Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0"

Transkript

1 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen skriver om att diagonalisera matriser, är det alltså underförstått att matriserna är kvadratiska. Definition 3 En linjär avbildning F sägs vara diagonaliserbar, om det finns en bas i vilken avbildningsmatrisen för F blir en diagonalmatris. Enl. utredning på sid. 11 Sats 4 En linjär avbildning F : R n R n är diagonaliserbar om och endast om F :s egenvektorer är tillräckligt många för att man av dem skall kunna sätta ihop en bas för R n. Definition 5 Matrisen A sägs vara diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris S sådan att S 1 AS = diagonalmatris D Diagonaliserbarhet Tyvärr är inte alla avbildningar/matriser diagonaliserbara: 39. Kontrollera att egenvektorerna till µ inte räcker för att bilda en bas för R. I viss mening är de icke-diagonaliserbara matriserna undantagsfall: Sats 6 Egenvektorer som hör till olika egenvärden är alltid linjärt oberoende. Alltså: Om karaktäristiska polynomet inte har några multipla nollställen, så har vi lika många olika egenvärden som polynomets grad, d.v.s. lika många som matrisens ordning, d.v.s. rummets dimension och då räcker motsvarande egenvektorer för att bilda en bas. Bevis för satsen i fallet av 3 vektorer: Låt v 1, v, v 3 vara egenvektorer till A med egenvärden λ 1, λ,. resp. λ 3. v 1, v, v 3 är linjärt oberoende c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 = 0 (7) har endast den triviala lösningen c 1 = c = c 3 =0 Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c (Av λ 1 v )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 c (λ λ 1 ) v + c 3 (λ 3 λ 1 ) v 3 = 0 Multiplicera nu på samma sätt med A λ I : c 3 (λ 3 λ 1 )(λ 3 λ ) v 3 = 0 I och med att egenvärdena är olika och v 3 6= 0, måste c 3 =0 Multiplicerar vi med A λ j I i en annan ordning, får vi på samma sätt c 1 = c =0 För att bevisa satsen för fler än tre vektorer, behövs upprepning i samma stil. 5

2 Några tillräckliga villkor för diagonaliserbarhet: Inga multipla egenvärden Reell symmetrisk matris Hermitesk matris, d.v.s. som uppfyller A = A Normal matris, d.v.s. som uppfyller Spektralsatsen För Hermiteska matriser, ochdärmedspecielltförreella symmetriska matriser, gäller: i) Kan alltid diagonaliseras ii) Finns en ON-bas av egenvektorer iii) Alla egenvärden är reella A A = AA Obs. Alla matristyperna nedan är faktiskt specialfall av normala matriser: symmetriska : A reell och A T = A Hermiteska : A = A skevsymmetriska : A reell och A T = A skevhermiteska : A = A ortogonala : A reell och A T A = I unitära : A A = I 6

