16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Transkript

1 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn, dvs F (u) = 0. Nollrummet betecknas med N(F ). 2. Värderummet till F definierar vi som mängden av alla bilder v W,dvs v = F (u) för något u V.Värderummet betecknas med V (F ). Exempel a) I Exempel 6.4 hade vi en ortogonal projektion P : R 3 R 3 på planet W : 2x y 2z = 0. Vi såg då att inga andra vektorer än dem som är parallella med normalen, dvs λn, avbildades på nollvektorn, dvs P (λn) = λp (n) = 0. Alltså är N(P )={λn; λ R} =[n] och dimn(p )=. Vidare gäller att eftersom alla projektioner ligger i planet W,så är V (P )={v = P (u) : u R 3 } =mängden av all bilder under P = W. Vi ser också att dim V (P )=dimw = 2. b) I Exempel 6.7 hade vi en spegling S : R 3 R 3 i planet W.Idethär fallet fanns det inga vektorer som avbildades på nollvektorn. Självklart avbildas alltid nollvektorn på sig själv. Alltså är N(S) ={0} och dim N(S) =0. Eftersom varje vektor i rummet v är en spegelbild av något u, dvsv = S(u), för något u, så gäller att V (S) =R 3 och dim V (S) =3. c) I Exempel 6.28 hade vi rotation R moturs en vinkel θ kring en axel parallell med e 3. Eftersom ingen annan vektor än nollvektorn vrids på nollvektorn, så har vi att N(R) ={0} och dim N(R) =0. Vidare, eftersom varje vektor v bild irummetär en vektor v urbild vriden moturs vinkeln θ, så kan urbilden v urbild fås genom att vrida v bild vinkelen θ medurs. Alltså följer att V (R) =R 3 och dim V (R) =3.

2 6.7 Nollrum, värderum och dimensionssatsen 87 Exempel Låt {e, e 2, e 3 } vara en ON-bas i rummet och låt F vara en linjär avbildning med avbildningsmatrisen A = 0. Visa att vektorn. u =2e e 2 e 3 N(F ). 2. v =2e e 2 +2e 3 V (F ). Lösning:. Vektorn u = e(2,, ) t N(F ), ty F (u) =F (e(2,, ) t )=e Alltså, vektorn u ligger i N(F ). 0 2 = Bilden v = e(2,, 2) t V (F ) om det finns en urbild u = ex, sådan att Nu gäller det att F (u) =v eax = e(2,, 2) t F (u) =v X = 3 0, dvs u = e(3,, 0) t. Detta visar att v V (F ).

3 88 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel Låt avbildningen F och matrisen A vara som i Exempel Vi har sett att vektorn u =2e e 2 e 3 N(F )ochv =2e e 2 +2e 3 V (F ). Frågor som vi ska besvara i det här exemplet är. Finns det fler vektorer än u i N(F )? Kan vi bestämma N(F )? 2. Hur ser V (F ) ut? Vad beskriver det geometriskt och vad är dess dimension? Lösning:. Nollrummet N(F ) består av alla vektorer u = ex som under F avbildas på nollvektorn, dvs Löser vi ekvationssystemet får vi F (u) =0 F (ex) =0 eax = 0 AX = 0. AX = X = t Vi ser alltså att N(F )spänns upp av endast vektorn u = e(2,, ) t. Detta betyder att dim N(F ) = och att N(F ) är en rät linje genom origo, se Figur Vi har definierat V (F ) som mängden av alla bilder v under F,dvsmängden av alla v för vilka det finns en urbild u, dvs om F (u) =v. Omurbildenär u = ex = x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 och bilden är v = ey,sågäller att v = F (u) v = F (x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) v = x F (e )+x 2 F (e 2 )+x 3 F (e 3 ). (6.) Vi ser att bildvektorn v V (F ) är en linjärkombination av bilden av basvektorerna F (e ), F (e 2 )ochf (e 3 ). Eftersom vektorn v är godtycklig i V (F )följer att V (F )=[F (e ),F(e 2 ),F(e 3 )]. Låt oss undersöka om vektorerna är linjärt beroende eller inte. Det gäller att 0 λ F (e )+λ 2 F (e 2 )+λ 3 F (e 3 )= Lösningen till detta system är således λ =2t, λ 2 = t och λ 3 = t. Vi har alltså 2 2tF (e ) tf (e 2 ) tf (e 3 )=0 F (e )= 2 (F (e 2)+F (e 3 )). Vi ser nu att dim V (F )=2ochunderummetV(F)=[F(e 2 ),F(e 3 )] är ett plan genom origo, se Figur 6.4. En normal till detta plan är t.ex. e e 2 e 3 F (e 2 ) F (e 3 )= =2e 0.. Geometriskt är underrummet V (F )={u R 3 : x x 3 =0}, se Figur 6.42.

4 6.7 Nollrum, värderum och dimensionssatsen 89 Figur e 3 e 2 F(u)=0 e u N(F) = [u] Figur 6.4. F(e 3 ) F(e 2 ) F(e )=(F(e 2 ) + F(e 3 ))/2 Figur 6.42.! % # &'! $ ()'"*"*"( + #! $ #! " # &'! % ()'"*!"*"( + #,'&()-&'! " (.&'! $ (/)0!#2 % 3#4 "!4 % )56#

5 90 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Vi såg i uttrycket (6.) i exemplet ovan att varje bildvektor i värderummet till en linjär avbildning är en linjärkombination av bilden av basvektorerna. Detta är bl.a. innebörden av nästa sats. Sats Antag att F : V W är linjär.. Nollrummet N(F ) är ett underrum av V. 2. Värderummet V (F ) är ett underrum av W. 3. Om V =[e, e 2,...,e n ]såv(f)=[f(e ),F(e 2 ),...,F(e n )]. Bevis:. Låt u, u 2 N(F ) V,dvsF (u )=F (u 2 )=0. Dågäller att och F (u + u 2 )=F (u )+F (u 2 )=0 F (λu )=λf (u )=0, dvs u + u 2 N(F )ochλu N(F ). Därmed är N(F ) är ett underrum i V. 2. Om bilderna v, v 2 V (F ) W,såfinnsdeturbilderu, u 2 V, så att v = F (u ) respektive v 2 = F (u 2 ). Det följer att dvs v + v 2 V (F ) samt att v + v 2 = F (u )+F (u 2 )=F (u + u 2 ), λv = λf (u )=F (λu ), dvs λv har urbilden λu,dvsλv V (F ). Vi har därmed visat att V (F ) är ett underrum i W. 3. Låt u = x e + x 2 e x n e n vara en godtycklig vektor i V med bilden v under F, dvs F (u) =v. Dågäller att v = F (u) =F (x e + x 2 e x n e n )=x F (e )+x 2 F (e 2 )+ + x n F (e n ), dvs varje v V (F ) är en linjärkombination av mängden {F (e ),...,F(e n )}. Vi har alltså visat att V (F )=[F(e ),F(e 2 ),...,F(e n )].

6 6.7 Nollrum, värderum och dimensionssatsen 9 Vi har i exemplen ovan också sett att det finns ett samband mellan dim N(F )ochdimv (F ) och nästa sats bekräftar detta. Sats Dimensionssatsen: Antag att F : V W är linjär. Då gäller att dim N(F )+dimv (F )=dimv. Bevis: Antag att dim V = n och att {e, e 2,...,e n } är en bas i V. Antag också att dim N(F )=k och att {e, e 2,...,e k } är en bas i N(F ). Vi vill visa att Enligt Sats 6.43, så gäller att Eftersom följer att dim V (F )=dimv dim N(F ). V (F )=[F (e ),F(e 2 ),...,F(e n )]. F (e )=F (e 2 )= = F (e k )=0, V (F )=[F (e k+ ),F(e k+2 ),...,F(e n )]. (6.2) Vi visar nu att mängden i (6.2) som spänner upp V (F ) är linjärt oberoende, ty λ k+ F (e k+ )+λ k+2 F (e k+2 )+ +λ n F (e n )=0 F (λ k+ e k+ +λ k+2 e k+2 + +λ n e n )=0, dvs e k+, e k+2,...,e n N(F ), vilket är en motsägelse. Mängden av (n k) vektorer {F (e k+ ),F(e k+2 ),...,F(e n )} i (6.2) som spänner upp V (F ) är alltså linjärt oberoende. Därmed är dim V (F )=n k =dimv dim N(F ), dvs dim N(F )+dimv (F )=dimv.

7 92 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel Den linjära avbildningen F har i standardbasen matrisen A =. 0 0 Bestäm en bas för underrummen N(F ), V (F )ochn(f ) V (F ). Avgör också om (, 4, 2) t V (F )? Lösning:. Nollrummet N(F ) är alla u = ex som under F avbildas på nollvektorn, dvs Vi löser ekvationssystemet F (u) =0 F (ex) =0 eax = 0 AX = 0. AX = X = t Alltså spänns N(F ) endast upp av vektorn u = e(,, 0) t,dvsn(f )=[(,, 0) t ] är en rät linje geonm origo med dim N(F ) =. 2. Dimensionssatsen dim N(F )+dimv (F )=dimr 3 ger att dim V (F ) = 2. Eftersom V (F )spänns upp av bilden av basvektorerna, V (F )=[F (e ),F(e 2 ),F(e 3 )] måste en bildvektor bort då den är linjärkombination i de övriga. Det får bli F (e 2 ) som är parallell med F (e ). Alltså har vi att V (F )=[F (e ),F(e 3 )] = [(,, 0) t, (,, ) t ] som är ett plan genom origo. Normalen till V (F ) ges av (,, 0) t (,, ) t =(,, 0) t, så att V (F )=[(,, 0) t, (,, ) t ]={u R 3 : x x 2 =0} Snittmängden N(F ) V (F ) består av alla vektorer som ligger i både N(F )ochv (F ). Eftersom N(F )=[(,, 0) t ]och(,, 0) t V (F ), så är N(F ) V (F )=[(,, 0) t ]. 4. Vektorn (, 4, 2) t / V (F ) ty den satisfierar inte ekvationen x x 2 = 0.