Linjär algebra på 2 45 minuter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Linjär algebra på 2 45 minuter"

Transkript

1 Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x)

2 Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom föreläsningsanteckningar, svara på instuderingsfrågor, räkna uppgifterna som förekommit i kursen, testa dig med frågorna på hemsidan (täcker inte hela kursen!), använd Jans repetitionslapp för att få förslag på uppgifter.

3 Linjära vektorrum

4 Linjära vektorrum axiom Regler för addition: A0. u + v är en vektor (slutenhet för addition). A1. (u + v) + w = u + (v + w) (associativitet). A2. u + v = v + u (kommutativitet). A3. Det finns en vektor 0 sådan att 0 + u = u (existens av enhetselement). A4. För alla vektorer u finns en vektor v sådan att u + v = 0 (existens av invers). Regler för multiplikation med skalär: M0. λ u är en vektor (slutenhet för multiplikation med skalär). M1. λ (µ u) = (λµ) u (associativitet). M2. (λ + µ) u = λ u + µ u (distributivitet). M3. λ (u + v) = λ u + λ v (distributivitet). M4. 1 u = u (egenskap hos enhetselementet hos de reella talen).

5 Geometriska vektorer Vi är på en linje, i ett plan eller i rummet, och kan grundläggande geometri. Vektorer definieras som ekvivalensklasser av riktade sträckor, det vill säga som pilar. Addition via kraftparallellogram. Multiplikation med tal sträcker ut eller trycker ihop (och vänder på vektorn om talet är negativt). B u A C AB CD D u + v u v 1.5u 0.5u

6 R n Definieras som n-tiplar (x 1, x 2,..., x n ). Addition definieras via koordinatvis addition. Multiplikation med skalär definieras genom att multiplicera varje koordinat med skalären.

7 P 2 andragradspolynom (ej med i kursen) P 2 : Mängden av polynom av grad högst två. Addition och multiplikation med skalär: Låt p 1 (x) = a 1 x 2 +b 1 x + c 1, p 2 (x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 tillhöra P 2. Då definierar vi p 1 + p 2 och λp 1 enligt och (p 1 + p 2 )(x) = (a 1 + a 2 )x 2 + (b 1 + b 2 )x + (c 1 + c 2 ), (λp 1 )(x) = (λa 1 )x 2 + (λb 1 )x + (λc 1 ). Kolla att villkoren för att vara ett vektorrum är uppfyllda!

8 Linjärt beroende, oberoende, spänna upp, bas En samling vektorer u 1, u 2,..., u p är linjärt beroende precis då det finns en nollskild lösning till ekvationssystemet λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p = 0, är linjärt oberoende om ovanstående ekvationssystem endast har lösningen λ 1 = λ 2 = = λ p = 0, spänner upp (linjen/planet/rummet/r n ) om varje vektor v däri kan skrivas v = λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p, utgör en bas om de spänner upp och är linjärt oberoende. En summa λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p kallas för en linjärkombination av u 1, u 2,..., u p.

9 Bassatsen i R n Varje bas i R n har n element. n stycken vektorer i R n är en bas om och endast om de är linjärt oberoende. n stycken vektorer i R n är en bas om och endast om de spänner upp R n. Fler än n vektorer i R n är alltid linjärt beroende. Färre än n vektorer i R n kan inte spänna upp R n. Se varianten för geometriska vektorer på sidan 34.

10 Skalärprodukt u v Definieras för geometriska vektorer u och v som u v = u v cos[u, v]. Om någon är nollvektorn så låter vi u v = 0. För u = (x 1,..., x n ), v = (y 1,..., y n ) i R n så definieras skalärprodukten som u v = x 1 y x n y n. u och v ortogonala, u v, om och endast om u v = 0. Kolla upp räkneregler för skalärprodukt!

