Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning p) ht ger poäng på uppgift som alltså inte behöver lösas) och p eller mer ger poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system. p) p) p). a) Låt P,,) och låt L vara skärningslinjen mellan planen Bestäm avståndet mellan P och L. b) Beräkna determinanten av matrisen x+y +9z och x+y +z. A ) 7 8. a) Låt A. För varje positivt heltal n, ange en formel för att beräkna A n som en funktion av n.. b) Visa att din formel är korrekt för n och n.. Låt U [ +x+x +x, +x+x +x, +x+x +8x ] P. Bestäm en bas i U och fyll ut den till en bas i P. Ange koordinaterna för +x i den bas du valt. OBS! Polynomen du fyller ut med skall i svaret vara skrivna som polynom, inte i koordinatform! VÄND!!

2 p) p). a) Den linjära avbildningen F:R R avbildar varje vektor i R på sin spegelbild i planet x y +z. Bestäm F:s matris i standardbasen. b) Verifiera att din matris är korrekt genom att använda den till att beräkna Fn) respektive Fv) där n är normalen till planet och v är en vektor i planet.. Låt v,, 9, ) och U [,,,),,,,8),,,,)] R. Bestäm v U och v U så att vv +v. Ange också avståndet mellan v och U.. Låt u x,x,x ) R och Qu) x +x +x x x x x. p) a) Bestäm det största respektive minsta värde Qu) kan anta då u. b) Bestäm minsta avståndet från ytan Qu) till origo samt i vilka punkter detta minsta avstånd antas. 7. Gäller påståendena nedan? Bevisa eller motbevisa. a) Vektorn,,) är en egenvektor till avbildningen F:R R som har matrisen i standardbasen. b) Om u är en egenvektor till den linjära avbildningen F:R n R n så är u en egenvektor också till F F. [Definition: F Fu) FFu)).] c) Funktionerna e x +e x, e x e x, e x +e x är linjärt beroende.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 8. a) Tag först fram parameterformen för skärningslinjen genom att lösa ekvationssystemet ) ) ) r r r r 9 x +t L: e y +t e +te, t R. z t P P P P P v L P v P P v Välj P,,). Vi får P P e e e P P v P P v v v e e e P P v P P P P v e Sökt avstånd 9 9 P P v e +e e 8 e 8. b) Börja med att ordna :or i kolonn r +r r r r +r 8 ).. a) Låt A A e vara matris i standardbasen till en linjär avbildning F:R R och beräkna egenvärdena. deta e λi) 7 λ 8 λ 7 λ) λ)+ λ λ

4 λ )λ+) λ,. Beräkna egenvektorerna till F och byt till en bas av egenvektorer. ) ) ) 8 8 λ : X t, t R ) ) ) 8 λ : X 8 t, t R ) ) ) f et e, T, A f, ) n ) ) A n n f n. Basbytesformeln sats 7.., sid 78) och sats 7.., sid 8 ger då ) ) ) ) A n n ) n+ ) n+ e TAn f T T n n n ) ) n+ + n ) n+ + n ) n n ) n n A n b) n ger ) + ) + ) ) n ger ) ) A ) ) ) 7 8 A A. ) ) 8 8 ) ) 9 9 ) ) ) ), ) VSV. Sätt p + x + x + x, p + x + x + x, p + x+x + 8x och ställ upp beroendeekvationen och linjärkombination godtyckligt polynom. Med x x x x ) fås λ +x+x +x ) +λ +x+x +x ) +λ +x+x +8x ) a λ x +λ x +λ x,a +a x+a x +a x x a a 8 a a a a 8 a r r r r r r a a a a a a a r +r r r )

5 a a a a a a a a. Börja med att lösa beroendeekvationen. λ λ t p p +p p p +p, λ dvs p kan utses till löjligt element och enligt satsen om löjliga element Sats.., sid ) kan p strykas utan att höljet ändras. Om vi nu gör om ovanstående kalkyl utan p ser vi att p,p är linjärt obereoende och därmed en bas för U. Kalkylen linjärkombination godtyckligt polynom ger då att U [p,p ] { p P : a +a +a a +a Som utfyllnad väljer vi nu ett polynom q som bryter mot det första villkoret a + a +a,menuppfyller det andra.vikan, texväljaq + x+x + x +x ++ och + ). Plus-satsen Sats.., sid ) ger då att p,p,q är linjärt oberoende och då alla tre uppfyller att a +a fås att [p,p,q ] {p P : a +a }. Som utfyllnad väljer vi ett polynom som bryter mot det definierande villkoret, t ex q x. Plus-satsen igen, ger att p,p,q,q är linjärt oberoende. Då dimp är de också rätt antal, dvs de är en bas i P enligt satsen om rätt antal element Sats..9, sid ). Sätt q ) p p q +x q. Då polynomet vars koordinater i nya basen skall bestämmas, +x, också är en den tredje basvektorn följer det att dvs dess koordinater blir,,,). +x p + p + q + q q. a) Sätt n,,) och beräkna Fe ), Fe ), Fe ). e Fe ) e e n e e e e, }., e

6 Fe ) e e n e e e +e Fe ) e e n e e e e A e e e, e e b) Då F är en spegling vet vi att Fn) n och att Fv) v för alla v i planet. Med v,,) fås Fv) F,,) e v Fn) F,,) e n. Skall man vara % säker på att man räknat rätt måste man beräkna Fu) för ytterligare en vektor u sådan att u och v är linjärt oberoende, tex u,, ). Vi avstår från det och överlåter den kontrollen åt läsaren.. Vi börjar med att observera att e +e e 8 U e,e 8 enligt satsen om löljliga element. Den sökta uppdelningen är en vanlig ortogonaluppdelning, dvs v v U och v v U v v U.

7 Bestäm en ON-bas i U. f e, e 8 f e 8 e 8 e e e 8 e e, f 9 e. Med ovanstående ON-bas fås v v U v f )f +v f )f 7 e 9 e + 9 e 9 e e e e v v U v v U e 9 e. För att bestämma avståndet kan nedanstående figur underlätta.

8 U v v v U v v U U Vi ser då att avståndet mellan v och U är v v U e ) + + ) + ) 9 7 vilket också följer ur Sats.., sid eftersom ] v U. min v u v v u U U [v U v U v v U. Skriv Q på matrisform och beräkna egenvärdena. Qu) x +x +x x x x x ) x x x x x X t AX x λ deta λi) λ r r λ λ k +k λ λ λ λ λ) λ λ) λ λ λ) λ) λ) 8) λ) λ λ ) λ)λ )λ+) λ,,.

9 a) Enligt Sats 9.., sid 7 gäller att λ min u Qu) λ max u med likhet då u är en egenvektor till respektive egenvärde. I vårt fall är λ min, λ max och u så min-värdet blir 9 och max-värdet. b) Sats 9.., sid 7 ger i denna nya situation att u Qu) 9 u. I detta fall blir den högra olikheten trivial 9 u > är ju sant för alla u R ) och den vänstra ger u u u, med likhet då u är en egenvektor till, dvs om Qu) och u är en egenvektor till λ min så är u. Beräkna egenvektorerna till λ. r +r r / r +r r A )I)X r r / Låt X t, t R. û e, dvs en egenvektor av längd till egenvärdet. Punkterna närmast origo, på avstånd är alltså de som har ± û som ortsvektor, dvs P ±,,) ±,,) är de punkter på ytan som ligger närmast origo. 7. a) Falskt, ty F,,) e e 7 λ för alla λ R.

10 b) Sant. Om Fu) λu så gäller att F Fu) FFu)) Fλu) λfu) λλu) λ u, dvs u är en egenvektor till F F med egenvärde λ ). c) Sant. Ställ upp beroendeekvationen. λ e x +e x) +λ e x e x) +λ e x +e x) e x λ +λ +λ )+e x λ λ +λ ) x R { { λ + λ + λ ekv ekv λ + λ + λ λ λ + λ λ + λ. Dåekvationssystemet haroändligtmångalösningaräre x +e x, e x e x, e x +e x linjärt beroende.