1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Transkript

1 För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant 0; addera två ekvationer. Kvadratiska ekvationssytem antalet ekvationer = antalet obekanta. Underbestämda ekvationssytem antalet ekvationer < antalet obekanta. Överbestämda ekvationssytem antalet ekvationer > antalet obekanta. Tre typer av lösningsmängd entydig lösning, oändligt många lösningar, lösningen saknas. 2 Vektorer En vektor u är en mängd av riktade sträckor som har samma riktning och storlek. Addition Summan u + v av två vektorer u och v definieras enligt figuren u + v v u 1

2 Multiplikation med skalär Med λ u menas den vektor parallell med u som har 1) längden λ u 2) samma riktning som u om λ > 0, motsatt riktning om λ < 0. Om λ = 0 så är λ u = 0. Räknelagar 1) u + v = v + u u + ( v + w) = ( u + v) + w u + ( 1) u = 0 u + 0 = u 2) λ(µ u) = (λµ) u 1 u = u 0 u = 0 λ 0 = 0 3) (λ + µ) u = λ u + µ v λ( u + v) = λ v + λ u 2

3 Antag att Bas och koordinater e 1 e 1, e 2 Då kan varje vektor u För 2 är vektorer som inte är lika med 0. är parallella. e 1, e 2, e 3 på linjen i planet i rummet ligger i ett plan. skrivas på formen u = x 1 e 1 u = x 1 e 1 + x 2 e 2 u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 med entydigt bestämda tal x 1. x 1, x 2. x 1, x 2, x 3. Vektorerna e 1, e 2, e 3 bildar en bas om och endast om varje vektor u kan skrivas entydigt som en (linjär) kombination av e 1, e 2, e 3 u = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. Reella tal x 1, x 2, x 3 kallas för koordinaterna av vektorn u med avseende på basen { e 1, e 2, e 3 }. 3

4 För 3 3 Linjer och plan Ett koordinatsystem: origo + basvektorer. Lemma } P 1 : (x 1, y 1, z 1 ) P P 2 : (x 2, y 2, z 2 ) 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Linjer i planet Linjens ekvation på parameterform { x = x0 + tα med t R y = y 0 + tβ där talen α och β ej båda är noll. Linjens ekvation på affinform ax + by + c = 0 där talen a och b ej båda är noll. Linjer i rummet Linjens ekvation på parameterform x = x 0 + tα y = y 0 + tβ z = z 0 + tγ där talen α, β och γ ej alla är noll. med t R Planets ekvation Planets ekvation på parameterform x = x 0 + t 1 α 1 + t 2 α 2 π : y = y 0 + t 1 β 1 + t 2 β 2 z = z 0 + t 1 γ 1 + t 2 γ 2 med t 1, t 2 R där vektorerna (α 1, β 1, γ 1 ) och (α 2, β 2, γ 2 ) inte är parallella. Planets ekvation på affin form där talen a, b och c inte alla är noll. ax + by + cz + d = 0 4

5 För. 4 4 Geometrisk teori för linjära ekvationssystem. För ett linjärt ekvationssystem med tre obekanta och n ekvationer kan endast följande alternativ för lösningsmängden inträffa 1) lösningen saknas (n 1); 2) systemet har entydig lösning (n 3); 3) lösningen beror på en parameter (n 2); 4) lösningen beror på två parameter (n 1). 5 Linjärt beroende och linjärt oberoende Vektorerna u 1, u 2,..., u n, sägs vara linjärt beroende omm det finns tal λ 1, λ 2,..., λ n inte alla lika med noll sådana att λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = 0. Vektorerna u 1, u 2,..., u n, sägs vara linjärt oberoende omm λ 1 u 1 + λ 2 u λ n u n = 0 gäller endast om alla koefficienterna λ 1, λ 2,..., λ n är lika med noll λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Antag att vektorerna u 1, u 2,..., u n, är linjärt beroende, då en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de ovriga. Bassatsen 1) Två vektorer i planet bildar en bas omm de är linjärt oberoende. 2) Tre vektorer i rummet bildar en bas omm de är linjärt oberoende. 3) Fler än två vektorer i planet är alltid linjärt beroende. Fler än tre vektorer i rummet är alltid linjärt beroende. 5