11 Vektorprodukt u v (kryssprodukt) Vektorprodukten (kryssprodukten) u v definierades för vektorer i rummet genom u v = u v sin[u, v], u v ortogonal mot både u och v, u, v och u v positivt orienterade. Det gäller att u v är lika med arean av parallellogrammet som spänns upp av u och v, (u v) w är lika med volymen av parallellepipeden som spänns upp av u, v och w om de är positivt orienterade. Annars blir det minus volymen, u v = v u. Kolla upp övriga räkneregler för vektorprodukt!

12 Matriser A en m n-matris: A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Repetera definition av matrisprodukt och räknereglerna! Speciellt gällde det i allmänhet att för matriser A och B. AB BA

13 Något om linjära ekvationssystem

14 Gausseliminering radoperationer Vid lösning av ekvationssystem kan vi göra föjlande tre operationer utan att lösningsmängden ändras: Multiplicera en rad med ett tal skilt ifrån noll, Byta plats på två rader, Addera en multipel av en rad till en annan. Ekvivalent att lösa { a11 x 1 +a 12 x 2 =y 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 =y 2 och ( a11 a 12 a 21 a 22 )( x1 x 2 ) = ( y1 y 2 )

15 Struktur av lösningar till linjära ekvationssystem Lösningarna till ekvationssystemet AX = Y kan skrivas X = X h + X p där X h är alla lösningar till den homogena ekvationen AX = 0, X p är en (partikulär)lösning till AX = Y.

16 Linjära avbildningar och matristeori

17 Linjära avbildningar En avbildning L : V W (där V och W är vektorrum) är linjär om (för varje u och v i V, och för alla tal λ) L(u + v) = Lu + Lv, L(λu) = λlu. Exempel på linjära avbildningar vi sett: skalärprodukt med given vektor v : Lu = u v, vektorprodukt med given vektor v : Lu = u v, spegling i ett plan som går genom origo, projektion i ett plan som går genom origo, rotation av vektor, multiplikation med matris A: Lx = Ax,...

18 Avbildningsmatris Vi såg att om vi valde bas för V och W så kunde varje avbildning L : V W ses som matrismultiplikation. Matrisen kallas för avbildningsmatris. För att få fram avbildningsmatrisen så såg vi att den första kolonnen var bilden av den första basvektorn, den andra kolonnen bilden av den andra och så vidare, det vill säga ( ) A = L(e 1 ) L(e 2 )... L(e n ). Om F har avbildningsmatris A och G har avbildningsmatris och sammansättningen F G är väldefinierad så har F G avbildningsmatris AB.

19 Derivering av andragradspolynom (ej med) Låt L vara deriveringsoperatorn från andragradspolynom till andragradspolynom, det vill säga Lp = p. Låt vidare {1, x, x 2 } vara en bas för P 2. Då skrivs till exempel polynomet 3 x + 2x 2 som vektorn (3, 1, 2) i den basen. Det gäller att L(1, 0, 0) = (0, 0, 0), L(0, 1, 0) = (1, 0, 0), L(0, 0, 1) = (0, 2, 0) så avbildningsmatrisen A för L ges alltså av A = Speciellt gäller A(3 1 2) T = ( 1 4 0) T vilket vi alltså kan läsa ut som att derivatan av 3 x + 2x 2 är 1 + 4x.

20 Beräkning av rang och nolldimension Låt oss betrakta matrisen A = Radreducering ger Från den räkningen drar vi slutsatsen att rangen är två (antalet pivotelement) och nolldimensionen tre (antalet parametrar om vi vill lösa det homogena systemet). Notera att rangen plus nolldimensionen blir antalet kolonner i matrisen! Bas för nollrummet? Se nästa sida!

21 Bas för nollrummet Vi ska lösa AX = 0. Vi såg att A hade radreducerats till Låter vi X = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ) T får vi att x 3, x 4 och x 5 kan väljas som parametrar (t 1, t 2 respektive t 3 ). Vi får X = t 1 X 1 + t 2 X 2 + t 3 X 3 = t t t De tre vektorerna X 1, X 2 och X 3 bildar en bas för nollrummet.

