Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Transkript

1 Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2 = u 3 [ ] α u1 α u 2 α u 1 α u 2 α u 3 Längden av en vektor I två dimensioner u = u u2 2 I tre dimensioner u = u u2 2 + u2 3

2 Enhetsvektorer Basvektorer i två dimensioner: [ ] [ 1 0 ê x = ê 0 y = 1 Basvektorer i tre dimensioner: ê x = ê y = ] ê z = (Adams: ê x = i ê y = j ê z = k) Enhetsvektor i riktningen v: ê v = 1 v v

3 Skalärprodukt Definition u v = u v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 u 3 [ ] v1 v 2 = u 1 v 1 + u 2 v 2 v 1 v 2 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 v 3 Egenskaper u v = v u u (v + w) = u v + u w α(u v) = (α u) v = u (α v) u u = u 2

4 Sats 1: vinkel mellan vektorer Om θ är vinkeln mellan vektorerna u och v gäller att Speciellt gäller att u v = u v cos θ. u v = 0 om och endast om u och v är ortogonala (dvs vinkelräta). Ortogonal projektion Skalärprojektionen s av u på v ges av: s = u v v. Vektorprojektionen u v av u på v ges av: u v = u v v êv = u v v 2 v. Längden av vektorprojektionen är u v = s.

5 Definition: Vektorprodukt Om u och v tillhör R 3 (dvs är tredimensionella vektorer) så är vektorprodukten u v den vektor i R 3 som uppfyller tre villkor: 1) u v är ortogonal mot både u och v 2) u v = u v sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v 3) u, v och u v bildar en högerorienterad vektortrippel Sats 2: Beräkning av vektorprodukt u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) u 1 v 2 u 2 v 1

6 Egenskaper hos vektorprodukten Om u, v, w R 3 och α R så gäller 1. u u = 0 2. u v = v u 3. (u + v) w = u w + v w 4. u (v + w) = u v + u w 5. α(u v) = (αu) v = u (αv) 6. u (u v) = 0 och v (u v) = 0 OBS! OBS! OBS! I allmänhet gäller att u (v w) (u v) w

7 Determinanter a b c d = ad bc a b c d e f g h i = aei + bfg + cdh afh bdi ceg a b c d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d e g h Vektorprodukt som determinant u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = i u 2 u 3 v 2 v 3 j u 1 u 3 v 1 v 3 + k u 1 u 2 v 1 v 2

8 Trippelprodukt Trippelprodukten mellan u, v, w R 3 ges av u (v w). Den beskriver bl.a. volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna (sånär som på tecknet (±)). Om u, v och w ligger i samma plan är följdaktligen trippelprodukten noll. Trippelprodukten kan också beräknas med en determinant enligt u (v w) = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3

9 Planets ekvation Givet en ortsvektor som pekar på en punkt i planet: x 0 r 0 = y 0 z 0 och en normalvektor till planet: n = A B C så beskrivs planet av alla ortsvektorer som uppfyller r = x y z n (r r 0 ) = 0. Om vi utvecklar skalärprodukten erhålls A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Detta går alltid att skriva på formen A x + B y + C z = D.

10 Linjens ekvation i tre dimensioner Givet en ortsvektor som pekar på en punkt på linjen: x 0 r 0 = y 0 z 0 och en vektor som pekar i linjens rikning: v = så beskrivs linjen av ortsvektorerna r = som erhålls för alla < t < i ekvationen a b c x y z r = r 0 + t v. Uttrycket kan också skrivas x = x 0 + a t y = y 0 + b t z = z 0 + c t P.g.a. parametern t, kallas det ovanstående för parameterform. Adams är förtjust i normalform där man eliminerar t:. (t =) x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c

11 Ekvationssystem med två linjer har antingen en gemensam punkt, ingen gemensam punkt (ej lösbart), eller oändligt många gemensamma punkter. x 2 x 1 2x 2 = 1 x 1 + 3x 2 = 3 x 1 x 2 x 1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 3 x 1 x 2 x 1 2x 2 = 1 x 1 + 2x 2 = 1 x 1

12 Ekvationssystem med tre plan en gemensam punkt: oändligt många gemensamma punkter: ingen gemensam punkt (ej lösbart):

13 Matriser Exempel: Det linjära ekvationssystemet x 1 2x 2 + x 3 = 0 2x 2 8x 3 = 8 4x 1 + 5x 2 + 9x 3 = 9 har koefficientmatris och utökad matris Matriser delas in i rader och kolonner. Elementet 8 ovan befinner sig på rad 2 och kolonn 3.

