Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Transkript

1 Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B B A A

2 Vektorsumma v + w: Representera v, w genom pilar sådana att spetsen av pilen till v blir fotpunkten av pilen till w. Om A är fotpunkten av pilen till v och C spetsen av pilen till w, sätt v + w = AC. Observera att v + w = w + v: B v A v w v + w w v + w v C w

3 Produkt av en vektor v med en skalär k R: k 0: sträckning med k k < 0: sträckning med k och riktningsbyte Vi skriver v = ( 1) v v 2 v 1 v 2 v Differensen v w konstrueras alltså på följande sätt: v v w w

4 Vektorer i koordinater: Antag att vi har valt ett rätvinkligt koordinatsystem. Låt AB representera v där A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ). Då tar vi som v:s komponenter ( ) ( ) v1 x2 x v = = 1 v 2 y 2 y 1 y 2 y 1 v A = (x 1, y 1 ) B = (x 2, y 2 ) x 1 x 2 Anmärkning: Så vitt som möjligt skriver vi kolumnmatriser för vektorer och radmatriser för kolumner.

5 Vektorkalkyl: v + w = k v = k ( v1 ) + ) = v 2 ( v1 v 2 ( w1 w 2 ) ( ) v1 + w = 1 v 2 + w 2 ( ) kv1 kv 2 Det tredimensionella fallet behandlas analogt!

6 Exempel 1 Bestäm fotpunkten A för pilen med spets i B = (3, 0, 5) som representerar 4 v = 2. 1 Lösning För A = (x, y, z) gäller 3 x 0 y = 4 AB = v = 2 = A = ( 1, 2, 4) 5 z 1

7 Exempel 2 Betrakta en klocka med pilar v j ritade från centrumet till varje timme j. Vad är v 1 + v v v 12? v 12 v 3 v 7 v 6 Lösning v 1 + v v v 12 = ( ) v 1 + v v 11 + v 12 + v 12 }{{} = ( v 1 + v 7 ) + ( v }{{} 2 + v 8 ) +...+( v }{{} 6 + v 12 ) }{{} = v 12 = 0 = 0 = 0

8 Norm av vektorer Längden av v kallas också för v:s norm v. Pytagoras lag ger i planet: v = y ( ) v1 2 + v 2 2 där v = v1 v 2 v v 2 v 1 v 2 = v v 2 2 x

9 i rymden: v = v1 2 + v v 3 2 z v 1 där v = v 2 v 3 v v 3 y x d v 2 v 1 v 2 = v d 2 och d 2 = v v 2 2 Vektorer av längd 1 kallas för enhetsvektorer. Det gäller: k v = k v.

10 1 Exempel 3 Låt v = 1. 2 a) Beräkna v. b) Bestäm enhetsvektorn v 0 som har motsatta riktningen som v. Lösning a) v = ( 1) = 6. b) v 0 = 1 6 v har motsatta riktningen och v 0 = 1 6 v = 1 6 v = 1. }{{} = 6

11 Skalärprodukt Skalärprodukten u v av två vektorer u, v är definierad genom ( ) u1 i planet: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 där u =, v = u 2 i rymden: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 u 1 ( v1 v 2 ) v 1 där u = u 2, v = v 2 u 3 v 3 Vi ser: u u = u 2.

12 Samband med vinkler: y (0, 1) Geometrisk definition av sinus och kosinus: sin(α) α cos(α) (1, 0) x y u α x För en vektor u i planet som har vinkeln α tagen ifrån den positiva x-axeln gäller ( ) cos(α) u = u. sin(α)

13 ( ) ( ) cos(α) cos(β) Låt u = u, v = v. sin(α) sin(β) Då gäller ( ) u v = u v cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β) = u v cos(α β) u α β α β v

14 Resultat: u v = u v cos(θ) där θ [0, π] är vinkeln mellan u och v. Anmärkning: Eftersom cos(θ) = cos( θ) spelar det ingen rol om vi mäter vinkeln från u till v eller tvärtom. Sambandet gäller också för vektorer i rymden!

15 0 θ < π 2 = u v > 0 u θ u v θ = π 2 = u v = 0 θ v π 2 < θ π = u v < 0 u θ v Vektorer med u v = 0 är ortogonala. Vi skriver också u v.

