Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
|
|
- Jonathan Fransson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33
2 1. A är en kvadratisk matris vars alla radsummor är noll. Visa att A är singulär. Låt e vara vektorn av ettor. Då är Ae = 0 A har icke-trivialt nollrum. 2/33
3 3. a) Visa attt matrisen A är singulär. A = b) Hur många lösningar har systemet Ax = [2,4,6] T? a) A[1, 1,1] T = 0. b) Ae = [2,4,6] T, dvs. oändligt många lösningar. 3/33
4 4. Beräkna A 1 då A = Inversen beräknas normalt med LU-faktorisering. Beteckna inversen med X, s.a. AX = I. Kolonnvis får vi Ax k = e k, där x k och e k är kolonn k i X resp. I. Vi har n linjära ekvationssystem att lösa. A är triangulär vilket förenklar lösningsprocessen. Vi kan i detta specialfall beräkna inversen med tre framåt substitutioner. 4/33
5 Problemet kan även lösas via ansats. En triangulär matris har en triangulär invers (om den existerar) s.a. (A 1 ) k,k = 1/a k,k. Ansatsen ger I = vilket ger systemet (visa!) = α 1 0 β γ 1 } {{ } X α 1 = 0 β +γ +1 = 0 γ 2 = 0 vilket ger α = β = 1 och γ = } {{ } A 5/33
6 5. A är kvadratisk med A 2 = 0 Visa att A är singulär. 0 = det(a 2 ) = (deta) 2 deta = 0. 6/33
7 6. Antag att A,B R n n Visa att (AB) T = B T A T samt (AB) 1 = B 1 A 1 (när A och B är ickesingulära). a) Vi visar istället (A T B) T = B T A. Detta är ekvivalent med det som efterfrågas om vi tar C = A T. Partitionera matriserna kolonnvis A = [a 1,...,a n ] och B = [b 1,...,b n ]. Vi får A T B = a 1 T a 2 T. a n T [ ] b1 b 2 b n = Transponatet av ovanstående blir a T 1 b 1 a T 2 b 1 a T n b 1 a T 1 b 2 a T 2 b 2 a T 2 b 2... = a T 1 b n a T 2 b n a T n b n a 1 T b 1 a 1 T b 2 a 1 T b n a 2 T b 1 a 2 T b 2 a 2 T b n... a T n b 1 a T n b 2 a T n b n b 1 T a 1 b 1 T a 2 b 1 T a n b 2 T a 1 b 2 T a 2 b 2 T a n... b T n a 1 b T n a 2 b T n a n vilket är lika med B T A. Likheten ovan följer av att x T y = y T x. 7/33
8 b) Det enklaste sättet är att multiplicera ihop matriserna och se att vi får enhetsmatrisen: (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I Multiplikationen från andra hållet följer analogt. 8/33
9 7. A är ickesingulär. Visa att (A 1 ) T = (A T ) 1 Vi skriver därför A T. Vi visar först att inversen är entydig. Om C är ickesingulär och CX = I, CY = I följer C(X Y) = 0, men C är ickesingulär så X Y = 0. Vidare är A T (A T ) 1 = I men det gäller även att I = A 1 A = (A 1 A) T = A T (A 1 ) T. Det följer att (A 1 ) T = (A T ) 1. 9/33
10 8. Beskriv, i punktform, hur man löser systemet [ ][ ] [ ] L1 0 x b =, B L 2 y c L 1 och L 2 är undertriangulära ickesingulära matriser. Vektorerna har partitionerats så att de passar ihop med blocken i matrisen. Systemet är ekvivalent med L 1 x = b Bx+L 2 y = c Algoritm: Lös L 1 x = b, bilda t = c Bx och lös slutligen L 2 y = t. 10/33
11 10. a) Beräkna LU-faktoriseringen av matrisen nedan. b) När är matrisen singulär? [ ] 1 a c b 11/33
12 10. a) Beräkna LU-faktoriseringen av matrisen nedan. b) När är matrisen singulär? [ ] 1 a c b = A = [ 1 a c b [ u11 l 11 l 11 u 12 l 21 u 11 l 21 u 12 +l 22 u 22 ] [ ] l11 0 = l 21 l 22 }{{} L ]. [ u11 u 12 0 u 22 ] } {{ } U l 11 u 11 = 1,l 11 u 12 = a,l 21 u 11 = c,l 21 u 12 +l 22 u 22 = b,l 11 = l 22 = 1. A = [ 1 0 c 1 ][ 1 a 0 b ca Singulär om b = ca. 12/33 ]
13 11. Visa att en symmetrisk och positivt definit matris A har: a) positiva diagonalelement; b) stor diagonal, a j,j +a k,k > 2 a j,k ; c) det till beloppet största elementet på diagonalen; d) har positiva diagonalelement, i D, i LDL T faktoriseringen (Du kan anta att den existerar). Definition: x T Ax > 0, x 0. a) Tag x = e k,e T k Ae k = a k,k. b) Med σ = sign(a j,k ) och x = e j +σe k fås x T Ax = a j,j +2σa j,k +a k,k > 0 a j,j +a k,k 2 > a j,k c) a j,k < a j,j +a k,k 2 max(a j,j,a k,k ) 13/33
14 d) Eftersom A är positivt definit kan man visa att LDL T -faktoriseringen alltid existerar (dvs. inget pivotelement kan bli noll). L är alltså ickesingulär och vi kan ta x = L T e k (e k är kolonn k i I). x kan inte vara noll (varför?) och vi får 0 < x T Ax = [L T e k ] T LDL T [L T e k ] = e T k De k = d k,k 14/33
15 13. Visa att matrisen nedan saknar LU-faktoriseringen: [ ] /33
16 13. Visa att matrisen nedan saknar LU-faktoriseringen: [ ] Gör ansatsen [ ][ l1 0 u1 u 2 l 2 l 3 0 u 3 ] = [ l 1 u 1 = 0 ] l 1 u 2 = 1, l 2 u 1 = 1 l 2 u 2 +l 3 u 3 = 0 l 1 u 1 = 0 l 1 = 0 eller u 1 = 0, men då kan inte l 1 u 2 = 0 och l 2 u 1 = 1. 16/33
17 14. Använd Choleskyfaktorisering för att avgöra för vilka α följande matris är positivt definit. [ ] α 1 A = /33
18 14. Använd Choleskyfaktorisering för att avgöra för vilka α följande matris är positivt definit. [ ] α 1 A = 1 2 Vi behöver antaga α 0 för första steget i Gausseleminationen: [ ] [ ] [ ] [ α 1 l11 0 l11 l = 21 l 2 11 ; l 11 l 21 = 1 2 l 21 l 22 0 l 22 }{{}}{{} l 21 l 11 ; l l2 22 L L T ] A = LL T, [ ] α 0 L = 1/ α För att kunna dra roten ur diagonalen 2 1/α måste α > 0 och 2 1/α > 0. Alltså α > 1/2. 18/33
19 18. u,v R n. När existerar (I uv T ) 1? Bestäm inversen när så är fallet (Den har nästan samma form som matrisen själv). a) Om matrisen är singulär existerar x 0 så att (I uv T )x = 0 dvs. x = u(v T x), dvs. x måste vara parallell med u. Tag x = u. Detta ger u = u(v T u) dvs. v T u = 1. Om v T u 1 är matrisen ickesingulär. (I uv T )(I σuv T ) = I σuv T uv T +uv T σuv T = I uv T (1+σ σv T u) Detta är enhetsmatrisen om σ = 1/(v T u 1) och v T u 1. 19/33
20 20. Visa att p, p = 1,2, verkligen är vektornormer. p = 1: 1) x 1 = n k=1 x k > 0 om x 0. 2) γx 1 = n 1 γx k = γ n 1 x k = γ x 1 3) x+y 1 = n 1 x k +y k n 1 ( x k + y k ) = n 1 x k + n 1 y k = x 1 + y 1 20/33
21 p = 2: 1) och 2) enkla, visar tredje villkoret. x+y 2 = (x+y) T (x+y) = x T x+2x T y+y T y x x 2 y 2 + y 2 2 = ( x 2 + y 2 ) 2 p = : 1) och 2) enkla, visar tredje villkoret. x+y = max x k +y k max k = x + y ( x k + y k ) max k k x k +max y k k 21/33
22 21. Visa att p, p = 1, verkligen är matrisnormer. p = 1: 1) A 1 = max j i a i,j så om A 0 finns något a i,j 0 varför A 1 > 0. 2) γa 1 = max j i γa i,j = max j i γ a i,j = γ max j i a i,j = γ A 1 3) A+B 1 = max j i a i,j +b i,j max j i ( a i,j + b i,j ) max j i a i,j +max j i b i,j = A 1 + B 1 Nu till submultiplikativiteten. Vi visar Ax 1 A 1 x 1 först. Det följer från definitionen av normen A 1 = max x 0 Ax 1 x 1 att A 1 Ax 1 x 1. Nu till AB 1. Antag att max antas för kolonn k i B: AB 1 = Ab k 1 A 1 b k 1 A 1 B 1 p = kan visas analogt. Ett trick är att A T 1 = A. 22/33
23 22. Visa att x A = (x T Ax) 1/2 definierar en vektornorm (elliptisk norm), då A är symmetisk och positivt definit. Låt A = CC T vara Choleskyfaktoriseringen av A. Då är x A = (x T Ax) 1/2 = (x T CC T x) 1/2 = ((C T x) T (C T x)) 1/2 = C T x 2 Vi kan alltså återinföra x A på tvånormen. Eftersom A är positivt definit och därmed ickesingulär är även C ickesingulär, varför C T x = 0 x = 0 Vi testar nu de tre normvillkoren: 1) x A > 0,x 0 ty C T x 2 > 0 om x 0 ty 2 är en norm. 2) αx A = αc T x 2 = α C T x 2 = α x A 3) x+y A = C T (x+y) 2 C T x 2 + C T y 2 = x A + y A 23/33
24 23. a) Visa att A max = max i,j a i,j definierar en matrisnorm, men att den ej är submultiplikativ. b) Visa att A F = ( i,j a i,j 2 ) 1/2 är en matrisnorm (Frobeniusnormen). a) 1) A max = max j,k a j,k > 0 om något a j,k 0. 2) γa max = max j,k γa j,k = γ max j,k a j,k = γ A max 3) A+B max = max j,k a j,k +b j,k max j,k ( a j,k + b j,k ) max j,k a j,k +max j,k b j,k = A max + B max Notera att denna norm inte är submultiplikativ. Tag A = ones(2). Då är AA max = 2, men A max = 1. 24/33
25 b) Låt vec(a) vara den vektor som fås om man staplar alla A:s kolonner på varandra. Vi ser att A F = vec(a) 2. 1) A F = vec(a) 2 > 0 om något a i,j 0. 2) γa F = γvec(a) 2 = γ vec(a) 2 = γ A F 3) A+B F = vec(a+b) 2 = vec(a)+vec(b) 2 vec(a) 2 + vec(b) 2 = A F + B F 25/33
26 24. Låt D = diag(d 1,...,d n ) med alla d i 0. Beräkna κ(d) (för de tre normer vi använder). 26/33
27 24. Låt D = diag(d 1,...,d n ) med alla d i 0. Beräkna κ(d). D 1 = diag(1/d 1,...,1/d n ). För en diagonalmatris gäller D = max k d k (för de tre normer vi använder). Så κ(d) = max d k max 1/d k = max d k /min d k. 27/33
28 25. Beränka κ 1 (A) som funktion av α då [ ] 1 α /33
29 25. Beränka κ 1 (A) som funktion av α då [ ] 1 α 1 1 Om α = 1 så är matrisen singulär och vi säger att κ(a) =. I annat fall gäller [ ] [ ] κ 1 (A) = 1 α 1 1 α α }{{}}{{} A 1 A 1 1 = max(1+ α,2) max(1+ α,2)/ 1 α }{{}}{{} A 1 A 1 1 Med andra ord, κ 1 (A) = 4/ 1 α om α < 1 och (1+ α ) 2 / 1 α annars. 29/33
30 26. Visa att en positivt definit matris är ickesingulär och att inversen är positivt definit. a) Om A är singulär existerar x 0 s.a. Ax = 0. Medför att x T Ax = 0, motsägelse! b) Vi kräver inte att A är symmetrisk utan vet bara att x T Ax > 0 om x 0. Tag x = A 1 y (notera att x = 0 y = 0). Vi får 0 < x T Ax = (A 1 y) T A(A 1 y) = y T A T y som är en skalär så att (y T A T y) T = y T A T y. Men (y T A T y) T = y T A 1 y. Alltså är 0 < y T A 1 y. 30/33
31 27. Antag att A = BB T där B är ickesingulär. Visa att A är symmetrisk och positivt definit. Symmetrisk ty A T = (BB T ) T = (B T ) T B T = BB T = A. Positivt definit ty x T Ax = xbb T x = (B T x) T B T x = B T x 2 2 > 0 om x 0. 31/33
32 28. Antag att B nedan, av ordning n+1, är symmetrisk och positivt definit, α är en skalär, a en kolonnvektor om n element, och A en kvadratisk matris av ordning n. [ ] α a T B = a A a) Visa att α > 0 och att A är positivt definit. b) Beräkna Choleskyfaktoriseringen av B i termen av α, a och A. 32/33
33 a) x T Bx > 0 om x 0. Tag x = e 1 0. Ger 0 < e1 TBe 1 = e1 T[α,aT ] T = α. Tag nu x T = [0,y] med godtyckligt y 0. Detta medför att [ ][ ] 0 < x T Bx = [0,y T α a T 0 ] = y T Ay. a A y }{{} = at y Ay b) Gör ansatsen (L matris, z vektor, och λ skalär): [ ] [ ][ ] [ α a T λ 0 λ z T λ 2 λz = a A z L 0 L T = T λz zz T +LL T }{{}}{{} L L T ] vilket medför λ = α, z = a/ α och LL T = A zz T = A aa T /α. 33/33
Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att
Läs merLinjära ekvationssystem
Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på
Läs mer2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:
1 Axel Ruhe NADA 10 mars 2005 2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor: Dessa frågor är till hjälp vid inläsning av Linjär Algebra momenten i kursen. Hänvisningar till
Läs mer1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser
Krister Svanberg, april 1 1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser Inom ickelinjär optimering, speciellt kvadratisk optimering, är det viktigt att på ett effektivt sätt kunna avgöra huruvida
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer5.7. Ortogonaliseringsmetoder
5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs mer1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser
Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merNorm och QR-faktorisering
Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.
Läs merBasbyten och linjära avbildningar
Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 3
bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merLinjär Algebra M/TD Läsvecka 2
Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs mer6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =
62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader
Läs mer12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v
. SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs mert Möjliga lösningar? b
b 12 10 8 6 4 2 0 Möjliga lösningar? 0 1 2 3 4 5 6 t b 12 10 8 6 4 2 0 Elementen i residualen r 5 r 4 r 3 0 1 2 3 4 5 6 t r 1 r 2 b 12 10 8 6 4 2 0 Minstakvadratlösningen 0 1 2 3 4 5 6 t OH-bild från Matte
Läs merGausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merFö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu
TANA21/22 HT2018 Fö4: Kondition och approximation Andrea Alessandro Ruggiu Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September 2018 1 Konditionstal Kondition och approximation A.A.Ruggiu 13:e September
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd
Läs merMatriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1
Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1
Läs merLösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013
Lösningar till SF86/SF85 Optimeringslära, 4/5 03 Uppgift (a) Inför de 3 variablerna x ij = kvantitet (i sorten ton) som fabrik nr i åläggs att tillverka av produkt nr j, samt t = tiden (i sorten timmar)
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del I
Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en
Läs merTENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671
Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merA. Grundläggande matristeori
A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan
Läs mer2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner
Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till
Läs mer2 Matrisfaktorisering och lösning till ekvationssystem
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 2. LINJÄR ALGEBRA 1 Inledning Lösning av ett linjärt ekvationssystem Ax = b förekommer ofta inom tekniska beräkningar. I laborationen studeras Gauss-elimination med eller utan
Läs merTMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.
MATEMATISKA VETENSKAPER TMA67 8 Chalmers tekniska högskola Datum: 8--8 kl - 8 Examinator: Håkon Hoel Tel: ankn 38 Hjälpmedel: inga TMA 67 Linjär Algebra Numerisk Analys Tentan består av 8 uppgifter, med
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merMATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens
MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merAvsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten
Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?
Läs mer2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys
Olof Runborg ND 10 februari 2004 2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT 2004 Störningsanalys Indata till ett numeriskt problem innehåller i praktiken alltid (små) fel.felen kan bero på tex mätfel, avrundningsfel
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merEgenvärden och egenvektorer
Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen
ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-II
Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen..................
Läs merDIAGONALISERING AV EN MATRIS
DIAGONALISERING AV EN MATRIS Definition ( Diagonaliserbar matris ) Låt A vara en kvadratisk matris dvs en matris av typ n n. Matrisen A är diagonaliserbar om det finns en inverterbar matris P och en diagonalmatris
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merTANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs mer5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA
5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I
Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merlinjära ekvationssystem.
CTH/GU LABORATION 2 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna laboration börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Vi har ett nätverksflödesproblem med 5 noder. Låt x = (x 2, x 3, x
Läs merFör studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merLösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merKTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är
KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merVi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) λλ enligt nedan
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE (ORTONORMALA) BASER I R n INLEDNING ( repetition om R n ) Låt RR nn vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs RR nn {(aa, aa,, aa
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merx 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar, inför tentan moment B, på de avsnitt som inte omfattats av lappskrivningarna, Diskret matematik för D2 och F, vt08.. Ett RSA-krypto har n =
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67-8-5 DAG: Onsdag 5 augusti TID: 8.3 -.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merLösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08
Lösningar till SF8 Optimeringslära för E, 6/ 8 Uppgift (a) Problemet är ett transportproblem, ett specialfall av minkostnadsflödesproblem Nätverket består av 7 st noder A,B,C,P,Q,R,S, alternativt kallade,,,7,
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0
Läs merMer om linjära ekvationssystem
CTH/GU STUDIO 4 MVE465-2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna studioövning fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser, som vi först tittade på i studioövning
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs mer