14 Elementära radoperationer 1. Addera till en rad en multipel av en annan rad. 2. Byt plats på två rader. 3. Multiplicera alla element i en rad med en konstant skilld från noll. Definition: Radekvivalens Två utökade matriser är radekvivalenta om den ena kan omvandlas till den andra via elementära radoperationer. Om två utökade matriser till två linjära ekvationssystem är radekvivalenta, så har de samma uppsättning lösningar.

15 Exempel: elementära radoperationer Den sista utökade matrisen motsvarar systemet x 1 = 29 x 2 = 16 x 3 = 3

16 Trappstegsform Den utökade matrisen kan omvandlas till en radekvivalent matris på trappstegsform: Man kan också gå vidare till reducerad trappstegsform:

17 Trappstegsform Det första elementet som är skillt från noll i en rad kallas ledande element, eller pivåelement. 1. Rader som innehåller icke-nollor är ovanför rader som endast innehåller nollor. 2. Det ledande elementet i en rad ligger till höger om det ledande elementet i raden ovanför. 3. Elementen som ligger under det ledande elementet i samma kolonn är alla noll. Exempel:

18 Reducerad trappstegsform följande villkor tillkommer De ledande elementen har värde Det ledande elementet är det enda elementet som är skillt från noll i sin kolonn. Exempel: Sats 1 Varje matris är radekvivalent med endast en reducerad trappstegsmatris.

19 Variabler som tillhör trappstegsmatrisens ledande element/pivåelement kallas bundna. Övriga variabler kallas fria. Vi finner lösningen genom att införa parametrar för de fria variablerna, och lösa ut de bundna variablerna med bakåtsubstitution, dvs vi börjar med sista ekvationen och går sedan uppåt. Trappstegsformen ger följande information 1. Om alla variabler är bundna är lösningen entydig. 2. Om någon variabel är fri, finns oändligt många lösningar. 3. Om någon ekvation är en falsk utsaga (ex. 0 = 5), så existerar ingen lösning.

20 Vektorekvationer Vektorekvationen x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b som talar om vilka linjärkombinationer av a 1, a 2,..., a n som ger vektorn b, har samma lösningar som ekvationssystemet vars utökade matris är [ a 1 a 2... a n b ]. Speciellt gäller att b endast kan bildas av linjärkombinationen om ekvationssystemet är lösbart.

21 Linjära höljet Definition Om v 1, v 2,..., v p alla tillhör R n, så benämns mängden av alla linjärkombinationer av v 1, v 2,..., v p för det linjära höljet av vektorerna v 1, v 2,..., v p med beteckning Span{v 1, v 2,..., v p }. Dvs det linjära höljet är alla vektorer som kan skrivas på formen c 1 v 1 + c 2 v c p v p. Observera att 0 alltid ingår i det linjära höljet.

22 Matris-vektor-multiplikation Om A är en m n-matris (dvs m rader och n kolonner), med kolonner a 1, a 2,..., a n, dvs A = [ a 1 a 2... a n ] och x R n är vektorn x = x 1 x 2. x n så definierar vi produkten Ax enligt: Ax = [ a 1 a 2... a n ] x 1 x 2. x n = x 1 a 1 + x 2 a x n a n dvs som en linjärkombination av kolonnerna i A med elementen i x som vikter.

23 Matrisekvationen Ax = b Sats 3: Matrisekvationen Ax = b har samma lösningar som vektorekvationen x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b och därmed också samma lösningar som det linjära ekvationssystem som har utökad matris [ ] a 1 a 2... a n b

24 Sats 4: Existens av lösning Låt A vara en m n-matris. Då är de följande påståendena ekvivalenta, dvs om ett är sant så är alla sanna 1. Ekvationen Ax = b har lösning för alla högerled b R m 2. Det linjära höljet av kolonnerna i A är lika med mängen av alla vektorer av den dimensionen, dvs om A = [ a 1 a 2... a n ] så är Span{a 1, a 2,..., a n } = R m 3. A har en pivåposition på varje rad.

25 Sats 5: Räkneregler för Ax Om A är en m n-matris, u, v R n och c R, då gäller 1. A(u + v) = Au + Av 2. A(c u) = c(au)

26 Homogena ekvationssystem Ett linjärt ekvationssystem är homogent om högerledet endast består av nollor, dvs A x = 0. Exempel: vilket är samma som x 1 x 2 = x 3 2x 1 4x 2 3x 3 = 0 4x 1 6x 2 5x 3 = 0 2x 1 + x 3 = Homogena ekvationssystem har alltid den triviala lösningen x = 0. Icke-triviala lösningar existerar om och endast om det finns fria variabler.

27 Inhomogena ekvationssystem Sats 6: Lösningsmängd Om A x = b är ett lösbart ekvationssystem, och x p är en lösning, så ges alla lösningar av x = x p + x h, där x h är alla lösningar till det homogena ekvationssystemet A x = 0.

28 Linjärt (o)beroende En uppsättning vektorer är linjärt beroende om någon av dem kan beskrivas som en linjärkombination av de andra. Detta formuleras enligt: Definition: Linjärt beroende Vetorerna v 1, v 2,..., v p är linjärt beroende om det existerar värden x 1, x 2,..., x p som inte alla är noll, så att x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0. Om det ovanstående inte gäller, dvs x 1 v 1 + x 2 v x p v p = 0. endast är uppfyllt om alla x 1, x 2,..., x p är noll, säger vi att vektorerna är linjärt oberoende.

29 Linjärt (o)beroende, forts Enligt definitionen av matris-vektor-multiplikation kan villkoret omformuleras enligt [ v 1 v 2... v p ] x 1 x 2. }{{} =A x p }{{} =x = 0 dvs ett homogent ekvationssystem A x = 0. Om endast den triviala lösningen x = 0 existerar är kolonnerna linjärt oberoende, annars är de linjärt beroende.

30 Sats 8: Givet ett antal vektorer v 1, v 2,..., v p som alla har dimension R n : Om antalet vektorer p är större än vektorernas dimension n, (dvs p > n) så är vektorerna linjärt beroende. Sats 9: Givet ett antal vektorer v 1, v 2,..., v p som alla har dimension R n : Om en av dem är nollvektorn, dvs v k = 0 för något k, så är vektorerna linjärt beroende.

31 Definition: Linjär avbildning En avbildning T är linjär om 1. T (u + v) = T (u) + T (v) för alla u, v i definitionsmängden för T. 2. T (c u) = c (T (u)) för alla u och skalärer c. Definitionen leder till följande egenskaper: T (0) = 0 T (c u + d v) = c T (u) + d T (v) T (c 1 v 1 + c 2 v c p v p ) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) + + c p T (v p )

32 Sats 10: Linjär avbildnings-matris Låt T : R n R m vara en linjär avbildning. Då existerar en unik matris A så att T (x) = A x, för alla x R n. Matrisen A har dimension m n, och kolonn k ges av T (ê k ), där ê k är kolonn k i enhetsmatrisen I n. Dvs A = [ T (ê 1 ) T (ê 2 )... T (ê n ) ]

33 Definition Den linjära avbildningen T : R n R m är surjektiv (onto) om värdemängden är hela R m. Dvs om varje y R m ges av y = T (x) för något x R n. injektiv (one-to-one) om varje y i avbildningen y = T (x) endast ges av ett x R n. (Dvs T (u) = T (v) u = v.)

34 Sats 11: Injektiva avbildningar Den linjära avbildningen T : R n R m är injektiv om och endast om T (x) = 0 bara har den triviala lösningen x = 0. (Dvs om och endast om kolonnerna i avbildningsmatrisen är linjärt oberoende). Sats 12: Surjektiva avbildningar Den linjära avbildningen T : R n R m med avbildningsmatris A är surjektiv om och endast om det linjära höljet till kolonnerna i A är lika med R m. Sats 4 ger då att A är surjektiv om och endast om A har en pivåposition på varje rad.

35 Matriser Matriser delas in i rader och kolonner. En m n-matris (m rader och n kolonner) med obestämda element skrivs A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21. a 22. a 2j. a 2n. a i1. a i2. a ij. a in. a m1 a m2 a mj a mn Elementet på rad i och kolonn j benämns a ij.. Diagonalelementen a 11, a 22, a 33,... bildar matrisens huvuddiagonal: A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34. En matris som endast består av nollor kallas nollmatris och skrivs 0.

