Mat Grundkurs i matematik 3-II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mat Grundkurs i matematik 3-II"

Transkript

1 Mat Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november Matriser Grundläggande definitioner LU-uppdelningen Linjärt oberoende, baser Linjära avbildningar Egenvärden Projektioner QR-uppdelningen Matrisnormer Singulärvärdesuppdelning Pseudoinvers Principalkomponenter Differentialekvationer Linjära differentialekvationssystem Stabilitet Numeriska metoder för differentialekvationer Randvärdesproblem G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 3 Partiella differentialekvationer Diffusionsekvationen Numeriska metoder Finita element metoden Matriser, indexering A(1, 1) A(1, 2)... A(1, n) A(2, 1) A(2, 2)... A(2, n) A =.... = [A(j, k) = [a jk A(m, 1) A(m, 2)... A(m, n) är en m n-matris. A(j, :) är rad j och A(:, k) är kolumn k i matrisen A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

2 Räkneoperationer Transponering: B = A T B(j, k) = A(k, j) Summa A + B = C: A, B och C m n-matriser, C(j, k) = A(j, k) + B(j, k) Multiplikation med en skalär, λa = C: C(j, k) = λa(j, k) Produkt C = AB: A är en m n-, B en n p- och C en m p-matris, C(j, k) = n q=1 A(j, q)b(q, k) Hermiteskt konjugat, A T = C: C(j, k) = A(k, j), dvs. transponering och komplex konjugering Obs! (λa + µb) T = λa T + µb T, (λa + µb) T = λa T + µb T. Egenskaper hos matrisprodukten (AB) T = B T A T A(BC) = (AB)C I allmänhet är AB BA Några definitioner ifall A är m n, B är n p och C är p q 0 m n eller endast 0 är en m n-matris, vars alla element är 0 I m m eller vanligtvis endast I är en m m-matris, vars alla diagonalelement är 1, dvs. { 1, ifall j = k, I (j, k) = 0, ifall j k. AI = IA = A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Observera Elementen i en matris kan också vara matriser, tex.: En m n matris kan behandlas som en m 1 matris vars element är 1 n matriser, dvs. radvektorer. En m n matris kan behandlas som en 1 n matris vars element är m 1 matriser, dvs. (kolumn)vektorer. Produkten av en matris och en vektor: x 1 x 1 x 2 A. = [ A(:, 1)... A(:, n) x 2. = x 1A(:, 1) x n A(:, n) x n x n så AX är alltså en linjär kombination av kolumnvektorerna i A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Olika typer av matriser En n n matris A är kvadratisk; inverterbar eller reguljär ifall det finns en (invers) matris A 1 så att AA 1 = A 1 A = I men det räcker att kontrollera att AA 1 = I eller A 1 A = I ; en diagonalmatris ifall A(j, k) = 0 då j k; en uppåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j > k; en nedåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j < k; symmetrisk ifall A T = A; skevsymmetrisk ifall A T = A; ortogonal ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1 ; hermitesk ifall A T = A; skevhermitesk ifall A T = A; unitär ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

3 (AB) 1 = B 1 A 1 Om A är kvadratisk så är A 0 = I och då n > 0 är A n = AA }{{... A } n A n = A } 1 A 1 {{... A 1 } n (A n ) 1 = A n A n A m = A n+m och (A n ) m = A nm men i allmänhet är (AB) n A n B n Linjära ekvationssystem AX = B Kan lösas med Gauss metod där man genom radoperationer omvandlar koefficientmatrisen till trappstegsform. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 LU-uppdelningen Om A är en m n matris så kan man skriva där PA = LU P är en m m permutationsmatris som byter rader, dvs. på varje rad och varje kolumn i P finns en 1, resten 0; L är en m m nedåt triangulär matris med 1 på diagonalen, dvs. L(j, j) = 1, L(j, k) = 0 då k > j; U är en m n matris i trappstegsform, dvs. om U(p, k p ) 0 och U(p, k) = 0 då k < k p ((p, k p ) ett pivot-element) så är U(j, k) = 0 då j > p och k k p. Vektorrum Ett vektorrum W är en mängd sådan att två element (vektorer) i W kan adderas och varje element (vektor) kan multipliceras med ett tal (reellt tal i ett reellt vektorrum, komplext i ett komplext) och alla förnuftiga räkneregler gäller. Tex. R n = { (x 1,..., x n ) : x j R } och R n 1 = { [ x 1... x n T : xj R } är (reella) vektorrum Delrum V är ett delrum av vektorrummet W ifall 0 V och αu + βv V då u, v V Ekvationssystemet LUX = B löser man genom att först lösa Y ur systemet LY = B och sedan X ur systemet UX = Y (om det lyckas). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

