alltså riktningsvektorn [ T och går genom punkten ( 75, 25) så att ekvationen blir (x ( 75)) (y 25) = eller x y = Observera [ att om a och b är koefficienterna a linjens ekvation ax + by = c så är normalen till linjen och därför b vinkelrät mot linjens riktningsvektor och således också en egenvektor som hör till det mindre egenvärdet eftersom den symmetriska matrisen AA T har egenvektorer som är vinkelräta mot varandra G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 En högre ordningens ekvation som system Om man vill skriva differentialekvationen y (t) + 3y (t) + 2y(t) = cos(t), y () =, y () = y() = 1 som ett differentialekvationssystem y(t) Y (t) = AY (t) + F (t) så låter man Y (t) = y (t) Det är klart att y (t) d dt y(t) = y (t) och d dt y (t) = y (t) Av ekvationen följer att d dt y (t) = y (t) = 2y(t) + y (t) 3y (t) + cos(t) Av detta följer att y() 1 Y () = y () = 1 och y () 1 Y (t) = 1 Y (t) cos(t) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

14 Ett blandningsproblem Behållaren A innehåller 2 liter, behållaren B innehäller 3 liter och behållaren C 4 liter saltvatten Vid tidpunkten t = är salthalten i behållaren A 4 g, i behållaren B 2 g och i behållaren C 3 g salt per liter vätska Till behållaren A pumpas med hastigheten 2 liter per minut rent vatten Vätskan i behållaren A blandas och 3 liter vätska pumpas per minut över till behållaren B Till behållaren B pumpas också 2 liter per minut av en vätska som innehåller f (t) g salt per liter vid tidpunkten t, och av den väl blandade vätskan pumpas 1 liter per minut tillbaka till behållaren A och 5 liter per minut pumpas till behållaren C Till behållaren C pumpas 1 liter rent vatten per minut Innehållet i behållaren C blandas och 1 liter vätska pumpas till behållaren B och 5 liter per minut pumpas ut också väl Om man nu skall bilda ett differentialekvationssytem ur vilket man kan lösa saltmängderna i behållarna så kan man låta x(t) vara saltmängden i behållaren A, y(t) saltmängden i behållaren B och z(t) saltmängden i behållaren C vid tidpunkten t Eftersom vätskemängderna hela tiden förblir oförändrade så är salthalterna x(t)/2, y(t)/3 och z(t)/4 (g/l) Differentialekvationssytemet blir därför G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Forts x (t) = x(t) y(t) 3 y (t) = x(t) 2 3 y(t) z(t) + 2f (t) 4 z (t) = y(t) 3 6 z(t) 4 5 med x() = 8, y() = 6 och z() = 12 Dethär differentialekvationssystemet kan skrivas i formen Y (t) = AY (t) + F (t) där A = och F (t) = 2f (t) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

15 Lösning med egenvektorer 1 Om man skall lösa differentialekvationen Y (t) = AY (t), Y () = då A = kan vi utnyttja det faktum att A har egenvärdena λ 1 = 1 och λ 2 = 1 med egenvektorer X 1 = och X 2 = 1 och att 1 2 Y 2 = är en generaliserad egenvektor för det dubbla egenvärdet 1 1 Det faktum att Y 2 är en generaliserad egenvektor innebär att (A ( 1)I )Y 2 = X 2 som man lätt kan konstatera Nu kan man skriva lösningen i formen ( ) Y (t) = c 1 e λ1t X 1 + c 2 e λ2t X 2 + c 3 te λ2t X 2 + e λ2t Y 2 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Lösning med egenvektorer, forts För att konstatera att Y verkligen är en lösning observerar vi att Y (t) = c 1 e λ 1t λ 1 X 1 + c 2 e λ 2t λ 2 X 2 + c 3 te λ 2t λ 2 X 2 + c 3 e λ 2t (X 2 + λ 2 Y 2 ), och eftersom AX j = λ j X j och AY 2 = λ 2 Y 2 + X 2 så gäller faktiskt Y (t) = AY (t) För att bestämma c 1, c 2 och c 3 sätter vi in t = och får = c 1 + c c 3, 1 1 och ur dethär ekvationssystemet kan vi lösa c 1 = 1, c 2 = 2 och c 3 = 1 Lösningen blir alltså e t 2e t Y (t) = 2e t te t e t e t G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 3 / 39

