Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så att samma räkneregler gäller som för de reella talen R Symbolerna kallas då vektorer Det ska speciellt finnas en vektor med egenskapen att u + u för alla u Denna vektor kallas nollvektorn Vi har också räkneregeln att u + ( )u för alla u Vektorn ( )u skriver vi u Slutligen kan vi nämna att talet gånger u alltid blir, dvs nollvektorn EXEMPEL De reella talen R kan vi göra till ett vektorrum V R Vi inför symbolerna u x där x är ett reellt tal Vi definierar addition av symbolerna som x + y x + y multiplikation med ett reellt tal c som c x cx Nollvektorn blir då x + ( ) y x + y x y Symbolen x är det enklaste exemplet på en matris, en så kallad matris Den har en rad en kolonn ÖVNING Beräkna a) + 4 b) 4 c) EXEMPEL Punkterna i planet kan vi också göra till ett vektorrum V R Om vi har ett koordinatsystem i planet har varje punkt två koordinater (x, ) När vi gör planet till ett vektorrum med vektorerna u inför vi symbolerna u Också denna symbol är exempel på en matris, en så kallad matris Den har rader kolonn Vi definierar addition av symbolerna som y + y + y + y

2 multiplikation med ett reellt tal c som c c c Då blir t ex nollvektorn ÖVNING Beräkna EXEMPEL 3 Punkterna i rummet kan vi också göra till ett vektorrum V R 3 Om vi har ett koordinatsystem i rummet har varje punkt tre koordinater (x,, x 3 ) När vi gör rummet till ett vektorrum med vektorerna u inför vi symbolerna u Också denna symbol är exempel på en matris, en så kallad 3 matris Den har 3 rader kolonn Vi definierar addition av symbolerna som x y x + y + y + y x 3 y 3 x 3 + y 3 x x 3 multiplikation med ett reellt tal c som x c x 3 Då blir t ex nollvektorn c x c c x 3 ÖVNING 3 Beräkna + ( 3) 3

3 Geometrisk tolkning i vektorrummen R, R R 3 Två vektorer x y representeras av två sträckor med startpunkt i origo ändpunkterna i x respektive y på tallinjen R Summan blir då en sträcka med ändpunkten i x + y Om c är ett reellt tal blir c x c x en sträcka med ändpunkten i c x Sträckan cx byter riktning jämfört med x om c är ett negativt tal R Klicka på Figur R Två vektorer y y representeras av två sträckor med startpunkt i origo (, ) ändpunkterna i punkten (x, ) respektive (y, y ) i planet R Summan blir då en sträcka med ändpunkten i (x + y, + y ) som bestämmes med en parallellogram Om c är ett reellt tal blir c c c en sträcka med ändpunkten i (c x, c ) Sträckan byter riktning om c är ett negativt tal Figur R 3 Två vektorer x x 3 representeras av två sträckor med startpunkt i origo (,, ) ändpunkterna i punkten (x,, x 3 ) respektive (y, y, y 3 ) i rummet R 3 Summan blir då en sträcka med ändpunkten i (x +y, +y, x 3 +y 3 ) som bestämmes med en parallellepiped Vi avstår från att försöka illustrera med en tre-dimensionell figur y y y 3

4 Om c är ett reellt tal blir c x x 3 c x c c x 3 en sträcka med ändpunkten i (c x, c, x 3 ) Sträckan byter riktning om c är ett negativt tal ÖVNING 4 Beräkna 3 + ( 3) avgör om vektorn ligger över eller under xy planet om vi har infört koordinatsystemet (x, y, z) i rummet 3 4 Linjära kombinationer, baser För att enkelt kunna illustrera våra begrepp låter vi vektorerna tillhöra R Låt y vara två vektorer i R Om c c är reella tal så kallar vi uttrycket y c + c y y en linjär kombination av vektorerna y y EXEMPEL 4 Varje vektor i R kan vi skriva så här: x + dvs som en linjär kombination av

5 Vi har använt räknereglerna för vektorer i R är en så kallad bas för R Denna enkla bas kallas för standardbasen i R Figur 3 Standardbasen i R ÖVNING 5 Visa steg för steg med räknereglerna för vektorrum att x + x ÖVNING 6 Försök lista ut vilken standardbasen är i R samt i R 3 Ekvationssystem, vektorrum matriser Vi ska nu införa det viktiga hjälpmedlet matris med hjälp av vad vi lärt oss om ekvationssystem vektorrum Betrakta ekvationssystemet i EXEMPEL i avsnittet om ekvationssystem + x Vänsterledet består av två tal, nämligen talet x + samt x + 5 Dessa två tal kan vi använda för att bilda en vektor i R, nämligen + x + 5 som vi kan skriva som linjärkombinationen x + x 5 ÖVNING 7 Verifiera detta Högerledet består också av två tal, 7, som vi kan använda för att bilda vektorn i R 7

6 Ekvationssystemet betyder att linjärkombinationen i vänster led är lika med vektorn i höger led, dvs x + 5 Att lösa ekvationssystemet handlar alltså om att lösa ett geometriskt problem: Finns det tal x så att en linjär kombination 7 x + 5 av vektorerna 5 kan bli vektorn 7 När vi löste ekvationssystemet fann vi att den enda lösningen var x, dvs den linjära kombinationen + är lika med 5 7? Betrakta det allmänna ekvationssystemet med två variabler två obekanta a x + a b a x + a b Enligt diskussionen ovan kan vi skriva detta ekvationssystem på formen x a a + a a dvs vänstra ledet är en linjär kombination av två vektorer, representerade av kolonnmatriserna a a a a b b Vi inför nu följande skrivsätt a a x + x a a a a a a Ax

7 där kallas en matris a a A a a x är en vektor i R I detta fall har matrisen rader kolonner Den är då av typen På motsvarande sätt kan vi skriva t ex ekvationssystemet a x + a + a 3 x 3 b på formen där x a a + a a a x + a + a 3 x 3 b + x 3 a3 a 3 A a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 x x 3 Ax Matrisen A är här en matris med rader 3 kolonner, som kallas en matris av typ 3 ÖVNING 8 Skriv följande ekvationssystem på formen Ax Ange matrisen A, dess typ samt vektorn x a) x + + 3x 3 b) x 4 + 7x x 3 x x 3 3

8 Determinanter Det finns ett utomordentligt vackert sätt att geometrisk beskriva när ett så kallat kvadratiskt ekvationssystem har precis en lösning, oändligt många lösningar eller inga lösningar alls I ett kvadratiskt ekvationssystem Ax b har matrisen A samma antal rader som kolonner, dvs den är av typ n n Ett annat sätt att karakterisera ett kvadratiskt ekvationssystem är att antalet ekvationer är lika med antalet obekanta Vi illustrerar metoden i fallet med kvadratiska ekvationssystem där matrisen A är av typ EXEMPEL 5 Ekvationssystemet x + a x + b kan efter första delen av Gauss elimination skrivas + a + a + b det framgår att systemet har precis en lösning för alla högerled Ekvationssystemet kan också geometriskt beskrivas som x + a b problemet handlar om huruvida de två vektorerna kan multipliceras med lämpliga tal sedan adderas med parallellogramlagen så att summan blir vektorn a b Intuitivt verkar detta vara möjligt om vektorerna pekar åt olika håll i planet EXEMPEL 6 Ekvationssystemet x + a x + b

9 kan efter första delen av Gauss elimination skrivas x + a x + b a det framgår att systemet har oändligt många lösningar om b a men ingen lösning alls om b a Ekvationssystemet kan också geometriskt beskrivas som x + vänsterledet är tydligen en rät linje som går genom origo t ex punkten (, ) Då får vi ingen lösning om a b ligger utanför linjen men oändligt många lösningar då vektorn ligger på linjen a b Det är tydligen viktigt att undersöka när två vektorer pekar åt olika håll Betrakta vektorerna a b c d i planet Man kan säga att de pekar åt olika håll när parallellogrammen som bestäms av vektorerna har en area som inte är noll Man kan visa att arean är ad bc där tecknet på arean beror på i vilken ordning vektorerna tas upp i parallellogrammen Detta uttryck kallas determinanten av matrisen A a b A c d betecknas det A Vi har alltså formeln a b det ad bc c d Av diskussionen ovan kan vi dra slutsatsen att ekvationssystemet a +b h cx +d k har precis en lösning om endast om determinanten ad bc av systemets matris är Beviset för parallellogrammens area är synnerligen intressant men vi tar inte upp detta här nu Den algebraiska delen av beviset bygger på att determinanten av

10 en matris inte beror på om vi gör radoperationer på denna, dvs t ex utför en Gauss elimination (radbyte ändrar dock tecken på determinanten) Vi kan t o m på samma sätt utföra kolonnoperationer ÖVNING 9 a) Vad är det Vad är arean av den parallellogram som spänns av kolonnerna i matrisen? Figur 4 b) Med hjälp av resultatet i a) kan man direkt avgöra vilka lösningarna är till ekvationssystemet +3 4x +5 Vad kan det vara för resonemang som ligger bakom detta påstående?? Matrisinvers När ett kvadratiskt ekvationssystem har precis en lösning har systemets matris A en så kallad invers matris A Vi illustrerar detta i ett exempel EXEMPEL 7 Betrakta ett ekvationssystem med två variabler två obekanta a x + a y a x + a y där vi antar att systemet har precis en lösning, dvs att determinanten av systemets matris är nollskild a a det A det a a a a a a Om vi löser systemet, t ex med Gauss eliminationsmetod, får vi (y det A a a + y a a ) a a det A a a y y Matrisen a a det A a a

11 är den inversa matrisen A till matrisen A Vi kan alltså lösa systemet genom att beräkna den inversa matrisen då det A ÖVNING Lös ekvationssystemet x 3 4 genom att först beräkna systemets inversa matris Matrismultiplikation Vi ska bara antyda hur multiplikation av matriser uppstår på ett naturligt sätt EXEMPEL 8 Betrakta ekvationssystemen a x + a y a x + a y dvs samt ekvationssystemet x a a + a a y y dvs b y + b y z, y b + y b z Det första systemet har alltså matrisen a a A a a det andra systemet matrisen B b b Med hjälp av de båda ekvationssystemen kan vi uttrycka z med hjälp av x erhålla ett ekvationssystem med de obekanta x samt högerledet lika med z Genom substitution får vi z b (a x + a ) + b (a x + a )

12 (b a + b a )x + (b a + b a ) x b a + b a + b a + b a b a + b a b a + b a Cx Genom att sätta samman två ekvationssystem får vi ett nytt ekvationssystem med matrisen C Denna matris är matrisprodukten BA, dvs BA b b a a a a b a + b a b a + b a Matrisen B är av typen matrisen A av typen Produkten BA blir av typen Det uttryck för produkten som vi härlett i detta exempel kallas rad-kolonn regeln för matrismultiplikation ÖVNING Beräkna matrisprodukten BA EXEMPEL 9 Produkten av två matriser definieras enligt rad-kolonn regeln på följande sätt a a b b a b + a b a b + a b a a b b a b + a b a b + a b ÖVNING a) Låt A 3 A 3 Beräkna AA samt A A b) Låt Beräkna BC samt CB B C