1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

Transkript

1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5), x = (,, ) och x = (,, 0).. För alla värden på parametern a lös följande ekvationssystem x + ay z = x + (a )y + z = x + y + (a )z = (6 poäng). Finn den räta linje som ger bästa approximation i minsta kvadratmening till följande datamänder: (, ), (, ), (0, 0), (, ), (, 4) 4. Vektorerna a, a och a nedan är en bas för ett delrum W av R 4. Använd Gram-Schmidt för att göra om dessa till en ortonormal bas för W. a = (, 0,, ),, a = (,, 0, ),, a = (,,, 0). 5. Beräkna avståndet mellan linjerna l (s) = (,, )s + (, 0, ) och l (t) = (, 0, )t + (4,, ). Beräkna även de närmaste punkterna. 6. Hitta en rotation, skalning och translation som sätter följande kvadratiska ekvation på standardform: 7x 48xy 7y + 50x + 00y + 7 = 0. Vilken sorts kurva är det frågan om? 7. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar matrisen 4 A = 6 4

2 Svar till tentamen i Linjär algebra, Testtenta.. Volymen blir 5 volymsenheter.. a = 0: ingen lösning, a = ger lösningarna x = s, y = s, z =, om a 0 och a så har systemet den entydiga lösningen x = a a, y = 0, z = a. y = /5 + 7/0x 4. o = (, 0,, ) o = (,,, ) 5 o = (,,, 4) 5 5. avståndet är 6. De närmaste punkterna är (,, ) för s = och (,, ) för t =. 6. Standardformen blir x y = 5. Kurvan är en hyperbel. 7.

3 Lösningar till tentamen i Linjär algebra, Testtenta.. Volymen ges av beloppet av determinanten till de tre vektorerna, dvs determinanten till matrisen 5 A = 0 Eftersom tredje kolonnen innehåller matrisens enda nolla så utvecklar man gärna längs tredje kolonnen. Determinanten blir i alla fall 5 varför volymen blir 5.. Ekvationssystemet svarar mot följande utvidgade matris: a a a Vanlig Gausselimination ger oss följande matris a 0 a a Från denna matris kan vi nu dra några slutsatser: Rad innebär att az = vilket ger att om a 0 så får vi z = /a. Om a = 0 så blir ekvationen istället 0 = vilket naturligtvis är en omöjlighet, varför systemet inte har några lösningar för a = 0! Går vi nu till rad så får vi för a = ekvationen 0 y = 0 som är uppfylld för alla värden på y, dvs y = s är godtycklig. Om a så gäller att a 0 och vi kan därför lösa ut y ur ekvationen (a )y = 0 och får då y = 0 Rad, slutligen, ger oss x = ay + z + vilket ger oss ingen lösning om a = 0 x = s om a = + om a, a 0. Vi kan nu sammanfatta: Om a 0 och a så har systemet unik lösning x /a + y = z 0 /a a Om a = så har systemet oändligt många lösningar. Lösningarna ligger på följande linje: x 0 y = 0 s + 0 z Slutligen: om a = 0 så har systemet inga lösningar alls.. Vi använder maple för att lösa denna med minsta kvadratmetoden: > Y:=matrix(5,,[,,0,-,-4]);

4 Y := 0 4 > M:=matrix(5,,[,-,,-,,0,,,,]); M := 0 > Mt:=transpose(M); [ ] Mt := 0 > S:=multiply(Mt,M); [ ] 5 0 S := 0 0 > b:=multiply(mt,y); [ ] b := 7 > X:=linsolve(S,b); 5 X := 7 0 Här blir den räta linjen y=-/5+-7/0x. 4. Vi börjar med att göra en ortogonal bas och på slutet normera dessa vektorer så att vi på så sätt får en ortonormal bas. Steg : Tag en av de tre vektorerna som första vektor; jag väljer a och kallar denna för b Steg : Jag tar nu a och projicerar denna på b. Sedan drar jag bort denna projektion från a och resultatet blir en vektor som är ortogonal mot b. Denna vektor kallar jag nu för b : b = a proj b a = (,,, ) Eftersom jag ännu inte bryr mig om vektorernas längd tar jag som andra vektor b = (,,, ). Detta för att slippa släpa på så många bråk. Steg : jag har nu två ortogonala vektorer b och b. För att få en tredje vektor så tar jag nu a och projicerar den på b och b. När jag sedan subtraherar dessa projektioner från a får jag en vektor som är ortogonal mot både b och b. Denna vektor kallar jag då för b. Vi får: b = a (proj b a + proj b ) = (,,, 0) 5 (4,,, 4) = (,,, 4) 5 Nu tar jag b = (,,, 4) och noterar att denna verkligen är otogonal mot b och b. Dessa tre vektorer är nu en ortogonal bas. Vi behöver nu bara normera dessa vektorer för att ha erhållit en ON-bas: 4

5 o = o = o = b b = (, 0,, ) b b = (,,, ) 5 b b = (,,, 4) 5 5. Idén är att linjerna ligger i var sitt plan som har normalvektor n lika med kryssprodukten av linjernas riktningsvektorer. Vi har i j k n = (,, ) (, 0, ) = det = (,, ) 0 Skillnadsvektorn a = (4,, ) (, 0, ) = (,, ) går nu mellan planen. Längden av dess projektion i normalriktningen är avståndet mellan planen och därför mellan linjerna: a n = proj n a = (,, ) (,, ) n (,, ) = (,, ). Längden av denna vektor blir a = 6 vilket alltså är vårt avstånd. För att beräkna de närmsta punkterna så bildar vi en godtycklig skilnadsvektor mellan linjerna; u(s, t) = l (t) l (s) = (t s, s, t s) + (,, ). Vi söker nu s och t så att denna vektor blir parallell med planens normalvektor. Eftersom normalvektorn är vinkelrät mot båda linjernas riktningsvektorer så får vi följande ekvationssystem i s och t: 0 = u(s, t) (,, ) = s () 0 = u(s, t) (, 0, ) = t + 4 () Den först ekvationen ger s =, vilket ger punkten l ( ) = (,, ) på l. ekvationen ger t = vilket ger punkten l ( ) = (,, ) på l Den andra 6. Vi börjar med att skriva ekvationen på matrisform: ( ) ( ) ( ) 7 4 x x y + ( ) ( x 4 7 y y Vi hittar rotationen genom att diagonalisera den symmetriska matrisen ( ) 7 4 A = 4 7 ) + 7 = 0 Dess karakteristiska polynom blir c A (λ) = λ 65. Egenvärdena är nollställena till detta polynom och dessa blir λ = 5 och λ = 5. Egenvektorerna har olika tecken och detta betyder att kurvan är en hyperbel. Egenvärdenas normerade egenvektorer blir e λ = 5 (, 4) och e λ = 5 ( 4, ). Dessa egenvektorer bildar den ortogonala matrisen. Vi måste bara se till att determinanten blir + vilket garanterar att matrisen är en rotation. Vi får P = ( )

6 ( x Nu utför vi variabelbytet y ) = P ( ξ η ) som ger oss följande ekvation: 5ξ 5η + 90ξ + 0η + 7 = 0 Vi gör nu en skalning: x = 5ξ y = 5η, vilket ger oss ekvationen Nu kvadratkompletterar vi: x y + 8x + 4y + 8 = 0 (x + 9) 8 (y ) = 0 (x + 9) (y ) = 5 En translation: x = x + 9, y = y och vi är klara: x y = 5 7. Vi börjar med egenvärdena; det karakteristiska polynomet blir λ + λ λ 98. Detta har nolltällena λ = 7, dubbelt egenvärde, λ =, enkelt egenvärde. Egenvektorerna till λ = 7 blir. v = 0 och v = Vi använder Gram-Schmidt för att göra om denna bas till en ON-bas: e = 0 e = 4 Normaliserad egenvektor för egenvärdet λ = blir e = Tillsammans ger våra ortonormala egenvektorer den ortogonala matrisen P : P = 0 4 6