4 Linjärt oberoende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt oberoende ifall v 1 + α 2 v α m v m = 0 = α 2 =... = α m = 0 dvs. v 1 + α 2 v α m v m = 0 endast då = α 2 =... = α m = 0 Linjärt beroende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt beroende ifall de inte är linjärt oberoende, dvs. (åtminstone) en av vektorerna kan skriva som en linjär kombination av de andra, dvs. v j = v β j 1 v j 1 + β j+1 v j v m Linjärt hölje Vektorrummet som spänns upp (genereras) av w 1, w 2,..., w n dvs. det linjära höljet av dessa vektorer är (K = R eller C) { w 1 + α 2 w α n w n :, α 2,..., α n K } Bas Vektorerna v 1, v 2,..., v m bildar en bas för vektorrummet W dvs. de är basvektorer ifall de är tillräckligt men inte för många: spänner upp W de är linjärt oberoende (vektorer i W) varje vektor w i W kan skrivas på ett entydigt sätt i formen w = v 1 + β 2 v v m. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Dimension Dimensionen av ett vektorrum W är antalet vektorer i någon (dvs. varje) bas Koordinater Om (v 1, v 2,..., v m ) är en bas i W och w = v 1 + β 2 v v m så är [... T koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) Basbyte Antag att (u 1, u 2,..., u m ) och (v 1, v 2,..., v m ) är baser för W så att [ u1 u 2... u m = [ v1 v 2... v m A Om [... α m T är koordinaterna för w i basen (u1, u 2,..., u m ) och om [... T är koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) så är [ v1... v m. = w = [ u 1... u m. = [ v 1... v m A. α m α m. = A. α m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

5 De fyra fundamentala rummen N (A), R(A), N (A T ), R(A T ) Om A är en m n matris och K = R eller C så är N (A) = { X K n 1 : AX = 0 } K n 1 matrisens nollrum R(A) = { AY : Y K n 1 } K m 1 är matrisens kolumnrum eller bildrum N (A T ) = { X K m 1 : A T X = 0 } K m 1 R(A T ) = { A T Y : Y K n 1 } K n 1 Om PA = LU så är dim(r(a)) = dim(r(a T )) antalet pivot-element i U dim(n (A)) antalet kolumner i U utan pivot-element dim(n (A T )) antalet rader med bara nollor i U dim(r(a)) = dim(r(a T )) är matrisens rang N (A) + R(A T ) = K n 1, N (A) R(A T ) och dim(n (A)) + dim(r(a T )) = n N (A T ) + R(A) = K m 1, N (A T ) R(A) och dim(n (A T )) + dim(r(a)) = m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Definition Om V och W är två vektorrum så är T : V W en linjär funktion eller avbildning om T (αu + βv) = αt (u) + βt (v). Linjära avbildningar och matriser Antag att T : V W är en linjär avbildning, (v 1,..., v n ) är en bas i V och (w 1,..., w m ) är en bas i W och u = [ v 1... v n. och T (u) = [ w 1... w m. α n Om nu A(:, j) är koordinaterna för T (v j ) i basen (w 1,..., w m ) så är. = A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 α n Basbyte Om A är m n matrisen för en linjär avbildning T i baserna (e 1,..., e n ) och (f 1,..., f m ) och [ v1... v n = [ e1... e n V [ w1... w m = [ f1... f m W så blir matrisen för avbildningen i baserna (v 1,..., v n ) och (w 1,..., w m ) W 1 AV. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

6 Varför? u = [ v 1... v n. α n = [ e 1... e n V T (u) = [ w 1... w m. AV. α n = W. W 1 AV. α n = [ f 1... f m W. α n =.. Egenvärden Ifall AX = λx och X 0 så är λ ett egenvärde till A och X är en egenvektor Karakteristiska polynom Om A är en m m-matris så är det(a λi ) är A:s karakteristiska polynom λ ett egenvärde till A det(a λi ) = 0 Linjärt oberoende egenvektorer Om matrisen A har egenvärdena λ 1, λ 2,... λ m och λ i λ j då i j så är det motsvarande egenvektorerna X 1, X 2,... X m linjärt oberoende Egenvärden till symmetriska matriser Egenvärden till en symmetrisk (och reell) matris är reella och egenvektorer (som hör till olika egenvärden) är ortogonala mot varandra. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Diagonalisering Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1, λ 2,..., λ n och egenvektorer X 1, X 2,..., X n och om matrisen V, där V (:, j) = X j, är inverterbar dvs., egenvektorerna är linjärt oberoende så är λ V 1 0 λ AV = λ n λ λ A = V V λ n λ k A k 0 λ k = V V λ k n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Similära matriser Om A är en m m-matris och S är en inverterbar m m-matris så har matriserna A och S 1 AS samma egenvärden. Matriserna A och S 1 AS sägs vara similära. Egenvärden för triangulära matriser Om A är en uppåt eller nedåt triangulär kvadratisk matris (isynnerhet en diagonal matris) så är A:s egenvärden elementen på diagonalen i A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

7 Projektioner Antag att kolumnerna i (den reella) m n-matrisen A är linjärt oberoende Då är den ortogonala projektionen på A:s kolumnrum Defintion Avbildningen X PX är en projektion om Ortogonal projektioner P 2 = P En projektion X PX är ortogonal om PX X PX, dvs. (PX ) T (X PX ) = 0 P är symmetrisk G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 P = A(A T A) 1 A T. Den ortogonala projektionen på delrummet av R m 1 som är ortogonalt (vinkelrätt) mot A:s kolumner är I P. Om kolumnerna i matrisen A är ortonormala ( A T A = I ) dvs. de har längden 1 och är vinkelräta mot varandra så är projektionen på A:s kolumnrum P = AA T Om A är en m 1 kolumnvektor så är PX = AT X A T A A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 QR-uppdelningen Om A är en (reell) m n-matris kan man skriva A = QR där Q är en m p matris med ortonormala kolumner dvs. Q(:, j) T Q(:, k) = 0 då j k och Q(:, j) T Q(:, j) = 1. R är en p n uppåt triangulär matris i trappstegsform utan någon rad med endast nollor och där p är A:s rang. Om p < m kan matrisen Q kompletteras till en m m ortogonal matris och då kompletteras R med m p rader med nollor. Antag att A = QR där R inte har någon rad med bara nollor. Då är Kolumnvektorerna i matrisen Q en ortonormal bas för A:s kolumndvs. bildrum QQ T en ortogonal projektion på A:s kolumnrum. Vektornormer En funktion : V R (där V är ett vektorrum) är en norm ifall u + v u + v αu = α u u 0 och u = 0 u = 0 Om och är normer i V och dim(v) < så finns det konstanter c och c så att v c v och v c v, v V Exempel på normer Om X K n 1 (K = R eller C) så är X 1 = n j=1 X (j, 1) n X 2 = j=1 X (j, 1) 2 X = max 1 j n X (j, 1) normer i K n 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

