SF1624 Algebra och geometri

Transkript

1 Föreläsning 16 Institutionen för matematik KTH 5 december 2017

2 Modul 6 Veckans arbete 1. Idag: Ortonormalt, kap a. Ortogonala och ortonormala baser b. Gram-Schmidts metod c. Ortogonala matriser 2. Imorgon: Minstakvadratmetoden, kap På torsdag: Ortogonal diagonalisering, kap a. Diagonalisering av symmetriska matriser b. Diagonalisering av kvadratiska former

3 Ortonormalt Inledande exempel om ortonormala baser Om { e 1, e 2, e 3 } är standardbasen för R 3 och x = x 2 är x 3 någon vektor, beräkna x e 1, x e 2, x e 3. x 1

4 Ortogonala vektorer Definition ortogonal: En mängd vektorer, { v 1, v 2,..., v k } är ortogonal om alla skalärprodukter v i v j = 0 när i j. Definition ortonormal: En mängd vektorer, { v 1, v 2,..., v k } är ortonormal om den är ortogonal och alla v i har längd 1. Observation: Varje ortogonal mängd nollskilda vektorer är linjärt oberoende.

5 Exempel/ övning Exempel: Avgör om mängden B = 6, 0, 5 är ortogonal Kan man skala om vektorerna i B så att man får en mängd B som är ortonormal?

6 Koordinater i en ON-bas Sats om koordinater i en ortonormal bas (ON-bas): Om B = { v 1, v 2,..., v n } är en ortonormal bas (ON-bas) för R n och x är en vektor i R n så kan x skrivas: x = ( x v 1 ) v 1 + ( x v 2 ) v ( x v n ) v n dvs den i:te koordinaten för x är x v i.

7 Exempel/ övning Exempel/övning: 0 1. Kontrollera att mängden B = 1/ /, 0, 1/ / 2 är en ON-bas för R Bestäm koordinaterna för vektorn 2 i basen B. 1

8 Ortogonala matriser Definition av ortogonala matriser: En n n -matris P sådan att P T P = I sägs vara en ortogonal matris. Med andra ord: För en ortogonal matris P gäller att P T = P 1.

9 Ortogonala matriser Sats om ortogonala matriser: Följande villkor är ekvivalenta för en n n n -matris P: 1. P är ortogonal, dvs P T P = I 2. P:s kolonner utgör en ortonormal mängd vektorer 3. P:s rader utgör en ortonormal mängd vektorer

10 Exempel/Övning Exempel/Övning: Bestäm inversen till matrisen A = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ

11 Ortogonalt komplement Definition av ortogonalt komplement Låt S vara ett delrum av R n. Vi säger att en vektor v är ortogonal mot S om v s = 0, för alla s S Mängden av alla vektorer som är ortogonala mot S kallas för ortogonala komplementet till S och skrivs S. Detta S är ett delrum till R n. Observation: Om B = { v 1, v 2,..., v k } är en bas för S så är S = { x R n : x v j = 0 för 1 j k}

12 Exempel/Övning Exempel/Övning 1 1 Vi är i R 4. Låt S =Span 0 0, 0 1. Bestäm S 1 0

13 En sats Sats Låt S vara ett k-dimensionellt delrum av R n. Då gäller att 1. S S = { 0} 2. dim S = n k 3. Om { v 1, v 2,..., v k } är en ortonormal bas för S och { v k+1,..., v n } är en ortonormal bas för S så är { v 1, v 2,..., v k, v k+1,..., v n } en ortonormal bas för R n.

14 Projektion på delrum Definition av projektion på delrum Låt S vara ett k-dimensionellt delrum av R n och låt B = { v 1, v 2,..., v k } vara en ortonormal bas för S. Projektionen av en vektor x i R n på S definieras genom proj S x = ( x v 1 ) v 1 + ( x v 2 ) v ( x v k ) v k Vi har också den mot S perpendkulära delen: perp S x = x proj S x (OBS att projektion på delrum görs via en ortonormal bas!!!)

15 Projektion på delrum Approximationssatsen Låt S vara ett delrum av R n. För alla x i R n så är proj S x den unika vektor i S som minimerar avståndet till x.

16 Gram-Schmidts metod Gram-Schmidts metod är en metod att utifrån en bas, vilken som helst, skapa en ortogonal bas (som sedan förstås också kan skalas till en ortonormal bas) Givet alltså en bas B = { w 1, w 2,..., w k } för S. Steg 1. Sätt v 1 = w 1 Steg 2. Sätt v 2 = w 2 w 2 v 1 v 1 2 v 1 Steg 3. Sätt v 3 = w 3 w 3 v 1 v 1 2 v 1 w 3 v 2 v 2 2 v 2 Och så vidare! Efter k steg har vi en ortogonal bas { v 1, v 2,..., v k } för S som kan skalas om till en ortonormal bas.

17 Gram-Schmidts metod Exempel/Övning Finn en ortonormal bas för S = Span 2, 5,