16 Rov- och bytesdjur Antag att på en ort vid tidpunkten t finns K(t) kaniner och R(t) rävar (men kräv inte att dessa antal skall vara heltal) Antag vidare att kaninerna förökar sig men också blir uppätna av rävarna så att den procentuella förändringen i antalet kaniner är ca 1 (a br(t)) t under tidsperioden (t, t + t) På motsvarande sätt dör rävarna men kan föröka sig om det finns kaniner så att den procentuella förändringen i antalet rävar är ca 1 ( c + dk(t)) t under samma tidsperiod Av dessa antaganden följer att K(t + t) K(t) (a br(t))k(t) t, R(t + t) R(t) ( c + dk(t))r(t) t Om man nu dividerar med t, tar gränsvärdet då t och struntar i att man bara har approximationer så får man följande ekvationssystem (de sk Lotka-Volterra ekvationerna) [ K (t) R (t) = F ([ K(t) R(t) ) = [ (a br(t))k(t) ( c + dk(t))r(t) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Rov- och bytesdjur, forts Ur ekvationssystemet F (K, R) = kan man lösa jämviktspunkterna som blir (K, ) = (, ) och ( c d, a b ) (vi antar att a, b, c och d är positiva) För att kunna avgöra om jämviktspunkterna är asymptotiskt stabila räknar vi derivatan av F i dessa punkter och eftersom ([ ) [ F K (a br) bk = R dr ( c + dk) så är ([ ) [ ([ F a c ) [ = och F d bc c a = d ad b b [ I punkten är egenvärdena a och c och eftersom ett egenvärde är positivt är punkten inte asymptotiskt stabil I punkten är egenvärdena ±i ac och eftersom de är rent imaginära kan man inte på grundval av detta säga någonting [ c d a b G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

17 Rov- och bytesdjur, forts Om man däremot deriverar funktionen h(t) = R(t) a e br(t) K(t) c e dk(t) så får man h (t) = ar (t) R(t) h(t) br (t)h(t) + ck (t) K(t) h(t) dk (t)h(t) ( = h(t) a( c + dk(t)) b( c + dk(t))r(t) ) + c(a br(t)) d(a br(t))k(t) = Detta innebär att R(t) a e br(t) K(t) c e dk(t) är en konstant och eftersom R a e br K c e dk = H är en sluten kurva i (K, R)-planet (om H < ( a b )a e a ( c d )c e c ) så kan man visa att ekvationssystemet har periodiska lösningar och jämviktspunkt [ c d a b är en stabil men inte asymptotiskt stabil G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Ett randvärdesproblem För vilka (reella) värden av λ har randvärdesproblemet y (x) + λy(x) =, < x < 1, y() = y(1) =, en icke-trivial lösning (dvs en lösning som inte är identiskt ) och vad är lösningen för dessa värden av λ? Observera att man på samma sätt som för reella symmetriska matriser kan visa att man inte kan hitta icke-triviala lösningar om λ är ett komplext tal Den karakteristiska ekvationen för differentialekvationen som man för genom att sätta in y(x) = e rx är r 2 + λ =, så om λ = µ 2 där µ > så är r = ±µ och den allmänna lösningen y(x) = c 1 e µx + c 2 e µx Eftersom y() = är c 1 + c 2 = vilket innebär att c 1 = c 2 och eftersom y(1) = så är c 1 e µ + c 2 e µ = så att c 2 (e µ e µ ) = Om nu c 2 = G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