16 2 Exempel 3 (forts) Bestäm vinkeln θ mellan v och u = 1. 1 Lösning: v = = 6. cos(θ) = u v u v = ( 1) = = θ = π 3 Exempel ( ) 4 1 u =. 2 Lösning: Låt v = Hitta alla enhetsvektorer som är ortogonala mot ( ) 2. 1 Varje vektor som är ortogonal mot u är en multipel av v. Eftersom v = = 5 är alla enhetsvektorer som är ortogonala mot u vektorerna ± 1 v. 5

17 Vektorprodukt i rymden 1 0 Vektorerna ı = 0, j = 1, 0 0 kallas för standardenhetsvektorer. 0 k = 0 1 v 1 Varje vektor v = v 2 skrivs på ett unikt sätt som v 3 v = v 1 ı + v 2 j + v 3 k.

18 Vi definiera vektorprodukten genom ı ı = j j = k k = 0, ı j = k, j ı = k, j k = ı, k j = ı, k ı = j, ı k = j, k ı j och utvidgar den genom den distributiva lagen u v = (u 1 ı + u 2 j + u 3 k) (v1 ı + v 2 j + v 3 k) = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) ı + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) j + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) k u 2 v 3 u 3 v 2 = u 3 v 1 u 1 v 3. u 1 v 2 u 2 v 1

19 Minnesregel: Man får rätt formel genom att utveckla u 1 v 1 ı det u 2 v 2 j u 3 v 3 k längs sista kolumnen.

20 Viktiga egenskaper: (1) u v u och u v v. (2) Riktningen av u v ges genom tre fingerregeln u (tum) u v (långfinger) v (pekfinger) (3) u v = arean av det parallellogram som späns av u och v

21 Bevis: (1) Man kollar lätt u ( u v) = v ( u v) = 0. (3) area(p) = gh där g = u, h = v sin(α). = ( area(p) ) 2 = u 2 v 2( sin(α) ) 2 = u 2 v 2( 1 cos 2 (α) ) v P h u α g = u 2 v 2 ( u v ) 2 ( ) = u v 2 Identiteten ( ) kallas för Lagrangeidentitet. Man kan kolla den direkt.

22 Följd: (1) Om u, v 0 är parallella (d.v.s. att de är skalära multipler av varandra) då är u v = 0 (2) u u = 0 (3) u v = v u eftersom u v, v u har samma längd och motsatta riktningen Anmärkning: I allmänheten är ( u v) w u ( v w). Exempel: ( ı j ) j = ı 0 = ı ( j j ) }{{}}{{} = k = 0 Vidare räknelagar för vektorprodukten hittas i Anton/Rorres, Theorem och

23 Exempel 5 Bestäm arean till triangeln T med hörn i P 1 = (2, 2, 0), P 2 = ( 1, 0, 2), P 3 = (0, 4, 3). Lösning area(t ) = 1 ( arean av parallellogrammet ) 2 som spänns av P 1 P 2, P 1 P 3 = 1 2 P 1 P 2 P 1 P P 1 P 2 = 0 2 = 2, = P 1 P 2 P 1 P 3 = P 1 P 3 = 4 2 = = area(t ) =

24 Exempel 6 Hitta en vektor som är ortogonla mot båda 3 2 u = 2 och v = Lösning Enligt Exempel 5 är u v = Alltså är t.ex = 1 en sådan vektor. 10 2

25 Geometrisk tolkning av determinanter av 2 2- och 3 3-matriser: Sats: (1) För vektorer u, v i planet gäller det( u, v) = area av det parallellogram som späns av u, v (2) För vektorer u, v, w i rymden gäller det( u, v, w) = volymen av den parallellepiped som späns av u, v, w

26 Bevis: Först visar vi vol(p) = u ( v w). v w v w P h u w G v u cos(θ) θ u vol(p) = Gh där G = v w, h = u ( v w) v w

27 (2) Identiteten det( u, v, w) = u ( v w) kan visas genom direkt räkning (1) det( u, v) = det 0 u 1 v 1, använd (2) 0 u 2 v 2 Anmärkning: u ( v w) kallas för trippelprodukten.

