(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

Transkript

1 TM-Matematik Mikael Forsberg, Rolf Källström, För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift på n sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad. Frågorna till 6 ska svaras med krss på det bifogade svarsformuläret,.5 p för varje rätt krss. Två rätta svar på varje fråga, fler krss än två ger noll på uppgiften.. I den här uppgiften är x = (x,, z), u och v tredimensionella vektorer. Vilka av följande delmängder av R 3 är delrum till R 3? (a) Mängden av alla x = (x,, z) som uppfller x + = 3z. (b) Mängden av alla x = (x,, z) som uppfller x + + z =. (c) Span{u, v} (d) Mängden av alla x som uppfller x = s u + t v + (,, ), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfller x = s u där s är ickenegativ, s.. Låt avbildningen L ges genom att först utföra speglingen S x i x-axeln och sedan rotationen med vinkeln α moturs, R α. Om vi låter L, S x och R α också beteckna matriserna för de tre avbildningarna ange vilka av följande påståenden som är sanna. (a) L = S x R α (b) L = R α S x (c) L = Rα Sx (d) L = Sx T Rα (e) L = S x R α 3. Denna uppgift handlar om matrisen A med dess radreducerade matris Ã. A = 3 Ã = Vilka av följande fem påståenden är sanna? (a) Raderna i A är linjärt oberoende. (b) Raderna i A bildar en bas för R 4. (c) Nollrummet till A är -dimensionellt. (d) Raderna i A är linjärt beroende. (e) Sstemet Ax = har endast triviala lösningen.

2 4. I den här uppgiften är A en inverterbar 3x3 matris med inversen A. B och C är två andra inverterbara 3x3 matriser och vi undrar vilka av följande påståenden är sanna om den obekanta matrisen X som uppfller matrisekvationen (a) X = A (C B) (b) X = (C B)A (c) X = A (B C) (d) X = A C A B (e) X = CA BA B + AX = C 5. I den här uppgiften är u och v två tredimensionella vektorer och w = au+bv en linjärkombination. Ange vilka av följande påståenden som är sanna. (a) u v beräknar arean av det parallellogram som u och v spänner upp. (b) Vinkeln mellan u v och w är noll. (c) ( u v ) w är en vektor vinkelrät mot w (d) ( u v ) w är vinkelrät mot både u och v. (e) ( u v ) w ligger i planet som u och v spänner upp. 6. Vilka av följande påståenden ger ett tillräckigt villkor för att en 3 3 matris A ska vara diagonaliserbar? (a) Matrisen har tre egenvärden räknade med multiplicitet som nollställen till karakteristiska polnomet. (b) Matrisen är lika med sitt transponat: A = A T. (c) För varje egenvärde till matrisen så är algebraiska multipliciteten är lika med dimensionen för egenvärdets egenrum, (d) Matrisen är inverterbar. (e) Matrisen är ortogonal.

3 Frågorna 7-9 ger 3 poäng vardera 7. Beräkna alla lösningar till ekvationssstemet Ax = b, där 3 A = b = Den här uppgiften handlar om matrisen A och dess radreducerade matris Ã, A = Beräkna baser för radrum, kolonnrum och nollrum till matrisen A. = Ã 9. Beräkna determinanten för följande 4 4-matris: M = 3

4 Uppgifterna -4 kräver fullständiga och väl motiverade lösningar. Uppgifterna ger 5 poäng vardera. Denna uppgift handlar om matrisen M(n), som beror av den reella variabeln n: M(n) = n n (a) Beräkna de värden på n som gör att matrisen saknar invers. (b) Beräkna inversen till matrisen M(n) där n är det minsta positiva heltalsvärde på n som gör att matrisen har invers. (a) Beräkna matriserna för spegling i x-axeln, spegling i -axeln, samt rotationen med π/ moturs. (b) Använd matriserna från uppgift a för att beräkna matrisen för den avbildning som bildas då vi först roterar med π/ moturs, sedan speglar i -axeln och slutligen speglar i x-axeln. (c) Om vi sammansätter tre speglingar, kan detta ge oss samma resultat som en eller flera rotationer? Motivera!. Den här uppgiften söker den kurva på formen = ax + b x som i minstakvadratmening bäst anpassar sig till (x, )-punkterna (, ), (, ) och (4, ). (a) Skriv ned de tre ekvationerna som skulle vara uppfllda om kurvan passerade genom alla tre punkterna. (b) Beräkna koeffecienterna a och b för den bäst anpassade kurvan = ax + b x. 3. Basen A s vektorer är givna i standardbasen, mha kolonnerna i matrisen A S. När man uttrcker basen A s vektorer m.a.p en annan bas B får man kolonnerna i matrisen A B. [ [ 3 A S =, A 3 B = Beräkna basen B uttrckt i Standardbasen. 4. Beskriv lösningarna till den kvadratiska ekvationen 5x + x x = genom att diagonalisera den kvadratiska formen och kvadratkomplettera och göra lämpliga variabelbten så att uttrcket skrivs på formen ax + by = 4