3 Övningar 40. En biluthyrningsfirma hyr ut totalt 600 bilar i Halmstad, Växjö och Borås. De flesta bilarna hyrs och lämnas tillbaka på samma ställe, men firman accepterar också att en bil hyrs på en plats och återlämnas på en annan. Erfarenhetsmässigt vet man att 10% av kunderna i Halmstad vill lämna bilen i Växjö och 10% i Borås. Av kunderna i Växjö vill 40% lämna bilen i Halmstad och 10% i Borås. I Borås är det 0% som vill hyra bil till Halmstad och 10% till Växjö. Uppgiftenärnuattbeskrivahurantaletbilarpåde olika platserna varierar. Inför x n = en vektor med tre komponenter, som ger antalet hyrbilar, som står till förfogande dag n på morgonen i de tre städerna, i ordningen Halmstad, Växjö, Borås. (Vi gör det förenklande antagandet att alla bilar hyrs på morgonen och återlämnas samma kväll.) a) Förklara varför matrisen A = ger sambandet mellan x n+1 och x n. b) Kontrollera att A har egenvärdena 1.0, 0.6 och0.4. med egenvektorer (7,, 3), (1, 0, 1) resp. (1, 1, 0) c) Med ovannämnda system kommer antalet tillgängliga bilar i t.ex. Halmstad att variera från dag till dag, men visa att det finns en jämviktsfördelning om man fördelar de 600 bilarna på ett visst sätt, kommer var och en av städerna att ha lika många bilar varje dag i fortsättningen. Hur ser den jämviktsfördelningen ut? d) Firmans marknadsavdelning bedömer att efterfrågan är dubbelt så stor i Halmstad jämfört med Växjö, medan Växjö och Borås skulle vara jämbördiga. Därför föreslår man att dubbelt så många bilar placeras i Halmstad jämfört med Växjö och Borås. Går detta att förena med kravet på jämviktsfördelning? e) Är ovannämnda jämviktsfördelning stabil? Frågan är alltså: Vad händer, om vår begynnelsefördelning avviker från jämviktsfördelningen kommer vi att närma oss den? Lösning: a) Av Halmstadbilarna går 10% till Växjö och 10% till Borås, alltså stannar 80% i Halmstad. Till Halmstad kommer 40% av Växjöbilarna och 0% av Boråsbilarna. Alltså, om x n =(h n,v n,b n ), så har vi h n+1 =0.8h n +0.4v n +0.b n vilket ger första raden i matrisen. Övriga två på samma sätt. b) En jämviktsfördelning svarar mot en egenvektor med egenvärdet 1. Det har vi om bilarna fördelas i proportionerna 7::3, d.v.s. 350 bilar till Halmstad, 100 till Växjö och 150 till Borås, så kommer denna fördelning att hålla i sig. c) Nej. Marknadsavdelningen kan sägas föreslå fördelningen 6:3:3, men denna överensstämmer inte med jämviktsfördelningens 7::3. d) Begynnelsefördelningen kan vi skriva som en linjärkombination av egenvektorerna v 1, v, v 3 (egenvärden är olika, så egenvektorerna bildar säkert en bas): x 0 = c 1 v 1 + c v + c 3 v 3 Då blir, om λ 1, λ, λ 3 betecknar motsv. egenvärden, x n = c 1 λ n 1 v 1 + c λ n v + c 3 λ n 3 v 3 = c 1 v 1 + c 0.6 n v + c n v c 1 v 1 Obs. att vi inte kan ha c 1 =0, eftersom med enbart v och v 3 kan vi inte åstadkomma en linjärkombination med alla komponenterna positiva. Vi kommer att närma oss jämviktsfördelningen, oavsett vilken fördelning vi startar med! Jämviktsfördelningen är (asymptotiskt) stabil. 7