28 ( ) ( ) 1 1 Exempel 7 Låt u 1 =, u 2 2 =, v 1 = 2, v 2 = 4, v 3 = Bestäm a) arean av det parallellogram som spänns av u 1, u 2 i planet b) arean av det parallellogram som spänns av v 2, v 3 i rymden c) volymen av det parallellepiped som spänns av v 1, v 2, v 3 i rymden

29 Lösning ( ) 1 1 a) arean = det( u 1, u 2 ) = det = ( 4) 3 20 b) v 2 v 3 = ( 4) = = arean = v 2 v 3 = ( 2) = c) volymen = det( v 1, v 2, v 3 ) = det =

30 Linjer i planet Två viktiga sätt att beskriva en linje i planet är genom (1) en ekvation (E) ax + by + c = 0 där åtminstone ett av talen a, b är 0, (2) en punkt P 0 = (x 0, y 0 ) och en riktning v 0. Det leder till parameterframställningen med t R. (P) { x = x0 + tv 1 y = y 0 + tv 2 v = ( v1 v 2 ) l P 0 = (x 0, y 0 )

31 Anmärkning: (P) betyder att en punkt P = (x, y) ligger på linjen om det finns ett tal t 0 sådant att P = P 0 + t 0 v. Observera att vi här tolkar punkt + vektor = punkt. v P 0 2 v P 0 Man brukar dock använda vektornotation: ( ) ( ) ( ) x x0 v1 = + t, t R. y y 0 v 2

32 En vektor n 0 som är ortogonal mot linjen l kallas för normalvektor till l. Sats: ( a b ) är en normalvektor till linjen l : ax + by + c = 0.

33 Bevis: Låt P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) l, d.v.s. ax 1 + by 1 + c = 0 ax 2 + by 2 + c = 0 Eftersom P 1 P 2 visar längs l räcker det att visa P 1 P 2 ( ) a = 0. b P 1 P 2 ( ) a b P 1 n P 2 ( ) ( ) x2 x = 1 a y 2 y 1 b = a(x 2 x 1 ) + b(y 2 y 1 ) = (ax 2 + by 2 ) (ax }{{} 1 + by 1 ) }{{} = c = c l = 0

34 Exempel 8 Bestäm en ekvation för den linjen som har parameterframställningen ( ) ( ) ( ) x 8 3 = + t, t R. y 2 4 Lösning Vi löser ut t ur ekvationen till den första koordinaten och sätter in den i ekvationen till den andra koordinaten. ( x 8 ) y = x + 3y 38 = 0 3

35 Exempel 9 Bestäm en parameterframställning för linjen 3x + y 2 = 0 Lösning Vi sätter t.ex. x = t vilket ger y = 3t + 2. En parameterframställning är alltså ( ) ( ) ( ) ( ) x t 0 1 = = + t y 3t där t R.

36 Linjer i rymden I rymden kan vi inte längre beskriva en linje genom en enda ekvation. Exempel: z = 0 ger xy-planet y x 1 z Däremot kan vi fortfarande använda parameterframställningen.

37 Exempel 10 Bestäm en parameterframställning för linjen genom punkterna P 1 = (0, 1, 1), P 2 = (1, 0, 3) Lösning P 1 P 2 = 0 1 = 1 är en riktningsvektor till linjen. Alltså är en parameterframställning x 0 1 y = 1 + t 1 z 1 2 där t R.

38 Plan i rymden Ett plan i rymden kan bl.a. beskrivas genom (1) en ekvation (E) ax + by + cz + d = 0 där åtminstone ett av talen a, b, c är 0, (2) en punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och två icke-parallella riktningar u, v. Vi får parameterframställningen x = x 0 + tu 1 + sv (P) y = y 0 + tu 2 + sv z = z 0 + tu 3 + sv u 3 med s, t R. P v

39 En vektor n 0 som är ortogonal mot ett plan π kallas för normalvektor till π. Sats: a b är en normalvektor till planet c π : ax + by + cz + d = 0. Två plan är parallella om deras normalvektorer är parallella. De är ortogonala om normalvektorerna är ortogonala.