6 För 5 6 Skalär produkt Skalär produkt u v = u v cos[ u, v] R [ u, v] - vinkeln mellan u och v. Andra beteckningar för skalärprodukten: ( u, v), u, v,... Räknelagar för skalär produkt 0) [ u, v] = π/2 u v = 0 ortogonala vektorer 00) u v > 0 [ u, v] < π/2; 1) u u = u 2 ; 2) u v = v u; 3) ( u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v; u ( v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 ; 4) (λ u) v = λ( u v), u (λ v) = λ( u v). Ortogonal projektion v 0 u = u + u u = u v v 2 v Basen { e 1, e 2, e 3 } i rummet sägs vara ortonormerad omm basvektorerna har längden 1; basvektorerna är parvis ortogonala. Antag att { e 1, e 2, e 3 } är en ortonormerad bas i rummet. Då kan skalär produkten mellan vektorerna u = (x 1, y 1, z 1 ) och v = (x 2, y 2, z 2 ) beräknas enligt formeln u v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2, u = x y1 2 + z1. 2 Planet ax + by + cz + d = 0 har normalriktning n = (a, b, c). 6

7 För 6 7 Vektorprodukt Vektorprodukt u v är den vektor som har egenskaperna 1) u v = u v sin[ u, v]; 2) u v är ortogonal med både u och v; 3) de tre vektorerna u, v, u v är positivt orienterade. Skalär trippelprodukt ( u v) w ( u v) w = volymen av parallellepiped( u, v, w). Räknelagar 1) u v = 0 omm u och v är linjärt beroende; 2) u v = v u; 3) ( u 1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v u ( v 1 + v 2 ) = u v 1 + u v 2 4) (λ u) v = u (λ v) = λ( u v) (vektorprodukt i en ortonormerad bas) u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) e 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) e 3 7

8 För 7 8 Rummet R n. Rummet R n är mängden av n-tiplar (x 1, x 2,..., x n ) av reella tal x j, j = 1, 2,..., n, som kan adderas och multipliceras med an skalär (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ); Kanonisk bas λ(x 1, x 2,..., x n ) = (λx 1, λx 2,..., λx n ). e 1 = (1, 0, 0,..., 0, 0) e 2 = (0, 1, 0,..., 0, 0) e n = (0, 0, 0,..., 0, 1) Vektorerna a 1, a 2,..., a p spänner upp R n omm varje vektor y R n kan skrivas som en linjärkombination av a 1, a 2,..., a p y = p x k a k. k=1 Vektorerna a 1, a 2,..., a p sägs vara en bas i rummet R n omm varje vektor y R n kan skrivas entydigt som en linjärkombination av a 1, a 2,..., a p y = p x k a k. k=1 1) Varje bas i R n has exakt n element. 2) n stycken vektorer i R n är en bas de är linjärt oberoende de spänner upp R n 3) Fler än n vektorer i R n är alltid linjärt beroende; färre än n vektorer i R n kan inte spänna upp R n. 8

9 För 8 9 Matriser Addition A = Multiplikation med skalär Matrismultiplikation a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a 31 a 32 a a 3n a m1 a m2 a m3... a mn A + B = C c ij = a ij + b ij λa = C c ij = λa ij A m p B p n = C m n c ij = AB BA p a ik b kj För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta a) A s kolonnvektorer utgör en bas; b) AX = 0 har bara den triviala lösningen X = 0; c) AX = Y är lösbart för alla Y. Matrisen A är inverterbar omm det finns en matris A 1 sådan att: AA 1 = A 1 A = I. k=1 Beräkning av inversa matriser: (AB) 1 = B 1 A 1 (A, I) Gauß elimination två gånger ( I, A 1) 9

10 Transponering A T - erhåller man ur A genom spegling i huvuddiagonalen. A T = A A är symmetrisk. För 9 (AB) T = B T A T 10 Basbyte. Ortogonala matriser. e 1 e 2... e n = ST Kvadratiska matriser e 1 x 1 e 2... x 2... e n x n = S Ortogonal matris: A T = A 1 - kolonnvektorer utgör en ortonormerad bas, - radvektorer utgör en ortonormerad bas. m n matriser Den allmänna lösningen till ett linjärt ekvationssystem AX = Y kan skrivas på formen X allm = X p + X h där X p är en partikulärlösning till systemet och X h är den allmänna lösningen till det homogena systemet AX = 0. Kolonnrummet - mängden av linjärkombinationer av kolonnvektorer. Rang A - dimensionen av kolonnrummet. Nollrummet - mängden av lösningar till det homogena systemetax = 0. Nolldimensionen - dimensionen av nollrummet. Antag att A är en m n matris, då gäller nolldima = n RangA x 1 x 2... x n 10

11 För Linjära avbildningar Vektorrum - en mängd av element som kan adderas och multipliceras med reella tal så att följande axiom gäller: 1. 0 : x + 0 = 0 2. x + ( 1) x = 0 3. x + y = y + x 4. x + ( y + z) = ( x + y) + z 5. λ(µ x) = (λµ) x 6. 1 x = x 7. 0 x = 0 8. λ 0 = 0 9. λ( x + y) = λ x + λ y 10. (λ + µ) x = λ x + µ x Avbildning (= funktion) - en regel som till varje element x från definitionsmängden D F N ordnar ett element y i en mängd M. Värdemängden - mängden av alla element y som är en bild av något x från definitionsmängden. F : D F V F M Avbildningen F : N M sägs vara linjär omm: F (x + x ) = F (x ) + F (x ), för allax, x D F N F (λx) = λf (x), för allaλ R, x N. F ( 0) = 0 11

12 För 11 Linjära avbildningar (fortsättning) Avbildningsmatriser Antag att: 1) F är en linjär avbildning N M ; 2) { e 1, e 2,..., e n } är en bas i N { f 1, f 2,..., f m } är en bas i M Då existerar det en m n matris A sådan att: Y = A X y = F (x), där Y, X är koordinatvektorerna for y och x. A kallas för avbildningsmatris för F med avseende på baserna { e 1, e 2,..., e n } och { f 1, f 2,..., f m }. Sammansättningen av två linjära avbildningar är an linjär avbildning. Avbildningsmatrisen för sammansättningen av två linjära avbildningar är lika med produkten av avbildningsmatriserna F A G B F G AB Inversa avbildningen Avbildningsmatrisen till den inversa avbildningen är like med inversen till avbildnigsmatrisen till den ursprungliga avbildningen. F A F 1 A 1 Basbyte Antag att: 1) { e 1, e 2,..., e n } och { e 1, e 2,..., e n} är två baser i R n ; 2) matrisen S beskriver sambandet mellan koordinatvektorerna X och X X = S X 3) A är avbildningsmatrisen för en linjär avbildning F med avseende på basen { e 1, e 2,..., e n }. Då är avbildningsmatrisen A för den linjära avbildningen F med avseende på basen { e 1, e 2,..., e n} A = S 1 AS. 12

13 För Determinanter det(a) = a ±längden ( a11 a det 12 a 21 a 22 det ) a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 12 a 21 ±arean a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Huvudsatsen En kvadratisk matris A är inverterbar omm det A 0. För kvadratiska matriser A är följande villkor ekvivalenta: 1) kolonnvektorer utgör en bas 2) radvektorer utgör en bas 3) ekvationssystemet A X = 0 har bara den triviala lösningen X = 0 4) ekvationssystemet A X = Y är lösbart för alla Y 5) A är inverterbar 6) det A 0. ±volymen Repetitionsövningar 1.16, 1.24, 2.9, 2.23, 3.15, 3.24, 4.13, 4.22, 4.32, 4.42, 5.6, 5.15, 5.19, 6.8, 7.26, 7.37, 8.21, 8.38, 9.23, 9.26, 9.31, 9.37, 10.11,

14 Determinanter (fortsättning) Räknelagar för determinanter För 13 det(a 1 + A 1, A 2, A 3 ) = det(a 1, A 2, A 3 ) + det(a 1, A 2, A 3 ) det(λa 1, A 2, A 3 ) = λ det(a 1, A 2, A 3 ) det(a 1, A 2, A 3 ) = det(a 2, A 1, A 3 ) det(a 1, A 2, A 3 ) = det(a 1 + αa 2 + βa 3, A 2, A 3 ) det(a B) = det A det B Observera att: a) det(a 1, A 1, A 3 ) = 0 b) det I = 1 c) det(λ(a 1, A 2, A 3 )) = λ 3 det(a 1, A 2, A 3 ) d) det A 1 = 1 det A e) det A T = det A f) A - unitär det A = ±1. 14

15 Cramers Regel För 14 Underdeterminant D ij - determinanten för den matris som erhålles ur A genom strykning av rad i och kolonn j. Adjunkten till A adj A = D 11 D 12 D 31 D 21 D 22 D 23 D 31 D 32 D 33 T A 1 = 1 det A adj A AX = Y x 1 = det(y A 2A 3 ) det A x 2 = det(a 1Y A 3 ) det A x 3 = det(a 1A 2 Y ) det A 13 Egenvärden och egenvektorer Karakteristiskt polynom AX = λx, X 0 { X är en egenvektor λ är ett egenvärde p A (λ) = det(a λi) Att diagonalisera en n n matris 1) bestäm alla egenvärden λ k, k = 1, 2,..., n 2) bestäm samtliga n egenvektorer S k, k = 1, 2,..., n 3) bilda S = (S 1, S 2,..., S n ) och D = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ) Då gäller: A = SDS 1 15