TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Transkript

1 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: (ankn. 94) Förfrågningar: Ivar Gustafsson, ankn. 94 Lösningar: Resultat: Betygsgränser: Anslås på institutionen efter tentamen Anslås på institutionen senast 9 januari 3, 4, 54 av maximalt 6 poäng Bonus (högst poäng) från inlämningsuppgifter får tillgodoräknas. Hjälpmedel: Inga Iakttag följande: - Skriv tydligt och disponera papperet på lämpligt sätt - Börja varje ny uppgift på nytt blad - Alla svar skall väl motiveras LYCKA TILL! Uppgift a) Visa Cauchy-Schwartz olikhet, dvs <u, v > u v för alla u, v V där V är ett reellt linjärt rum med skalärprodukt. Ange speciellt när likhet inträffar. (7p) b) Visa att xy t x y för x R n, y R n. Ledning: Definition av matrisnorm samt Cauchy-Schwartz olikhet. Uppgift a) Undersök om matrisen A är diagonaliserbar. (4p) b) Ta fram en startvektor sådan att potensmetoden inte fungerar på matrisen A. (p) Uppgift 3 Betrakta matrisen A a) Bestäm rang (A ) (p) 3 b) Ange en bas för N (A ). (p) c) Ta fram en faktorisering PA LU, där P står för systematiska (stabila) radbyten vid Gausselimineringen. (4p) (5p)

2 - - Uppgift 4 Låt P : R 3 R 3 vara den ortogonala projektionen på planet x + y + 3z. a) Bestäm standardmatrisen för P. (4p) b) Bestäm genom geometriskt betraktande egenvärdena till P. (p) c) Är avbildningen inverterbar? (p) d) Bestäm en bas av egenvektorer till P. (p) Uppgift 5 Vi önskar bestämma den linjära spline med nod i x som i minsta-kvadrat-mening bäst anpassar till punkterna (, ), (, ), (3, ) och (4, ) i planet. Sätt upp det överbestämda ekvationssystem som ska lösas för att bestämma splinen. Ekvationssystemet behöver inte lösas. (5p) Uppgift 6 a) Betrakta approximationen e x + x för x nära noll. Ange framåt och bakåt-felen då x.. (p) b) Betrakta algoritmen att beräkna + x i ett flyttalssystem med IEEE-standard. Genomför bakåtanalys av algoritmen. Ta hänsyn till att x måste lagras avrundat, talet däremot lagras exakt. Ange, med tydlig motivering, om algoritmen är stabil eller inte. (3p) Uppgift 7 En modell på formen ψ(t ) αe βt + γ ska genom val av parametrarna α, β och γ anpassas till en mätserie (t i, ψ i ), i,..., m, där m > 3. Formulera motsvarande ickelinjära minsta-kvadrat problem. Ange residual, Jacobian och teckna en iteration i Gauss- Newtons metod. (6p) Uppgift 8 Betrakta ode-problem y f (t, y ), y (t ) c. a) Härled Eulers framåtmetod för problemet genom att använda lämplig approximation av derivatan. (p) b) Härled trapetsmetoden för problemet genom att använda lämplig approximation av integralformuleringen av problemet. (p) c) Betrakta problemet y Ay, y () t 5 där A. Är Eulers framåtmetod resp trapetsmetoden stabila för steglängen h.? (3p) d) Räkna fram en approximation till y (.) med Eulers framåtmetod och steg h. för problemet i c-uppgiften. (p)

3 Matematik Chalmers Ivar Gustafsson F - Linjär algebra och numerisk analys, TMA67 Lösningar till tentamen 9 januari. a) Se LAT sid 3. b) xy t (def) max z xy t z z max z y t z x z (C-S) y z x z y x. Om z och y linjärt beroende så likhet i C-S (v.s.v.). a) Egenvärden är λ λ och λ 3. Egenvektor till λ 3 är (,, ) t. Egenvektorer till λ λ fås från homogent system med matrisen. Från lösningen kan vi plocka fram basen (,, ) t, (,, ) t för egenvektorsrummet. Vi kan alltså inte spänna hela R 3 med egenvektorer. A är inte diagonaliserbar. b) x (,, ) t fungerar inte, det ger Ax x hela tiden och x är inte rätt egenvektor. 3. c) Gausselimination med radbyten ger successivt matriserna: 3 3 A,,, 3 3 3, U.

4 Vi gör alltså radbyten i båda stegen och permutationsmatrisen blir P P P. Vidare samlar vi ihop multiplikatorerna till. a) Rangen för A är antal linjärt oberoende kolonner i U, dvs. b) Bas för N(A) kan fås genom att lösa homogent system Ux och ur lösningen tar vi fram basen (,, ) t 4. a) Vi ska projicera standardbasens element e i på N(A) där A [ 3]. Projektionen på V (A t ) tas med normalekvationerna. För e (,, ) t får vi systemet AA t x Ae med lösning x och projektionen 4 At x (,, 4 3)t. Projektionen av e på N(A) blir sedan Pe e A t x (3,, 4 3)t. På samma sätt får vi Pe (,, 4 6)t och Pe ( 3, 6, 4 5)t. Standardmatrisen för P blir alltså b) Normalen projiceras på nollvektorn dvs λ. Allt i planet blir oförändrat vid projektionen dvs λ λ 3. c) Nej, ty ett egenvärde är noll. d) Egenvektor (,, 3) t är normalen och hör alltså till egenvärde λ. Två linjärt oberoende egenvektorer i planet duger för λ λ 3. Vi kan exempelvis ta (,, ) t och (3,, ) t. { s (x) a + bx, x 5. Ansätt splinen som s(x) s (x) c + dx, x 4. Splinevillkoret s () s () ger ekvationen a c + d b. Anpassning till punkterna, dvs s(), s(), s(3), s(4) fås genom det överbestämda systemet: b 3 c. d 4 Lösningen ger b, c, d och a fås ur sambandet a c + d b. 6. a) Framåt: + x e x x..5 Bakåt: f ( + x) x ln( + x) x x..5

5 b) y + x, ŷ ( + x( + ǫ ))( + ǫ ) + ǫ + x( + ǫ )( + ǫ ) dvs ŷ ˆ + ˆx, där ˆ + ǫ och ˆx x( + ǫ )( + ǫ ) De relativa felen blir alltså: ˆ ǫ med ˆ µ och ˆx x ǫ x + ǫ + ǫ ǫ med µ + µ. Små störningar, dvs algoritmen är stabil. ˆx x x 7. Det icke-linjära minsta-kvadrat problemet blir min α, β, γ f där f i αe βt i + γ Ψ(t i ) är residualerna. Jacobianen blir J e βt i t i αe βt i. Låt x (α, β, γ) t Då kan Gauss-Newtons metod skrivas: { x (k+) x (k) + d (k) J(x (k) )d (k) f(x (k), k,,... ) 8. a) y (t) y(t+h) y(t), dvs y(t + h) y(t) hy (t) hf(t, y(t)). Med h y k+ y(t+k) och y k y(t) får vi Eulers metod: y k+ y k +hf(, y k ). b) Integralform: + y (t) dt + f(t, y(t)) dt ger y(+ ) y( ) tk+ f(t, y(t)) dt (trapetsformeln) h[f(t k, y k ) +f(+, y k+ )], som är trapetsmetoden. c) Egenvärdena till A är λ och λ med hλ. och hλ., båda i stabilitetsområdet för metoderna, som alltså är stabila för problemet. d) y y hay, y (, ) t, y [ ] [ ] [ ]..9.. [ ] [. ][ ] 3