40 = ax + by + cz = ax 0 + by 0 + cz 0 }{{} =:d a Sats Låt n = b c vara en normalvektor till ett plan π och P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) π. Då är planet given genom ekvationen ax + by + cz = d där d = ax 0 + by 0 + cz n Bevis: Eftersom n är en normalvektor till π gäller 0 = n P 0 P a x x = b y y 0 P c z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + x(z z 0 ) för alla P = (x, y, z) π P 0

41 Exempel 11 Bestäm en ekvation för planet som innehåller punkterna P 1 = (1, 2, 3), P 2 = (1, 1, 1), P 3 = (2, 1, 0). Lösning Vektorn n = P 1 P 2 P 3 P = ( 1) = 1 2 = är ortogonal mot P 1 P 2 och P 3 P 2, alltså mot planet. En ekvation för planet är given genom 3 x + 2 y + ( 1) z + d = 0 där d fås genom att sätta in t.ex. P 1 : Detta ger som resultat d = ( 1) 3 = 4 3x + 2y z = 4

42 Exempel 12 Bestäm skärningen mellan π 1 : 3x + 2y 4z 6 = 0 π 2 : x 3y 2z 4 = Lösning Planen har normalvektorer n 1 = 2, n 2 = 3, 4 2 vilka inte är parallella. Planen är därför inte heller parallella, vilket innebär att de skär varandra i en linje.

43 För att bestämma skärningslinjen använder vi Gausselimination. ( rad 2 x = t = y = 2 11 t 6 11 z = t eller där t R. ) addera (-3) rad 1 till rad 2 x y = z ( t ( ) )

44 Exempel 13 P 0 = (1, 1, 1). Givna planet π : x 2y + 3z = 0 och punkten a) Bestäm den linje genom P 0 som är vinkelrät mot π. b) Bestäm den punkt där linjen skär planet. Lösning 1 a) v = 2 är ortogonal mot π. 3 Alltså är en parameterframställning av linjen där t R. x = 1 + t y = 1 2t z = 1 + 3t

45 b) Vi sätter parameterframställningen av linjen in i planets ekvation: 0 = (1 + t) 2(1 2t) + 3(1 + 3t) = t = t = 1 7 Det ger skärningspunkten ) P = (1 1 7, 1 2( 1 7 ), 1 + 3( 1 7 ) = ( 6 7, 9 7, 4 7 )

46 Exempel 14 Linjerna l 1 och l 2 har parameterframställningar l 1 : 1 + t 0 och l 2 : 3 + t Undersök om linjerna skär varandra. Lösning Linjerna skär varandra omm det finns reella tal t 1, t 2 sådana att t 1 0 = 3 + t t 1 = 2 t 2 = 2 t 1 3t 2 = 5 Detta linjära ekvationssystem i t 1, t 2 har den unika lösningen t 1 = 1, t 2 = 2. Alltså skär linjerna varandra i en punkt. Denna skärningspunkten är ( ) P = 3 + ( 1) 2, 1 + ( 1) 0, 2 + ( 1) 1 = (1, 1, 1)

47 Ortogonala projektion och avståndsberäkningar Låt a 0 vara given. Vi vill skriva en vektor v som en summa v = v + v där v är parallell med a och v är ortogonal mot a. Vi ser v = ( v cos(α) =: proj a v, v α v ) a a den ortogonala projektionen av v på a. a = v a a 2 a v Observera: proj a v = v a a

48 ( ) 2 Exempel 15 Bestäm den ortogonala projektionen av v = 1 ( ) 1 på a =. 1 ( ) ( ) Lösning proj a v = a = 1 2 a y v 1 a 1 x

49 Avståndsformler: (1) Avståndet mellan punkten P 0 = (x 0, y 0 ) och linjen l : ax + by + c = 0 är dist = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 (2) Avståndet mellan punkten P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) och planet π : ax + by + cz + d = 0 är dist = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2

50 a Bevis: Kom ihåg att n = b är en normalvektor till π. c n P 0 π P 1 Vi tar en godtycklig punkt P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) π. Då gäller dist = proj n P 1 P 0 = = n P 1 P 0 n a(x 0 x 1 ) + b(y 0 y 1 ) + c(z 0 z 1 ) a 2 + b 2 + c 2 P 1 π = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2

51 Exempel 16 Bestäm avståndet mellan linjen l : x + y 1 = 0 och origo. Lösning y dist = ( 1) = 1 2 dist 1 x

52 Exempel 17 Bestäm avståndet mellan planen π 1 : x + 3y 2z = 1, π 2 : 2x + 6y 4z = 8. Lösning Observera att planen är parallella. Tag P 1 = (1, 0, 0) π 1, P 2 = (4, 0, 0) π 2. 1 n = 3 är ortogonal 2 mot planen. d P n P 1 π 2 π 1 dist = proj n P 1 P 2 = n P 1 P 2 = 3. n 14