4 41. Finns det några enkla samband mellan egenvärdena/egenvektorerna till en matris A och egenvärdena/egenvektorerna till dess invers A 1? Utredning: Inversen karaktäriseras av att A 1 A = AA 1 = I Om x är en egenvektor till A med egenvärdet λ, så A 1 Ax = A 1 λx x = λa 1 x A 1 x = 1 λ x d.v.s. x är också egenvektor till A 1, fast med egenvärdet 1/λ. På grund av symmetrin A är ju i sin tur invers till A 1 så har vi också omvändningen: en egenvektor till A 1 med egenvärdet λ är också egenvektor till A, fast med egenvärdet 1/λ. Divisionen 1/λ är inte möjlig när λ =0, men att en matris har egenvärdet 0 är likvärdigt med att den inte är inverterbar och då är ju frågan inte relevant. 4. Om matrisen A har egenvärdet λ, såhara egenvärdet λ. Om möjligt, generalisera! Utredning: A x = A (Ax) =Aλx = λax = λ x Alltså sant. Generalisering: Om x är en egenvektor till A med egenvärde λ, så är den också en egenvektor till A n med egenvärde λ n : A n x = λ n x 43. Om n n matriserna A och B har talen λ resp. µ som egenvärden, så har AB egenvärdet λµ. Något liknande uträkningen i fråga 4 låter sig inte göras. Försök konstruera ett motexempel! Betrakta -matriser. Säg att A är matrisen för projektion på x-axeln, medan B är matrisen för projektion på y-axeln. Var och en av dessa har egenvärdet 1, men AB = 0 har endast egenvärdet I fråga 4 såg vi att {λ 1, λ,..., λ n } = egenvärdena till A λ 1, λ,..., λ nª egenvärdena till A Då inställer sig frågan: Kan A ha andra egenvärden än kvadraterna på A:s egenvärden? Besvara den, gärna med hjälp av följande sats av Issai Schur ( ) 5 : till varje kvadratisk A finns inverterbar S, sådan att S 1 AS = triangulär matris T Egenvärdena till en linjär avbildning påverkas inte av ett basbyte A har samma egenvärden som T och A har samma egenvärden som T, eftersom A och T resp. A och T representerar samma avbildning fast i olika baser (Man skulle kunna tänka sig följande uträkning för att visa detta för paret A, T S 1 AS = T = A = STS 1 A = ST S 1 S 1 A S = T men den är faktiskt onödig!) Obs. nu att T högertriangulär = T också högertriangulär med diagonalelement = kvadraterna på T:s diagonalelement t.ex. a b c a b c = a b c oavsett vad som står på punkternas plats! Obs. vidare att T triangulär = egenvärdena är diagonalelementen 5 Schur was a superb lecturer. His lectures were meticulously prepared... [and] were exceedingly popular. I remember attending his algebra course which was held in a lecture theatre filled with about 400 students. Sometimes, when I had to be content with a seat at the back of the lecture theatre, I used a pair of opera glasses to get at least a glimpse of the speaker. (W.Ledermann) 8

5 Kombinerar vi dessa, får vi egenvärdena till A = diagonalelementen i T = kvadraterna på diagonalelem. i T = kvadraterna på A:s egenvärden 45. Låt A vara en -matris, vars determinant är negativ. Visa att A kan diagonaliseras. Lösning: Det karaktäristiska polynomet för en -matris A p (λ) =λ (...) λ +deta Sambandet mellan rötter och koefficienter för ett polynom ger att det A = λ 1 λ Om det A<0, så p (0) < 0 och eftersom p (λ), när λ ±, så måste det finnas två olika reella rötter. Då finns två linjärt oberoende egenvektorer ochderäckertillförenbasir. 46. Anta att kolonnerna s 1, s,..., s n imatrisen S = s 1 s... s n är allihop egenvektorer till n n-matrisen A och att de bildar en bas för R n (d.v.s. att S är inverterbar). Låt p (x) vara ett godtyckligt polynom. Då är p (A) =p (λ 1 ) s 1 s T 1 + p (λ ) s s T p (λ n ) s n s T n Invarianter (Betraktar här endast avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser.) 47. Vi har konstaterat att siffrorna i en avbildningsmatris beror i allra högsta grad på hur man valt sin bas (koordinatsystem). Då skulle man kunna tro att om man beräknar determinanterna av två matriser som representerar samma avbildning fast i olika baser, så skulle man i allmänhet få olika resultat. Men si man får alltid samma värde : det S 1 AS = dets 1 det A det S = = 1 det A det S = det S = deta Därför kan vi prata om determinanten av en linjär avbildning : det spelar ingen roll vilken av alla matrisrepresentationer vi tar determinanten blir densamma. 48. Inlämningsuppgift till den 19/9. Visa att även spåret (se sid. ) uppför som determinanten att olika matrisrepresentationer av en och samma avbildning har samma spår. 49. Inlämningsuppgift till den 19/9. I Mathematics Handbook, sid.109 hittar man följande formel för rotationsvinkeln α för rotation i 3 dimensioner, representerad av matrisen R : cos α = 1 (tr R 1) Hurförklararduden? 9

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014

LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen Ulf Janfalk 18 september 2014 LINKÖPINGS TEKNISKA HÖGSKOLA Matematiska institutionen 18 september 2014 Kursinformation Linjär Algebra för I1 och Ii1. Examinator: Kurslitteratur: Janfalk, Ulf: Linjär algebra, 2014 Examination: Efter

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor

Dagens ämnen. Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former. Andragradskurvor Seminarium 25 Dagens ämnen Repetition basbyten och linjära avbildningar Diagonalisering Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen..................

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.

Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m

Läs mer

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II Hasse Carlsson Version 2013 Inledning Syftet med linjär algebra är att studera vektorrum och linjära avbildningar mellan vektorrum.... (Här skall det stå något

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper Introduktion till Egenvärden och SVD Har detta något egenvärde? Egenvärdesproblemet Lösning till system av ODE s Egenvärdena är den viktigaste egenskapen i praktiskt taget alla dynamiska system, ofta med

Läs mer

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata

Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Stabilitet m.a.p. begynnelsedata Begreppet stabilitet används i flera olika sammanhang. I kap.9-14 tänker man på black-box system och insignal-utsignalstabilitet begränsad insignal = begränsad utsignal

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2015-04-18 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 5-4-8 DAG: Lördag 8 april 5 TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Extraövningar, linjär algebra

Extraövningar, linjär algebra Extraövningar, linjär algebra Uppgifter markerade med * kan innehålla något moment som är kursivt, medan uppgifter markerade med ** kan vara av det svårare slaget och innehålla något moment som inte ingår

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem Laboration 0: Del 2 Benjamin Kjellson 2016 03 21 Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem I den här filen får ni en kort introduktion till hur man hanterar och räknar med matriser i R,

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II

EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON 1. Introduktion Här är läsanvisningar samt kompletterande uppgifter till kursen Linjär Algebra II. Kursboken är Matrix Theory av A. Holst & V. Ufnarovski.

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II

EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON. Introduktion Här är läsanvisningar samt kompletterande uppgifter till kursen Linjär Algebra II. Kursboken är Matrix Theory av A. Holst & V. Ufnarovski.

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Algoritm, potensmetoden

Algoritm, potensmetoden Algoritm, potensmetoden Algoritm för att finna största reella egenvärde och tillhörande egenvektor till en reell matris. givet en startvektor x 0 i = 0 y i+1 = A x i x i+1 = y i+1 / y i+1 2 λ i+1 = x T

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 2-5-26 DAG: Lördag 26 maj 2 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 5 Kapitel 7, 9.5-9.7 och 8 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande

6. a) Visa att följande vektorer är egenvektorer till matrisen A = 0 2 0 0 0 0 1 1, och ange motsvarande MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA5 Vektoralgebra TEN2 Datum: juni 25 Skrivtid: 3

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Kvadratiska former. Betydelse. Definition

Kvadratiska former. Betydelse. Definition Kvadratiska former Definition Definition En kvadratisk form i 2 variabler är ett polynom i 2 variabler av typen q (x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, a, b, c konstanter Definition 2 En kvadratisk form i 3 variabler:

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

System och transformer

System och transformer System och transformer Datorlaboration 1 av Sven Spanne Reviderad ht 2003 av Amiran Ambroladze och Jan Gustavsson Inledning Programmet för denna datorövning är dels beräkning av egenvärden och egenvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26 Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16

MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 MMA129 Linear Algebra academic year 2015/16 Assigned problems Set 1 (4) Vector spaces 1. Which of the sets equipped with the operations addition and scalar multiplication M a = {(x 1 x 2 ) R 2 : 3x 1 2x

Läs mer

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003. Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik 2, 5B1116, för E och ME samt 5B1136 för I den 1 mars 24. 1. Gausselimination ger: 2 3 5 2 1 5 6 b 1 2 3 3 1 2 3 1 1 1 1 3 b/3 1 8 1

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Föreläsning 7. Felrättande koder

Föreläsning 7. Felrättande koder Föreläsning 7 Felrättande koder Antag att vi vill skicka ett meddelande som består av bokstäver a,b,c,d. Vi kan koda a,b,c,d. Antag att det finns en viss sannolikhet att en bit i ett meddelande som skickas

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer