Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3"

Transkript

1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen till avsnitt tre i distanskursen i linjär algebra! Det är här kursens kärna ligger, och de grundläggande begreppen i linjär algebra presenteras. De inledande avsnitten om linjära ekvationssystem och matriser var just en inledning! Kapitel 4 beskriver det n-dimensionella rummet R n, där n är ett positivt heltal, och linjära avbildningar från R n till R m. Vi finner att sådana linjära avbildningar svarar direkt mot m n - matriser. I kap 4.2 och 9.2 studerar vi geometrin för olika typer av linjära avbildningar i planet och i rymden, såsom speglingar, vridningar, projektioner m.m. Kap innehåller de mest centrala delarna av kursen. Här definieras grundbegreppen vektorrum, linjärkombination, linjärt hölje, linjärt oberoende, bas och dimension. I kap 5.5 och 5.6 används dessa grundbegrepp för att närmare lära känna matriser, linjära ekvationssystem och kopplingarna mellan dessa. Vid tidsbrist kan man fästa mindre vikt vid dessa delar av kursen. Läsanvisningar och kommentarer till läroboken Kap 4 Euklidiska vektorrum När man ser hur räknesätten fungerar komponentvis för vektorer med två resp. tre komponenter, är det inte svårt att föreställa sig hur de skulle ta sig ut om antalet komponenter vore ett annat. Vid summering av vektorer adderas komponenterna parvis, vid multiplikation av vektor med tal multipliceras varje komponent med talet, och när man beräknar en skalärprodukt multipliceras komponenterna parvis, och resultaten adderas. Det exakta antalet komponenter är inte kritiskt, räknesätten fungerar på samma sätt oavsett detta antal. Det är följaktligen en naturlig generalisering att tänka sig vektorer som specificeras av n komponenter: u = (u 1,u 2,...,u n ). Vi överger därmed betraktelsesättet att vektorer i första hand är geometriska objekt till förmån 1

2 för ett algebraiskt synsätt: en vektor är ett element i R n, där R n är mängden av alla n-tupler (ordnade följder av n reella tal). 4.1 Euklidiska n-dimensionella rummet Här ges grundläggande definitioner för vektorer i R n som direkt svarar mot dem som gäller för vektorer i planet (R 2 ), resp. i rymden (R 3 ). I sats sammanfattas de viktigaste räknereglerna. Skalärprodukten u v definieras här på vanligt sätt. Den kallas dock i stället för inre produkt (inner product). En inre produkt definierad på detta sätt kallas för den Euklidiska inre produkten. 1 Normen för en vektor definieras på ett sätt som ger resultaten i kapitel 3 som specialfall. Observera dock att den grundläggande definitionen är u = (u u) 1/2, och att normens beroende av komponenterna därmed inte, som i kapitel 3, baseras på en geometrisk åskådning och på Pytagoras sats 2. När man sysslar med geometri i planet (eller i rymden) är punkter och vektorer olika typer av objekt. Beskriver man vektorer med komponenter och punkter med koordinater ser dock representationerna lika ut: talpar (eller taltripletter) för såväl punkter som vektorer. Mängden av punkter i planet är R 2 och mängden av vektorer i planet är också R 2. I rymden är såväl mängden av punkter som mängden av vektorer R 3. I R n finns inte längre någon klar åtskillnad mellan punkter och vektorer. Vi kan, efter behag, referera till elementen i R n som punkter i R n eller som vektorer i R n. I definitionen av avståndet mellan två element i R n d(u,v) = u v, har vi alltså frihet att säga att vänsterledet är avståndet mellan punkterna u och v, och högerledet är normen av differensen mellan vektorerna u och v. Notera gärna hur estetiskt tilltalande dessa definitioner av norm och avstånd är, jämfört med formlerna (1) till (4) på sid Observera också att dessa formler fås som specialfall av definitionerna i R n då n = 2 resp I kapitel 6 diskuteras andra sätt att definiera inre produkt. 2 Pytagoras sats förutsätts inte, utan kan bevisas enkelt m.h.a. vektorer och inre produkt, som på sid Tyvärr har ett korrekturfel slunkit igenom: u skall vara v på ett ställe i beviset. 2

3 Två viktiga olikheter, som gäller för alla vektorer u och v i R n, är Cauchy-Schwarz olikhet u v u v och triangelolikheten u + v u + v. Den senare följer ur den förra (se beviset på sid 172). Beviset för Cauchy- Schwarz olikhet bygger på ett litet trick, och presenteras i kap Vi kan (oberoende av dessa algebraiska bevis) lätt övertyga oss om att olikheterna gäller i fallen n = 2 resp. 3. Vi har ju u v = u v cos (där är vinkeln mellan u och v), och eftersom cos 1 för alla vinklar följer Cauchy-Schwarz olikhet. Triangelolikheten kan tolkas geometriskt som att en sida i en triangel inte kan vara längre än de båda andra tillsammans (se Fig 2(b)). Olikhetens namn förknippas med denna tolkning. Triangelolikheten kan också formuleras som i sats 4.1.5(d) med hjälp av avståndsfunktionen. Jämför Fig 3 (och observera att vi här betraktar u, v och w som punkter). Ortogonalitet är ett centralt begrepp i R n även då n>3. Om u v = 0 sägs u och v vara ortogonala. Vi kommer framöver i kursen att intressera oss mycket för denna egenskap, som har den trevliga effekten att förenkla beräkningar. Kap 4.1 avslutas med en betraktelse över de algebraiska likheterna mellan räknesätten för å ena sidan vektorer i R n och å andra sidan matriser av typen n 1 eller 1 n. Det visar sig ofta vara praktiskt att kunna växla mellan synsätten att objekten man räknar med är vektorer resp. matriser (eller rader eller kolonner i matriser). Övningar: 1, 4, 5c, 6ace, 7, 8, 9ac, 10, 11ac, 14ef, 17ad, 18a. 4.2 Linjära transformationer från R n till R m Kapitlet inleds med en kortfattad repetition av vad en funktion är. En funktion från A till B är en regel som till varje element i en mängd A ordnar exakt ett element i en mängd B. Det är viktigt att ha klart för sig att det är denna definition av funktionsbegreppet som är den grundläggande. (Den grafiska/geometriska bilden av en funktion som en kurva i ett koordinatsystem är användbar bara för att åskådliggöra funktioner från R till R.) Definitionsmängden A och målmängden B behöver inte bara bestå av reella tal, utan kan vara godtyckliga mängder. Här kommer vi att betrakta funktioner från R n till R m. Ett grundläggande begrepp i linjär algebra är linjär avbildning (linear transformation). Linjära avbildningar är ett slags funktioner 4 som 3 Där visas Cauchy-Schwarz olikhet inte bara för en Euklidisk utan för en allmän inre produkt. 3

4 kännetecknas av ett par trevliga egenskaper, som gör funktionerna lätta att räkna med. Dessa egenskaper kan i ord formuleras så här: bilden av en summa är summan av bilderna, och bilden av en multipel är multipeln av bilden. Mer exakt: funktionen T från R n till R m sägs vara linjär om det gäller att T(x 1 + x 2 ) = T(x 1 ) + T(x 2 ), och att T( x) = T(x) för alla vektorer x, x 1 och x 2 i R n och alla reella tal. Anton föredrar att basera definitionen av linjär transformation på en komponentframställning och på begreppet linjär ekvation (studera sid 182). Ovanstående egenskaper för linjär avbildning presenteras i stället som en sats (4.3.2 på sid 203). Denna definition leder direkt till det mycket viktiga resultatet att linjära avbildningar från R n till R m svarar mot m n -matriser. Påståendet att en vektor w i R m är bilden (under en linjär avbildning T) av en vektor x i R n, d v s w = T(x), kan skrivas w = Ax. Att avbilda vektorn x med avbildningen T är alltså detsamma som att multiplicera x med en viss m n -matris A. 5 (Vektorn x uppfattas här som en kolonnmatris.) Om du tycker att detta verkar knepigt, så kan jag lugna dig. Det är lika enkelt som att linjära ekvationssystem kan uttryckas med hjälp av matrismultiplikation (sid 33). Titta på exempel 2, sid 183! En geometrisk tolkning är ofta bra för förståelsen av algebraiska sammanhang. En linjär avbildning 6 från R 2 till R 2 resp. från R 3 till R 3 kan ges en klar geometrisk tolkning, som exempelvis en spegling, vridning, projektion eller skalförändring. Detta åskådliggörs i tabellerna 2 till 9. (Observera att man inte här, som när det gäller funktioner från R till R, grafiskt kan visa hur alla element avbildas. Man nöjer sig med att illustrera hur ett, godtyckligt, element avbildas. 7 ) Lär dig ordentligt dessa typer av avbildningar. (Formel (17) behöver dock inte läras in. Det räcker med vridningar kring koordinataxlarna, tab 7.) Sammansättningar av linjära avbildningar svarar mot multiplikation av motsvarande matriser. Observera att den avbildning/matris som har sin verkan först står längst till höger. 4 Termerna avbildning, funktion och transformation betyder i den här kursen i stort sett samma sak. I vissa andra sammanhang används termen transformation dock bara för inverterbara funktioner, som exempelvis vid byte av koordinatsystem (koordinattransformation). 5 Jämför gärna med situationen för linjära funktioner från R till R (specialfallet n=m=1). Det är inte svårt att se att det då gäller att T(x)=ax. När vi går från funktioner R R till funktioner R n R m, så byts skalären (1 1 - matrisen) a mot m n - matrisen A. I grunden gäller dock hela tiden att en linjär funktion svarar mot multiplikation med konstant. 6 En linjär avbildning från R n till R n kallas också för en linjär operator på R n. 7 Detta är ju lika bra! Vet man vad som gäller för ett godtyckligt element, så vet man vad som gäller för alla. 4

5 Övningar: 1b, 2a, 4a, 5a, 6b, 8c, 9a, 10a, 12d, 13b, 14b, 16b, 17a, 20d. 4.3 Egenskaper för linjära transformationer från R n till R m En viktig klass av avbildningar har egenskapen att olika element inte kan ha samma bild. Om det för alla u och v gäller att u v T(u) T(v), så sägs avbildningen T vara en-entydig 8 (one-to-one). Bland våra linjära avbildningar kan vi geometriskt förstå att vridningar och speglingar, men inte projektioner, har denna egenskap. En-entydighet är en förutsättning för inverterbarhet. En en-entydig linjär operator på R n är inverterbar. Detta innebär att det finns en linjär operator T 1 sådan att T 1 (T(x)) = T(T 1 (x)) = x för alla x. (Se Fig 3 för en geometrisk åskådning.) Om A är matrisen för avbildningen T så är A 1 matrisen för T 1. Ett viktigt och användbart resultat presenteras som sats 4.3.3, nämligen att kolonnerna i matrisen för avbildningen T är bilderna under T av basvektorerna e 1, e 2,..., e n. Se till att du förstår härledningen på sid 204. Alltså: när vi vet hur basvektorerna avbildas, så kan vi direkt skriva upp matrisen för avbildningen. Studera exempel 6. (Vad är determinanten för avbildningens matris? Är avbildningen inverterbar?) Vi har tidigare snuddat vid begreppen egenvektor och egenvärde till matris (sid 96-98). Med tanke på den intima kopplingen mellan matriser och linjära avbildningar är det kanske inte förvånande att man också kan tala om egenvektor och egenvärde till linjär avbildning. En trevlig effekt av denna koppling är att vi kan få en geometrisk tolkning av vad en egenvektor är. I exempel 7 och 8 avhandlas egenvektorer och egenvärden till en vridning resp. en projektion. Fundera gärna själv över motsvarande situation för en spegling, t.ex. spegling i x-axeln (i R 2 ). Övningar: 1ab, 2ab, 3, 5ab, 6a, 7ab, 8ab, 9b, 10b, 12abcdef, 13a, 14a, 18ac, 19c. Innan vi fortsätter med kapitel 5, som är ganska abstrakt, så sticker vi emellan med kapitel 9.2. Där tittar vi lite närmare på geometrin för ytterligare några linjära avbildningar i planet. 9.2 Geometri för linjära operatorer på R 2 I detta avsnitt, som är ganska tillämpningsinriktat, studerar vi linjära avbildningar av geometriska figurer i planet. Om vi betraktar elementen i R 2 8 En synonym term är injektiv. 5

6 som punkter, snarare än (geometriska) vektorer, är det inte svårt att förstå matematiken bakom spegling, vridning o.s.v. av figurer. Varje punkt i figuren avbildas ju enligt samma regel. Förutom de linjära avbildningar som beskrevs i kap 4.2 tas här upp töjning (expansion) och kompression, som är förstoring resp. förminskning i viss riktning, samt skjuvning (shear), som också är riktningsberoende. Begreppet elementär matris kommer till användning. Detta är en matris som kan fås från enhetsmatrisen med en enda elementär radoperation. Sats sammanfattar några geometriska egenskaper hos (inverterbara) linjära avbildningar i planet. En följd av satsen är att trianglar avbildas på trianglar och parallellogrammer på parallellogrammer. Övningar: 1ac, 6ef, 12bc, 13ac, 15bc, 16, 17ace, 18. Kap 5 Allmänna vektorrum I detta kapitel definieras de centrala grundbegreppen i den linjära algebran: vektorrum, linjärt oberoende, bas och dimension. 5.1 Reella vektorrum Nu är det dags att ta det slutliga steget i abstraktion av begreppet vektor: från geometriska vektorer (pilar), till talpar/taltripletter, till n-tupler, till element i vektorrum. Ett vektorrum är en mängd där vi har definierat två räknesätt för elementen: addition av två element och multiplikation av element med tal. Båda räknesätten ger som resultat ett element i mängden. 9 Det ska finnas ett nollelement. Vidare ska välkända, enkla räkneregler gälla. 10 Dessa egenskaper (axiomen) är modellerade efter vad som gäller för R n. R n är alltså urtypen för vektorrum. Kan man tänka sig konkreta exempel på andra typer av vektorer än våra vanliga n-tupler? Ja, exempelvis matriser, med vanliga räknesätt (Ex 2 och 3), eller funktioner, med räknesätt definierade som i Ex 4. Övningar: 1, 4, 6, 10, 11, 12, 13, Detta innebär att vektorrum alltid innehåller oändligt många element. Undantag är det triviala vektorrummet, vars enda element är Observera att vi inte behöver definiera skalärprodukt (d.v.s. inre produkt) för att ha ett vektorrum. Denna behövs däremot för begrepp som norm, avstånd och ortogonalitet, och behandlas i kap 6. 6

7 5.2 Delrum I ett givet vektorrum är det ofta så att en viss del av elementen själva utgör ett vektorrum (med samma räknesätt). Då talar man om ett delrum 11 (subspace). För att undersöka huruvida en delmängd är ett delrum räcker det med att kontrollera axiomen (1) och (6), d.v.s. att delmängden skall vara sluten under räknesätten. Ett geometriskt exempel: en linje genom origo är ett delrum till R 3 (Ex 2). Varför? Jo, summan av två vektorer på linjen blir ju en vektor på linjen, och en vektor på linjen multiplicerad med ett tal blir också en vektor på linjen. Ett korrekturfel har slunkit igenom på sid 223: ordet not skall vara med i rutan vid Fig 3. Ex 4 och Ex 5 ger exempel på delrum till vektorrum av matriser resp. funktioner. Ett viktigt resultat är att lösningarna till ett homogent linjärt ekvationssystem med n obekanta utgör ett delrum till R n. Detta kan förstås algebraiskt i det allmänna fallet som på sidan 225, och geometriskt i fallet n = 3 när man betänker att lösningarna till ekvationssystemet svarar mot origo, en linje genom origo eller ett plan genom origo, beroende på om antalet fria variabler (d.v.s. antalet parametrar i lösningen) är 0, 1 eller 2. Studera Ex 7. Definitionen på sid 226 av linjärkombination av vektorer är central. Detta begrepp är något av grundbulten för den linjära algebran. Innebörden är enkel. En linjärkombination av ett antal vektorer innebär att vektorerna multipliceras med varsitt tal och resultaten adderas. Läs och begrunda Ex 8 och 9. Om man utgår från en uppsättning vektorer v 1, v 2,..., v r i ett vektorrum V, och studerar mängden av alla linjärkombinationer av dessa vektorer, så har man ett delrum till V. Detta är inte svårt att visa, eftersom en summa av linjärkombinationer av dessa vektorer också är en linjärkombination av samma vektorer, och detsamma gäller för en multipel. Detta delrum kallas för det linjära höljet till v 1, v 2,..., v r (space spanned by v 1, v 2,..., v r ), och betecknas span{v 1, v 2,..., v r }. 12 När man säger att ett vektorrum (eller delrum) spänns upp av en uppsättning vektorer menar man att varje vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i uppsättningen ifråga. För att skaffa sig en bild av vad detta innebär är det bra att tänka på ett någotsånär påtagligt geometriskt exempel. (Jämför Fig 5 på sid 228.) I den tredimensionella rymden R 3 gäller att en vektor spänner upp en linje genom origo. Alla linjärkombinationer är då helt enkelt alla multipler av vektorn. 11 Den synonyma termen underrum förekommer också. 12 Ibland skriver man på svenska lin i stället för span för att beteckna det linjära höljet. 7

8 Två (icke-parallella) vektorer spänner upp ett plan genom origo. Och tre vektorer (som inte ligger i samma plan) spänner upp hela rymden. Övningar: 1ab, 2ac, 3ac, 4ac, 5b, 6bdf, 7ac, 10ab, 11ac, 13, 14ac. 5.3 Linjärt oberoende Begreppet linjärt oberoende är centralt. En uppsättning vektorer sägs vara linjärt oberoende (linearly independent) om ingen av dem kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga. Detta kan formuleras som i definitionen på sidan 232, nämligen att det enda sättet att uttrycka nollvektorn som en linjärkombination av vektorerna är att låta samtliga koefficienter vara lika med noll. Om vektorerna inte har denna egenskap sägs de vara linjärt beroende (linearly dependent). Innebörden av linjärt beroende kan sägas vara att uppsättningen innehåller minst en onödig vektor, i så måtto att den kan plockas bort utan att rummet som spänns upp av de återstående vektorerna blir mindre. Vi håller på att arbeta oss fram till begreppet bas för vektorrum. En bas är en minimal uppsättning vektorer som spänner upp hela rummet. Vi vill inte ha med några onödiga vektorer i basen, utan kräver att den ska vara linjärt oberoende. Mer om detta i kap 5.4. Du rekommenderas varmt att skaffa dig förståelse för begreppet linjärt oberoende både algebraiskt (Ex 1-7 och satserna ) och geometriskt (Fig 1 och 2). De sista två sidorna, om linjärt oberoende för funktioner, kan hoppas över. Övningar: 2abd, 3a, 4ad, 5a, 6c, 7a, 15, Bas och dimension Nu är det dags att koppla ihop begreppen spänna upp och linjärt oberoende. Vad vi är ute efter är ett enhetligt sätt att referera till elementen i ett vektorrum. Vi vill ha en uppsättning vektorer, en bas, sådan att varje element i vektorrummet på ett entydigt sätt kan skrivas som en linjärkombination av dessa vektorer. Basen skall alltså spänna upp vektorrummet, d.v.s. varje vektor i rummet skall kunna uttryckas som en linjärkombination av vektorerna i basen. Samtidigt skall basen vara linjärt oberoende, d.v.s. ingen vektor skall kunna skrivas på mer än ett sätt som en linjärkombination av vektorerna i basen. Detta leder oss till definitionen av bas för vektorrum på sid 244. Observera att basen i sig inte är unik; för varje 13 vektorrum finns det oändligt många tänkbara baser. 13 Utom för det triviala vektorrummet, vars enda element är 0. 8

9 Om vi en gång för alla bestämmer oss för att räkna upp basvektorerna i en viss ordning, så kan vi referera till en vektor v i rummet genom att i motsvarande ordning ange koefficienterna i den linjärkombination av basvektorerna som är lika med v. (Se koordinater relativt en bas längst ned på sid 244.) Om basvektorerna är n till antalet, kan vi alltså entydigt ange en vektor v med hjälp av en n-tupel. 14 Denna kallas koordinatvektorn för v relativt basen S, och koefficienterna kallas koordinaterna för v relativt basen S. När man anger vektorer i R n som n-tupler är det underförstått att komponenterna är koordinater relativt standardbasen e 1, e 2,..., e n. Lär dig vad denna är, och gå igenom Ex 1-6. När vi diskuterade koordinatvektorer ovan förutsatte vi att antalet vektorer i basen var n st., d.v.s. ändligt. Ett sådant vektorrum kallas ändligtdimensionellt. 15 Satserna och säger att alla tänkbara baser för ett sådant vektorrum måste bestå av samma antal vektorer. Detta antal kallas för vektorrummets dimension. Resten av kap 5.4 utvecklar ytterligare sambanden mellan de grundläggande begrepp vi nu, förhoppningsvis, har lärt oss. Övningar: 2ac, 3ac, 4c, 5, 7ab, 9b, 11, 14, Radrum, kolonnrum, nollrum Kapitel 5.5 och 5.6 är inte lika grundläggande för den linjära algebran som Här tillämpas i stället idéerna på matriser och på linjära ekvationssystem, vilket leder till en djupare förståelse för sambanden mellan dessa. En m n - matris A kan sägas innehålla m st. radvektorer som är element i R n, och dessutom n st. kolonnvektorer som är element i R m. Det linjära höljet till radvektorerna kallas radrummet till A, och är ett delrum till R n. Kolonnvektorerna spänner på samma sätt upp ett delrum av R m, som kallas kolonnrummet till A. Nollrummet (nullspace) kallas lösningsrummet till systemet Ax = 0. Detta är ett delrum till R n. Läs delkapitlet med målsättningen att lära dig hur man kan hitta baser för dessa delrum. Övningar: 2a, 3bc, 6ac, 8ac, 9ac. 14 Det är ju precis så vi brukar ange elementen i R n! Tänker man efter hur räknesätten (addition och multiplikation med tal) fungerar kommer man fram till att varje vektorrum med n vektorer i basen i själva verket har samma matematiska struktur som R n. 15 Det finns också vektorrum som inte har någon bas bestående av ändligt många vektorer; sådana rum kallas oändligtdimensionella. Dit hör många rum av funktioner. 9

10 5.6 Rang och nollrummets dimensionen Här görs observationen att radrummet och kolonnrummet har samma dimension. Detta dimensionstal kallas för matrisens rang (rank). Det viktigaste i delkapitlet är dimensionssatsen 5.6.3, som relaterar rangen med nollrummets dimension och antalet kolonner i en matris. Läs gärna resten av kap 5.6 för att få ytterligare kännedom om linjära ekvationssystem. Övningar: 2ac, 4, 12a. 10

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare.

Examination: En skriftlig tentamen den 15 mars samt möjlighet till en omtentamen. Tider och lokaler meddelas senare. Kursprogram till Linjär algebra II, SF1604, för D1, vt12. Kursledare och föreläsare: Olof Heden Lindstedtsvägen 25 rum 3641 Tel:790 62 96 (mobil: 0730 547 891) e-post: olohed@math.kth.se Övningar: grupp

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5

x 1 x 2 T (X) = T ( x 3 x 4 x 5 Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Algebrans fundamentalsats

Algebrans fundamentalsats School of Science and Technology SE-701 8 Örebro, Sweden Algebrans fundamentalsats Ett linjäralgebraiskt bevis Andreas Thore Örebro Universitet Akademin för naturvetenskap och teknik Matematik C, 61 75

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

.I Minkowskis gitterpunktssats

.I Minkowskis gitterpunktssats 1.I Minkowskis gitterpunktssats Minkowskis sats klarar av en mängd problem inom den algebraiska talteorin och teorin för diofantiska ekvationer. en kan ses som en kontinuerlig, eller geometrisk, variant,

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v].

REPETITION. [F ] = a. a m1... a mn Sådan att [F (v)] = [F ][v]. REPETITION (1) Låt F : R n R m vara en linjär avbildning. Då är F (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) där f 1 (x 1,..., x n ) = a 11 x 1 +... + a 1n x n,..., f m (x 1,...,

Läs mer