Mat Grundkurs i matematik 3-II

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mat Grundkurs i matematik 3-II"

Transkript

1 Mat Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november Matriser Grundläggande definitioner LU-uppdelningen Linjärt oberoende, baser Linjära avbildningar Egenvärden Projektioner QR-uppdelningen Matrisnormer Singulärvärdesuppdelning Pseudoinvers Principalkomponenter Differentialekvationer Linjära differentialekvationssystem Stabilitet Numeriska metoder för differentialekvationer Randvärdesproblem G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 3 Partiella differentialekvationer Diffusionsekvationen Numeriska metoder Finita element metoden Matriser, indexering A(1, 1) A(1, 2)... A(1, n) A(2, 1) A(2, 2)... A(2, n) A =.... = [A(j, k) = [a jk A(m, 1) A(m, 2)... A(m, n) är en m n-matris. A(j, :) är rad j och A(:, k) är kolumn k i matrisen A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

2 Räkneoperationer Transponering: B = A T B(j, k) = A(k, j) Summa A + B = C: A, B och C m n-matriser, C(j, k) = A(j, k) + B(j, k) Multiplikation med en skalär, λa = C: C(j, k) = λa(j, k) Produkt C = AB: A är en m n-, B en n p- och C en m p-matris, C(j, k) = n q=1 A(j, q)b(q, k) Hermiteskt konjugat, A T = C: C(j, k) = A(k, j), dvs. transponering och komplex konjugering Obs! (λa + µb) T = λa T + µb T, (λa + µb) T = λa T + µb T. Egenskaper hos matrisprodukten (AB) T = B T A T A(BC) = (AB)C I allmänhet är AB BA Några definitioner ifall A är m n, B är n p och C är p q 0 m n eller endast 0 är en m n-matris, vars alla element är 0 I m m eller vanligtvis endast I är en m m-matris, vars alla diagonalelement är 1, dvs. { 1, ifall j = k, I (j, k) = 0, ifall j k. AI = IA = A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Observera Elementen i en matris kan också vara matriser, tex.: En m n matris kan behandlas som en m 1 matris vars element är 1 n matriser, dvs. radvektorer. En m n matris kan behandlas som en 1 n matris vars element är m 1 matriser, dvs. (kolumn)vektorer. Produkten av en matris och en vektor: x 1 x 1 x 2 A. = [ A(:, 1)... A(:, n) x 2. = x 1A(:, 1) x n A(:, n) x n x n så AX är alltså en linjär kombination av kolumnvektorerna i A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Olika typer av matriser En n n matris A är kvadratisk; inverterbar eller reguljär ifall det finns en (invers) matris A 1 så att AA 1 = A 1 A = I men det räcker att kontrollera att AA 1 = I eller A 1 A = I ; en diagonalmatris ifall A(j, k) = 0 då j k; en uppåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j > k; en nedåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j < k; symmetrisk ifall A T = A; skevsymmetrisk ifall A T = A; ortogonal ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1 ; hermitesk ifall A T = A; skevhermitesk ifall A T = A; unitär ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

3 (AB) 1 = B 1 A 1 Om A är kvadratisk så är A 0 = I och då n > 0 är A n = AA }{{... A } n A n = A } 1 A 1 {{... A 1 } n (A n ) 1 = A n A n A m = A n+m och (A n ) m = A nm men i allmänhet är (AB) n A n B n Linjära ekvationssystem AX = B Kan lösas med Gauss metod där man genom radoperationer omvandlar koefficientmatrisen till trappstegsform. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 LU-uppdelningen Om A är en m n matris så kan man skriva där PA = LU P är en m m permutationsmatris som byter rader, dvs. på varje rad och varje kolumn i P finns en 1, resten 0; L är en m m nedåt triangulär matris med 1 på diagonalen, dvs. L(j, j) = 1, L(j, k) = 0 då k > j; U är en m n matris i trappstegsform, dvs. om U(p, k p ) 0 och U(p, k) = 0 då k < k p ((p, k p ) ett pivot-element) så är U(j, k) = 0 då j > p och k k p. Vektorrum Ett vektorrum W är en mängd sådan att två element (vektorer) i W kan adderas och varje element (vektor) kan multipliceras med ett tal (reellt tal i ett reellt vektorrum, komplext i ett komplext) och alla förnuftiga räkneregler gäller. Tex. R n = { (x 1,..., x n ) : x j R } och R n 1 = { [ x 1... x n T : xj R } är (reella) vektorrum Delrum V är ett delrum av vektorrummet W ifall 0 V och αu + βv V då u, v V Ekvationssystemet LUX = B löser man genom att först lösa Y ur systemet LY = B och sedan X ur systemet UX = Y (om det lyckas). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

