Explorativ övning Vektorer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Explorativ övning Vektorer"

Transkript

1 Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken Ordet vektor introducerades 86 av den engelska matematikern W R Hamilton, men redan långt innan representerades och sammansatts krafter som vektorer Senare kom vektorer också att användas för att beskriva andra fysikaliska storheter som har storlek och riktning, t e elektrisk fältstyrka Vi ska tillämpa vektorer i euklidisk geometri Vi utser en godtycklig punkt O till origo och fierar en längdenhet Definition En vektor är en riktad sträcka som börjar i origo Notation Vi ritar en vektor, som slutar i en punkt A, som pil med fotpunkt O och spets i punkten A, och skriver OA, eller a eller ā, eller a, eller Vektorns längd eller belopp är sträckans längd och skrivs som OA, a En punkt A bestämmer entydigt en vektor, nämligen OA, som kallas för ortsvektor för A Vektorn OO med fotpunkt och spets i O kan inte ritas som pil Detta är en degenererad riktad sträcka Vektorn OO kallas fär nollvektor och skrivs också som LMA, vt 6

2 Eplorativ övning Vektorer Definition: addition av vektorer Summan OA + OB är den riktade diagonalen OC i parallellogrammen OACB B C O A Hur definieras summan om OA och OB ligger på samma linje? Vad är OA + OO? Definition: multiplikation av en vektor med en skalär ett reellt tal så är λa den vektor som uppfyller Om a är en vektor och λ är λa λ a, Om λ > så har a och λa samma riktning, Om λ < så har a och λa motsatt riktning, Om λ så är λa En vektor med längd kallas för enhetsvektor För varje nollskild vektor a finns det en enhetsvektor med samma riktning, nämligen a a Vi introducerar koordinater i planet Vi väljer två vinkelräta linjer genom origo, som vi kallar för -ael och y-ael Eftersom en längdenhet är given finns det en längdskala på båda linjer Vinkeln från den positiva -aeln till den positiva y-aeln ska vara moturs Mot en punkt P i planet ordnas nu ett koordinatpar, y på följande sätt Linjen genom P, parallell med y-aeln, skär -aeln i en punkt som har koordinat, medan parallellen med -aeln skär y-aeln i punkten med koordinat y Omvänt, givet ett talpar, y får vi en entydigt bestämd punkt P som skärningspunkt av linjer parallella med alarna Mängden av par reella tal, y kallas för R På liknande sätt introduceras koordinater i rummet Mängden av alla, y, z kallas för R Om P är en punkt i planet med koordinater, y eller i rummet med koordinater, y, z, så skrivs motsvarande vektor OP som kolonn: y, resp y Beteckningen skiljer alltså mellan z punkter och vektorer Enhetsvektorerna på koordinatalarna betecknas med e, e och e I R har vi e, e och i R har vi e, e, e Eempel y P, OP

3 Sats För vektorer i R gäller y z + y z + y +y z +z, λ y z λ λy λz Bevis Eftersom vi bara har behandlat euklidisk geometri i planet visar vi de motsvarande reglerna för vektorer i R : y + y + y +y, λ y λ λy C, y B, y A D O X X X Låt A, y, B, y och OA + OB OC; låt C, y Punkterna på -aeln, som bestämmer respektive koordinat, är X, X och X Triangeln OX B är kongruent med triangeln ADC Fyrhörningen X X DA är en rektangel Vi får att OX X X och därmed + Likadant visas y y + y Specialfallen, där OA och OB ligger på samma linje, eller en vektor är nollvektorn, lämnas åt läsaren OA y OA λ y O X X Låt nu OA y och OA λ y y, med koordinatpunkter X och X på -aeln Trianglarna OAX och OA X är likformiga Därför är OX λ OX, så λ Likadant är y λy Ur de reella talens egenskaper följer nu lätt: Räkneregler för vektorräkning a + b b + a kommutativa lagen a + b + c a + b + c associativa lagen om a + b a + c, så är b c strykningslagen a + a 5 λµa λµa 6 a, a a, λ 7 λ + µa λa + µa 8 λa + b λa + λb distributiva lagar För alla vektorer a, b, c och skalärer λ och µ gäller

4 Eplorativ övning Vektorer Det går också att direkt visa räknereglerna med geometriska argument Figuren illustrerar additionens associativitet F E C B D A Vi noterar att regel 7 medför att a + a Vi skriver a för a Subtraktion av vektorer definieras nu genom a b a + b För vissa tillämpningar betraktas vektorer med godtycklig fotpunkt, t e för att beskriva fältstyrka Då har man i varje punkt i rummet en vektor med denna punkt som fotpunkt Vektorer kan bara adderas om de har samma fotpunkt Vi betraktar bara vektorer av typ OA med fotpunkt O Vi definierar AB OB OA Detta är den vektor med fotpunkt i origo som har samma längd och riktning som den riktade sträckan AB Eempel Låt A,, B, Då är AB OB OA A, B, O Vi har sett att vektorer kan adderas och subtraheras Det finns sätt att multiplicera vektorer, men multiplikationen följer inte de vanliga reglerna Speciellt kan man inte dela vektorer på varandra Definition: skalärprodukt Låt a och b vara vektorer Låt γ vara vinkeln mellan riktningarna av a och b Skalärprodukten är talet a b a b cos γ Om a och b har samma riktning, så är cos γ och a b a b Speciellt är a a a, eller a a a Det kan vara att a b utan att a eller b ; detta händer om vinkeln γ är rät Då säger vi att vektorerna är ortogonala Om e är en enhetsvektor, har vi

5 5 en längdskala på linjen genom e och e a är lika met det reella talet som tillhör a:s ortogonala projektion på linjen Räkneregler för skalärprodukt För alla vektorer a, b, c och skalärer λ gäller a b b a kommutativa lagen a + b c a c + b c distributiva lagen λa b λa b a a och om a a, så är a Reglerna, och följer ganska direkt av definitionen För regel observerar vi att a c beror bara på a:s ortogonala projektion på linjen genom c om inte c, i vilket fall regeln stämmer, och projektionen av a + b är summan av a:s och b:s projektion Figuren ilustrerar fallet där c är en enhetsvektor med regel kan vi alltid reducera till det här fallet a + b b a c b c a c a + b c Sats För vektorer i R gäller y y + y y och för vektorer i R gäller y z y z + y y + z z y z Bevis Låt a Om vi projekterar på -aeln får vi vektorn Likadant är a e y och a e z Eftersom y z e + y e + z e får vi y z Formeln för R visas på samma sätt y z + y Så a e + z a e + y a e + z a e + y y + z z Det är också möjligt att multiplicera två vektorer så att resultatet blir igen en vektor, men det funkar bara i R Produkten kallas vektorprodukt, eller efter beteckningen, kryssprodukt

6 6 Eplorativ övning Vektorer Definition: vektorprodukt är den vektor c som uppfyller Låt a och b vara vektorer i rummet Vektorprodukten a b c a b sin γ, där γ är vinkeln mellan a och b c är vinkelrät mot både a och b tripeln a, b, c är positivt orienterad Orienteringen bestäms med korkskruvregeln eller tumregeln: c pekar åt det håll, i vilket tummen på högra handen pekar om pekfingern är i a:s riktning och långfingern i b:s riktning c a b b a Det följer att vektorprodukten är ej kommmutativ, för a b b a Längden av a b är lika med arean för parallellogrammen som spänns upp av a och b Speciellt är a b om a och b ligger på samma linje Räkneregler för vektorprodukt a b b a antikommutativa lagen a + b c a c + b c distributiva lagen λa b λa b a a För alla vektorer a, b, c i rummet och skalärer λ gäller Igen är det bara associativiteten som ger problem Låt c vara en given vektor Låt a vara projektionen av a på planet vinkelrätt mot vektorn c Då är a c a c, med riktning som fås genom att rotera a om 9 Nu är projektionen av a + b summan av a:s och b:s projektion Sen roterar vi Sats För vektorer i R gäller y z y z y z z y z z y y Bevis Från definitionen får vi e e e e e, e e e e e och e e e e e Formeln följer genom att beräkna e + y e + z e e + y e + z e

7 7 Ekvationen för en linje Alla vektorer som är multipla av varandra, ligger på en och samma linje genom origo Därför kan vi beskriva en linje genom origo i parameterform som där r är en nollskild vektor på linjen tr, t R, p l r O Varje linje l i planet har en entydig parallell genom origo En nollskild vektor r på parallellen kallas för riktningsvektor för l Om P är en godtycklig punkt på linjen med ortsvektorn p, då får vi linjens ekvation på parameterform som p + tr, t R Eempel Bestäm linjen genom punkterna P,, och P,, Lösning En riktningsvektor är P P En vektor i samma riktning är Linjen ges av Vi kan också skriva y z + t + t y + t z t En linje l i planet kan beskrivas med en linjär ekvation i och y Den kan fås genom att lösa ut parametern t, men också på följande sätt Låt n vara en normalvektor till linjen, d v s n ligger på en linje vinkelrät mot l och mot riktningsvektorn r för l Då är n r och för alle med spets på l gäller n n p Detta är den sökta ekvationen, oberoende av t, på formen a + by c Eempel Bestäm ekvationen för linjen genom punkterna P, och P, Lösning En riktningsvektor är P P En normalvektor n n uppfyller n + n Vi väljer n n Ekvationen blir y c, där c bestäms genom att sätta in P :s

8 8 Eplorativ övning Vektorer koordinater: y Vi kollar resultatet genom att sätta in punkten P i ekvationen y För att beskriva ett plan i rummet i parameterform behövs två riktningsvektorer Planets ekvation hittar man med samma metod som en linjes ekvation i R Vektorprodukten av två riktningsvektorer ger en normalvektor Eempel Bestäm ekvationen för planet som innehåller de tre punkterna P,,, P,, och P,, 5 Lösning Två riktningsvektorer är P P och P P För att förenkla be- 6 räkningen ersätter vi den andra med En normalvektor är Ekvationen blir + y z 5, där högerledet bestämdes genom att sätta in P Avstånd mellan en punkt och en linje Avståndet frän P till linjen l mäts mellan P och punkten R på l så att P R är vinkelrät mot l Eempel Bestäm avståndet från punkten P :, till linjen l: + y Lösning Normalen till l genom P har riktningsvektor och skrives på parameterform som y + t ; den skär l i punkten där + t + + t, så t Skärningspunkten är, och avståndet är De viktigaste begreppen i detta avsnitt är: vektorer, multiplikation med skalärer, vektoraddition, koordinater skalärprodukt, vektorprodukt räta linjer och plan avstånd mellan punkter, linjer och plan cirkeln Övning A Givet två vektorer a och b, rita vektorerna a + b, b a och a b a

9 9 Förenkla a b a b Givet två vektorer a och b, rita vektorn a + b + a b Förenkla också uttrycket och jämför svaren Låt a och b vara två närliggande kantvektorer i en regelbunden sehörning Bestäm diagonalvektorerna c, d och e uttryckta i a och b d e c PSfrag replacements b a 5 Visa att mittpunkten på sträckan AB har ortsvektorn a + b 6 Bestäm ortsvektorn för den punkt P som delar sträckan AB i förhållandet :, resp : och allmånt m : n 7 Givet ortsvektorer a och b för punkter A och B Var ligger punkterna X för vilka OX λa + µb med λ + µ, λ? Övning B Låt a och b Beräka a + b, a b, a + e och a + b Undersök om vektorerna ligger på samma linje: a och b och c och d och 5 6 Bestäm talet t så att vektorerna ligger på samma linje: a och 6 b och t t t c t och t 5 Bestäm den punkt som ligger mitt emellan punkterna med koordinater,, 5 och,, 5 Visa att punkterna P,,, Q, 7, och R,, ligger på en och samma räta linje

10 Eplorativ övning Vektorer Övning C Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas med vektorerna a c Beräkna vektorernas längd 7 9, b och a Bestäm vinklarna i triangeln i, y-planet med hörn,,, 9 och 9, b Bestäm vinklarna i triangeln i rummet med hörn,,,,, och,, Bestäm talet t så att vektorerna blir vinkelräta: a och b och t c t t och t d t och Visa att u v u + v u v genom att använda formeln u u u och räknereglerna för skalärprodukten 5 Visa samma formel u v u + v u v geometriskt Använd formeln för att visa den algebraiska formeln för skalärprodukten 6 Låt OAB vara en triangel och sätt OA a, OB b Visa att en punkt P ligger på bisektrisen till vinkeln AOB om och endast om det finns en skalär λ så att OP λ a a + b b Visa att bisektrisen skär sidan AB i punkten C, där OC b a + b a + a a + b b 7 Betrakta triangel ABC Visa att en punkt P ligger på höjden genom C om och endast om P C P A P C P B Använd detta för att visa att de tre höjderna i en triangel skär varandra i en punkt 8 Visa cosinusregeln: i varje triangel ABC gäller c a + b ab cos γ Övning D Beräkna vektorprodukterna a b 7 c

11 Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna och 6 Beräkna arean av triangeln med hörnpunkterna i,,,,, 7 och,, Låt a, b och c Bestäm alla enhetsvektorer som är ortogonala mot både a + b och b + c Övning E Avgör vilka av punkterna 7,, 6,,, och, 5 ligger på linjen { 7 t y + t Linjen l har ekvation i parameterform + t, y 5 t Avgör vilken av följande ekvationerna som är en annan parameterframställning av samma linje { + t y + t { t y 6 t { 5 7t y 8 + 7t Rita linjerna y, y, y och y 5 i samma figur Bestäm den linje genom punkten, 7, som är parallell med linjen y 5 Bestäm linjen genom samma punkt, 7 som är vinkelrät mot linjen y 5 5 Beskriv i parameterform och parameterfri linjen genom a, och,, b 5, och,, c, och, 6 Bestäm planet genom de tre punkterna,,,,, och, 5, 7 Beskriv på parameterform skärningslinjen mellan planen +y z och y+z Övning F Bestäm avståndet från punkten, till linjen y Bestäm avståndet från punkten,, till planet y + z Bestäm avståndet från punkten P :,, till linjen l genom punkterna Q :,, och Q :,, Närmaste punkten R på l ligger i planet genom P, som är vinkelrät mot l a Skriv ekvationen för l i parameterform b Bestäm ekvationen för det plan π genom P som är vinkelrät mot l c Hitta R genom att beräkna skärningen mellan l och π d Beräkna avståndet mellan P och R

12 Eplorativ övning Vektorer Bestäm avståndet från punkten,, till linjen genom punkterna,, och,, 5 5 Bestäm avståndet mellan linjerna t l y + t z t + s och l y s z + s Ledning: låt Q vara en godtycklig punkt på l, Q en godtycklig punkt på l Bestäm Q Q Beräkna för vilka Q, Q vektorn Q Q är vinkelrät mot l och l Beräkna för dessa Q och Q vektorns längd Övning G Cirkeln med radie r och medelpunkt M a, b består av alla punkter P, y som har avstånd r till M, d v s P M r Ekvationen för cirkeln blir då a + y b r Bestäm ekvationen för cirkeln med medelpunkt, och radie 5 Bestäm den geometriska betydelsen av ekvationen + y + y 6 Ledning: kvadratkomplettera

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt

Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Begrepp:: Kort om Kryssprodukt Introduktion till kryssprodukten Namnet kryssprodukt kommer av att produktsymbolen skrivs som ett kryss. Kryssprodukten av två vektorer u och v skrivs då u v. input = vektorer

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg Version 1.0 :: 20 januari 2015 @ 16:52 INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg 20 januari 2015 ii Innehåll 1 Introduktion till vektorer 1 1.1 Begreppet vektor.....................................

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H

Vektorer. 1. Vektorer - definition och räkneoperationer F H Vektorer Detta material bygger på valda och delvis omarbetade delar av kompendiet Vektoralgebra av Hasse Carlsson. Dessutom har ett helt nyskrivet avsnitt om strömtriangeln lagts in. Inledning Du är säkert

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR

VEKTORGEOMETRI. och ANDRAGRADSYTOR VEKTORGEOMETRI och ANDRAGRADSYTOR Lars-Åke Lindahl c Lars-Åke Lindahl Matematiska institutionen, Uppsala universitet 000 Innehåll Del 1 Vektorgeometri 1 1 Inledning 1 Vektorer Baser, koordinater och koordinatsystem

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri..

Vektorer. Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång. 1. Vad är vektorer? Räkneregler för vektorer Vektorgeometri.. Vektorer Paraplyt, vektorn Vädret behöver dessa Blåser sin lovsång 1. Vad är vektorer?...2 2. Räkneregler för vektorer..6 3. Vektorgeometri..15 Facit 19 Bilder: Geometriska konstruktioner och diagram av

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

Skalärprodukt (lösningar)

Skalärprodukt (lösningar) Skalärprodukt (lösningar) 404. Nej : 40. Utnyttja definitionen u v u v cos θ u v 4 6 u och distributiviteten (u v) (u + v) u u 6v u + u v v v 4 5 6 0 (Ritar man noggrant, ser man att u v och u + v mycket

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

Mekanik FK2002m. Vektorer

Mekanik FK2002m. Vektorer Mekanik FK2002m Föreläsning 2 Vektorer 2013-09-02 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2 Introduktion Förra gången pratade vi om rörelse i en dimension. När vi går till flera dimensioner behöver

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Komplexa tal. z 2 = a

Komplexa tal. z 2 = a Moment 3., 3.2.-3.2.4, 3.2.6-3.2.7, 3.3. Viktiga exempel 3.-3.8, 3.9,3.20 Handräkning 3.-3.0, 3.5a-e, 3.7, 3.8, 3.25, 3.29ab Datorräkning Komplexa tal Inledning Vi skall i följande föreläsning utvidga

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö högskola Malmö 2014 2 Kapitel 1 Linjära ekvationssystem Att lösa ekvationer Vi vill lösa ekvationen 2x 6 = 0 Att lösa

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor: Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8

Läs mer

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet 19-20 april GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare Karlstads universitet 19-0 april Exempel på elevaktiviteter framtagna i skolutvecklingsprojektet IKT och lärande i matematik 1

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer