LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

Transkript

1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om man har ett allmänt reellt vektorrum V så har den en bas, e, säg Om vi har en vektor v V så kan vi skriva v som en linjärkombination av vektorer i e Vi kan då bilda en avbildning v v e som tar vektorn och avbildar den på sina koordinater i basen e Detta gör det möjligt för oss att se en koppling mellan V och R n, eftersom koordinaterna är en vektor i R n Om vi har en annan bas f så har vi en annan avbildning v v f, hur är då dessa avbildningar relaterade Närmare bestämt, hur är v e och v f relaterade? v v e? v f Finns det något sätt att gå från koordinaterna i e till koordinaterna i f? Ett typiskt problem är följande Låt v = vara en vektor i standardbasen i R Låt sedan b =, och hitta [v] b b e b v e FIGUR Figuren visar en vektor v och baserna e och b

2 JOHAN ASPLUND För att lösa problemet så vill vi skriva v som en linjärkombination i basen b Det vill säga k = k b + k b = k k Matrisen är den matris vi kommer kalla för en basbytesmatris och [v] b = k Basbytesproblemet Låt a = a,, a n och b = b,, b n vara baser i V Då kallas matrisen T = T ab = [b ] a [b n ] a, för basbytesmatrisen från b till a Den är inverterbar, och inversen betecknas med T = T ab = Tba Ett recept att hitta T ab är som följande Bilda totalmatrisen a b Radreducera matrisen så att man får identitetsmatrisen på vänster sida 3 Resultatet är att man har matrisen I T ba KOLONNRUM, RADRUM OCH NOLLRUM A A n Låt A = Rm n vara given Vi betecknar den i:te raden till A med A i och på A m A mn motsvarande sätt betecknar vi den j:te kolonnen till A med A j Definition Rad- och kolonnrum Vi definierar radrummet till matrisen A som RA = span {A,, A m } På motsvarande sätt definierar vi kolonnrummet till A som KA = span {A,, A n } Definition Nollrum Vi definierar nollrummet till matrisen A som NA = { x R n Ax = 0 } Sats 3 Det gäller för en godtycklig matris A R m n att dimra = dimka Detta tal kallar vi för matrisens rang och betecknas med ranka Sats 4 Dimensionssatsen för matriser För varje A R m n gäller dimna + ranka = n 3 LINJÄRA AVBILDNINGAR FRÅN R n TILL R m En linjär avbildning från R n till R m är en avbildning f : V W där V och W är vektorrum, sådan att fu + v = fu + fv för alla u, v V fcv = cfv för alla c R och v V Vi kommer endast att studera linjära avbildningar i fallen då V = R n och W = R m Sats 3 Varje matris A R m n bestämmer en linjär avbildning definierad som f A x = Ax f A : R n R m,

3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 3 Anmärkning 3 Faktum att det omvända till denna sats också gäller Det vill säga att till varje linjär avbildning f : R n R m finns precis en matris A R m n Denna matris A kallas för f:s matris Ibland betecknas den som A = [f] Denna matris bestäms som följande A = [f] = fe fe n, där e = {e,, e n } är standardbasen i R n Sats 33 Om f : R n R m och g : R m R l är två linjära avbildningar så gäller det att sammansättningen g f : R n R l är linjär, och dess matris är [g f] = [g][f] Anmärkning 34 Allmänt gäller det att om f : V W är en linjär avbildning, och V = W så att f : V V, så kallas f för en linjär operator Sats 3 En linjär operator f : R n R n är inverterbar om och endast om matrisen [f] är inverterbar, och i så fall är [ f ] = [f] 4 UPPGIFTER 46:3 Hitta koordinatvektorn [p] S där S = {p, p, p 3 } a p = x + 3x, p =, p = x, p 3 = x b p = + x x, p = x, p = x + x, p 3 = x Lösning a Vi noterar att x+3x = + x+3 x Så vi kan direkt läsa av att [p] S = 3 b Vi vill skriva p som en linjärkombination av p, p och p 3 Vi får då p = + x x = k x + k x + x + k 3 x = k + k 3 + k k x + k k 3 x, som ger ekvationssystemet k + k 3 = 0 k k = 0 k k 3 = 0 k 0 Löser vi systemet får vi k = = [p] S k 3 k k = k 3 47:a Uttryck produkten Ax som en linjärkombination av kolonnvektorerna till A, där A = och x = Lösning Vi har 3 4 = 3 Ska vi skriva denna vektor som en linjärkombination av kolonnvektorerna till A får vi k = k 3 A + k A = A Därför ser vi att produkten Ax skriven som är linjärkombination av kolonnvektorerna till A är 3 3 Ax = = k 3 4

4 4 JOHAN ASPLUND, och uttryck i så fall b som en linjärkom- 48:3a Avgör om b = ligger i KA där A = 0 bination av kolonnvektorer i A Lösning Kolonnrummet till A är KA = span, Vi avgör om b ligger i kolonnrummet till A genom att avgöra om ekvationssystemet Ax = b har en lösning Den har en unik lösning om deta 0 Vi inser att deta = 6, och därför hittar vi koordinaterna av b uttryckt i A:s kolonnvektorer genom att hitta A Vi får Så A = deta x = A b = 6 = 6 0 = 6 Alltså får vi b = :a Hitta ranka och dimna till matrisen A = 4, och verifiera dimensionssatsen 0 Lösning Vi radreducerar matrisen först, och får 3 3 A = Vi får då alltså ranka = dimka = dimra = 3 Eftersom ekvationssystemet Ax = 0 då har en unik lösning är dimna = 0, och alltså får vi dimna + ranka = = 3 Detta är lika med n, och alltså stämmer dimensionssatsen i detta fallet 49:9 Bestäm standardmatrisen för operatorn T : R 3 R 3 som definieras av ekvationerna w = 4x 3x + x 3 w = x x + x 3 w 3 = x + x x 3 Dessa ekvationer bildar ekvationssystemet 4 3 Per definition är w w w 3 = T x, där x = x x x 3 x w x = w x 3 w 3 Så vi har alltså 4 3 T x = x x, x 3

5 så LINJÄR ALGEBRA II LEKTION [T ] = Vi kan sedan beräkna T,, 4 som följande T,, 4 = [T ] = = :7a,b Avgör om avbildningen T : R R är en linjär operator a T x, y = cos x, sin y b T x, y = 3x y, y Lösning För att en avbildning f : R n R n ska vara en linjär operator så behöver vi kolla följande saker i fx + y = fx + fy för alla x, y R n ii fcx = cfx för alla c R och alla x R n a Låt c R Då får vi Så T är inte en linjär operator b Detta är en linjär operator T cx, y = cos cx, sin cy ccos x, sin y T x, x + y, y = T x + x, y + y = 3x + x y + y, x + x y + y samt = = T x, x + T y, y, T cx, y = T cx, cy = 3cx cy, cy = c3x y, y = ct x, y address: johanasplund@mathuuse