22 Transponat av matris A T transponatet till A. Byt rader mot kolonner Exempel: ( ) T 3 4 = 2 1 Följande gäller: (A T ) T = A, (AB) T = B T A T. ( 3 ) Matrisen A sägs vara symmetrisk om A = A T.

23 Invers av matris En matris A är inverterbar precis då det finns en matris B så att AB = BA = I. I sådana fall sägs B vara inversen till A och vi skriver B = A 1. Följande gäller: (A 1 ) 1 = A, (A T ) 1 = (A 1 ) T, (AB) 1 = B 1 A 1. Det räcker att hitta en vänsterinvers eller högerinvers för att dra slutsatsen att en matris är inverterbar. Det väll säga: A är inverterbar om det finns en matris V så att VA = I. A är inverterbar om det finns en matris H så att AH = I. Ovan gäller att A 1 är lika med V respektive H.

24 Beräkning av matrisinvers Radoperationer av (A I) skall leda till (I A 1 ). Exempel: Vi radopererar och får ( ) ( ) ( ) ( ). Alltså gäller det att ( ) 1 = 1 ( )

25 Om invers saknas... Om invers saknas händer följande vid radreduceringen. ( ) ( ). 3 1 Finns ingen chans att radreducera och få I till vänster eftersom vi har en rad med nollor. Alltså är matrisen ( 1 ) inte inverterbar.

26 Isometrisk avbildning ortogonal matris En linjär avbildning F är isometrisk om Fx = x för alla vektorer x. En n n-matris A är ortogonal om kolonnvektorerna i A utgör en ortonormerad bas i R n. Följande är ekvivalent: F är isometrisk, A är ortogonal, kolonnvektorerna i A utgör en ortonormerad bas i R n, radvektorerna i A utgör en ortonormerad bas i R n, AA T = I, A T A = I, A 1 = A T.

27 Antag att vi har sambandet Basbyten E = S T E mellan två baser. Här är S en inverterbar matris. Då ges motsvarande förhållande mellan koordinater i de olika baserna som X = SX. Matrisen S kallas för basbytesmatris. Antag vidare att Y = AX och Y = A X representerar samma linjära avbildning i de olika baserna. Då gäller A = S 1 AS.

28 Basbyte exempel Antag att vi har en bas e 1, e 2 i planet och att vi inför nya vektorer e 1 = 3e 1 4e 2 och e 2 = 2e 1 + e 2. Visa att e 1 och e 2 också utgör en bas i planet. Metod 1: Vi vet att två linjärt oberoende vektorer i planet utgör en bas så vi kollar om de är linjärt oberoende. vi får λ 1 e 1 + λ 2e 2 = 0 λ 1 (3e 1 4e 2 ) + λ 2 (2e 1 + e 2 ) = 0 (3λ 1 + 2λ 2 )e 1 + ( 4λ 1 + λ 2 )e 2 = 0 { 3λ1 +2λ 2 =0 4λ 1 + λ 2 =0 λ 1 = λ 2 = 0. Alltså är e 1 och e 2 linjärt oberoende och utgör således en bas.

29 Basbyte exempel Metod 2: Vi skriver ( ) e 1 e 2 = ( )( ) 3 4 e e 2 Låt nu S = ( ) T 3 4 = 2 1 ( 3 ) Eftersom S är inverterbar så utgör den en basbytesmatris. Vektorerna e 1 och e 2 utgör alltså en bas i planet. Koordinaterna X och X för en given vektor i de olika baserna förhåller sig nu som X = SX.

30 Determinanter (2 2- och 3 3-matris) Definierades för 2 2-matriser som den area (med tecken) av den parallellogram som kolonnvektorerna spänner upp. Formel för beräkning blev sedan a 11 a 12 = a11 a 22 a 12 a 21. a 21 a 22 Definierades för 3 3-matriser som den volym (med tecken) av den parallellepiped som kolonnvektorerna spänner upp. För matrisen A = (A 1 A 2 A 3 ) så såg vi att det A = (A 1 A 2 ) A 3. Dessutom var vektorerna A 1, A 2 och A 3 positivt orienterade precis då (A 1 A 2 ) A 3 > 0. Finns en kom-i-håg-regel för den som vill.

