Linjär Algebra F14 Determinanter

Transkript

1 Determinanter Basbyte Linjär Algebra F14 Determinanter Pelle

2 Determinanter 2 2-matriser ( ) a11 a A = 12 = (A a 21 a 1 A 2 ) 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = det(a 1 A 2 ) = a 11 a 22 a 12 a 21 det A = arean (med tecken) av parallellogrammet A 2 A 1

3 Determinanter 3 3-matriser a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 = (A 1 A 2 A 3 ) a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = det(a 1 A 2 A 3 ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 det A = volymen av parallellepipeden A 2 A3 A 1

4 Räkneregler Sats 3, s 200 (a) det ( A 1 + ) ( ) ( ) A 1 A 2 A 3 = det A 1 A 2 A 3 + det A 1 A 2 A 3 (b) det ( ) ( ) λa 1 A 2 A 3 = λ det A1 A 2 A 3 (c) det ( ) ( ) A 1 A 2 A 3 = det A2 A 1 A 3 (d) det ( A 1 A 1 A 3 ) = det ( A1 A 2 A 1 ) = 0 (e) det ( A 1 + λa 2 A 2 A 3 ) = det ( A1 A 2 A 3 ) (f) det I = 1 Anmärkningar: (c) gäller oavsett vilka 2 kolonner som byter plats. (d) gäller oavsett vilka 2 kolonner som är lika.

5 Räkneregler Sats (a) det A är linjär i varje kolonn (c) kolonnbyte ger teckenskift (d) två kolonner parallella ger det A = 0 (e) till en kolonn får adderas en multipel av en annan (f) det I = 1 (g) (a)-(e) gäller för rader också (h) det A T = det A (i) det AB = det A det B

6 Produktregeln Sats 4 Om A och B är n n så är det(ab) = det(a) det(b). Obs! Det finns ingen enkel formel för det(a + B).

7 Produktregeln Sats 5 Proof. A inverterbar det A 1 = 1 det A. A ortogonal det A = ±1. A 1 A = I = det(a 1 ) det(a) = det(a 1 A) = det I = 1 A T A = I = det(a) 2 = det(a T ) det(a) = det(a T A) = det I = 1

8 Invers av 2 2 matris Genväg ( ) 1 A 1 a b = = 1 ( ) d b c d det A c a Motsvarande regler finns för större matriser men är oftast för krångliga för att vara praktiskt användbara.

9 Utveckling efter rad/kolonn Exempel = [utveckling längs 1:a raden] = = = = 18 = [utveckling längs 2:a kolonnen] = = = = 18

10 Area/volymförändring Sats 11, s 216 Låt F : R 2 R 2 vara linjär med avbildningsmatris A. För 2 godtyckliga vektorer v 1, v 2 gäller area(f (v 1 ), F (v 2 )) = det(a) area(v 1, v 2 ). Samma sak gäller för 3 vektorer i R 3. v 2 F (v 2 ) v 1 F (v 1 )

11 Huvudsatsen Huvudsatsen För n n-matrisen A är följande ekvivalenta: (a) A:s kolonnvektorer utgör en bas för R n. (a ) A:s radvektorer utgör en bas för R n. (b) AX = 0 X = 0. (c) AX = Y är lösbart för alla Y. (d) A är inverterbar. (e) Linjära avbildningen med avbildningsmatris A är bijektiv. (f) det(a) 0.

12 Lösbarhet av kvadratiska system Sats 10, s 214 det(a) = 0 AX = 0 icke-triviala (X 0) lösningar finns AX = Y antingen ingen eller oändligt många lösningar det(a) 0 finns bara lösningen X = 0 entydig lösning

13 Basbyten Determinanter Basbyte repetition Sats y = F (x) linjär det finns en avbildningsmatris A så att Y = AX. I koordinatsystem O, e 1,..., e n är kolonnvektorerna i A F (e 1 ), F (e 2 ),..., F (e n ). I annat koordinatsystem O, e 1,..., e n blir avbildningsmatrisen A. Om koordinaterna för de nya basvektorerna e 1,..., e n är kända i basen e 1,..., e n och skrivs som kolonner fås basbytesmatrisen S. Sambandet mellan baserna kan skrivas E = S T E. Sambandet mellan koordinaterna är X = SX. Sambandet mellan avbildningsmatriserna är A = S 1 AS alternativt A = SA S 1.