Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0"

Transkript

1 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen skriver om att diagonalisera matriser, är det alltså underförstått att matriserna är kvadratiska. Definition 3 En linjär avbildning F sägs vara diagonaliserbar, om det finns en bas i vilken avbildningsmatrisen för F blir en diagonalmatris. Enl. utredning på sid. 11 Sats 4 En linjär avbildning F : R n R n är diagonaliserbar om och endast om F :s egenvektorer är tillräckligt många för att man av dem skall kunna sätta ihop en bas för R n. Definition 5 Matrisen A sägs vara diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris S sådan att S 1 AS = diagonalmatris D Diagonaliserbarhet Tyvärr är inte alla avbildningar/matriser diagonaliserbara: 39. Kontrollera att egenvektorerna till µ inte räcker för att bilda en bas för R. I viss mening är de icke-diagonaliserbara matriserna undantagsfall: Sats 6 Egenvektorer som hör till olika egenvärden är alltid linjärt oberoende. Alltså: Om karaktäristiska polynomet inte har några multipla nollställen, så har vi lika många olika egenvärden som polynomets grad, d.v.s. lika många som matrisens ordning, d.v.s. rummets dimension och då räcker motsvarande egenvektorer för att bilda en bas. Bevis för satsen i fallet av 3 vektorer: Låt v 1, v, v 3 vara egenvektorer till A med egenvärden λ 1, λ,. resp. λ 3. v 1, v, v 3 är linjärt oberoende c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 = 0 (7) har endast den triviala lösningen c 1 = c = c 3 =0 Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c (Av λ 1 v )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 c (λ λ 1 ) v + c 3 (λ 3 λ 1 ) v 3 = 0 Multiplicera nu på samma sätt med A λ I : c 3 (λ 3 λ 1 )(λ 3 λ ) v 3 = 0 I och med att egenvärdena är olika och v 3 6= 0, måste c 3 =0 Multiplicerar vi med A λ j I i en annan ordning, får vi på samma sätt c 1 = c =0 För att bevisa satsen för fler än tre vektorer, behövs upprepning i samma stil. 5

2 Några tillräckliga villkor för diagonaliserbarhet: Inga multipla egenvärden Reell symmetrisk matris Hermitesk matris, d.v.s. som uppfyller A = A Normal matris, d.v.s. som uppfyller Spektralsatsen För Hermiteska matriser, ochdärmedspecielltförreella symmetriska matriser, gäller: i) Kan alltid diagonaliseras ii) Finns en ON-bas av egenvektorer iii) Alla egenvärden är reella A A = AA Obs. Alla matristyperna nedan är faktiskt specialfall av normala matriser: symmetriska : A reell och A T = A Hermiteska : A = A skevsymmetriska : A reell och A T = A skevhermiteska : A = A ortogonala : A reell och A T A = I unitära : A A = I 6

3 Övningar 40. En biluthyrningsfirma hyr ut totalt 600 bilar i Halmstad, Växjö och Borås. De flesta bilarna hyrs och lämnas tillbaka på samma ställe, men firman accepterar också att en bil hyrs på en plats och återlämnas på en annan. Erfarenhetsmässigt vet man att 10% av kunderna i Halmstad vill lämna bilen i Växjö och 10% i Borås. Av kunderna i Växjö vill 40% lämna bilen i Halmstad och 10% i Borås. I Borås är det 0% som vill hyra bil till Halmstad och 10% till Växjö. Uppgiftenärnuattbeskrivahurantaletbilarpåde olika platserna varierar. Inför x n = en vektor med tre komponenter, som ger antalet hyrbilar, som står till förfogande dag n på morgonen i de tre städerna, i ordningen Halmstad, Växjö, Borås. (Vi gör det förenklande antagandet att alla bilar hyrs på morgonen och återlämnas samma kväll.) a) Förklara varför matrisen A = ger sambandet mellan x n+1 och x n. b) Kontrollera att A har egenvärdena 1.0, 0.6 och0.4. med egenvektorer (7,, 3), (1, 0, 1) resp. (1, 1, 0) c) Med ovannämnda system kommer antalet tillgängliga bilar i t.ex. Halmstad att variera från dag till dag, men visa att det finns en jämviktsfördelning om man fördelar de 600 bilarna på ett visst sätt, kommer var och en av städerna att ha lika många bilar varje dag i fortsättningen. Hur ser den jämviktsfördelningen ut? d) Firmans marknadsavdelning bedömer att efterfrågan är dubbelt så stor i Halmstad jämfört med Växjö, medan Växjö och Borås skulle vara jämbördiga. Därför föreslår man att dubbelt så många bilar placeras i Halmstad jämfört med Växjö och Borås. Går detta att förena med kravet på jämviktsfördelning? e) Är ovannämnda jämviktsfördelning stabil? Frågan är alltså: Vad händer, om vår begynnelsefördelning avviker från jämviktsfördelningen kommer vi att närma oss den? Lösning: a) Av Halmstadbilarna går 10% till Växjö och 10% till Borås, alltså stannar 80% i Halmstad. Till Halmstad kommer 40% av Växjöbilarna och 0% av Boråsbilarna. Alltså, om x n =(h n,v n,b n ), så har vi h n+1 =0.8h n +0.4v n +0.b n vilket ger första raden i matrisen. Övriga två på samma sätt. b) En jämviktsfördelning svarar mot en egenvektor med egenvärdet 1. Det har vi om bilarna fördelas i proportionerna 7::3, d.v.s. 350 bilar till Halmstad, 100 till Växjö och 150 till Borås, så kommer denna fördelning att hålla i sig. c) Nej. Marknadsavdelningen kan sägas föreslå fördelningen 6:3:3, men denna överensstämmer inte med jämviktsfördelningens 7::3. d) Begynnelsefördelningen kan vi skriva som en linjärkombination av egenvektorerna v 1, v, v 3 (egenvärden är olika, så egenvektorerna bildar säkert en bas): x 0 = c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 Då blir, om λ 1, λ, λ 3 betecknar motsv. egenvärden, x n = c 1 λ n 1 v 1 + c λ n v + c 3 λ n 3 v 3 = c 1 v 1 + c 0.6 n v + c n v c 1 v 1 Obs. att vi inte kan ha c 1 =0, eftersom med enbart v och v 3 kan vi inte åstadkomma en linjärkombination med alla komponenterna positiva. Vi kommer att närma oss jämviktsfördelningen, oavsett vilken fördelning vi startar med! Jämviktsfördelningen är (asymptotiskt) stabil. 7