18 Ett randvärdesproblem, forts så är y identiskt och annars måste e µ = e µ vilket är omöjligt om µ > Härav följer att vi inte kan ha λ < Om λ = är den allmänna lösningen y(x) = c 1 + c 2 x och villkoret y() = innebär att c 1 = och villkoret y(1) = att c 2 =, så inte heller i detta fall får vi en icke-trivial lösning och λ kan inte vara Om λ > har den karakteristiska ekvationen lösningarna r = ±i λ och den allmänna lösningen är y(x) = c 1 cos( λx) + c 2 sin( λx) Villkoret y() = ger c 1 = och villkoret y(1) = ger c 2 sin( λ) = och eftersom c 2 (för annars får vi en trivial lösning) så är sin( λ) = dvs λ = nπ och λ = n 2 π 2, där n = 1, 2, 3, (eftersom λ > tar vi inte med n = ) Motsvarande egenfunktion blir y n = sin(nπx) G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Randvärdesproblem och ortogonalitet Definiera Au = u då u D(A) där D(A) = { u : [, 1 R : u är två gånger deriverbar, u (x) 2 dx < och u() = u(1) = } Om nu u och v D(A) så får man genom att integrera partiellt två gånger och genom att i den första insättningstermen utnyttja det faktum att v() = v(1) = och i den andra att u() = u(1) = : v(x)(au)(x) dx = / 1 = = v(x)u (x) + / 1 v (x)u(x) v(x)u (x) dx v (x)u (x) dx = v (x)u(x) dx = v (x)u (x) dx (Av)(x)u(x) dx G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

19 Randvärdesproblem och ortogonalitet, forts Av detta följer att A:s egenvärden är reella men här skall vi visa att egenfunktionerna är vinkelräta mot varandra vilket i detta fall betyder att y n(x)y m (x) dx = om Ay n = λ n y n och Ay m = λ m y m så att λ n λ m Om nu Ay n = λ n y n och Ay m = λ m y m där λ n λ m så får vi = λ m y n (x)y m (x) dx = så att (Ay n )(x)y m (x) dx = (λ m λ n ) y n (x)λ m y m (x) dx = y n (x)(ay m )(x) dx λ n y n (x)y m (x) dx = λ n y n (x)y m (x) dx, och eftersom λ m λ n följer det att y n (x)y m (x) dx =, y n (x)y m (x) dx = G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39 Slumpvandring och diffusionsekvationen Antag att en partikel rör sig så att om den vid tidpunkten k t befinner sig i punkten j x så har den vid tidpunkten (k + 1) t flyttat till punkten (j + 1) x med sannolikheten 1 2 och till punkten (j 1) x med sannolikheten 1 2 Om nu U(j, k + 1) betecknar sannolikheten för att partikeln befinner sig i punkten j x vid tidpunkten (k + 1) t så betyder det att U(j, k + 1) = 1 2 U(j + 1, k) + 1 U(j 1, k), 2 eftersom den vid tidpunkten k t måste ha befunnit sig antingen i punkten (k + 1)δx eller i punkten (k 1) x Detta kan också skrivas som U(j, k + 1) U(j, k) = ( x)2 U(j + 1, k) 2U(j, k) + U(j 1, k) t 2 t ( x) 2 = ( x)2 1 1 x (U(j + 1, k) U(j, k)) x (U(j, k) U(j 1, k)) 2 t x Om vi nu definierar funktionen u(x, t) med u(j, x, k t) = U(j, k) och G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

20 Slumpvandring och diffusionsekvationen, forts x och t så att ( x)2 2 t gränsvärde få ekvationen α så kan vi vänta oss att som u t (x, t) = αu xx (x, t) Man kan också behandla detta slumpvandringsproblem på följande sätt: Vid tidpunkten k t befinner sig partikeln i punkten k i=1 Z i där Z 1, Z 2, är oberoende slumpvariabler som får värdet x med sannolikheten 1 2 och värdet x med sannolikheten 1 2 Eftersom väntevärdet av Z j är och variansen ( x) 2 så har slumpvariablen k i=1 Z i väntevärdet och variansen k ( x)2 Om vi nu antar att t = k t och ( x) 2 = 2 t (dvs α = 1) så kommer slumpvariabelns k i=1 Z i täthetsfunktion enligt den centrala konvergenssatsen att närma sig täthetsfunktionen för en normalfördelad slumpvariabel med väntevärdet och variansen 2t dvs täthetsfunktionen närmar sig x 2 u(x, t) = 1 2 πt e 4t G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 2 december / 39

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)

Dagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Omtentamen i DV & TDV

Omtentamen i DV & TDV Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen

2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. Lös uppgift 10.1 i boken. 52. Lös uppgift 10.2 i boken. 53. Lös uppgift 10.3 i boken. 54. Lös uppgift 10.4 i boken. 55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar

Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext. PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät

Läs mer

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Lösningar till linjära problem med MATLAB 5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

9.3. Egenvärdesproblem

9.3. Egenvärdesproblem 9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem.

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar

STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Datorlektion 2. Villkor och Repetition 1 Logiska uttryck Uppgift 1.1 Låt a=3 och b=6 Vad blir resultatet av testerna ab? Uppgift 1.2 Låt a, b,

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

Approximation av funktioner

Approximation av funktioner Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Kapitel 9. Partiella differentialekvationer

Kapitel 9. Partiella differentialekvationer Kapitel 9. Partiella differentialekvationer Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska väderförutsägelser, varvid förändringarna

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

Vetenskapliga beräkningar III 139

Vetenskapliga beräkningar III 139 Vetenskapliga beräkningar III 139 Kapitel 9. Partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Datorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning.

Datorövning 2. - Tag med lärobok och övningshäfte till övningen. - Fyll före övningenen i svaren på frågorna på sidan 5 i denna handledning. Kontinuerliga system vt 2015 Datorövning 2 Inledning Syftet med denna datorövning är att du med hjälp av Maple skall få ökad förståelse av vissa begrepp presenterade i kapitel H. Exempelvis behandlas skalärprodukt,

Läs mer

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002

R AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002 RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet.

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet. Årgång 11, 1927 Första häftet 265. Lös ekvationssystemet { x 3 5x + 2y = 0 y 3 + 2x 5y = 0 266. Visa att uttrycket na n+1 (n + 1)a n + 1 där a och n äro positiva hela tal och a > 2, alltid innehåller en

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor

Geometriska vektorer. Vektorräkning utan koordinater. Vektorer och riktade sträckor Geometriska vektorer Läs Sparr, avsn. 2.1-2.2 Vektorer och riktade sträckor Vektorer förhåller sig till riktade sträckor som tal till bråk: På samma sätt som olika bråk som 2 3, 4 6, 6 9, 8 12, 1 15,...

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000

MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000 MATEMATIK, LINJÄR ALGEBRA för E1, lp 1 2000 Kurschef Gunnar Mossberg (GM). Träffas under lp 1 i anslutning till föreläsningar och seminarieövningar enligt nedan. Dessutom torsdagar kl 12.15 12.45 i rum

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng

Studiehandledning. till 5B4004 ANALYS II. Distanskurs 10 poäng Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1

En trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1 10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer. 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 6. 7. 8. 9. 10. 2. Derivator 1. 2. 3. 4. 5. 6. KTH matematik Övningsuppgifter för sf1627, matematik för ekonomer Harald Lang 1. Förenkla följande uttryck så långt det går: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Svar: 1. 2. 5 3. 1 4. 5 5. 1 6. 6 7. 1 8. 0 9.

Läs mer

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund

Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska

Läs mer

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II Hasse Carlsson Version 2013 Inledning Syftet med linjär algebra är att studera vektorrum och linjära avbildningar mellan vektorrum.... (Här skall det stå något

Läs mer

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet.

Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje

Läs mer

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

3. Lös ekvationen 3 + z = 3 2iz och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra TEN4 Datum:

Läs mer