Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen."

Agneta Engström
för 7 år sedan
Visningar:

1 VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z =================================================== vstånet från en punkt till ett plan Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen x + y + Cz + D = 0 och låt x, vara en given punkt Meto: vstånet från punkten = x, till planet x + y + Cz + D = 0 är + D = Q nmärkning: Härlening av ovanståene formel finns i slutet av stencilen Meto: Linjen L genom vinkelrät mot planet har ekvationen x, y, = x, + t, Om vi betecknar me Q skärningspunkten mellan linjen L och planet π å är avstånet = Q =================================================== vstånet från en punkt till en rät linje Meto: vstånet från punkten = x, till en linje som går genom = x0, och har riktningsvektorn av 9 vv

2 v = vx, v y, vz ) är v = v nmärkning: Den här formeln beräknar avstånet som höjen av parallellogrammen som späns upp av vektorerna v och, v vs arean v = = basen v Meto: Vi kan bestämma en punkt på linjen x, y, = x0, + t, som ligger närmast punkten genom att använa villkoret v = 0 som gäller i enna punkt, och ärefter beräkna = Exempel: eräkna avstånet från punkten =,3,8) till linjen L: x, y, =,,6) + t,,0 ) Lösning : Låt vara en punkt på linjen L Då har koorinater = + t, + t, 6) Om punkten ligger på linjen närmast punkten å gäller se bilen ovan) v = 0 *) Eftersom = t, + t, ) och v =,,0 ) får vi från *) t + t + 0 = 0 t = / Därför = t, + t, ) =,, ) 8 3 och = = = = nmärkning: unkten = 5/, 5/, 6), kan också beräknas genom att substituera t = / i = + t, + t, 6) =================================================== av 9

3 Meto3: Vi kan bestämma en punkt på linjen L: x, y, = x0, + t, som ligger närmast punkten genom att först bestämma ekvationen för planet Π som går genom vinkelrät mot L Därefter bestämmer vi som skärningspunkt mellan planet Π och linjen L: Exempel: eräkna avstånet från punkten =,3,8) till linjen L: x, y, =,,6) + t,,0) lanet Π har en normalvektor N = v =,,0) och ärför är planets ekvation: x ) + y 3) + 0 z 8) = 0 eller x + y 5 = 0 Vi substituerar linjens ekvationer x = + t, y = + t och z = 6 i planets ekvation och får + t + + t 5 = 0 t = / Skärningspunkten är ärför = 5/, 5/, 6) Härav = /, /, ) och ärme Π vv och ärme 3 = = Meto4: Vi kan bestämma en punkt på linjen L: x, y, = x0, + t vx, v y, vz ) som ligger närmast punkten genom att först bestämma projektionen av vektorn på linjen L, är = x 0, y0, z0 ) och = x, y, ) z Exempel: a) estäm en punkt på linjen L: x, y, =,,6) + t,,0 ) som ligger närmast punkten =,3,8) b) eräkna ärefter avstånet från punkten till linjen L a) Vi har =,,6) och =,3,8), v =,,0) Låt u = = 0,, ) å gäller, enligt projektionsformeln u v = proj v u) = v =,,0) = v v 5 5 Därför O = O+ =,,6) +,,0) =,,6) ; 3 av 9,,0) vv

4 5 5 me anra or =,,6) b) Eftersom =,, ) har vi 8 3 = = = vstånet mellan två parallella räta linjer Välj en punkt på t ex linjen L och beräkna avstånet från punkten till linjen L L L =================================================== vstånet mellan två icke-parallella räta linjer Låt L och L vara två räta linjer genom och me riktningsvektorer v och v Låt N vara en normalvektor till båe L och L, t ex N = v v vstånet mellan linjerna är N = N L L Uppgift lanet 6 x + y + 3z = 6 skär koorinataxlarna i punkterna, och C estäm omkretsen av triangeln C 4 av 9

5 Skärningen me x-axeln får vi om vi substituerar y = 0 och z = 0 i ekvationen: 6 x = 6 x = lltså är =, 0, 0) å samma sätt får vi = 0, 3, 0) och C= 0,0, ) Härav: =,3, 0) och = 0, C =,0, ) och C = 5, C = 0, 3, ) och C = 3 Därme är omkretsen av triangeln C lika me Svar: Uppgift estäm avstånet från punkten =,, 3) till planet x + 5y = 4z Först skriver vi planets ekvation på formen x + y + Cz + D = 0 lltså x + 5y + 4z + = 0 vstånet från punkten till planet är + D + 5 ) = = = = = Svar: = ) 5 5 Uppgift 3 Linjen x, y, =,,) + t,, ) skär planet x + y + z 7 = 0 i en punkt estäm avstånet från punkten till planet x + 3y + 4z + 0 = 0 z x C y Vi substituerar x = + t, y = + t, z = + t i ekvationen x + y + z 7 = 0 och får t = lltså är skärningspunkten =3,,) vstånet från punkten till et anra planet x + 3y + 4z + 0 = 0 är + D = = = Svar: 30 9 Uppgift 4 estäm avstånet mellan följane parallella) plan x + y + z = 5 och x + y +z = 0 5 av 9

6 Ovanståene plan är parallella eftersom e har parallella normalvektorer, faktisk samma normalvektor,,) en här gången) Vi väljer en punkt på första planet t ex,,) och använer formeln vstånet från punkten = x, + D till planet x + y + Cz + D = 0 är = I vårt fall Svar: 5 = 3 x = + D = + + = Uppgift 5 Linjen x, y, = 0,,) + t,,3 ) skär planet x + y + z 3 = 0 i en punkt estäm avstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0) Vi substituerar x = 0 + t, y = + t, z = + 3t i ekvationen x + y + z 3 = 0 och får t = Skärningspunkten är =,3,8) För att beräkna avstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0 ) använer vi formeln v = v Vi väljer en punkt på en anra linjen t ex =,,6) och bilar vektorn = 0,, ) Linjens riktningsvektor är v =,,0 ) v =,,) vstånet från punkten till linjen x, y, =,,6) + t,,0 ) är v 9 3 = = = v 3 3 Svar: = ) Uppgift 6 estäm avstånet från punkten =,,3) till skärningslinjen mellan två plan x + y + z = och x + y + z = 3 först bestämmer vi skärningen mellan planen: av 9

7 x + y + z = [ ) ekv + ekv] x + y + z = 3 x + y + z = y + z = Vi betraktar z som en frivariabel, betecknar z=t och får x = y = t z = t lltså skär e två plan längs en linje För att beräkna avstånet från punkten =,,3) till linjen x, y, =,,0) + t0,, ) använer vi formeln v = v är =,,0) och v = 0,, ) Härav = 0,,3 ) och v = -4,0,0) vstånet från punkten till linjen är v 4 = = = v Svar: Uppgift 7 estäm avstånet mellan följane linjer L : x, y, =,,4) + t,,3 ) och L : x, y, =,,) + t,,6) Linjernas riktningsvektorer v =,,3) och v =,,6) är parallella eftersom v = v Därför väljer vi en vilken som helst) punkt på en linje och beräknar avstånet från enna punkt till en anra linje Vi väljer =,,4) och använer formeln v =, är =,,) och v = v =,,6) v Härav = 0,0,3) och v = 6,-6,0) vstånet från punkten till linjen är v 6 3 = = = v Svar: 3 7 av 9

8 Uppgift 8 estäm avstånet mellan följane linjer L : x, y, =,,) + t,, ) och L : x, y, =,3,4) + t,,0) Linjerna har riktningsvektorer v =,,) och v =,,0) Vektor N = v v =-,,-) är vinkelrät mot båa linjer Vi väljer en punkt på varje linje Låt =,,) och =,3,4) Då =0,,3) vstånet är N = = N Svar: = = 3 3 Uppgift 9 Vi betraktar två linjer L: x, y, = 7, 3, 4) + t,, 0) och L: x, y, =, 0, ) + s0,, ) a) estäm e två punkter, Q på L respektive L som ligger närmast b) eräkna ärefter et kortaste) avstånet mellan linjerna L och L L Q L Linjerna har riktningsvektorer v =,, 0) och v = 0,,) unkter och Q ligger närmast om Q är vinkelrät mot båe v och v, vs om Q v =0 och Q v =0 unkten ligger på L och ärför får vi punktens koorinater för ett väre på parameter t lltså = 7 t, 3 + t, 4) unkten Q ligger på L och ärför har Q koorinater Q=, s, + s) : Därme Q = t 6, s t 3, s 3) 8 av 9

9 Från Från Q v =0 har vi 4t + s t 3 =0 ekv) Q v =0 har vi s + t s 3 =0 ekv) Vi löser systemet: 5t s +9=0 ekv) t+ s =0 ekv) och får s = och t= Härav = 3,5,4) och Q=,,0) och vstånet = Q = = 6 Svar: a) = 3,5,4) och Q=,,0) b) =6 Uppgift 0 T teori) Q =, 4, 4) Låt π vara ett plan vars ekvation är skriven på formen x + y + Cz + D = 0 och låt x, vara en given punkt evisa formeln + D = för avstånet från punkten = x, Q till planet x + y + Cz + D = 0 Linjen L genom vinkelrät mot planet har ekvationen x, y, = x, + t, som vi kan skriva som tre skalära ekvationer: x = x + t, y = y + t och z = z + tc För att bestämma skärningspunkten mellan linjen och planet, vs punkten Q = x0,, substituerar vi linjens skalära ekvationer i planets ekvation x + y + Cz + D = 0 och får x + t) + y + t) + C z + t + = 0 x D t + y + t + zc + tc + D = + D) = + 0 t + D) eteckna enna lösning me t0 = *) unkten Q = x, y, ) har följane koorinater 0 0 z0 y0 y + t0 = x t, = och = z t C x0 + 0 z0 + 0 och ärför Q = t, t t = t, ) C vstånet = Q = t0, = t0, = t0 enligt *) ) + D + D = = VS 9 av 9

Relevanta dokument

===================================================

=================================================== AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)