5 Svar till tentamen i Linjär algebra, a, c. b, e 3. c och d 4. a, d 5. a, e 6. b, c det M =

6 Lösningar till tentamen i Linjär algebra, Vi ställer upp sstemet på utvidgad matris form och eliminerar Från den eliminerade matrisen läser vi av att x och är ledande variabler medan z är fri eftersom tredje kolonnen saknar ledande element. Vi sätter z = t och använder de två nollskillda raderna för att lösa ut x och : x = z + = t +, = z = t och, som sagt z = t Om vi ger detta svar på vektorparameterform har vi nu x = t + z 8. De nollskillda raderna i à är bas för radrum. De ledande elementen i matrisen à står i kolonnerna ett, tre och fra. Vektorerna i motsvarande kolonner i matrisen A är bas för kolonnrummet. För nollrummet så behöver vi lägga till ett högerled med nollor till Ã: 3 3 Ur denna matris kan vi nu läsa ut lösningarna till Ãx = som också är lösningarna till Ax = som är nollrummet till matrisen A. De kolonner som inte har ledande element, dvs, 4 och 5 är fria variabler: x = s, x 4 = t och x 5 = u. Vi uttrcker de ledande variablerna mha de fria: x = x x 5 x 6 = s t u x = s x 3 = 3x 5 x 6 = 3t u x 4 = x 5 3x 6 = t 3u x 5 = t x 6 = u

7 På vektorform har vi x x x 3 x 4 x 5 x 6 = s + 3 t + u, där de tre vektorerna i höger led är basen för vårt nollrum. 9. Man beräknar lämpligen determinanten av 4 4-matrisen mha kofaktorutveckling längs andra kolonnen. Detta ger en förenklingar tack vare att denna kolonn innehåller många nollor. Detta ger det första stegen i nedanstående räkningar. I de följande stegen gör vi två radbten (varje radbte ger ett teckenbte och två radbten ger oss ingen teckenförändring. Sedan gör vi radoperationer som inte förändrar determinanten tills vi får en triangulär matris och determinanten är då produkten av diagonalelementen: det M = ( ) 3+ ( ) det = }{{} = = två radbten ger ingen förändring av determinanten = = det = = tre enkla radoperationer ger ingen förändring av determinenten = = 3 = = determinanten för triangulär matris är produkten av diagonalelementen = = =. Matrisen saknar invers precis om determinanten är noll. Vi beräknar determinanten: det M(n) = n som är noll precis om om n = ±. Det minsta positiva värde på n som gör matrisen inverterbar är därför n = (Observera att vi normalt inte betraktar noll som positivt, även om det finns en del matematiktänkare som använder att noll är positivt, men då är också noll negativt och det enda tal som både betraktas som positivt och negativt. Den som väljer n = gör alltså inte fel och vi kommer acceptera en invers för detta värde också, förutsatt att den är korrekt uträknad.) ex: Bourbaki. Se Kiselman, Vad är ett naturligt tal? Sedan behöver vi beräkna inversen, dvs eliminera den utvidgade matrisen M() 3 Inversen M[ ::

8 . (a) Matriserna för de olika operationerna kan man beräkna genom att följa vad som händer med standardbasvektorern. Om vi betecknar spegling i x-axeln med S x, spegling i -axeln med S och rotationen moturs med π/ med R 9 så har vi S x = [ [, S = [, och R 9 = (b) Matrisen M som söks blir produkten av de tre matriserna i rätt ordning. Den första operationens matris ska stå längst till höger och de andra till vänster om denna. Vi får [ [ [ [ M = S x S R 9 = = (c) En spegling bter orienteringen (den ordning som axlarna kommer) för vårt rum. T.ex. speglingen i linjen = x gör att x och axlarna bter plats och får därför motsatt orientering. Detta kan aldrig åstadkommas mha en rotation. Ett jämnt antal speglingar ger oss den normala orienteringen tillbaka och detta innebär att ett jämnt antal speglingar kan ge oss en rotation. Ett udda tal speglingar ger oss igen ett orienteringsbte och kan inte ge oss en rotation. En rotation känns igen av att determinanten för matrisen är + och en spegling av att determinanten är. Kombinerar vi tre godtckliga speglingar S, S och S 3 så får vi det(s S S 3 ) = det S det S det S 3 = ( ) 3 = som alltså är en spegling. Om vi sätter samman rotationer så ger sammansättningen alltid determinanten +. Hur vi än kombinerar rotationsmatriser kommer vi aldrig kunna få en negativ determinant och detta innebär att vi aldrig kan ersätta tre speglingar med en kombination av rotationer.. (a) De tre ekvationerna blir a + b = a + b = 4a + b = När vi skriver sstemet på matrisform får vi sstemet AX = B, där [ A = a, X = B = b 4 (b) Vi ställer upp normalekvationen A T AX = A T B: [ A T 7 9 A = 9 5, A T B = Vi radreducerar den utvidgade matrisen [A T A A T B: [ [ vilket betder att a = och b = som ger oss att = x x är den bäst anpassade kurvan. [ 8 4, 8

9 3. Matrisen A S utför vektorer uttrckta i basen A till vektorer uttrckta standardbasen. Matrisen A B överför vektorer uttrckta i A till vektorer uttrckta i B Figure : R A, R B och R Sär koordinatrummen m.a.p baserna A, B och S. Detta gör att basbtesmatriserna är avbildningar mellan dessa koordinatrum. Vi söker matrisen B S som vi kan beräkna genom att först använda A B och sedan använda A S Vår situation kan beskrivas som i figur Från figuren kan vi se att den matris vi söker är A S A B Vi beräknar först inversen och sedan produkten A S A B = [ 3 A B = [ 3 [ 3 = 4. (a) Vi börjar med att skriva ekvationen på matrisform. [ x [ 5 5 (b) Diagonalisera matrisen [ x [ + [ 6 8 [ x [ 5 5 till den kvadratiska formen: Det karakteristiska polnomet: [ 5 λ det = (5 λ) 5 λ ger oss egenvärdena λ = 4 och λ = 6. Egenvektorerna [ [ λ = 4 λ = 6 [ [ = [ x [ x + 6 = = [ = [ 9

10 Diagonaliserande matris blir P = [ som är en rotation eftersom dess determinant är +. Notera att matrisen också är ortogonal eftersom dess kolonnvektorer är ortogonala och har längden. Detta gör att P = P T. (c) Utför variabelbtet (som är en rotation tack vare att det P = ) [ x = P [ X Y [ x = ([ x ) T = [ X Y P T Vår kvadratiska ekvation blir nu [ [ [ X Y P T 5 X P 5 Y }{{} = [ 6 8 [ X P Y + 6 = Räknar vi samman detta får vi att vår kvadratiska ekvation transformerats till där vi också dividerat båda led med. 3X X + Y + 4Y + 3 =, (d) Nu kvadratkompletterar vi m.a.p. X och Y : Vi har = 3(X } {{ 4X + 4 } 4) + (Y } + {{ Y + } ) + 3 = (X ) (Y +) = 3(X ) + (Y + ) + 3 = = 3(X ) + (Y + ) (e) Translatera koordinaterna X = X, Y = Y + så får vi 3X + Y = som uppenbarligen definierar en ellips. (Notera att dessa slutkoordinater X, Y inte är samma som de vi startade, varför de är markerade med annan stil. Jag har bara valt att använda dessa bokstäver för att vi är vana att se dessa ekvationer uttrckta i X och Y.) Vi har att de na X och Y uppfller. X = X +, Y = Y De gamla x och uppfller [ [ x X = P Y = P [ X + Y = P ([ X Y [ + ) där de gamla koordinaterna står till vänster och de na till höger. De gamla och de na skiljer sig alltså åt med en rotation (given av P) och en translation.