4 41. Finns det några enkla samband mellan egenvärdena/egenvektorerna till en matris A och egenvärdena/egenvektorerna till dess invers A 1? Utredning: Inversen karaktäriseras av att A 1 A = AA 1 = I Om x är en egenvektor till A med egenvärdet λ, så A 1 Ax = A 1 λx x = λa 1 x A 1 x = 1 λ x d.v.s. x är också egenvektor till A 1, fast med egenvärdet 1/λ. På grund av symmetrin A är ju i sin tur invers till A 1 så har vi också omvändningen: en egenvektor till A 1 med egenvärdet λ är också egenvektor till A, fast med egenvärdet 1/λ. Divisionen 1/λ är inte möjlig när λ =0, men att en matris har egenvärdet 0 är likvärdigt med att den inte är inverterbar och då är ju frågan inte relevant. 4. Om matrisen A har egenvärdet λ, såhara egenvärdet λ. Om möjligt, generalisera! Utredning: A x = A (Ax) =Aλx = λax = λ x Alltså sant. Generalisering: Om x är en egenvektor till A med egenvärde λ, så är den också en egenvektor till A n med egenvärde λ n : A n x = λ n x 43. Om n n matriserna A och B har talen λ resp. µ som egenvärden, så har AB egenvärdet λµ. Något liknande uträkningen i fråga 4 låter sig inte göras. Försök konstruera ett motexempel! Betrakta -matriser. Säg att A är matrisen för projektion på x-axeln, medan B är matrisen för projektion på y-axeln. Var och en av dessa har egenvärdet 1, men AB = 0 har endast egenvärdet I fråga 4 såg vi att {λ 1, λ,..., λ n } = egenvärdena till A λ 1, λ,..., λ nª egenvärdena till A Då inställer sig frågan: Kan A ha andra egenvärden än kvadraterna på A:s egenvärden? Besvara den, gärna med hjälp av följande sats av Issai Schur ( ) 5 : till varje kvadratisk A finns inverterbar S, sådan att S 1 AS = triangulär matris T Egenvärdena till en linjär avbildning påverkas inte av ett basbyte A har samma egenvärden som T och A har samma egenvärden som T, eftersom A och T resp. A och T representerar samma avbildning fast i olika baser (Man skulle kunna tänka sig följande uträkning för att visa detta för paret A, T S 1 AS = T = A = STS 1 A = ST S 1 S 1 A S = T men den är faktiskt onödig!) Obs. nu att T högertriangulär = T också högertriangulär med diagonalelement = kvadraterna på T:s diagonalelement t.ex. a b c a b c = a b c oavsett vad som står på punkternas plats! Obs. vidare att T triangulär = egenvärdena är diagonalelementen 5 Schur was a superb lecturer. His lectures were meticulously prepared... [and] were exceedingly popular. I remember attending his algebra course which was held in a lecture theatre filled with about 400 students. Sometimes, when I had to be content with a seat at the back of the lecture theatre, I used a pair of opera glasses to get at least a glimpse of the speaker. (W.Ledermann) 8