8 Matrisnormer Om A är en m n matris och p är en norm i K n 1 så är en norm i K m n. Definition A p def = max X p=1 AX p AB p A p B p. lim A n = B lim A n B = 0 n n Exempel på matrisnormer Om A är en m n (reell) matris så är A 1 = max m 1 k n j=1 A(j, k) A = max n 1 j m k=1 A(j, k) A 2 = Matrisens AA T (eller A T A) största egenvärde Konditionstal Om A är en m m matris och och p är en norm i K m m så är A:s konditionstal κ p (A) = A p A 1 p med κ p (A) = om A inte är inverterbar G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Singulärvärdesuppdelningen Låt A vara en (reell) m n-matris. Då finns det en m m ortogonal matris U en n n ortogonal matris V en m n diagonal matris S (dvs. S(i, j) = 0 när i j) så att S(1, 1) S(2, 2)... S(p, p) 0 där p = min{m, n} och en singulärvärdesuppdelning av A är Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så är A T = VS T U T A 1 = VS 1 U T om m = n och S(m, m) > 0 A 2 = S(1, 1) S(1, 1) κ 2 (A) = om m = n och S(m, m) > 0 S(m, m) A = USV T Obs! Om A = USV T är en singulårvärdesuppdelning av A så kan man skriva q A = S(j, j)u(:, j)v (:, j) T, j=1 ifall S(j, j) = 0 då j = q + 1,..., min{n, m}. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så att q av singulärvärdena S(j, j) är positiva dvs. S(q, q) > 0 men S(j, j) = 0 då j > q, så är vektorerna U(:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A) U(:, k), k = q + 1,... m en ortonormal bas för N (A T ) V (:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A T ) V (:, k), k = q + 1,... n en ortonormal bas för N (A) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

9 Pseudoinvers Låt A vara en m n (reell) matris med singulärvärdesuppdelning A = USV T S + är n m- diagonal matrisen { med 1 S + S(j,j), då j = k och S(j, j) > 0 (j, k) = 0, då j k eller S(j, j) = 0 A:s pseudoinvers är då A + = VS + U T Om A är kvadratisk och inverterbar så är A + = A 1 Pseudoinversen och ekvationssystem A + B är den kortaste vektorn som minimerar AX B 2 dvs. om X = A + B så är AX B 2 A X B 2 om AX B 2 = A X B 2 så är X 2 X 2 Obs! Singulärvärdesuppdelningen är inte entydig, men pseudoinversen A + av en matris A är entydig och bestäms också av villkoren A + AA + = A +, AA + A = A, A + A och AA + är symmetriska. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Minsta kvadratsummor eller principalkomponenter Problem: Punkterna (x j, y j ) j = 1,..., n är givna, bestäm den räta linje som ligger närmast dem, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till linjen är liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen x = 1 n n j=1 x j och y = 1 n n j=1 y j. Bilda matrisen A med A(1, j) = x j x, A(2, j) = y j y. Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Linjen har riktningsvektor U(:, 1) och normal U(:, 2) och går genom (x, y) Räkning för hand: Bilda matrisen A. Beräkna matrisens AA T största egenvärde. Beräkna en egenvektor som hör till detta egenvärde. Denna vektor är linjens riktningsvektor. Principalkomponenter forts. Problem: Vektorerna X j R m 1, j = 1,..., n är givna. Bestäm vektorn X 0 och det p-dimensionella (p < m) delrum som ligger närmast X j X 0, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till delrummet är så liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen X 0 = 1 n n j=1 X j Bilda matrisen A med A(:, j) = X j X 0 Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Delrummet spänns upp av U(:, k), k = 1,..., p G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

10 Den enklaste linjära ekvationen En formel för lösningen Y (t) = AY (t) Y (t) = e At Y (0) Y (t) = AY (t) + F (t), Y (t 0 ) = Y 0 n=0 Y (t) = e A(t t 0) Y 0 + t Matrisexponenten e B 1 = n! Bn = I + B B B t 0 e A(t s) F (s) ds e A+B = e A e B ifall AB = BA så att e A(t+s) = e At e As men i allmänhet är e A+B e A e B Exponentmatris genom diagonalisering λ λ B = V V λ n e λ e B 0 e λ = V V e λn G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Cayley-Hamiltons teorem det(b λi ) = p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n b 1 λ + b 0 p(b) = ( 1) n B n + b n 1 B n b 1 B + b 0 I = 0 Cayley-Hamiltons teorem och exponentmatrisen Om f (x) = n=0 a nx n, tex. f (x) = e x och B är en n n matris så gäller f (B) = a n B n = c 0 I + c 1 B c n 1 B n 1 n=0 där koefficienterna c j är lösningen till ekvationssystemet f (λ j ) = c 0 + c 1 λ j c n 1 λ n 1 j, j = 1, 2,..., n, där λ j är matrisens B egenvärden. Om λ j är ett k-dubbelt egenvärde till B så är λ j ett k-dubbelt nollställe för funktionen f (x) (c 0 + c 1 x c n 1 x n 1 ), dvs. om tex. k = 2, λ j = λ j+1 och f (x) = efn x får man förutom ekvationen e λ j också ekvationen e λ j = c 0 + c j λ j c n 1 λ n 1 j = c 1 + 2c 2 λ j (n 1)c n 1 λ n 2 j. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1,..., λ n och linjärt oberoende egenvektorer X 1,..., X n så kan varje lösning till ekvationen Y (t) = AY (t) skrivas i formen Y (t) = c 1 e λ 1t X c n e λnt X n. Om A är en n n-matris med egenvärden λ j och Re (λ j ) µ, j = 1,..., n och A har n linjärt oberoende egenvektorer så gäller e At ce µt, t 0. Om A högst har ett k-dubbelt egenvärde gäller e At c(1 + t k 1 )e µt, t 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

11 Jämviktspunkter Om F (Y ) = 0 så är Y en jämviktspunkt till differentialekvationen Y (t) = F (Y (t)) Om Y (t) = AY (t) + F (t), A har egenvärden λ j med Re (λ j ) < 0, j = 1,..., n och lim t F (t) = F så gäller lim t Y (t) = Y där (jämviktslösningen) Y uppfyller ekvationen AY + F = 0 och Y (t) = Y är då en (konstant) lösning. Stabila jämviktspunkter En jämviktspunkt Y till Y (t) = F (Y (t)) är stabil ifall för varje ɛ > 0 det finns ett tal δ > 0 så att om Y (0) Y < δ så är Y (t) Y < ɛ för alla t 0 och den är asymptotiskt stabil om dessutom lim t Y (t) = Y då Y (0) Y < δ (där δ > 0). Det endimensionella fallet y (t) = f (y(t)) Om f är kontinuerlig, f (y ) = 0 och för något tal δ > 0 gäller f (y) > 0 då y (y δ, y ) och f (y) < 0 då y (y, y + δ) (dvs. speciellt om f (y ) < 0) så är y en asymptotiskt stabil jämviktslösning G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Stabilitetskriterium Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och egenvärdena för F (Y ) alla har negativ reell del så är Y en asymptotiskt stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och F (Y ) har (åtminstone) ett egenvärde med positiv reell del så är Y inte en stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om egenvärdena har en imaginär del som inte är noll kan lösningen väntas gå som en spiral. Varför? Om Y (t) Y är liten så gäller Y (t) = F (Y (t)) = F (Y (t)) F (Y ) F (Y )(Y (t) Y ) och hur lösningarna till differentialekvationen Z (t) = F (Y )Z(t) uppför sig bestäms av matrisens F (Y ) egenvärden. O(g(h)) Med beteckningen O(g(h)) avses någon funktion f (h) som är sådan att det finns en konstant C så att f (h) C g(h), och om det inte sägs ut skall man av sammanhanget förstå att detta skall gälla tex. då h 0+, dvs. det finns en konstant h 0 så att olikheten ovan gäller då 0 < h h 0. Detta innebär tex. att O(h) + O(h 2 ) = O(h) då h 0+, men de två O(h) som finns i detta uttryck är inte samma funktioner. Eulers metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h Y n+1 = Y n + hf (t n, Y n ), Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

12 Eulers modifierade eller Heuns metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 2( K1 + K 2, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Runge-Kuttas metod (av fjärde ordningen) Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n h, Y n K 1), K 3 = hf (t n h, Y n K 2), K 4 = hf (t n + h, Y n + K 3 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 6( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4, Fel: O(h 5 ) för ett steg, O(h 4 ) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Eulers implicita metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T Den implicita mittpunktsmetoden Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n h, Y n K 1), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Allmänt om RK-metoder c 1 A(1,1) A(1,2) A(1,s) c 2 A(2,1) A(2,2) A(2,s) c s A(s,1) A(s,2) A(s,s) b 1 b 2 b s K i = hf (t n + c i h, Y n + s j=1 A(i, j)k j), i = 1,..., s; Y n+1 = Y n + s i=1 b ik i s j=1 A(i, j) = c i och s i=1 b i = 1. Metoden är explicit om A(i, j) = 0 då j i annars implicit. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