36 Matrisaddition Matriser med lika många rader och lika många kolonner adderas elementvis. Dvs om C = A + B, så bildas alla element i C av c ij = a ij + b ij. Ex: = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 + b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 b 41 b 42 b 43 a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 a 41 + b 41 a 42 + b 42 a 43 + b 43 Multiplikation med skalär Om B = k A, så bildas alla element i B av b ij = k a ij. Ex: k a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 k a 11 k a 12 k a 13 k a 21 k a 22 k a 23 k a 31 k a 32 k a 33

37 Egenskaper Om matriserna A, B och C har samma storlek, och r och s är skalärer, så gäller följande samband 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + 0 = A 4. r(a + B) = ra + rb 5. (r + s)a = ra + sa 6. r(sa) = (rs)a

38 Matrismultiplikation Om A är en m n-matris och B är en n p- matris, så definierar vi produkten mellan A och B som en matris C med storlek m p enligt C = AB = A [ b 1 b 2... b p ] = [ Ab 1 Ab 2... Ab p ] där b 1, b 2,..., b p är kolonnerna i B.

39 Matrismultiplikation, smart genväg Om C = AB så kan vi beräkna elementet i C på rad i och kolonn j genom att ta skalärprodukten mellan rad i i A och kolonn j i B. dvs c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = n k=1 a ik b kj

40 Egenskaper Om A är en m n matris, och B och C har lämpliga storlekar, så gäller följande samband 1. A(BC) = (AB)C 2. A(B + C) = AB + AC 3. (B + C)A = BA + CA 4. r(ab) = (ra)b = A(rB) där r är en skalär 5. I m A = A = AI n OBS!!! I allmänhet gäller att AB BA.

41 Transponat Givet en m n-matris A så definierar vi transponatet till A som den n m-matris A T man får genom att byta plats på rader och kolonner. Exempelvis om A = så ges transponatet av A T =

42 Egenskaper Om A och B är matriser av lämpliga storlekar, så gäller följande samband 1. ( A T ) T = A 2. (A + B) T = A T + B T 3. (r A) T = r A T där r är en skalär 4. (AB) T = B T A T Egenskap 4. kan generaliseras till, exempelvis (ABCDE) T = E T D T C T B T A T

43 Matrisinvers Vi betraktar här endast kvadratiska matriser, dvs matriser med lika många rader som kolonner. Om A är en n n-matris och det existerar en annan n n-matris C som uppfyller att AC = I och CA = I så säger vi att A är inverterbar och har invers C. Inversen till A betecknas vanligen A 1 och uppfyller alltså AA 1 = I och A 1 A = I Matrisen A 1 är entydigt bestämd eftersom det endast finns en invers till varje inverterbar matris.

44 Sats 5: Linjära ekvationssystem Om A är en inverterbar n n-matris, så har det linjära ekvationsystemet Ax = b entydig lösning för alla b R n, och lösningen ges av x = A 1 b Sats 6: a. Om A är inverterbar, så är A 1 inverterbar och ( A 1 ) 1 = A b. Om A och B är inverterbara n n- matriser, så är AB inverterbar och (AB) 1 = B 1 A 1 c. Om A är inverterbar, så är också A T inverterbar och ( A T ) 1 = ( A 1 ) T

45 Sats 7: En n n-matris A är inverterbar om och endast om A är radekvivalent med I n. För inverterbara matriser gäller att varje sekvens av elementära radoperationer som reducerar A till I n, också avbildar I n på A 1.

46 Sats 8: Inverterbarhet Låt A vara en n n-matris. Då är de följande påståendena ekvivalenta, dvs om ett är sant så är alla sanna. a. A är inverterbar. b. A är radekvivalent med I n. c. A har n pivåpositioner. d. Den homogena ekvationen Ax = 0 har endast den triviala lösningen x = 0. e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende. f. Avbildningen x Ax är injektiv. g. Ax = b har lösning för varje b. h. Kolonnerna i A spänner upp R n. i. Avbildningen x Ax är surjektiv. j. Det finns en matris C så att CA = I n. k. Det finns en matris D så att AD = I n. l. A T är inverterbar. Om A är en n n-matris som ej är inverterbar säger vi att A är singulär.