5 Kombinerar vi dessa, får vi egenvärdena till A = diagonalelementen i T = kvadraterna på diagonalelem. i T = kvadraterna på A:s egenvärden 45. Låt A vara en -matris, vars determinant är negativ. Visa att A kan diagonaliseras. Lösning: Det karaktäristiska polynomet för en -matris A p (λ) =λ (...) λ +deta Sambandet mellan rötter och koefficienter för ett polynom ger att det A = λ 1 λ Om det A<0, så p (0) < 0 och eftersom p (λ), när λ ±, så måste det finnas två olika reella rötter. Då finns två linjärt oberoende egenvektorer ochderäckertillförenbasir. 46. Anta att kolonnerna s 1, s,..., s n imatrisen S = s 1 s... s n är allihop egenvektorer till n n-matrisen A och att de bildar en bas för R n (d.v.s. att S är inverterbar). Låt p (x) vara ett godtyckligt polynom. Då är p (A) =p (λ 1 ) s 1 s T 1 + p (λ ) s s T p (λ n ) s n s T n Invarianter (Betraktar här endast avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser.) 47. Vi har konstaterat att siffrorna i en avbildningsmatris beror i allra högsta grad på hur man valt sin bas (koordinatsystem). Då skulle man kunna tro att om man beräknar determinanterna av två matriser som representerar samma avbildning fast i olika baser, så skulle man i allmänhet få olika resultat. Men si man får alltid samma värde : det S 1 AS = dets 1 det A det S = = 1 det A det S = det S = deta Därför kan vi prata om determinanten av en linjär avbildning : det spelar ingen roll vilken av alla matrisrepresentationer vi tar determinanten blir densamma. 48. Inlämningsuppgift till den 19/9. Visa att även spåret (se sid. ) uppför som determinanten att olika matrisrepresentationer av en och samma avbildning har samma spår. 49. Inlämningsuppgift till den 19/9. I Mathematics Handbook, sid.109 hittar man följande formel för rotationsvinkeln α för rotation i 3 dimensioner, representerad av matrisen R : cos α = 1 (tr R 1) Hurförklararduden? 9

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs) Fö : November 4, 7 Egenvärde och egenvektor Definition s 9: Låt A resp T : R n R n vara en n n-matris resp en linjär avbildning En icke-trivial vektor v R n kallas en egenvektor till A resp till T med

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Egenvärden, egenvektorer

Egenvärden, egenvektorer Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN 9 SPEKTRALSATSEN 9. Spektralsatsen 9.. Spektralsatsen Symmetriska avbildningar är en viktig klass av linjära avbildningar. Vi kommer nedan att formulera ett antal viktiga resultat för dessa avbildningar

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

1 Diagonalisering av matriser

1 Diagonalisering av matriser 1 Diagonalisering av matriser Kan alla matriser diagonaliseras? Nej, det kan de inte. Exempel: ẋ 1 = x 1 + 2x 2, Integrerande faktor: e t x 2 = x 2 x 2 (t) = c 2 e t och ẋ 1 x 1 = 2c 2 e t. e t x 1 e t

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2.

x + y z = 2 2x + 3y + z = 9 x + 3y + 5z = Gauss-Jordan elemination ger: Area = 1 2 AB AC = 4. Span(1, 1 + x, x + x 2 ) = P 2. 1 Matematiska Institutionen KTH Exam for the course Linjär algebra, 5B1307, Januari 14, 008, 14:00-19:00 Kursexaminator: Sandra Di Rocco Minst 15 poäng ger betyg 3, minst poäng ger betyg 4 och mins 8 poäng

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjär Algebra F14 Determinanter

Linjär Algebra F14 Determinanter Determinanter Basbyte Linjär Algebra F14 Determinanter Pelle 2016-02-29 Determinanter 2 2-matriser ( ) a11 a A = 12 = (A a 21 a 1 A 2 ) 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = det(a 1 A 2 ) = a 11 a 22 a 12 a

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

Norm och QR-faktorisering

Norm och QR-faktorisering Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att Egensystem Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner Potens av matris 2 6 Ex Givet matrisen A =, vad är A 2? Det är komplicerat att beräkna högre

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

A = x

A = x Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,

Läs mer

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0

8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0 Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och

Läs mer

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp

6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp 6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Linjär algebra Föreläsning 10

Linjär algebra Föreläsning 10 Linjär algebra Föreläsning 10 IT-programmet, Chalmers 2006 Samuel Bengmark Repetition Handlade om kvadratiska matriser. Kvadratiska ekvationssystem har: Unik lösning omm Det(A) 0. Har oändligt antal lösningar

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn

Läs mer

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U = MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga

Läs mer

Tentamen TMV140 Linjär algebra Z

Tentamen TMV140 Linjär algebra Z Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi

Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi KAPITEL 9 Kort repetition av basbyte, nu med modern teknologi Vi kommer i detta kapitel att diskutera vektorer i planet och i rummet. När vi har valt en fix bas B u = (e 1,e 2,e 3 ) i t ex rummet kan vi

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II

Prov i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet 1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:

Läs mer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3 ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6 TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och

Läs mer