4 Linjärt oberoende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt oberoende ifall v 1 + α 2 v α m v m = 0 = α 2 =... = α m = 0 dvs. v 1 + α 2 v α m v m = 0 endast då = α 2 =... = α m = 0 Linjärt beroende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt beroende ifall de inte är linjärt oberoende, dvs. (åtminstone) en av vektorerna kan skriva som en linjär kombination av de andra, dvs. v j = v β j 1 v j 1 + β j+1 v j v m Linjärt hölje Vektorrummet som spänns upp (genereras) av w 1, w 2,..., w n dvs. det linjära höljet av dessa vektorer är (K = R eller C) { w 1 + α 2 w α n w n :, α 2,..., α n K } Bas Vektorerna v 1, v 2,..., v m bildar en bas för vektorrummet W dvs. de är basvektorer ifall de är tillräckligt men inte för många: spänner upp W de är linjärt oberoende (vektorer i W) varje vektor w i W kan skrivas på ett entydigt sätt i formen w = v 1 + β 2 v v m. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Dimension Dimensionen av ett vektorrum W är antalet vektorer i någon (dvs. varje) bas Koordinater Om (v 1, v 2,..., v m ) är en bas i W och w = v 1 + β 2 v v m så är [... T koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) Basbyte Antag att (u 1, u 2,..., u m ) och (v 1, v 2,..., v m ) är baser för W så att [ u1 u 2... u m = [ v1 v 2... v m A Om [... α m T är koordinaterna för w i basen (u1, u 2,..., u m ) och om [... T är koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) så är [ v1... v m. = w = [ u 1... u m. = [ v 1... v m A. α m α m. = A. α m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

5 De fyra fundamentala rummen N (A), R(A), N (A T ), R(A T ) Om A är en m n matris och K = R eller C så är N (A) = { X K n 1 : AX = 0 } K n 1 matrisens nollrum R(A) = { AY : Y K n 1 } K m 1 är matrisens kolumnrum eller bildrum N (A T ) = { X K m 1 : A T X = 0 } K m 1 R(A T ) = { A T Y : Y K n 1 } K n 1 Om PA = LU så är dim(r(a)) = dim(r(a T )) antalet pivot-element i U dim(n (A)) antalet kolumner i U utan pivot-element dim(n (A T )) antalet rader med bara nollor i U dim(r(a)) = dim(r(a T )) är matrisens rang N (A) + R(A T ) = K n 1, N (A) R(A T ) och dim(n (A)) + dim(r(a T )) = n N (A T ) + R(A) = K m 1, N (A T ) R(A) och dim(n (A T )) + dim(r(a)) = m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Definition Om V och W är två vektorrum så är T : V W en linjär funktion eller avbildning om T (αu + βv) = αt (u) + βt (v). Linjära avbildningar och matriser Antag att T : V W är en linjär avbildning, (v 1,..., v n ) är en bas i V och (w 1,..., w m ) är en bas i W och u = [ v 1... v n. och T (u) = [ w 1... w m. α n Om nu A(:, j) är koordinaterna för T (v j ) i basen (w 1,..., w m ) så är. = A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 α n Basbyte Om A är m n matrisen för en linjär avbildning T i baserna (e 1,..., e n ) och (f 1,..., f m ) och [ v1... v n = [ e1... e n V [ w1... w m = [ f1... f m W så blir matrisen för avbildningen i baserna (v 1,..., v n ) och (w 1,..., w m ) W 1 AV. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

6 Varför? u = [ v 1... v n. α n = [ e 1... e n V T (u) = [ w 1... w m. AV. α n = W. W 1 AV. α n = [ f 1... f m W. α n =.. Egenvärden Ifall AX = λx och X 0 så är λ ett egenvärde till A och X är en egenvektor Karakteristiska polynom Om A är en m m-matris så är det(a λi ) är A:s karakteristiska polynom λ ett egenvärde till A det(a λi ) = 0 Linjärt oberoende egenvektorer Om matrisen A har egenvärdena λ 1, λ 2,... λ m och λ i λ j då i j så är det motsvarande egenvektorerna X 1, X 2,... X m linjärt oberoende Egenvärden till symmetriska matriser Egenvärden till en symmetrisk (och reell) matris är reella och egenvektorer (som hör till olika egenvärden) är ortogonala mot varandra. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Diagonalisering Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1, λ 2,..., λ n och egenvektorer X 1, X 2,..., X n och om matrisen V, där V (:, j) = X j, är inverterbar dvs., egenvektorerna är linjärt oberoende så är λ V 1 0 λ AV = λ n λ λ A = V V λ n λ k A k 0 λ k = V V λ k n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Similära matriser Om A är en m m-matris och S är en inverterbar m m-matris så har matriserna A och S 1 AS samma egenvärden. Matriserna A och S 1 AS sägs vara similära. Egenvärden för triangulära matriser Om A är en uppåt eller nedåt triangulär kvadratisk matris (isynnerhet en diagonal matris) så är A:s egenvärden elementen på diagonalen i A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

7 Projektioner Antag att kolumnerna i (den reella) m n-matrisen A är linjärt oberoende Då är den ortogonala projektionen på A:s kolumnrum Defintion Avbildningen X PX är en projektion om Ortogonal projektioner P 2 = P En projektion X PX är ortogonal om PX X PX, dvs. (PX ) T (X PX ) = 0 P är symmetrisk G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 P = A(A T A) 1 A T. Den ortogonala projektionen på delrummet av R m 1 som är ortogonalt (vinkelrätt) mot A:s kolumner är I P. Om kolumnerna i matrisen A är ortonormala ( A T A = I ) dvs. de har längden 1 och är vinkelräta mot varandra så är projektionen på A:s kolumnrum P = AA T Om A är en m 1 kolumnvektor så är PX = AT X A T A A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 QR-uppdelningen Om A är en (reell) m n-matris kan man skriva A = QR där Q är en m p matris med ortonormala kolumner dvs. Q(:, j) T Q(:, k) = 0 då j k och Q(:, j) T Q(:, j) = 1. R är en p n uppåt triangulär matris i trappstegsform utan någon rad med endast nollor och där p är A:s rang. Om p < m kan matrisen Q kompletteras till en m m ortogonal matris och då kompletteras R med m p rader med nollor. Antag att A = QR där R inte har någon rad med bara nollor. Då är Kolumnvektorerna i matrisen Q en ortonormal bas för A:s kolumndvs. bildrum QQ T en ortogonal projektion på A:s kolumnrum. Vektornormer En funktion : V R (där V är ett vektorrum) är en norm ifall u + v u + v αu = α u u 0 och u = 0 u = 0 Om och är normer i V och dim(v) < så finns det konstanter c och c så att v c v och v c v, v V Exempel på normer Om X K n 1 (K = R eller C) så är X 1 = n j=1 X (j, 1) n X 2 = j=1 X (j, 1) 2 X = max 1 j n X (j, 1) normer i K n 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

8 Matrisnormer Om A är en m n matris och p är en norm i K n 1 så är en norm i K m n. Definition A p def = max X p=1 AX p AB p A p B p. lim A n = B lim A n B = 0 n n Exempel på matrisnormer Om A är en m n (reell) matris så är A 1 = max m 1 k n j=1 A(j, k) A = max n 1 j m k=1 A(j, k) A 2 = Matrisens AA T (eller A T A) största egenvärde Konditionstal Om A är en m m matris och och p är en norm i K m m så är A:s konditionstal κ p (A) = A p A 1 p med κ p (A) = om A inte är inverterbar G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Singulärvärdesuppdelningen Låt A vara en (reell) m n-matris. Då finns det en m m ortogonal matris U en n n ortogonal matris V en m n diagonal matris S (dvs. S(i, j) = 0 när i j) så att S(1, 1) S(2, 2)... S(p, p) 0 där p = min{m, n} och en singulärvärdesuppdelning av A är Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så är A T = VS T U T A 1 = VS 1 U T om m = n och S(m, m) > 0 A 2 = S(1, 1) S(1, 1) κ 2 (A) = om m = n och S(m, m) > 0 S(m, m) A = USV T Obs! Om A = USV T är en singulårvärdesuppdelning av A så kan man skriva q A = S(j, j)u(:, j)v (:, j) T, j=1 ifall S(j, j) = 0 då j = q + 1,..., min{n, m}. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så att q av singulärvärdena S(j, j) är positiva dvs. S(q, q) > 0 men S(j, j) = 0 då j > q, så är vektorerna U(:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A) U(:, k), k = q + 1,... m en ortonormal bas för N (A T ) V (:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A T ) V (:, k), k = q + 1,... n en ortonormal bas för N (A) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

9 Pseudoinvers Låt A vara en m n (reell) matris med singulärvärdesuppdelning A = USV T S + är n m- diagonal matrisen { med 1 S + S(j,j), då j = k och S(j, j) > 0 (j, k) = 0, då j k eller S(j, j) = 0 A:s pseudoinvers är då A + = VS + U T Om A är kvadratisk och inverterbar så är A + = A 1 Pseudoinversen och ekvationssystem A + B är den kortaste vektorn som minimerar AX B 2 dvs. om X = A + B så är AX B 2 A X B 2 om AX B 2 = A X B 2 så är X 2 X 2 Obs! Singulärvärdesuppdelningen är inte entydig, men pseudoinversen A + av en matris A är entydig och bestäms också av villkoren A + AA + = A +, AA + A = A, A + A och AA + är symmetriska. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Minsta kvadratsummor eller principalkomponenter Problem: Punkterna (x j, y j ) j = 1,..., n är givna, bestäm den räta linje som ligger närmast dem, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till linjen är liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen x = 1 n n j=1 x j och y = 1 n n j=1 y j. Bilda matrisen A med A(1, j) = x j x, A(2, j) = y j y. Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Linjen har riktningsvektor U(:, 1) och normal U(:, 2) och går genom (x, y) Räkning för hand: Bilda matrisen A. Beräkna matrisens AA T största egenvärde. Beräkna en egenvektor som hör till detta egenvärde. Denna vektor är linjens riktningsvektor. Principalkomponenter forts. Problem: Vektorerna X j R m 1, j = 1,..., n är givna. Bestäm vektorn X 0 och det p-dimensionella (p < m) delrum som ligger närmast X j X 0, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till delrummet är så liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen X 0 = 1 n n j=1 X j Bilda matrisen A med A(:, j) = X j X 0 Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Delrummet spänns upp av U(:, k), k = 1,..., p G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

10 Den enklaste linjära ekvationen En formel för lösningen Y (t) = AY (t) Y (t) = e At Y (0) Y (t) = AY (t) + F (t), Y (t 0 ) = Y 0 n=0 Y (t) = e A(t t 0) Y 0 + t Matrisexponenten e B 1 = n! Bn = I + B B B t 0 e A(t s) F (s) ds e A+B = e A e B ifall AB = BA så att e A(t+s) = e At e As men i allmänhet är e A+B e A e B Exponentmatris genom diagonalisering λ λ B = V V λ n e λ e B 0 e λ = V V e λn G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Cayley-Hamiltons teorem det(b λi ) = p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0 p(b) = ( 1) n B n + b n 1 B n b 1 B + b 0 I = 0 Cayley-Hamiltons teorem och exponentmatrisen Om f (x) = n=0 a nx n, tex. f (x) = e x och B är en n n matris så gäller f (B) = a n B n = c 0 I + c 1 B c n 1 B n 1 n=0 där koefficienterna c j är lösningen till ekvationssystemet f (λ j ) = c 0 + c 1 λ j c n 1 λ n 1 j, j = 1, 2,..., n, där λ j är matrisens B egenvärden. Om λ j är ett k-dubbelt egenvärde till B så är λ j ett k-dubbelt nollställe för funktionen f (x) (c 0 + c 1 x c n 1 x n 1 ), dvs. om tex. k = 2, λ j = λ j+1 och f (x) = efn x får man förutom ekvationen e λ j också ekvationen e λ j = c 0 + c j λ j c n 1 λ n 1 j = c 1 + 2c 2 λ j (n 1)c n 1 λ n 2 j. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1,..., λ n och linjärt oberoende egenvektorer X 1,..., X n så kan varje lösning till ekvationen Y (t) = AY (t) skrivas i formen Y (t) = c 1 e λ 1t X c n e λnt X n. Om A är en n n-matris med egenvärden λ j och Re (λ j ) µ, j = 1,..., n och A har n linjärt oberoende egenvektorer så gäller e At ce µt, t 0. Om A högst har ett k-dubbelt egenvärde gäller e At c(1 + t k 1 )e µt, t 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

11 Jämviktspunkter Om F (Y ) = 0 så är Y en jämviktspunkt till differentialekvationen Y (t) = F (Y (t)) Om Y (t) = AY (t) + F (t), A har egenvärden λ j med Re (λ j ) < 0, j = 1,..., n och lim t F (t) = F så gäller lim t Y (t) = Y där (jämviktslösningen) Y uppfyller ekvationen AY + F = 0 och Y (t) = Y är då en (konstant) lösning. Stabila jämviktspunkter En jämviktspunkt Y till Y (t) = F (Y (t)) är stabil ifall för varje ɛ > 0 det finns ett tal δ > 0 så att om Y (0) Y < δ så är Y (t) Y < ɛ för alla t 0 och den är asymptotiskt stabil om dessutom lim t Y (t) = Y då Y (0) Y < δ (där δ > 0). Det endimensionella fallet y (t) = f (y(t)) Om f är kontinuerlig, f (y ) = 0 och för något tal δ > 0 gäller f (y) > 0 då y (y δ, y ) och f (y) < 0 då y (y, y + δ) (dvs. speciellt om f (y ) < 0) så är y en asymptotiskt stabil jämviktslösning G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Stabilitetskriterium Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och egenvärdena för F (Y ) alla har negativ reell del så är Y en asymptotiskt stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och F (Y ) har (åtminstone) ett egenvärde med positiv reell del så är Y inte en stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om egenvärdena har en imaginär del som inte är noll kan lösningen väntas gå som en spiral. Varför? Om Y (t) Y är liten så gäller Y (t) = F (Y (t)) = F (Y (t)) F (Y ) F (Y )(Y (t) Y ) och hur lösningarna till differentialekvationen Z (t) = F (Y )Z(t) uppför sig bestäms av matrisens F (Y ) egenvärden. O(g(h)) Med beteckningen O(g(h)) avses någon funktion f (h) som är sådan att det finns en konstant C så att f (h) C g(h), och om det inte sägs ut skall man av sammanhanget förstå att detta skall gälla tex. då h 0+, dvs. det finns en konstant h 0 så att olikheten ovan gäller då 0 < h h 0. Detta innebär tex. att O(h) + O(h 2 ) = O(h) då h 0+, men de två O(h) som finns i detta uttryck är inte samma funktioner. Eulers metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h Y n+1 = Y n + hf (t n, Y n ), Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

12 Eulers modifierade eller Heuns metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 2( K1 + K 2, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Runge-Kuttas metod (av fjärde ordningen) Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n h, Y n K 1), K 3 = hf (t n h, Y n K 2), K 4 = hf (t n + h, Y n + K 3 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 6( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4, Fel: O(h 5 ) för ett steg, O(h 4 ) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Eulers implicita metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T Den implicita mittpunktsmetoden Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n h, Y n K 1), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Allmänt om RK-metoder c 1 A(1,1) A(1,2) A(1,s) c 2 A(2,1) A(2,2) A(2,s) c s A(s,1) A(s,2) A(s,s) b 1 b 2 b s K i = hf (t n + c i h, Y n + s j=1 A(i, j)k j), i = 1,..., s; Y n+1 = Y n + s i=1 b ik i s j=1 A(i, j) = c i och s i=1 b i = 1. Metoden är explicit om A(i, j) = 0 då j i annars implicit. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

13 Det enklaste randvärdesproblemet y (x) + λy(x) = 0, 0 < x < 1 { α1 y(0) α 2 y (0) = 0 Feluppskattning: Räkna på två olika sätt, tex. med olika metoder eller ett steg med h, två steg med h 2. Skillnaden mellan resultaten kan användas som en uppskattning av felet i den bättre metoden. y(1) + β 2 y (1) = 0 där α α2 2 > 0 och β2 1 + β2 2 > 0. Det finns (egenvärden) λ 1 < λ 2 <... och (egen)funktioner y n så att om y är en lösning och y 0 så är λ = λ n och y = cy n för något tal n y m (x)y n (x) dx = 0, m n Varje funktion f så att 1 0 f (x) 2 dx < kan skrivas som f (x) = n=1 c 1 1 ny n (x) där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)f (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Variabelbyte då v(y, s) = u u t (x, t) = κu xx (x, t), a < x < b, t > 0 v s (y, s) = v yy (y, s), 0 < y < 1, s > 0 ) ( ) (a + y(b a), (b a)2 κ s dvs. u(x, t) = v x a b a, κ t. (b a) 2 Serielösning med egenfunktioner u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = u(1, t) + β 2 u x (1, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 u(x, t) = c n e λnt y n (x) n=1 1 1 där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)u 0 (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

14 Diffusionsekvationen, forts. u t (x, t) = u xx (x, t) + f (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = g 1 (t), t > 0 u(1, t) + β 2 u x (1, t) = g 2 (t), t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 w(x, t) är en funktion så att w(0, t) α 2 w x (0, t) = g 1 (t), w(1, t) + β 2 w x (1, t) = g 2 (t) f (x, t) w t (x, t) + w xx (x, t) = f n (t)y n (x) u 0 (x) w(x, 0) = u(x, t) = n=1 c n y n (x) n=1 ( c n e λnt + t 0 n=1 ) e λn(t s) f n (s) ds y n (x) + w(x, t) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Diffusionsekvationen på reella axeln Om t.ex. u(x, t) är begränsad då x R och t > 0 så är u t (x, t) = u xx (x, t), x R, t > 0 u(x, t) = 1 2 πt u(y, 0) = lim t 0+ u(y, t) e (x y)2 4t u(y, 0) dy G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 En explicit metod för diffusionsekvationen U(m, n + 1) U(m, n) t = U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) ifall t ( x) En implicit metod för diffusionsekvationen (Crank-Nicholson) U(m, n + 1) U(m, n) t = 1 U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) 2 ( x) U(m + 1, n + 1) 2U(m, n + 1) + U(m 1, n + 1) 2 ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) (men inga begränsningar på behövs). t ( x) 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

15 Finita element metoden (FEM), grundide d dx (a(x)u (x)) + c(x)u(x) = f (x), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 om a(x) > 0 och c(x) 0 så är u är lösningen till minimeringsproblemet: min v V 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V = { v : [0, 1 R : v(0) = v(1) = 0, 1 0 v (s) 2 ds < } Approximation: Man bestämmer istället lösningen u h till minimeringsproblemet: FEM, forts. 1 0 ( a(x)u h (x)v (x) + c(x)u h (x)v(x) f (x)v(x) ) dx = 0, v V h Enklaste fallet: 0 = x 0 < x 1 <... < x M = 1 och V h = { v : v : [0, 1 R är kontinuerlig, v(0) = v(1) = 0, v (x) är konstant då x (x j 1, x j ), j = 1,..., M }. min v V h 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V h V är ett delrum med ändlig dimension. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1. MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Egenvärden, egenvektorer

Egenvärden, egenvektorer Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe

Läs mer

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp 6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet

Läs mer

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U = MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga

Läs mer

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn

Läs mer

Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33

Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II

ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II ANTECKNINGAR - LINJÄR ALGEBRA II OLOF BERGVALL Contents Vektorrum och delrum Vektorrum I Vektorrum II 6 Delrum 9 4 Övningar 4 Linjärt oberoende, baser och koordinater 5 Linjärt oberoende 5 Baser 7 Koordinater

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: 1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

A = x

A = x Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Norm och QR-faktorisering

Norm och QR-faktorisering Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.

Läs mer