47 Definition: determinant Determinanten till en 1 1-matris är matrisens skalära värde (ex. det[5] = 5). Determinanten till en n n-matris, då n 2, är en viktad summa av determinanter till n st. (n 1) (n 1)-matriser enligt formeln det(a) = a11 det(a11) a12 det(a12) + + ( 1) 1+n a1n det(a1n) = n j=1 ( 1) 1+j a1j det(a1j) där Aij är den matris som erhålls om rad i och kolonn j tas bort från A.

48 Utveckling efter rad och kolonn Låt C ij = ( 1) i+j det(a ij ) beteckna kofaktorn för rad i och kolonn j till matrisen A. Då gäller enligt definitionen av determinant det(a) = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n. Detta är utvecklingen efter rad 1. Man kan dock utveckla efter en godtycklig rad eller kolonn Sats 1 Utveckling efter rad i: det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in Utveckling efter kolonn j: det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj

49 Sats 2 Om A är en triangulär matris, så är det(a) produkten av elementen på diagonalen av A. Sats 3: Radoperationer Låt A vara en kvadratisk matris. a. Om matrisen B bildas genom att ta en multipel av en rad i A och lägga till en annan, så gäller det(b) = det(a). b. Om B bildas genom att byta plats på två rader i A, så gäller det(b) = det(a). c. Om B bildas genom multiplicera en rad i A med k, så gäller det(b) = k det(a).

50 Sats 4 En kvadratisk matris A är inverterbar, om och endast om det(a) 0. Sats 5 Om A en kvadratisk matris så gäller det(a T ) = det(a) Sats 6 Om A och B är n n-matriser så gäller det(a B) = det(a) det(b)

51 Sats: Inverterbarhet Låt A vara en n n-matris. Då är de följande påståendena ekvivalenta, dvs om ett är sant så är alla sanna. a. A är inverterbar. b. A är radekvivalent med I n. c. A har n pivåpositioner. d. Den homogena ekvationen Ax = 0 har endast den triviala lösningen x = 0. e. Kolonnerna i A är linjärt oberoende. f. Avbildningen x Ax är injektiv. g. Ax = b har lösning för varje b. h. Kolonnerna i A spänner upp R n. i. Avbildningen x Ax är surjektiv. j. Det finns en matris C så att CA = I n. k. Det finns en matris D så att AD = I n. l. A T är inverterbar. t. det(a) 0. Om A är en n n-matris som ej är inverterbar säger vi att A är singulär.

52 Sats 9 Om A är en 2 2-matris så är det(a) arean av parallellogrammet som spänns upp av kolonnerna i A. Om A är en 3 3-matris så är det(a) volymen av parallellepipeden som spänns upp av kolonnerna i A.

53 Låt A i (b) beteckna den matris man får om man byter ut kolonn i i A mot vektorn b, dvs A i (b) = [ a 1 a 2... b... a n ] pos. i Sats 7: Cramers regel Om A är en inverterbar n n-matris, och b R n, så ges elementen i lösningen x till A x = b av x i = det A i(b) det A

54 Kofaktorn C ij ges av C ij = ( 1) i+j det(a ij ) där A ij är den matris man får om man tar bort rad i och kolonn j ur A. Den adjungerade matrisen till A ges av adj A = C 11 C 21 C n1 C 12. C 22. C n2. C 1n C 2n C nn Observera att rad och kolonnindex har bytt plats. Sats 8: Om A är en inverterbar n n-matris. Då är A 1 = 1 det A adj A

55 Sats 10 Låt T : R 2 R 2 vara den linjära avbildning som alstras av 2 2-matrisen A. Om S är ett parallellogram i R 2, så är {arean av T (S)} = det(a) {arean av S} Låt istället T : R 3 R 3 vara den linjära avbildning som alstras av 3 3-matrisen A. Om S är en parallellepiped i R 3, så är {volymen av T (S)} = det(a) {volymen av S}

56 Ett generellt område approximerat med parallellogram : 0 0 Linjär avbildning av approximerat område: T R 0 0 T(R ) Slutsats: Sats 10 gäller för generella begränsade områden.