SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

Transkript

1 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen utgörs av de tre första uppgifterna. Till antalet erhållna poäng från del A adderas dina bonuspoäng. Poängsumman på del A kan dock som högst bli 2 poäng. Bonuspoängen beräknas automatiskt. Antal bonuspoäng framgår från resultatsidan. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C, som främst är till för de högre betygen. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!

2 2 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari 206 DEL A. Låt A (,, ), B (, 3, ), C (,, 0) vara punkter i R 3. (a) Beskriv på parameterform planet P som innehåller A, B och C och ange ett system av linjära ekvationer som beskriver P. (2 p) (b) Låt L vara linjen genom A och B. Beräkna avståndet mellan C och linjen L. (2 p) (a): Bilda två vektorer i planet, AC (0, 2, ) och BC (0, 2, ). Planet P kan då skrivas på parameterform som x y + s t 0 2 z 0 Planets normalvektor ges av AC BC ( 4, 0, 0) vilket ger planets ekvation 4x + D 0. Planet ska gå genom punkten (,, 0) vilket ger att D 4. Ekvationen för planet blir 4x+4 0 dvs x vilket är ett plan parallellt med yz-planet och som skär x-axeln i x. (b): En linje som går mellan A och B har riktningsvektorn AB (0, 4, 0). Dvs den är parallell med y-axeln. Avståndet från C (,, 0) till linjen blir då lika med. 2. Betrakta följande matris: A (a) Avgör om vektorn ligger i bilden im(a). (2 p) (b) Bestäm en bas till nollrummet ker(a). (2 p) (a): Vektorn ligger i im(a) om systemet A x Gauss-elimination ger /2 0 3/ är lösbart.

3 Systemet är inte lösbart dvs vektorn SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari ligger inte i im(a). (b): Basen till ker(a) ges av lösningsmängden till A x 0. Gausselimination av A, se uppgift (a), ger lösningen t där t är godtyckligt tal, dvs är en bas till ker(a). 3. Låt 4 A 0 (a) Bestäm egenvärdena och motsvarande egenvektorerna till matrisen A. ( p) (b) Bestäm en 2 2-matris S så att S AS är en diagonalmatris. ( p) (c) Beräkna A 39. (2 p) (a): Egenvärdena ges av nollställena till det karakteristiska polynomet det(a λi) ( λ) 4 0 ( λ) λ2 0 (λ, λ 2 ) Egenvektorerna som motsvarar λ fås ur ekvationen 0 4 x 0 det(a λ I) v 0 v t 0 2 y 0 0 En egenvektor motsvarande λ är exempelvis v 0 2 är en egenvektor som svarar mot λ 2. (b): Egenvektorerna är kolonner i den sökta matrisen S. Alltså är S.. På samma sätt får vi att v (c): Låt D beteckna diagonalmatrisen som ges av D S AS. Från detta samband får vi att A SDS. Därför blir A 39 (SDS ) 39 SDS SDS SDS SD 39 S A

4 4 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari 206 DEL B 4. För att bestämma längdutvidgningskoefficienten λ för en metall gjordes ett experiment där en metallstång upphettades och längden avlästes. Använd minsta kvadratmetoden för att ur dessa data bestämma λ. Temp (C ) Längd (mm) Följande linjära samband mellan temperaturen T och längden L gäller: L(T ) L 0 + L (T T m ), där T m 23 är medelvärdet av de fyra temperaturvärdena. Längdutvidgningskoefficienten λ fås ur sambandet L λl 0. L 0 och L uppfyller ekvationer: L 0 3L L 0 L 2 L 0 + L 4 L 0 + 3L 5 3 eller L0 2 L Minstakvadratlösningen till detta ges av lösningen till: 3 L L L L 2 4 Vi får L 0 3 och L 0.7 som ges λ L /L (a) Motivera varför det finns precis en linjär avbildning f : R 2 R 3 sådan att ( f ) 2 (, f ) ( 3 och f ) 0. 3 (2 p)

5 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari (b) Bestäm matrisen till f i standardbaserna. (2 p) (a): Vektorerna och är ickeparallella och därför bildar de en bas till R 2. Det innebär att det finns precis en linjär avbildning f som uppfyller de första två ekvationerna. 3 Eftersom 2 +, så måste vi kontrollera om ( ( ( 3 f 2f + f ) ) ) för att inse att f är en väldefinierad linjär avbilding. Men detta stämmer: (b): Notera att: och Detta ger: ( f 0) () 2 f + () 2 f 2 + / ( 0 f ) () 2 f + () 2 f 2 + 3/ Vi kan konstatera att matrisen till f i standardbaserna ges av: /2 3/ Vektorrummet W spänns upp av basen B { u, v}, där u och v 2 0. (a) Låt C vara en annan bas till W sådant att matrisen T är övergångsmatrisen 2 3 från basen B till basen C. Bestäm basen C. (2 p)

6 6 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari 206 (b) Avgör om vektorn ligger i W och i så fall bestäm vektorns koordinater i baserna B och C. 0 2 (a): Låt C { a, b}. Notera att: T 3 2 (2 p) Övergångsmatrisen från basen B till basen C är en matris T så att T x B x C, som ger x B T x C. Därmed får vi: 3 3 a B T a C b B T 3 0 b C 2 Det betyder att: a och b (b): Låt w 0 2. Betrakta följande ekvation systemet: Gauss elimination ger: Som betyder att: Vi kan konstatera att w ligger i W och att: 2 w B och w C

7 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari Var god vänd!