13 Det enklaste randvärdesproblemet y (x) + λy(x) = 0, 0 < x < 1 { α1 y(0) α 2 y (0) = 0 Feluppskattning: Räkna på två olika sätt, tex. med olika metoder eller ett steg med h, två steg med h 2. Skillnaden mellan resultaten kan användas som en uppskattning av felet i den bättre metoden. y(1) + β 2 y (1) = 0 där α α2 2 > 0 och β2 1 + β2 2 > 0. Det finns (egenvärden) λ 1 < λ 2 <... och (egen)funktioner y n så att om y är en lösning och y 0 så är λ = λ n och y = cy n för något tal n y m (x)y n (x) dx = 0, m n Varje funktion f så att 1 0 f (x) 2 dx < kan skrivas som f (x) = n=1 c 1 1 ny n (x) där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)f (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Variabelbyte då v(y, s) = u u t (x, t) = κu xx (x, t), a < x < b, t > 0 v s (y, s) = v yy (y, s), 0 < y < 1, s > 0 ) ( ) (a + y(b a), (b a)2 κ s dvs. u(x, t) = v x a b a, κ t. (b a) 2 Serielösning med egenfunktioner u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = u(1, t) + β 2 u x (1, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 u(x, t) = c n e λnt y n (x) n=1 1 1 där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)u 0 (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

14 Diffusionsekvationen, forts. u t (x, t) = u xx (x, t) + f (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = g 1 (t), t > 0 u(1, t) + β 2 u x (1, t) = g 2 (t), t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 w(x, t) är en funktion så att w(0, t) α 2 w x (0, t) = g 1 (t), w(1, t) + β 2 w x (1, t) = g 2 (t) f (x, t) w t (x, t) + w xx (x, t) = f n (t)y n (x) u 0 (x) w(x, 0) = u(x, t) = n=1 c n y n (x) n=1 ( c n e λnt + t 0 n=1 ) e λn(t s) f n (s) ds y n (x) + w(x, t) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 Diffusionsekvationen på reella axeln Om t.ex. u(x, t) är begränsad då x R och t > 0 så är u t (x, t) = u xx (x, t), x R, t > 0 u(x, t) = 1 2 πt u(y, 0) = lim t 0+ u(y, t) e (x y)2 4t u(y, 0) dy G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 En explicit metod för diffusionsekvationen U(m, n + 1) U(m, n) t = U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) ifall t ( x) En implicit metod för diffusionsekvationen (Crank-Nicholson) U(m, n + 1) U(m, n) t = 1 U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) 2 ( x) U(m + 1, n + 1) 2U(m, n + 1) + U(m 1, n + 1) 2 ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) (men inga begränsningar på behövs). t ( x) 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

15 Finita element metoden (FEM), grundide d dx (a(x)u (x)) + c(x)u(x) = f (x), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 om a(x) > 0 och c(x) 0 så är u är lösningen till minimeringsproblemet: min v V 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V = { v : [0, 1 R : v(0) = v(1) = 0, 1 0 v (s) 2 ds < } Approximation: Man bestämmer istället lösningen u h till minimeringsproblemet: FEM, forts. 1 0 ( a(x)u h (x)v (x) + c(x)u h (x)v(x) f (x)v(x) ) dx = 0, v V h Enklaste fallet: 0 = x 0 < x 1 <... < x M = 1 och V h = { v : v : [0, 1 R är kontinuerlig, v(0) = v(1) = 0, v (x) är konstant då x (x j 1, x j ), j = 1,..., M }. min v V h 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V h V är ett delrum med ändlig dimension. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat Grundkurs i matematik 3-II 23 november / 58

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer

Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Torsdag 28 aug 2008 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 8-8-8 DAG: Torsdag 8 aug 8 TID: 8.3 -.3 SAL: M Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v].

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v]. REPETITION (1) Låt F : R n R m vara en linjär avbildning. Då är F (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) där f 1 (x 1,..., x n ) = a 11 x 1 +... + a 1n x n,..., f m (x 1,...,

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer