Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Transkript

1 Matriser En m n-matris A har följande form a a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel , 0 0 ( 1 3 ) 2, ( , 1 3, 2 1 (radmatris) (kolumnmatris) Två matriser A, B av samma storlek stämmer överens, A = B, om deras element stämmer överens. )

2 Matrisoperationer (1) Summa och differens. Matriser med samma storlek adderas och subtraheras elementvis. Exempel 2 A = A + B = A B = Observera att A ± ( ) 2 1 0, B = ( ) ( ) ( ) 1 0 inte är definerad! 0 1 ( )

3 (2) Multiplikation med en skalär. En matris A multipliceras med en skalär (= ett tal) c genom att multiplicera varje element i A med c. Exempel 2 (forts) 2A = ( ) 4 2 0, ( ) 2 = ( 1) 1 ( ) 2 = 1 ( ) 2 1

4 (3) Matrismultiplikation. Låt A vara en m r-matris och B en r n-matris. Produkten C = AB är m n-matrisen med elementen c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j a ir b rj. Schematiskt: rad i Tumregel:... a i1 a i2... a ir... A B = C m r}{{} r m n... b 1j b 2j b rj... kolumn j

5 Exempel 2 (forts) D = D A = = = ( ) ( ) ( ) ( ( 1) ( 1) ( ) ) A D är inte definierad!

6 Exempel 3 ( ) ( ) }{{} 1 ( ) ( ) 1 (1 ) = }{{} 2 = ( 1 ( 1) ) = (5) = 5 OBS: Detta exempel visar att AB = BA inte gäller för alla matriser A, B. I exemplet har de inte ens samma storlek!

7 Transponerade matriser Låt A vara en m n-matris, a 11 a a 1n A =... a m1 a m2... a mn Den transponerade matrisen A T till A är n m-matrisen a a m1 A T a a m2 =.. a 1n... a mn Anmärkning: A = (a ij ) m n = A T = (a ji ) n m, d.v.s. rader blir kolumner och tvärtom.

8 ( Exempel 2 (forts) A = A T = 1 0, B T = 0 2 ), B = ( 1 5 ). ( ) 1 5 Egenskaper för transponerade matriser: (1) (A T ) T = A (2) (A + B) T = A T + B T (ca) T = ca T för varje tal c (3) (AB) T = B T A T

9

10 Räknelagar för matriser Många räknelagar för vanliga tal gäller även för matriser (Anton/Rorres Theorem 1.4.1). Det är viktigt att veta vilka lagar inte gäller. Observera följande undantag: (1) Matrismultiplikation är inte kommutativ! Även om AB och BA är båda definierade och har samma storlek så gäller dock i allmänheten AB BA Motexempel: ( ) ( ) = ( ) ( ) 1 2 = 1 2 ( ) ( )

11 (2) Man kan inte förenkla! AB = AC implicerar inte alltid B = C Motexempel: ( ) ( ) = ( ) ( ) (Senare ska vi behandla ett viktigt fall där man får förkorta.) (3) Produkten av två matriser kan ge nollmatrisen utan att någon av matriserna är nollmatrisen. AB = 0 A = 0 eller B = 0 Motexempel: ( ) ( ) = ( )

12 Inverterbara matriser Matrisen I n = ( )} n 0 1 }{{} n kallas för enhetsmatrisen av storlek n n. Observera att det gäller I m A = A = AI n för varje m n-matris A. Definition: En n n-matris A sägs vara inverterbar om det finns en n n-matris B sådan att AB = I n = BA. I så fall kallas B inversen till A och betecknas A 1.

13 Inverterbara matriser kallas också reguljära, icke-inverterbara matriser singulära. Anmärkning: Om inversen till en matris finns, så är den unik. Bevis: Antag att B, B är inverser till A. Då gäller B = B (AB) = (B A)B = B Exempel 4 a) Enhetsmatrisen I n är inverterbar med I 1 n = I n b) Nollmatrisen är inte inverterbar, eftersom 0 n B = 0 n för alla n n-matriser B. Anmärkning: Om A är inverterbar, så är också A 1 inverterbar och det gäller (A 1 ) 1 = A.

14 Nu kan vi ange det fall i vilket man får förenkla. Sats: Om A är inverterbar, så gäller (1) AB = AC = B = C, (2) BA = CA = B = C. Bevis av (1): AB = AC = A 1 (AB) = A 1 (AC) = (A 1 A)B = (A 1 A)C = B = C

15 Formel för inversen till en 2 2-matris: ( ) a b A = är inverterbar om och endast om ad bc 0. c d I detta fall gäller ( ) A 1 1 d b = ad bc c a

16 Viktiga egenskaper: (1) Om A, B är inverterbara, då är även AB inverterbar med (AB) 1 = B 1 A 1. (2) Om A är inverterbar, då är även A T inverterbar med (A T ) 1 = (A 1 ) T. Bevis a) (AB) (B 1 A 1 ) = A(BB 1 }{{} =I n )A 1 = AA 1 = I n (B 1 A 1 ) (AB) = B 1 (A 1 A }{{} =I n )B = B 1 B = I n b) A T (A 1 ) T = (A 1 A) T = I T n = I n, (A 1 ) T A T = (AA 1 ) T = I T n = I n

17 Exempel 5 Bestäm A om (I 2 + 2A T ) 1 = ( ) Lösning: ( ) (I 2 + 2A T ) = 4 5 ( ) ( = I 2 + 2A T = = ( 1) ( ) 5 2 ( ) ( ) = 2A T = = 0 1 = A T = = A = ( 9 ( ) ) = 1 13 ( ) )

18 Exempel 6 Ange om följande påståenden gäller för alla n n-matriser eller inte. Ge ett motexempel om ett påstående inte gäller. a) Om A = 0 n, så A 2 = 0 n. b) Om A 2 = 0 n, så A = 0 n. c) Om A och B är inverterbara, då är A + B inverterbar. d) Om A och B är inverterbara, då är BA T inverterbar. Lösning: a) Ja. b) Nej. Motexempel: A = ( ) 0 1 är inte nollmatrisen, men A c) Nej. Motexempel: A = I 2, B = I 2 är inverterbara, men A + B är nollmatrisen som inte är inverterbar. d) Ja, inversen är (A 1 ) T B 1

19 Beräkning av inversen med Gauss-Jordan elimination: (1) Sats: En n n-matris A är inverterbar om och endast om dess RTSF är enhetsmatrisen. (2) Beräkning av A 1 : Börja med (A I n ) Tillämpa Gauss-Jordan elimination för att transformera A på RTSF. Tillämpa samma operationer på höger sidan. Om A är inverterbar slutar proceduren med (I n A 1 ). (3) Anmärkning: Om proceduren slutar med en annan RTSF på vänster sidan är A inte inverterbar.

20 Exempel 7 Lösning: 1 Bestäm inversen till ( 2) rad1 adderad till rad2, ( 1) rad1 adderad till rad3 2 rad2 adderad till rad3 ( 1) rad

21 rad3 adderad till rad2, ( 3) rad3 adderad till rad1 ( 2) rad2 adderad till rad1 = A 1 =

22 Exempel 8 Låt A = ( ) 6 3, B = 3 3 ( ) Lös matrisekvationen XA X = B m.a.p. X. Lösning: XA X = B X (A I 2 ) = B. ( ) 5 3 Eftersom A I 2 = är inverterbar med 3 2 får vi (A I 2 ) 1 = X = B(A I 2 ) 1 = 1 ( 2 ) 3 } 5 2 {{ 3 3 } 3 5 =1 ( ) ( ) = ( 6 ) 8 3 5

23 Matriser och linjära ekvationssystem Varje ekvationssystem a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m kan också skrivas i matrisform a a 1n x 1 b 1... =.. a m1... a mn x n b m m n n 1 m 1 Kort: Ax = b Här betraktas x som en obekant kolumnmatris..

24 Sats 1: Ett linjärt ekvationssystem har inga lösningar, en unik lösning eller oändligt många lösningar. Bevis: Antag att vi redan har hittat två lösningar x 1 x 2. Vi visar att i det fallet finns det oändligt många lösningar: Sätt med λ R. Det är oändligt många! x λ = λx 1 + (1 λ)x 2 Var och en löser systemet ty ) Ax λ = A (λx 1 + (1 λ)x 2 = λ(ax 1 ) + (1 λ)(ax 2 ) = λb + (1 λ)b = b

25 Sats 2: Lå A vara en inverterbar n n-matris. Då har systemet Ax = b den unika lösningen A 1 b. Bevis: Om x är en lösning gäller x = (AA 1 )x = A 1 (Ax) = A 1 b. Tvärtom löser A 1 b uppenbarligen systemet.

26 Exempel 9 kan skrivas som där Det linjära ekvationssystemet x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 (1) 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 3 x 1 + 8x 3 = 17 (2) Ax = b A = 2 5 3, b = Uppgiften att lösa systemet (1) motsvarar alltså uppgiften att lösa matrisekvationen (2) m.a.p. den okända 3 1-matrisen x. I Exempel 7 har vi redan bestämt As invers = Systemet har den unika lösningen x = A 1 sätt i A 1 1 och b b = 1 2

27 Determinanter Vi betraktar nu determinantfunktionen som till varje kvadratisk matris A associerar ett reellt tal det(a). För n n-matriser med n 3 är determinanten given genom följande formler: (1) n = 1: (2) n = 2: det(a) = a ( ) a b det = ad bc c d

28 (3) n = 3: a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 21 a 11 a 23 a 32 a 22 a 13 a 31 a 33 a 12 a 21 Anmärkning: Det finns ingen enkel formel för större n!

29 I (3) gäller ( ) ( ) a22 a det(a) = a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det a 31 a 33 ( ) a21 a +a 13 det 22 a 31 a 32 = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 ) + a 13 det(a 13 ) där A ij betecknar den delmatrisen av A man får genom att stryka rad i och kolumn j. Talen C ij = ( 1) i+j det(a ij ) kallas för kofaktorer till A. Med denna notation kan vi skriva det(a) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13.

30 Vi har härlett ett samband mellan determinanter av 3 3- och 2 2-matriser. Ett likandant samband gäller i det allmäna fallet. a a 1n Sats (Kofaktorutveckling): Låt A =... a n1... a nn (1) För varje i mellan 1 och n gäller det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i a in C in (utveckling längs rad i). (2) För varje j mellan 1 och n gäller det(a) = a 1j C 1j + a 2j C 2j a nj C nj (utveckling längs kolumn j). Följd: det(a T ) = det(a).

31 Anmärkning Observera att tecknen framför underdeterminanterna fördelas enligt Exempel det = 1 det ( ) 1 1 = ( 2) det = utveckling längs kolumn 2 Exempel 11 Om A har en rad (eller en kolumn) som består bara av nollor, så är det(a) = 0.

32 Exempel 12 formen gäller För övertriangulära matriser A, d.v.s. matriser av a A = 0 a , a nn det(a) = a 11 a a nn Resultatet följer genom stegvis utveckling längs första kolumnen. Exempelvis för n = 3: a 11 a 12 a 13 ( ) det 0 a 22 a 23 a22 a = a 11 det 23 = a 0 a 11 a 22 det(a 33 ) 0 0 a = a 11 a 22 a 33

33 Beräkning av determinanter med rad- och kolumnoperationer Följande sats visar hur determinanten förändras om man genomför elementära radoperationer: Sats: (1) Byter man två rader så ändrar determinanten tecknet. (2) Adderar man en multipel av en rad till en annan rad så ändras determinanten inte. (3) Multiplicerar man en rad med ett tal c så multipliceras också determinanten med c. Motsvarande regler gäller även för elementära kolumnoperationer.

34 Exempel 13 Bestäm a Antag att det d b e c f = 6. g h i 2d 2e 2f det a b c. g a h b i c Lösning 2d 2e 2f d e f det a b c 1 2 rad = 1 2 det a b c g a h b i c g a h b i c a b c rad 1 rad 2 = 2 det d e f g a h b i c addera rad 1 a b c till rad 2 = 2 det d e f = ( 2)( 6) = 12 g h i

35 Exempel 14 a) Om en matris A har två rader (eller två kolumner) som är multipler av varandra så gäller det(a) = 0. a 0 a b) det a 1 a + 1 = 0 för alla a. a 2 a + 2

36 Recept för att beräkna det(a): Använd elementära radoperationer för att överföra A till en övertriangulär matris. Håll koll på hur determinanten påverkas! Slutligen kan det( ) beräknas som produkt av alla element på :s diagonal. Vi har redan sett: A inverterbar RTSF av A är enhetsmatrisen det(a) 0. Alltså: Sats: A inverterbar det(a) 0.

37 Exempel 15 Lösning 0 Beräkna det det rad 1 rad 2 = det rad = 1 3 det addera (-2) rad till rad 3 = 3 det addera (-10) rad till rad 3 = 3 det = 3 ( 1 1 ( 55) ) = 165

38 Egenskaper av determinanter Kom ihåg att det(a T ) = det(a). Vidare gäller: (1) det(ca) = c n det(a) om A är en n n-matris och c är ett reellt tal. (2) (Multiplikationssatsen) det(ab) = det(a) det(b). (3) Om A är inverterbar så gäller det(a 1 ) = 1 det(a). Anmärkning: I allmänheten det(a + B) det(a) + det(b). T.ex. får vi för ( ) ( ) A =, B = att det(a + B) = det(i 2 ) = 1 0 = det(a) + det(b).

39 Exempel 16 1 Låt A = a) Beräkna det(3a 2 ). b) Bestäm det(a 4 ) om A är inverterbar. Lösning det(a) = det = = 2 addera rad 1 till rad 3 Eftersom det(a) 0 är A inverterbar = det addera (-1) rad 2 till rad 3 a) det(3a 2 ) (1) = 3 3 det(a 2 ) (2) = 3 3( det(a) ) 2 = = 108. b) A 4 = (A 1 ) 4. = det(a 4 ) (2) = ( det(a 1 ) ) ( 4 (3) 4 ( ) 4 = 1 det(a)) = 1 2 = 1 16