8 8 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari 206 DEL C 7. För en n n matris a a 2 a n a A 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn kallas summan av de diagonala elementerna a + a a nn för spåret av A och betecknas med tr(a). (a) Låt A och B vara n n-matriser. Bevisa att tr(ab) tr(ba). Konkludera att tr(a) tr(b AB) under förutsättningen att B är inverterbar. (2 p) (b) Låt f : R n R n vara en linjär avbildning. Låt M vara matrisen till f med avseende på en bas B. Spåret av avbildningen f definieras som spåret till matrisen M. Visa att detta är väldefinierad, dvs. att spåret är oberoende av basvalet. (2 p) (a): Låt: a a 2 a n b b 2 b n a A 2 a 22 a 2n b B 2 b 22 b 2n a n a n2 a nn b n b n2 b nn c c 2 c n d d 2 d n c AB 2 c 22 c 2n d BA 2 d 22 d 2n c n c n2 c nn d n d n2 d nn Notera att vi har följande likheter: Som ger: d d 22 d nn c a b + a 2 b a n b n + c 22 a 2 b 2 + a 22 b a 2n b n c nn a n b n + a n2 b 2n + + a nn b nn tr(ab) c + c c nn d + d d nn tr(ba)

9 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari (b): Låt B och C vara två baser till R n. Låt M vara matrisen till f med avseende på basen B och N vara matrisen till f med avseende på basen C. Vi måste bevisa att tr(m) tr(n). Komma ihåg att N S MS där S är övergångsmatrisen från bas C till B. Vi kan använda del (a) av uppgiften för att få: tr(n) tr(s MS) tr((s M)S) tr(s(s M)) tr((ss )M) tr(m) 8. Låt A vara en symmetrisk och inverterbar matris. (a) Bevisa att inversen A också är en symmetrisk matris. (2 p) (b) Bevisa att ( x) T A x är en positivt definit kvadratisk form om och endast om ( x) T A x är en positivt definit kvadratisk form. (2 p) (a): Matrisen A är symmetrisk, som ger A A T. Därför: A(A ) T A T (A ) T (A A) T I T I om vi multiplicerar båda sidor med A, får vi: som säger att A är symmetrisk. (A ) T A (b): Låt B vara en symmetrisk matris. En kvadratisk form ( x) T B x är positivt definit om och endast om alla egenvärden till B är positiva. Det betyder att för att bevisa (b), måste vi bevisa att egenvärdena till A är positiva om och endast om egenvärdena till A är positiva. För detta ändamål skulle det vara tillräckligt att visa att λ är egenvärde till A om och endast om är egenvärde till A. λ Kom ihåg att λ är ett egenvärde till A om och endast om det finns en vektor v 0 så att A v λ v. Om vi multiplicerar båda sidor av den likheten med A, får vi v λa v. Eftersom v 0, har vi λ 0. Vi kan därför dela båda sidor av sista likheten med λ och får A( v) λ v Det betyder att λ är egenvärden till A om och endast om är en egenvärde till A. λ 9. Låt v, v 2, och v 3 vara ortonormala vektorer i R 3. Beräkna beloppet av determinanten: det v + v 2 v 2 + v 3 v 3 + v (4 p) Determinanten är multilinjär och den är 0 om två kolonner är lika eller om en kolonn är linjärt beroende av de andra. Således: det v + v 2 v 2 + v 3 v 3 + v det v v 2 + v 3 v 3 + v v2 v 2 + v 3 v 3 + v

10 0 SF624 Algebra och geometri Tentamen 3 januari 206 det v v 2 v 3 + v +det v v 3 v 3 + v +det v2 v 2 v 3 + v +det v2 v 3 v 3 + v det v v 2 v 3 + v v2 v 3 v 3 + v det v v 2 v 3 v v 2 v v2 v 3 v 3 v2 v 3 v det v v 2 v 3 v2 v 3 v 2det v v 2 v 3 För att v, v 2, och v 3 vara ortonormala vektorer i R 3, Vi kan konstatera att: och därför är determinantens belopp 2. det v v 2 v 3 ± det v + v 2 v 2 + v 3 v 3 + v ±2