31 Determinanter (n n-matris) Determinanten definierades för n n-matriser (n > 3) genom utveckling av rad eller kolonn. Följande tecken-schema används vid utveckling:

32 Determinanter (n n-matris) Följande gäller för determinanter: det A = det A T, det(ab) = det A det B, det I = 1, det A 1 = 1/ det A, det A 0 om och endast om A är inverterbar. Vi kan addera multiplar av rader till andra rader utan att ändra determinanten, Byter vi plats på två rader byter determinanten tecken, Multiplicerar vi en rad med ett tal så multipliceras determinantens värde med samma tal.

33 Huvudsatsen Låt F : R n R n vara en linjär avbildning med avbildningsmatris A. Då är följande ekvivalent: A är inverterbar (F är bijektiv), ekvationssystemet AX = 0 har endast lösningen X = 0 (F är injektiv), ekvationssystemet AX = Y har lösning för varje Y R n (F är surjektiv), det A 0, kolonnerna i A utgör en bas för R n, raderna i A utgör en bas för R n, noll är inte ett egenvärde till A.

34 Egenvärden och egenvektorer En vektor X 0 är en egenvektor och ett tal λ är ett egenvärde till n n-matrisen A om AX = λx. Detta är ekvivalent med att ekvationen (λi A)X = 0 har en lösning X 0, vilket precis händer då 0 = det(λi A). Vi använder den sista formeln för att beräkna egenvärdena. Då vi väl gjort det använder vi den näst sista ekvationen för att finna motsvarand egenvektorer. Låt oss titta på några exempel.

35 Exempel 1 Vi beräknar egenvärden och egenvektorer till ( ) 4 2 A =. 1 3 Det gäller att 0 = det(λi A) = = λ 2 7λ + 10 = (λ 2)(λ 5) λ λ 3 = (λ 4)(λ 3) ( 2)( 1) så egenvärdena är 2 och 5. För att hitta egenvektorerna hörande till egenvärdet 2 löser vi ekvationen (2I A)X = 0 och får X = t(1 1) T, t 0. För att hitta egenvektorerna hörande till egenvärdet 5 löser vi ekvationen (5I A)X = 0 och får X = t(2 1) T, t 0.

36 Exempel 2 (deriveringen av polynom) Vi beräknar egenvärden och egenvektorer av A = Det gäller att 0 = det(λi A) = λ λ λ = λ3, så λ = 0 är det enda egenvärdet (med multiplicitet tre!). Egenvektorer X finner vi genom att lösa AX = 0. En enkel räkning ger att X = t(1 0 0) T, t 0. Vi tolkar räkningen ovan som att det precis är de konstanta andragradspolynomen som har derivata noll.

37 Exempel 3 (rotation) Rotation i planet φ radianer är en linjär avbildning med avbildningsmatris ( ) cos φ sin φ R φ =. sin φ cos φ För att få fram egenvärden räknar vi: 0 = det(λi R φ ) = med lösningar λ cos φ sin φ sin φ λ cos φ λ = cos φ ± i sin φ. = (λ cos φ) 2 + sin 2 φ Vi ser alltså att en rotation endast har reella egenvärden då φ är en heltalsmultipel av π. R φ kommer då att vara I eller I.

