LINJÄRA AVBILDNINGAR

Transkript

1 LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u, v P R ) och alla skalärer a, b P R Övningar Visa följande för en linjär avbildning T : (a) T pu ` vq T puq ` T pvq för alla u, v; (b) T pauq at puq för alla u; (c) T p 0q 0 Visa, att avbildningen T px, yq px ` y, x ` yq inte är linjär Avbildningsmatriser Vårt första mål är, att beskriva linjära avbildningar med hjälp av matriser Antag, att x u x e ` x e px, x q x

2 är en godtycklig vektor i planet För en linjär avbildning T är, enligt lineariteten, T puq T px e ` x e q x T pe q ` x T pe q Den transformerade vektorn T puq beror alltså entydigt på bilderna T pe q och T pe q av de två basvektorerna Sätt T pe q pa, bq och T pe q pc, dq: ax T puq x pa, bq`x pc, dq pax `cx, bx ` cx a c x `dx q bx ` dx b d x Då vektorer skrivs som kolonnmatriser, betyder alltså avbildningen T helt a c enkelt multiplikation med avbildningsmatrisen, vars kolonner är bilderna T pe q och T pe q Motsvarande gäller för en avbildning i b d rummet Sats formeln Den linjära avbildningen T : R Ñ R (eller R Ñ R ) uttrycks med Y AX, där kolonnmatrisen X ger koordinaterna för en vektor u, kolonnmatrisen Y ger koordinaterna för T puq och kolonnerna i avbildningsmatrisen A är T pe q, T pe q (och T pe q) Två naturliga problem inställer sig nu Hur kan en given avbildningsmatris tolkas geometriskt Hur bestäms matrisen för en given geometrisk avbildning Dessa frågeställningar utredes i de kommande avsnitten Övningar Betrakta avbildningen T 4 (a) Bestäm bilderna av basvektorerna under T (b) Bestäm bilden av vektorn p, q (c) Vilka vektorer avbildas på p, 0q

3 Geometrisk tolkning av linjära avbildningar Lustiga huset Här följer några enkla geometriska exempel på linjära avbildningar Se Figur Identitetsavbildningen: 0 E 0 Här är Epe q p, 0q e och Epe q p0, q e Alla vektorer (och punkter) avbildas på sig själva Skalning med faktorn : 0 A 0 Här är Ape q p, 0q e och Ape q p0, q e Alla vektorer sträcks ut till dubbla sin längd Töjning med faktorn i x-led: 0 B 0 Här är Bpe q p, 0q e och Bpe q p, 0q e Avbildningen töjer varje vektor horisontellt med faktorn Den vertikala komponenten påverkas inte 4 Skjuvning med faktorn i x-led: C 0 Här är Cpe q p, 0q och Cpe q p, q 5 Vridning vinkeln θ moturs: cos θ R sin θ sin θ cos θ Spegling i x-axeln: 7 Projektion på x-axeln: S P 0 0

4 Figur : Exempel på linjära avbildningar 4

5 Övningar Hur transformeras smileyn under avbildningen 0 0 Hur transformeras smileyn under avbildningen Tolka geometriskt avbildningen Basbyte Vi beskriver nu evekterna av ett basbyte på matrisen för en linjär avbildning Avbildningsmatrisen är nämligen inte fix i olika baser, utan förändrar utseende då man byter bas Metoden för att analysera en godtycklig avbildning är då, att byta till någon bas, i vilken avbildningsmatrisen antager en särskilt enkel form Vi påminner om principerna för basbyte I planet arbetar vi ständigt med koordinater givna relativt standardbasen e, e Den förutsättes alltid ortonormerad (för att få enkla formler för skalär- och vektorprodukt) Införandet av en ny bas enligt # e ae ` be e ce ` de kodas av basbytesmatrisen a S b c d Observera följande I matrisen för en linjär avbildning ges första kolonnen av bilden av första basvektorn, &c I basbytesmatrisen ges första kolonnen av den nya första basvektorn, &c Det är alltså väsentligen samma princip Koordinatbyte sker enligt formeln X SX, där X anger koordinaterna för en vektor i den gamla basen och X anger koordinaterna för samma vektor i den nya basen 5

6 Antag nu, att avbildningen T : R Ñ R ges av matrisen A i standardbasen Om kolonnmatrisen X ger koordinaterna för vektorn u i standardbasen och Y ger koordinaterna för T puq, så gäller att Y AX Efter koordinatbytet har u koordinaterna X och T puq koordinaterna Y Sambanden X SX och Y SY ger Vi har därmed bevisat: SY Y AX ASX ô Y S ASX Sats Låt en avbildning ha matrisen A i någon bas Avbildningsmatrisen i en ny bas, där basbytet kodas av basbytesmatrisen S, är A S AS Exempel Avbildningen T har matrisen A i standardbasen För att analysera denna geometriskt, inför vi en ny bas enligt $ & e a pp ` qe ` e q 4 ` % e a p e ` p ` qe q 4 ` Basbytesmatrisen är S ` a 4 ` `, vilken är ortogonal, ty S S Avbildningsmatrisen i den nya basen är ` a 4 ` ` A S AS 0 0 Av denna övernaturligt simpla form (givet det invecklade basbytet) sluter vi, att T helt enkelt betyder spegling i e

7 I exemplet var det väsentligt för den geometriska tolkningen, att den nya basen var ortonormerad Spegling sker nämligen alltid ortogonalt mot den linje eller det plan, som speglas i I en snedvinklig bas skulle matrisen A inte längre betyda spegling, utan något mer komplicerat Läsaren ställer sig nu kanske med rätta frågan, hur man får sina avbildningsmatriser att antaga en så behaglig form, som i exemplet ovan Hur finner man den magiska basen Det finns en systematisk metod (teorien för diagonalisering och egenvektorer) för detta, som undervisas i mer avancerade kurser i linjär algebra Övningar Avbildningen T har matrisen A 5 4 i standardbasen (a) Visa, att en ny ortonormerad bas ges av $ & e 5 pe ` e q % e 5 p e ` e q (b) Bestäm matrisen A för T i denna nya bas (c) Tolka avbildningen geometriskt Avbildningen T har matrisen i standardbasen Vad är matrisen för T i den bas, som ges av $ & e e e e e e ` e % e e ` e Givet är en linjär avbildning T, sådan att $ & T p, 0, 0q p,, q T p,, 0q p0, 0, q % T p,, q p,, 4q 7

8 Bestäm matrisen för T i standardbasen 4 Avbildningen T har matrisen i standardbasen Vad är matrisen för T i den bas, som ges av $ & e e ` e ` e e e ` 4e ` e % e e ` e ` e Tolka avbildningen geometriskt Algebraisk framställning av linjära avbildningar Vi beskriver nu, för tre typer av geometriska avbildningar, hur avbildningsmatrisen låter sig beräknas Dessa är: projektion, spegling och rotation (vridning) Projektion Ett oumbärligt verktyg vid geometrisk problemlösning är Projektionsformeln proj v u u v v v, som ger projektionen av vektorn u på vektorn v Exempel Betrakta den linjära avbildning, som ges av projektion på linjen px, yq tp, q En godtycklig vektor px, yq projiceras på proj p,q px, yq px, yq p, q p, q p, q x ` y 5 p, q px ` y, x ` 4yq 5 x ` y x ` 4y 5 4 Projektionsmatrisen är därför x y 8

9 Övningar Bestäm matrisen för projektion på y-axeln Bestäm matrisen för projektion på linjen x ` y 0 Bestäm matrisen för projektion på linjen px, y, zq tp,, q och finn därefter projektionen av vektorn p,, q 4 Bestäm matrisen för projektion på planet x ` y ` z 0 Spegling För spegling används väsentligen samma metod som för projektion Verktyget är återigen Projektionsformeln Exempel Betrakta den linjära avbildning, som ges av spegling i linjen px, yq tp, q Projektionen av vektorn u px, yq på linjen är, enligt föregående exempel, u px ` y, x ` 4yq 5 Projektionen på linjens normalvektor är u u u, varför speglingen av u px, yq i linjen är u u u pu u q u u px ` y, x ` 4yq px, yq 5 5 p x ` 4y, 4x ` yq x ` 4y 4 5 4x ` y 5 4 x y Speglingsmatrisen är därför Övningar Bestäm matrisen för spegling i y-axeln Bestäm matrisen för spegling i linjen x ` y 0 Bestäm matrisen för spegling i linjen px, y, zq tp,, q och finn därefter spegelbilden av vektorn p,, q 4 Bestäm matrisen för spegling i planet x ` y ` z 0 9

10 Rotation Vridning i planet vinkeln θ moturs har, som vi tidgare sett, matrisen cos θ sin θ sin θ cos θ Exempel 4 Matrisen för vridning vinkeln 0 moturs är cos 0 sin 0 sin 0 cos 0 För rotation kring en linje i rummet är det mer komplicerat Vi betraktar först det enklaste fallet, nämligen rotation kring z-axeln Matrisen för vridning vinkeln θ moturs kring z-axeln (sett från spetsen av e ) är cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Basvektorerna e och e vrides på samma sätt som tidigare; deras z-koordinat är 0 även efter rotationen Basvektorn e påverkas inte av rotationen, utan avbildas på sig själv Rotation kring en godtycklig linje kan nu behandlas genom att byta till en ny positivt orienterad ortonormerad bas e, e, e, där e är parallell med linjen I denna nya bas är nämligen avbildningsmatrisen på ovanstående enkla form (Basen måste vara positivt orienterad för att inte få fel på tecken, då det är tal om moturs och medurs) Exempel 5 Låt oss finna matrisen för rotation kring linjen px, y, zq tp,, q vinkeln 90 moturs, sett från spetsen av p,, q Som första steg inför vi en ny ortonormerad bas Tredje basvektorn skall vara parallell med p,, q och ha längden, vilket ger e p,, q En vektor som är vinkelrät mot denna är till exempel p,, 0q, vilken normeras till e p,, 0q Som andra basvektor måste vi då ta e e ˆ e p,, q Nu blir nämligen e, e, e positivt orienterade, och därför också e, e, e Vektorn e får automatiskt längden, ty om e och e är ortogonala med längden, spänner de upp en kvadrat med arean I denna nya bas är avbildningsmatrisen cos 90 sin A sin 90 cos

11 Basbytesmatrisen är S 0, och eftersom basbytet skedde mellan ortonormerade baser, är denna matris ortogonal, det vill säga S S 0 Avbildningsmatrisen i standardbasen är således A SA S ` `, eftersom A S AS Övningar Bestäm matrisen för vridning i planet vinkeln 0 medurs och finn därefter vad vektorn p, q vrides till Tolka geometriskt avbildningen Finn matrisen för rotation vinkeln 90 moturs kring x-axeln (i rummet) 4 Finn matrisen för rotation vinkeln 90 moturs kring vektorn p,, q 5 Finn matrisen för rotation vinkeln 45 moturs kring vektorn p0,, q 4 Sammansättning och invers Låt F vara en avbildning, som beskrivs av multiplikation med matrisen A, och låt G beskrivas av multiplikation med matrisen B Detta betyder att X F ÞÑ AX, X G ÞÑ BX

12 Utförs först G och sedan F, uppnås följande evekt: X G ÞÑ BX F ÞÑ ABX Denna avbildning kallas för den sammansatta avbildningen FG, som alltså har matrisen AB Låt oss nu studera en enskild linjär avbildning F med matrisen A Om A är inverterbar, kan vi definiera inversen F som avbildningen med matris A Applicerar vi först F och sedan F, fås X F ÞÑ AX F ÞÑ A AX X Samma sak sker, om vi först applicerar F och sedan F: X F ÞÑ A X F ÞÑ AA X X Det gäller alltså att FF F F E, identitetsavbildningen Avbildningen F transformerar, och F transformerar tillbaka Övningar (a) Bestäm matrisen för avbildningen F, om F uppfyller $ & Fp,, 0q p, 0, 0q Fp0,, q p0,, 0q % Fp, 0, q p0, 0, q (b) Bestäm matrisen för avbildningen F (c) Bestäm matrisen för G, som betyder spegling i planet x`y`z 0 (d) Bestäm matrisen för avbildningen GF Låt R θ vara vridning vinkeln θ moturs Verifiera algebraiskt (genom att multiplicera ihop matriserna), att Tolka detta geometriskt R α`β R α R β Verifiera för någon speglingsmatris S (från ett exempel eller övning), att Tolka detta geometriskt S E 4 Verifiera för någon projektionsmatris P, att Tolka detta geometriskt P P

13 Facit a Sätt a b i definitionen b Sätt v 0 i definitionen c Sätt a b 0 i definitionen Till exempel är T p0, q p, q och T p0, q p4, q För en linjär avbildning måste T p0, q T p0, q a T p, 0q p, q, T p0, q p, 4q b p, q c p4, q Spegling i linjen x y (Rita figur) Projektion på xy-planet a Basbytesmatrisen 5 är ortogonal b A c Projektion på vektorn e Töjning med faktorn längs e och töjning med faktorn längs e

14 0 0 0, p,, q , p,, q , ˆ `, cosp 45 q sinp 45 q medurs sinp 45 q betyder vridning vinkeln 45 cosp 45 q 4

15 5 4a ` b 4c ` 4d Vridning först vinkeln β och sedan vinkeln α betyder totalt vridning vinkeln α ` β 4 Spegling två gånger i samma plan (eller linje) är ekvivalent med att inte transformera alls 44 Projektion två gånger ned i samma plan (eller linje) är ekvivalent med att projicera en gång 5