38 Diagonaliserbarhet Vi såg tidigare att om vi bytte bas från E till E med basbytesmatris S så ändrades avbildningsmatriser enligt A = S 1 AS. Om det går att finna ett basbyte så att A blir en diagonalmatris (det vill säga en matris vars enda nollskilda element återfinns på diagonalen) så säger vi att A är diagonaliserbar. Omformulerat: A är diagonaliserbar om det finns en diagonalmatris D sådan att S 1 AS = D

39 Diagonalisering av A Recept: Tag fram egenvärdena till A. Kalla dem λ 1, λ 2,..., λ n. Tag fram tillhörande egenvektorer v 1, v 2,..., v n. Låt nu D vara diagonalmatrisen λ λ D = λ n och S = (v 1 v 2... v n ) den matris som erhålls då egenvektorerna stoppas in som kolonnvektorer (OBS! viktigt med ordningen). Då gäller S 1 AS = D.

40 Exempel 1 igen Vi såg att matrisen A = ( ) hade egenvärden 2 och 5 med tillhörande egenvektorer (till exempel) (1 1) T och (2 1) T. Med ( ) ( ) D = och S = gäller alltså att S 1 AS = D.

41 Exempel 2 igen Vi såg att matrisen A = hade egenvärdet noll med multiplicitet tre. Den enda egenvektorn vi fann var t(1 0 0) T. Det är klart att vi inte hittar tre linjärt oberoende egenvektorer, så A är inte diagonaliserbar.

42 Diagonaliserbara matriser Vi vet att n n-matrisen A är diagonaliserbar om A har n olika egenvärden, A är symmetrisk (A T = A). Även en del andra matriser är diagonaliserbara. Om A är symmetrisk så kan S dessutom väljas som en ortogonal matris, och S T AS = D.

43 Några geometriska tillämpningar

44 Ortogonal projektion på vektor Projektionen av x på v : x F(x) v F(x) = x v v v v. På matrisform (X kolonnvektorn x och V kolonnvektorn v ) så avbildningsmatrisen blir X VVT V T V X, VV T V T V

45 Ortogonal projektion på plan n x π F(x) Plan π genom origo med normal n. Orgogonal projektion ges av Avbildningsmatris: F(x) = x x n n n n. I NNT N T N där N är normalen skriven som kolonnvektor.

46 Spegling i plan x π n F(x) Plan π genom origo med normal n. Spegling i planet ges av Avbildningsmatris: F(x) = x 2 x n n n n. I 2 NNT N T N där N är normalen skriven som kolonnvektor.

47 Avstånd i planet/rummet Vi kan beräkna (se boken för exempel) avstånd mellan punkter, minsta avstånd mellan punkt och linje, minsta avstånd mellan punkt och plan, minsta avstånd mellan två plan, minsta avstånd mellan linje och plan, minsta avstånd mellan två linjer, De flesta av dessa innefattar projektion! Lär dig metoderna. Rita figur!

48 Förbered dig inför skrivningen! Åter igen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom föreläsningsanteckningar, svara på instuderingsfrågor, räkna uppgifterna som förekommit i kursen, testa dig med frågorna på hemsidan (täcker inte hela kursen!), använd Jans repetitionslapp för att få förslag på uppgifter.

49 Skrivningen Ta med: pennor (blyerts och bläck), suddigummi, legitimation, kårleg. Några råd: stressa inte! skriv tydliga lösningar! svara på frågorna! kontrollräkna! namn på alla papper! ny uppgift ny lapp! skriv på en sida!

50 Fyll i CEQ!

51 Lycka till!... och se så kul man kan ha i nästa mattekurs!

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Egenvektorer och egenvärden

Egenvektorer och egenvärden Egenvektorer och egenvärden Diagonalmatriser Tidigare (Sparr, kap.8) har vi bestämt avbildningsmatriser för givna linjära avbildningar. Ofta förekommer det omvända problemet (om än i diverse förklädnader):

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 Institutionen för Matematik LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F Göteborg --9 TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 OBS! NYA KURSEN DAG: Tisdag 9 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig:

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson

Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II. Hasse Carlsson Föreläsningsanteckningar, Linjär algebra II Hasse Carlsson Version 2009 Inledning Syftet med linjär algebra är att studera vektorrum och linjära avbildningar mellan vektorrum. Här skall det stå något KLOKT.

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer