Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Problemsamling i Linjär Algebra II. Erik Darpö"

Transkript

1 Problemsamling i Linjär Algebra II Erik Darpö

2 ii Notation Inklusion Samma som A B Matriserna A och B är radekvivalenta I n Enhetsmatrisen av storlek n n R n Vektorrummet av alla kolonnvektorer av storlek n R[x] Vektorrummet av alla polynom i variabeln x R[x] n Vektorrummet av alla polynom i variabeln x av grad n R m n Vektorrummet av alla m n-matriser CR Vektorrummet av alla kontinuerliga funktioner R R A t Transponatet av matrisen A [v,, v l ] Det linjära höljet av vektorerna v,,v l [M] Det linjära höljet av mängden M e Standardbasen i R n [v] b Koordinatvektorn för vektorn v i basen b [F] v u Matrisen för avbildningen F i baserna u och v [F] v [F] v v NF Nollrummet av den linjära avbildningen F VF Värderummet av den linjära avbildningen F, Skalärprodukt Standardskalärprodukten i R n E n Vektorrummet R n utrustat med standardskalärprodukten M Ortogonala komplementet till M P U Ortogonala projektionen på underrummet U T v u Matrisen för koordinatbytet från u till v d v s den matris T som uppfyller [x] v = T[x] u E λ F Egenrummet till F med egenvärde λ signq Signaturen av den kvadratiska formen q c 9 Erik Darpö, Matematiska Institutionen, Uppsala Universitet

3 Innehåll Förord iv Förberedelser Vektorrum, underrum Linjärt hölje, linjärt beroende och oberoende 4 Bas, dimension 7 4 Linjära avbildningar 5 Nollrum och värderum, dimensionssatsen 4 6 Radrum, kolonnrum, rang 7 7 Skalärprodukt 8 8 Gram-Schmidts algoritm, ortogonal projektion 9 Basbyte, ON-baser och isometrier Egenvärden och egenvektorer, diagonalisering 7 Spektralsatsen Kvadratiska former, andragradsytor System av differentialekvationer 4 4 Blandade problem 6 A Facit 4 iii

4 Förord Detta häfte innehåller övningsuppgifter till kursen Linjär Algebra II vid Uppsala Universitet Målsättningen har varit att göra ett material som innehåller såväl enkla instuderingsuppgifter och standarduppgifter som mer teoretiskt avancerade problem, i tillräcklig mängd för att kunna användas självständigt som övningsmaterial på kursen Ett antal lösta exempel av typtalskaraktär ingår också Ett förberedande kapitel tar upp linjära ekvationssystem och grundläggande matris- och determinantkalkyl, som är nödvändiga förkunskaper för Linjär Algebra II Denna första version av materialet är något preliminär bland annat saknas facit till några av uppgifterna Synpunkter, rättelser och kritik mottages tacksamt av författaren, på e-post Uppsala september 9 Erik Darpö iv

5 Förberedelser Lös nedanstående ekvationssystem: a b c d { x + y + z = x y + z = { w + x + y + z = w x + y + z = y z = x + y z = w + 4x + 5y + z = w + x y + z = w + x + y z = 4w + x 4y + z = Beräkna + Beräkna determinanterna av följande matriser: x a A =, x R, x b B = 5, c C = x a a a x a a d D = R n n, n a x n a a e E = R n n, a R, n a

6 FÖRBEREDELSER 4 Bestäm inversen av matrisen A = 5 Lös matrisekvationen X = 5 6 Låt S = a Visa att S är inverterbar, och ange dess invers b Bestäm alla - matriser X som uppfyller ekvationen SXS = 4I 7 För vilka värden på x R är matrisen A = x x inverterbar? Bestäm x A för alla sådana x 8 Visa att ett ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer aldrig kan ha entydig lösning

7 Vektorrum, underrum 9 Vilka av följande mängder är vektorrum? Verifiera! a R b C c Mängden {f : X R fx för högst ändligt många x X} med addition f + gx = fx + gx och skalärmultiplikation λfx = λfx där X är någon fix mängd d Mängden {f : X R x X : fx } med vektorrumsoperationer som i förra exemplet e {x R x + x + 7x } f {x R n Ax = Bx} där A, B R m n är två fixa matriser g {x R x } Visa att: a Mängden R[x] av reella polynom i variabeln x är ett vektorrum b För varje matris A R m n är mängden NA = {x R n Ax = } ett underrum av R n c Mängden Rant n n = {A R n n A t = A} är ett vektorrum Tips: Visa att den är ett underrum av ett känt vektorrum Visa att om M och N är underrum av ett vektorrum V, så är även M N ett underrum av V

8 Linjärt hölje, linjärt beroende och oberoende Exempel : Låt fx = x, gx = x och hx = + x Bestäm underrummet av R[x] som spänns upp av f, g och h Avgör om f, g, h är linjärt beroende eller oberoende Lösning: En godtycklig linjärkombination av f, g och h har formen λ fx + λ gx + λ hx = λ + λ + λ λ + λ x och har alltså grad högst ett För ett allmänt förstagradspolynom px = a + bx gäller px = λ fx + λ gx + λ hx om och endast om { λ + λ = a λ λ + λ = b vilket är ekvivalent med λ = a + b t, λ = a t, λ = t, t R Eftersom systemet alltid är lösbart gäller alltså p [f, g, h] för varje förstagradspolynom p, och [f, g, h] = R[x] Ekvationen λ fx + λ gx + λ hx = har de icke-triviala lösningarna λ λ λ så f, g, h är linjärt beroende = t, t R {} Exempel : Avgör för vilka värden på konstanten a R som följden a i R är linjärt oberoende a,, a Lösning: Följden är linjärt oberoende om och endast om ekvationen λ + a a λ λ = enbart har den triviala lösningen λ = λ = λ = Totalmatrisen för ekvationen är A =, och dess determinant a = + a a = a 5 Nu är följden linjärt oberoende deta a ± 5 4 a + 5

9 5 Vilka av följande mängder spänner upp R? { } a,,, b { } c,,,, d { { },,,, } Vilka av mängderna a d i uppgift är linjärt oberoende? 4 För vilka värden på den reella konstanten b är vektorerna +b v =, v =, v = b i R 4 linjärt oberoende? 5 Delrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna, u =, u = u =, u 4 = Avgör för vilka värden på konstanten a R som vektorn v = delrummet M, u 5 = 4 4 a+ 5 a 4 tillhör 6 Underrummen U W R definieras som [ ] U =, och W = [ ], Avgör om inklusionen U W är äkta, eller en likhet Är inklusionen W R äkta? 7 Låt M och N vara underrum av R 4 definierade genom [ 7 ] [ M =,,, N =, 6 Bestäm en nollskild vektor u R 4 sådan att u M N 8 Låt u =, u = a Avgör om vektorerna v =, u = och N = [u, u, u ] och w = tillhör N 5 ], b Avgör för vilka värden på konstanten a R som vektorn u = tillhör N a a c Beskriv N som lösningsmängden till ett homogent linjärt ekvationssystem i fyra obekanta

10 6 LINJÄRT HÖLJE, LINJÄRT BEROENDE OCH OBEROENDE 9 Låt u, u, v, v vara vektorer i ett vektorrum V, sådana att u = v + v, u = v + v Visa att u, u är linjärt oberoende om och endast om v, v är linjärt oberoende Avgör om följden x, x x, x x i R[x] är linjärt beroende eller oberoende Visa att för varje följd av vektorer v,,v l V i ett vektorrum är följande två påståenden ekvivalenta: i Vektorn v j är en linjärkombination av de övriga: v,,v j, v j+, v l, ii [v,, v j, v j+, v l ] = [v v l ]

11 Bas, dimension Exempel : Bestäm en bas i lösningsrummet L R 4 till ekvationssystemet { x + x = x, x + x = x 4 Lösning: Vi har x L Ax =, där A = s t A ger lösningen x = s+t s = s + t t Då och är linjärt oberoende, bildar dessa en bas i L Exempel 4: Underrrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u =, u 4 = a Finn en bas i M bland dessa vektorer b För vilka värden på konstanten a R tillhör vektorn v =, u 5 =, s, t R +a +a +a underrummet M? Ange, för dessa värden på a, koordinaterna för vektorn v i den bas som du valde i del a av uppgiften Lösning: Vi löser båda delarna av uppgiften samtidigt Vektorn v R 4 tillhör M om och endast om det finns reella tal λ,, λ 5 R sådana att λ u + λ u + λ u + λ 4 u 4 + λ 5 u 5 = v Detta är ekvivalent med att det linjära ekvationssystemet λ + λ + λ + λ 4 + λ 5 = är lösbart Systemet löses med Gaußelimination: + a + a + a +a +a +a a a + Detta system är lösbart om och endast om a + =, d v s om och endast om a = Det följer att v M a = Dessutom är dimm lika med rangen av koefficientmatrisen, d v s 7

12 8 BAS, DIMENSION I den sista matrisen har vi pivotelement i kolonn, och 4 vilket medför att u = u, u, u 4 utgör en bas i M Antag nu att a = Den sista matrisen reduceras då till 5 med lösningarna λ λ λ λ 4 λ 5 = s t +s t s, s, t R Detta ger alla möjliga lösningar +t t till ekvationssystemet i fallet då a = Speciellt, om vi väljer s = t = får vi lösningen λ =, λ =, λ =, λ 4 =, λ 5 = Insatt i ekvationen ger detta u + u + u 4 = v om a = Hur syns detta direkt i den sista matrisen? Svar: a u = u, u, u 4 utgör en bas i M b v M a = I detta fall är [v] u = Vilka av mängderna i uppgift utgör baser i R? Låt U = {x R 4 x x + x 4 = och x x + x x 4 = } R 4 Finn en bas i U 7 4 Givet u = och v =, finn w R så att u, v, w bildar en bas i R 5 Delrummen M och N av R 4 ges av [ 6 ] M =,, N = { x R 4 7x + 4x x 4 = x x 5x 4 = } Bestäm en bas i M N 6 Låt U R 4 vara det linjära höljet av vektorerna v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Bestäm en bas i U, och ange koordinaterna för v,,v 6 i denna bas 4 7 Låt λ, λ, λ, µ, µ, µ R Visa att vektorerna λ+µ λ+µ λ+µ,, λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ λ +µ R är linjärt beroende

13 9 8 Delrummet M R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u = a Bestäm en bas b för M bland de givna vektorerna b Bestäm a R så att vektorn v = tillhör M a 5 a+ a a, u 4 = c Med konstanten a R som i b, bestäm koordinaterna för v M i b d Utvidga b till en bas i R 4 9 Bestäm en bas i underrummet U R[x] som spänns upp av f x = x +, f x = x +, f x = x x, f 4 x = x Utvidga till en bas i R[x] Låt u = R, medan v R har koordinatvektorn [v] b = med avseende på basen b = b, b, b, där b =, b =, b = Bestäm koordinaterna för vektorn u v i standardbasen R Låt E =, E =, E =, E = Visa att E, E, E, E är en bas i R Låt u, v, w vara tre linjärt oberoende vektorer i ett vektorrum V, och a en reell konstant Låt U = [y, y, y ], där y = u + a + v + w, y = u + av + aw, y = au + v + aw Bestäm dimu för varje värde på a R Låt R X beteckna vektorrummet av alla funktioner från mängden X ={,,, 4} in i R Bestäm en bas i R X, och beräkna koordinaterna i denna bas för funktionen g : X R, som ges av g =, g = /, g = 7, g4 = 5 4 Bestäm dimensionen av rummet R ant = {A R A t = A} av antisymmetriska -matriser

14 BAS, DIMENSION 5 Låt U vara mängden av alla polynom i R[x] 4 som är delbara med x + Visa att U R[x] 4 är ett underrum, och bestäm en bas i U 6 Låt V vara ett ändligt genererat vektorrum, och M, N V underrum sådana att V = [M N] Visa att dimv = dimm + dimn dimm N 7 Låt V vara ett vektorrum och b = b,, b n en bas i V Visa att funktionen ϕ : V R n, v [v] b är bijektiv och uppfyller { ϕu + v = ϕu + ϕv, ϕλu = λϕu, för alla u, v V, λ R

15 4 Linjära avbildningar Exempel 5: Bestäm matrisen för den linjära avbildningen i basen b =, x, x, x Lösning: Direkt beräkning ger varvid F : R[x] R[x], fx xf x + fx F =, Fx = x, Fx = x + x, Fx = 6x + x [F] b =, [Fx] b = Matrisen för F blir därför [F] b = [Fx ] b = [F] b [Fx] b [Fx ] b [Fx ] b [Fx ] b = = Avbildningen F : R R ges av Fx = a Verifiera att F är linjär x +x x +x x x +x b Bestäm den matris A som uppfyller Fx = Ax för alla vektorer x R c Visa hur bilderna av standardbasvektorerna kan avläsas i matrisen A 9 Avbildningen F : R R är linjär och uppfyller F =, F Bestäm a F, b F, och c F = 4 Avgör vilka av följande avbildningar R n R n som är linjära: Fx = Gx = x x x x x n x n x nx x +x x +x x n +x n x n+x, Hx =, Ix = x x x x n 4, Lx = x x nx n, Mx = x,, Nx =

16 4 LINJÄRA AVBILDNINGAR 4 Avbildningen F : R R är linjär och uppfyller Fu = u och Fv = v, där u = och v = Bestäm matrisen för F i standardbasen 4 Avbildningen F : R R är bestämd av F =, F =, F = Ange F:s matris i standardbaserna 4 Den linjära avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A = Avgör för vilka högerled y R som ekvationen Fx = y är lösbar 4 44 Låt F : R R vara den linjära avbildning som geometriskt beskrivs [ som projektion på planet π = {x R ] x x x = } längs linjen l = a Bestäm matrisen för F i standardbasen b Bestäm matrisen i standardbasen för den linjära avbildning G : R R som geometriskt beskrivs som projektion på linjen l parallellt med planet π 45 Visa att avbildningen F : R[x] R[x], fx x + fx är linjär 46 Två baser u = u, u, u och v = v, v, v i ett vektorrum V är relaterade genom sambandet u = v + v + v, u = v v + v, u = v + v Den linjära avbildningen F : R R definieras genom Fu i = v i för i =,, Bestäm matriserna [F] u och [F] vu 47 Den linjära avbildningen R α : R R ges som rotation i positiv riktning med vinkeln α [, π], och P : R R som projektion längs den andra standardbasvektorn på den första så att Pe = e, Pe = Bestäm matriserna för PR α och R α P i standardbasen 48 Låt u R vara en vektor av längd ett d v s u = u u = u t u =, och låt F : R R vara den linjära avbildningen Fx = u x a Bestäm F:s matris i någon bas i R b Visa att F = F 49 Låt V vara ett vektorrum, och F : V V en linjär avbildning Visa att de vektorer v V som uppfyller Fv = v bildar ett underrum av V 5 De komplexa talen C utgör ett reellt vektorrum av dimension två Visa att för varje komplext tal z C är avbildningen m z : C C, w zw linjär Bestäm matrisen för m z i basen, i

17 5 Låt D : R[x] n R[x] n, f f vara deriveringsavbildningen a Visa att D : R[x] n R[x] n är linjär b Ange matrisen för D med avseende på någon valfri bas i R[x] n 5 Låt J : R[x] R[x] vara avbildningen som ges av a Visa att J är linjär Jfx = x ftdt b Bestäm J:s matris med avseende på baserna b =, x, x och b =, x, x, x i R[x] respektive R[x] 5 Låt V och W vara vektorrum av dimension n respektive m, och v och w baser i V respektive W Mängden LV, W av linjära avbildningar V W är i sig själv ett vektorrum Visa att avbildningen ψ : LV, W R m n, F [F] w v är linjär och bijektiv 54 Visa att två ändligt genererade vektorrum har samma dimension om och endast om det existerar en bijektiv linjär avbildning dem emellan

18 5 Nollrum och värderum, dimensionssatsen Exempel 6: Bestäm nollrum och värderum till avbildningen F : R 4 R, x Ax där A = Lösning: En vektor x R 4 ligger i NF om och endast om Fx = Ax = Gaußelimination ger A = 6 r- r r+r r+r r r- r Ekvationen Fx = har alltså lösningen sätt s = x, t = x 4 x = s +t, s, t R }{{}}{{} u u och därmed är u, u en bas i NF Värderummet VF spänns upp av kolonnerna i A, som vi betecknar med A, A, A, A 4 Vi försöker finna en bas i VF bland dessa, genom att bestämma vilka av kolonnerna som kan skrivas som linjärkombinationer av de övriga Ekvationssystemet λ A + λ A + λ A + λ 4 A 4 = 5 har totalmatris A, och samma beräkning som i fallet med nollrummet ovan ger λ = s + t, s, t R λ λ λ 4 Insättning av s, t =, ger relationen A A +A =, så i synnerhet gäller A [A, A ] På samma sätt fås A A + A 4 = och A 4 [A, A ] genom insättning av s, t =, Detta innebär att VF = [A, A ] För att inse att A, A är linjärt oberoende kan man betrakta lösningar till ekvationen λ A + λ A = eller, ekvivalent, lösningar till 5 som uppfyller λ = λ 4 = Men λ = s och λ 4 = t, så enbart den triviala lösningen λ = λ = återstår Detta visar att A, A är linjärt oberoende 4

19 5 Anmärkning: Naturligtvis kan man se direkt att kolonnerna A, A är linjärt oberoende Poängen med beviset för linjärt oberoende ovan är att demonstrera en metod som fungerar för godtyckligt antal kolonner I allmänhet gäller att om I N är numren på de kolonner i den reducerade trappstegsmatrisen till A som innehåller pivotelement, så är A i i I en bas i kolonnrummet till A 55 Låt F : R 4 R vara den linjära avbildning som ges av Fx = 4x + x x x 4 x + x + x 4x 4 6x 9x + 9x 4 a Avgör vilka av följande vektorer som ligger i värderummet VF: u =, u =, u = b Avgör vilka av följande vektorer som ligger i nollrummet NF: 4 v =, v =, v = 8 56 Bestäm en bas i nollrummet till avbildningen F : R R, som i standardbaserna ges av matrisen A = 57 Avgör om följande avbildningar är linjära I de fall de är det, bestäm baser i nollrum och värderum a F : R R x + x, Fx = x, x + 4x b G : E R, x x, x, c H : R[x] R, fx f f f 58 Bestäm baser i nollrum och värderum för följande linjära avbildningar: a F : R 4 R, x Ax, där A = ; 8 b G : R[x] R[x] 4, fx x ftdt xfx 59 [ Konstruera, om möjligt, en linjär avbildning F : R R sådan att NF = ] och [ ] [ ] a VF =, b VF =, 6 Låt F : R 4 R 4, x Ax, där A = bas i NF VF Bestäm en bas i NF och en

20 6 5 NOLLRUM OCH VÄRDERUM, DIMENSIONSSATSEN 6 Ge, genom att ange dess matris i standardbasen, exempel på en linjär avbildning F : R R för vilken NF = VF = [ ] 6 Den linjära avbildningen F : R 4 R 5 definieras genom Fx = Ax för alla x R 4, där A R 5 4 har egenskapen att Ax = endast om x = Bestäm dimensionen hos NF och VF 6 Låt F : V W vara en linjär avbildning mellan ändligt genererade vektorrum Visa att a om F är injektiv, så är dimv dimw, b om F är surjektiv, så är dim V dimw 64 Visa att nollrum och värderum till en linjär avbildning F : V W är underrum av V respektive W 65 Låt R sym = {A R A t = A} vara mängden av symmetriska -matriser, och F : R 4 R sym den linjära avbildning som ges av x x Fx = x + x 4 x + x 4 x x Bestäm en bas i NF och en bas i VF 66 a Låt F : V W vara en linjär avbildning mellan ändligt genererade vektorrum, och U W ett underrum Visa att U = {v V Fv U} är ett underrum av V b Bestäm en bas i U om F : R R är avbildningen som i standardbasen ges av matrisen A = 4 [ ], och U = R

21 6 Radrum, kolonnrum, rang 67 Låt L R vara en linje genom origo, och P R ett plan genom origo, sådana att L P Om A är matrisen i standardbasen för projektionen längs L på P, hur många linjärt oberoende rader har då A? 68 Låt A R 4 5 och ranga = a Bestäm dimensionen hos lösningsrummet till ekvationen Ax = b Avgör om ekvationen Ax = b är lösbar för alla b R 4 c Om ekvationen Ax = b är lösbar, hur många linjärt oberoende lösningar finns det? 69 Låt V vara ett vektorrum, och u = u, u, u en bas i V Den linjära avbildningen F : V V har matrisen A = i basen u a Bestäm rangen av matrisen A b För V = R[x] och u =, x, x, ange Fx 7

22 7 Skalärprodukt 7 Givet en ON-bas e, e, e i ett euklidiskt rum V, bestäm e + 4e 5e 7 Två vektorer u och v i ett euklidiskt rum V uppfyller u =, v = 4, u+v = 6 Bestäm u, v 7 Låt V vara ett euklidiskt rum a Visa, utan att använda Pythagoras sats t ex genom att imitera beviset av denna, att u v = u + v om u och v är ortogonala b Visa parallellogramlagen: u + v + u v = u + v 7 Tre vektorer u, v och w i ett euklidiskt rum uppfyller Visa att u w 4 u v, v w 74 Givet en vektor v i ett euklidiskt rum V, låt v = {u V u, v = } V a Visa att v är ett underrum av V b Vektorrummet R[x] är utrustatr med skalärprodukten 75 Låt A = f, g = Bestäm en bas i R[x] R fxgxdx a Visa att x, y = x t Ay är en skalärprodukt i R Tips: Problemet är att visa att den är positivt definit Ledning: Kvadratkomplettera b Bestäm det ortogonala komplementet till vektorn v = med avseende på denna skalärprodukt 8

23 9 76 a Visa att f, g = definierar en skalärprodukt på R[x] fxgxdx b Bestäm projektionen av fx = x på underrummet R[x] R[x] med avseende på denna skalärprodukt 77 En skalärprodukt, är definerad på R på så sätt att b =, b =, b = bildar en ON-bas Bestäm e i, e j för i, j =,,, där e, e, e är standardbasen i R Ange en matris A sådan att x, y = x t Ay 78 Visa att varje ortonormerad mängd i ett euklidiskt rum är linjärt oberoende

24 8 Gram-Schmidts algoritm, ortogonal projektion Exempel 7: Låt U = [ a Bestäm en ON-bas b i U, b Utvidga b till en bas i E 4, ], E 4 Lösning: a Vi tillämpar Gram-Schmidts algoritm Beteckna de vektorer som spänner upp U med v,, v 4 Den första vektorn i b fås genom att normalisera v : b = v v = v = 4 v Därefter konstrueras från v en vektor ṽ som är ortogonal mot b : ṽ = v v, b b = v v, v v v = = 4 4 Andra ON-basvektorn fås genom att normalisera ṽ : b = ṽ ṽ = Analogt konstrueras ṽ = v v, b b v, b b = 5 = Detta betyder att v [b, b ] = [v, v ] Denna vektor kan alltså ignoreras I nästa steg behandlas v 4 : ṽ 4 = v 4 v 4, b b v 4, b b = b = Vår ON-bas i U blir alltså b = b, b, b = , = 9 7 5, ; b Vi vet att U = [b] = [v, v, v, v 4 ] = [v, v, v 4 ] Vi söker en vektor x E 4 som är ortogonal mot U, eller ekvivalent v i, x =, i {,, 4} Villkoret v, x = är ekvivalent med x + x + x + x 4 = När vi på samma sätt ställer upp ekvationer för v, x = och v 4, x = får vi ett homogent linjärt ekvationssystem med totalmatris Således är x = t r+r 5 4 r-r r- r r r 4 4, t R, och b 4 = r-r 5 4 är en enhetsvektor ortogonal mot varje vektor i U, i synnerhet mot b, b, b Därmed är b = b, b, b, b 4 en ON-bas i E 4, som utvidgar b

25 Exempel 8: Låt U = [, ] E 4 och v = E 4 Finn den vektor u U som ligger närmast v Ange avståndet mellan v och U Lösning: Den vektor i U som ligger närmast v är den ortogonala projektionen u = P U v av v på U Vi beskriver två möjliga sätt att finna P U v: Variant : Om u, u är en ON-bas i U, så är P U v = v, u u + v, u u Vi bestämmer en ON-bas med Gram-Schmidt: I första steget är u = Sedan tar vi projektionen av på det ortogonala komplementet till u : ũ =, Vi får u = 5 Nu är u = P U v = 4, + 4 = 4, = = = Variant : Här utnyttjar vi att P U v är den unika vektor i U som uppfyller v P U v U Låt v, v U beteckna de två givna vektorer som spänner upp U För en godtycklig vektor u = x v + x v U gäller v u U { u, v = v, v u, v = v, v { x v, v + x v, v = v, v x v, v + x v, v = v, v v, v där A = v, v v, v = och w = = v, v v, v 7 v, v detta ekvationssystem får man x x = 7, d v s P U v = u = 7 v + v = Avståndet mellan v och U blir v u = v P U v = Ax = w Löser man 4 = 79 Avgör huruvida nedanstående följder är ON-baser i respektive rum: a, i U = {x E x + x x = } E b 5 5, 5 i R,, där x, y = x t 5 y c, x, 56x 6x i R[x] utrustat med skalärprodukten f, g = fxgxdx 8 Bestäm koordinaterna för vektorn v = med avseende på ON-basen u =,, i E 6

26 8 GRAM-SCHMIDTS ALGORITM, ORTOGONAL PROJEKTION 8 Använd Gram-Schmidts metod för ortonormalisera vektorerna,, E 8 Finn en nollskild vektor i underrummet U = {x E 4 x + x + x + x 4 = } E 4 som är ortogonal mot u = 8 Bestäm en ON-bas i [ a U =, [ b W =,,,, ] E 4 84 Bestäm avståndet mellan punkten ] E 4 och linjen [ ] i E [ ] 85 Låt U =,, E a Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = på U b Finn avståndet mellan v och U 86 Låt M = {x E 4 x + x + x + x 4 =, x + x + x + 4x 4 = } E 4 a Bestäm en ON-bas i det ortogonala komplementet, M, till M b Skriv vektorn w = som en summa w = u + v, där u M och v M 87 Rummet R[x] förses med skalärprodukten f, g = fxgxdx Bestäm med Gram-Schmidts metod, utgående från basen, x, x, en ON-bas i R[x] Visa att a + a x + a x, b + b x + b x = a + a b + b 9 + a b Låt U = span{ + x x } R[x] Bestäm ON-baser i U och U + 4a b 45

27 9 Basbyte, ON-baser och isometrier Exempel 9: Låt S : E E vara speglingen i planet med normalvektor u = Bestäm matrisen för S i standardbasen Lösning: Avbildningen är definierad genom Su = u och Sx = x för x u Om v och w är två linjärt oberoende vektorer i u så bildar b = u, v, w en bas i E, med avseende på vilken [S] b = Genom att multiplicera med basbytesmatrisen T b e från höger och T e b från vänster får vi matrisen i standardbasen e för S, enligt formeln [S] e = T e b [S] b T b e w = Första steget blir att finna v och w Två möjliga alternativ är v = och, men för att underlätta beräkningarna längre fram väljer vi istället två ortonormerade vektorer i u : v = och w = 6 På samma sätt normerar vi vektorn u och får en ON-bas b =,, 6 i vilken matrisen för S har den angivan formen Basbytesmatrisen T e b har basvektorerna i b som kolonner, d v s / / / 6 T e b = / / / 6 / / 6 Den andra basbytenmatrisen fås som T b e = T e b Eftersom vi valde b till att vara en ON-bas så är T e b en ortogonal matris, och därmed gäller Nu är T b e = T e b = T t e b = / / / / / / 6 / 6 / 6 [S] e = T e b [S] b T b e / / / 6 = / / / 6 / / 6 = / / / / / / 6 / 6 / 6 Alternativ lösning: Formeln för den ortogonala projektionen av x E på vektorn u är P u x = x,u u,u u = uut u t u x Speglingen S fås som Sx = x P ux =

28 4 9 BASBYTE, ON-BASER OCH ISOMETRIER I uut u t u x kontrollera själv att u u och v v för v u Matrisen för S är alltså [S] e = I uut u t u = 88 Visa att f =, f =, f = bildar en bas f i R Bestäm koordinaterna för x = i f 89 Låt u = 4 5 E Bestäm en ON-bas b i E sådan att [u] b = 9 Två baser u och v för ett vektorrum V är relaterade genom bassambandet v = u + u + u, v = u + u, v = u Bestäm det omvända bassambandet, och ange matriserna T u v och T v u 9 Vektorrummet V har en bas u = u, u, u En ny bas b = b, b, b definieras genom b = u + u + u, b = u + u u, b = u + u u a Bestäm basbytesmatriserna T b u och T u b b Bestäm koordinaterna för vektorn v = e e + e i basen b samt koordinaterna för vektorn w = b b + b i basen u c Bestäm koordinaterna för vektorn w v i vardera av baserna b och u 9 Två baser u och v i R uppfyller T v u = Linjen l R har ekvationen x + x = i basen u Vilken är dess ekvation i v? 9 Låt u = E a Bestäm en ON-bas f för E sådan att [u] f = b Bestäm en bas b för E sådan att [u] b = c Bestäm basbytesmatrisen T b f 94 Låt P U : E 4 E 4 vara den ortogonala projektionen av E 4 på underrummet U = {x E 4 x + x + x 4 =, x + x + x + x 4 = } a Finn en ON-bas i U b Finn en ON-bas i U

29 5 c Finn matrisen för P U i standardbasen i E 4 95 Låt F : E E vara rotationen kring axeln L = Bestäm F:s matris i standardbasen [ ] med vinkeln π 96 Låt S : E E vara speglingen i normalplanet till Bestäm matrisen för S i standardbasen Verifiera att matrisen är ortogonal 97 Givet ortogonala matriser A, B R n n, visa att AB, A t B, AB t och A t B t också är ortogonala 98 Givet en vektor u V av längd ett, låt Fv = v v, u u Visa att a F är en linjär, isometrisk avbildning på V, b Fv, w = v, Fw för alla v, w V, samt c F v = v för alla v V Tolka F geometriskt 99 Avbildningen F : R[x] R[x] ges i basen b =, x, x av matrisen Bestäm dess matris i a basen, x, x +, b basen x, xx, x + Låt M = {x E 4 x + x + x 4 = x x + x 4 = }, och u = a Bestäm matriserna för P M respektive P M i standardbasen 4 b Beräkna P M u och P M u, samt avstånden från u till M respektive M c Låt F [: E 4 E 4 vara projektionen på M parallellt med underrummet ] N =, och låt G vara projektionen på N parallellt med M Bestäm matriserna i standardbasen för F respektive G d Beräkna Fu och Gu Vilka av följande avbildningar E E är isometrier? a F x = x b F x = Ax, där A = , c F x = x + u x, där u E är någon fix vektor d F 4 x = Bx, där B = 5, e F 5 x = RSx, där R är en rotation med vinkeln α [, π] runt en axel L = [u], u E {}, och S är speglingen i normalplanet till en vektor v L

30 6 9 BASBYTE, ON-BASER OCH ISOMETRIER Låt F : V V vara en isometri på ett tvådimensionellt euklidiskt rum V, sådan att Fv = v för någon nollskild vektor v E Visa att det finns en ON-bas i V sådan att F:s matris med avseende på denna bas är ± Visa att för varje isometri F på ett euklidiskt rum V gäller att detf = ± 4 Låt F : V V vara en linjär avbildning på ett ändligt genererat euklidiskt rum V Visa att om F har en symmetrisk matris med avseende på någon ON-bas i V så är F:s matris med avseende på varje annan ON-bas också symmetrisk 5 Låt F : E E vara en isometri Visa att F:s matris i standardbasen antingen är lika med cosα sinα cosα sin α eller för något α [, π] sin α cosα sin α cosα 6 Visa att varje isometrisk avbildning F : V V på ett ändligt genererat euklidiskt rum är bijektiv 7 Låt T R vara en ortogonal matris Visa att för alla x, y E gäller att Tx y = ±Tx Ty För vilka T är Tx y = Tx Ty?

31 Egenvärden och egenvektorer, diagonalisering Exempel : Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till den linjära avbildning F : R R som i standardbasen ges av matrisen A = Lösning: Ett tal λ R är enligt definition ett egenvärde till F om Fx = λx för någon nollskild vektor x R Vi har Fx = Ax, och Fx = λx Ax = λx Ax λx = A λi x = Det finns x R {} så att sista villkoret är uppfyllt om och endast om deta λi = Vi undersöker för vilka λ R som deta λi = : λ deta λi = λ λ = λ λ + + λ λ = λ λ λ + = λλ + Vi ser att λ = är det enda nollstället till ovanstående uttryck, är alltså det enda egenvärdet Eftersom den algebraiska multipliciteten är ett, så har egenrummet till dimension ett, och F är alltså inte diagonaliserbar Vi räknar ut egenvektorerna d v s egenrummet till λ = genom att lösa ekvationssystemet A I x = : A I x = A + I x = vilket ger lösningen x = t, t R Den enda vektorn v = utgör alltså en bas i egenrummet E F, och varje annan egenvektor är en multipel av denna 8 Verifiera att nedanstående vektorer är egenvektorer till de givna avbildningarna Ange motsvarande egenvärden a Vektorn v = till avbildningen F : R R, x 8 x b v = till G : R R, Gx = Ax, där A = 7

32 8 EGENVÄRDEN OCH EGENVEKTORER, DIAGONALISERING c w = b a b a till H : R R, x Bx, där B =, a b a + b = d u E n {} till ϕ : E n E n, ϕx = x x, u u e e ax där a R till D : CR CR, f f 9 Verifiera att följande tal är egenvärden till de givna avbildningarna Finn motsvarande egenvektorer a + till F : R R, Fx = x b till G : R R, x Ax, där A = c till avbildningen H från föregående uppgift d b till avbildningen J : R R, x Bx, där B = a b c e n till S : R[x] n R[x] n, fx xf x f till en godtycklig icke-inverterbar linjär avbildning T : V V Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till avbildningen F : R n R n n =,, som i standardbasen ges av matrisen 8 a A =, b B =, 4 a c C =, d D = a, a a Låt u och v vara linjärt oberoende egenvektorer, med egenvärden λ respektive µ, till en linjär avbildning F För vilka värden på λ och µ är även u + v en egenvektor, och vad är i så fall dess egenvärde? Finn egenvärden och egenvektorer till A 5, då A = a Finn egenvärdena till matrisen A = a a, a R För vilka värden a på a är A diagonaliserbar? 4 Den linjära avbildningen F : R R har i standardbasen matrisen A = a a, där a R För vilka värden på konstanten a är avbildningen F diagonaliserbar? För varje sådant a, bestäm en bas i R bestående av egenvektorer till F, och ange F:s matris med avseende på denna bas

33 9 5 Den linjära avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A = a Bestäm en bas b för R bestående av egenvektorer till F, och egenvärdena till dessa b Bestäm basbytesmatriserna mellan b och standardbasen, samt F matris med avseende på b c Bestäm A n för alla n Z 6 Låt V vara ett vektorrum av dimension två Visa att varje linjär avbildning F : V V med negativ determinant har ett egenvärde 7 Låt F : V V vara en linjär avbildning, och A och B matriserna för F med avseende på två olika baser Visa att A och B har samma sekularpolynom 8 Rummet R har en bas E = E, E, E, E, där E =, E =, E =, E = En linjär avbildning F : R R definieras genom FX = BX XB, där B = a Bestäm matrisen för F med avseende på basen E b Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till F 9 Den linjära avbildningen F : E 4 E 4 ges i standardbasen av matrisen A = a Finn ett underrum U E 4 sådant att F = P U b Bestäm avståndet mellan vektorn v = och U 5

34 Spektralsatsen Exempel : Låt A = 4 4 Avgör om det finns en ortogonal matris T sådan att D = TAT är diagonal Bestäm i så fall T och D Lösning: Att matrisen A är symmetrisk betyder avbildningen F : E E som ges av A i standardbasen är symmetrisk Enligt spektralsatsen finns nu en ON-bas b i R bestående av egenvektorer till F Med avseende på denna bas kommer F:s matris att vara diagonal, och basbytesmatrisen T e b ortogonal Eftersom [F] b = T b e AT e b så ger D = [F] b och T = T e b de sökta matriserna Först bestämmer vi egenvärdena till F En skalär λ R är ett egenvärde till F om och endast om deta λi = Vi har λ 4 r-r λ + λ deta λi = λ r-r = λ 4 λ + λ λ r/ + λ r/ + λ = + λ λ = + λ 8 λ Egenvärdena är alltså λ = och λ = 8 Egenvektorer med egenvärde λ är de x R som uppfyller A λi x = För det första egenvärdet, λ =, gäller A λ I = 4 4 /, så 4 4 / A λ I x = om och endast om x = s + t för s, t R Vektorerna u = och u = utgör alltså en bas i egenrummet E F Eftersom A och därmed F är symmetrisk, så vet vi att egenvektorer med egenvärde λ [ = 8 måste vara ortogonala mot E F Därav följer att E 8 F = E F ] = man kan naturligtvis även bestämma egenvektorerna till λ med standardmetoden Vektorn u = utgör en bas i E 8 F Nu är u = u, u, u en bas i R, bestående av egenvektorer till F Med Gram-Schmidts algoritm ortonormaliseras u, u, och vi får b = 5, b = 5 4, som alltså bildar en ON-bas i E F Eftersom u redan är ortogonal mot de andra basvektorerna räcker det att normalisera den: b = Nu är 5 b = b, b, b en ON-bas i E, bestående av egenvektorer till F Matrisen för F i b

35 är nu diagonal, med egenvärdena på diagonalen: D = [F] b = 8 Basbytesmatrisen T e b fås genom att sätta ON-basvektorerna b, b, b som kolonner: T e b = Låt A = a Avgör om A är diagonaliserbar eller ej b Bestäm egenvärden och egenvektorer till A Låt A = a a För vilka värden på konstanten a R är avbildningen F : R R, x Ax diagonaliserbar? ON-diagonaliserbar? Ange i förekommande fall en bas i R bestående av egenvektorer till F Den linjära operatorn F på E har i standardbasen e matrisen A = a a a a För vilka a R finns en ON-bas i E bestående av egenvektorer till F? Ange i förekommande fall en sådan bas b För vilka a R är F diagonaliserbar? Ange i förekommande fall en bas f i E bestående av egenvektorer till F, och basbytesmatrisen T e f Låt F : V V vara en linjär avbildning på ett euklidiskt rum V, b en ON-bas i V, och A = [F] b a Visa att F är en symmetrisk avbildning d v s Fu, v = u, Fv för alla u, v V om och endast om matrisen A är symmetrisk b Visa att A t = A om och endast om Fu, u = för alla u V 4 Låt V vara ett euklidiskt rum av dimension minst två, och x V en nollskild vektor Den linjära operatorn s x : V V definieras genom s x v = v v,x x,x x Är s x symmetrisk? Diagonaliserbar? Bestäm alla egenvärden till s x

36 Kvadratiska former, andragradsytor Exempel : Funktionen q : E R, qx = x + 5x x + x är en kvadratisk form på E Bestäm en ON-bas f i E och λ, λ R sådana att qx = λ y +λ y för y = y y = [x] f 5/ Lösning: I standardbasen ges q av den symmetriska matrisen A = 5/, d v s qx = x t Ax för alla x E Enligt spektralsatsen finns en ON-bas f = f, f bestående av egenvektorer till A Med avseende på denna bas kommer qx = x t Ax = y t Dy = λ y + λ y y, om y = y = [x] f, D = λ λ och λ, λ R är egenvärdena tillhörande f respektive f Egenvärden till A är nollställena till sekularpolynomet deta λi = λ 5/ 5/ λ = λ λ, alltså λ = / och λ = / Egenvektorer till λ fås genom att lösa ekvationen A λ I x = : A λ I = A 5/ 5/ I = ; x = t för t R 5/ 5/ Eftersom A är symmetrisk är egenvektorer med egenvärde λ = / ortogonala mot sådana med egenvärde λ = /, alltså är E λ A = [ ] = [ ] Sätt f = och f = Nu är f = f, f ON-bas sådan att qx = y + y för y = y y = [x] f 5 Vilka av följande uttryck för q : R R definierar kvadratiska former? a qx = x + x x x, b qx = x t x, c qx = x x, d qx = x + x x e qx = x t Ax, där A = 9, 9 f qx = x t Bx, där B = 5, 5 g qx = x, x, där, är någon skalärprodukt på R h qx = x, y, där, är en skalärprodukt och y R en fix vektor

37 6 Bestäm den symmetriska matris som i standardbasen svarar mot den kvadratiska formen q : R R, om a qx = x + x + x, b qx = x x + 5x x x x, c qx = x t Ax, där A = 7 Den kvadratiska formen q på E ges av qx = 4x + x x Bestäm en ON-bas f = f, f i E och λ, λ R så att qx = λ y + λ y, för x = y f + y f 8 Avgör om den kurva i E som ges av ekvationen x + 6x x + x = är en cirkel, ellips eller en hyperbel Bestäm dess avstånd till origo, samt vilka punkter på kurvan som ligger närmast origo 9 Bestäm signaturen hos den kvadratiska formen qx = x + x +x +x x + x x +x x på R Avgör typen av den yta i E som definieras genom qx = Bestäm typ, avstånd till origo och de punkter som ligger närmast origo på följande ytor i E : a Y = {x E x x 5x + x x 4x x 6x x = } b Y = {x E x + x x + 4x x x x 8x x = } c Y = {x E x + x x + 4x x + x + x x + 9x = 7} Om en ellipsoid har ekvationen y a + y b + y c = i ett ON-system d v s y, y, y är koordinater map en ON-bas, så kallas y -, y - och y -axlarna för dess huvudaxlar Bestäm huvudaxlarna för ellipsoiden E = {x E 5x + 5x + 8x + 4x x + x x + x x = } Visa att determinantavbildningen det : R R, A deta är en kvadratisk form på R, och bestäm dess signatur Är det : R R, A deta en kvadratisk form på R? Bestäm de delmängder av R som uppträder som värdemängder till kvadratiska former Visa hur värdemängden till en kvadratisk form kan avläsas ur signaturen 4 Låt n vara ett positivt heltal Mängden K av alla kvadratiska former q : R n R utgör ett ändligt genererat underrum till vektorrummet av alla funktioner f : R n R Betrakta avbildningen F : R n n K, A Q A, där Q A x = x t Ax här är alltså x R n en kolonnvektor a Visa att F är linjär och surjektiv b Bestäm dimensionerna av K och NF

38 System av differentialekvationer Exempel : Lös begynnelsevärdesproblemet { y = y + y y, y =, y = y = Lösning: Ekvationen kan skrivas som ett system av differentialekvationer, på matrisform y y = y y y y }{{}}{{} A Y mer kompakt Y = AY Taktiken för att lösa detta system är att försöka diagonalisera matrisen A, för att därigenom dela upp systemet i tre enskilda första ordningens differentialekvationer, vilka kan lösas separat Sekularpolynomet till A är λ λ r-r k+k+k deta λi = λ = λ λ r-r = λ λ λ λ λ = λ λ λ, λ så A har egenvärdena λ =, λ = och λ =, och är alltså diagonaliserbar Egenvektorer till egenvärdet λ i i =,, är de nollskilda lösningarna till ekvationen A λ i I x = Uträkning ger E λi A = [v i ], där v =, v =, v = 4 Dessa tre vektorer bildar en bas v = v, v, v i R, och Te v AT e v = u Om nu u = u = [Y ] u v = T v e Y = T e v Y så är u = u u u = Te v Y = Te v AY = Te v AT e vu = Du = D vilket betyder att u = u, u = u, u = u 4

39 5 Dessa ekvationer har lösningarna u t = c e t, u t = c e t och u t = c e t med godtyckliga parametrar c, c, c R Insatt i formeln Y = T e v u ger detta yt = c e t + c e t + c e t, y t = c e t + c e t + c e t, y t = c e t + c e t + 4c e t Initialvillkoren y =, y = y = ger nu upphov till följande ekvation: = y y y u = T e v u u Med Gaußelimination får man fram c c = c c = T e v c = c / / Vårt begynnelsevärdesproblem har alltså lösningen yt = 5 Lös systemet av differentialekvationer: y = 4y + y + y, y = y + 4y + y, y = y + y + 4y c c 4 c e t e t 6 Lös nedanstående differentialekvationer/system av differentialekvationer Prova att lägga till några olika begynnelsevärden, och se hur det påverkar lösningen { y i = y + y, y = y + y y = y y, ii y = y + y y, y = y + y iii y 4y + y = 7 Låt A R n n vara diagonaliserbar med egenvärden λ,,λ n, och y = y y n, där y,, y n är kontinuerligt deriverbara funktioner på R Visa att om y = Ay så är varje y i en linjärkombination av funktionerna e λt,,e λnt 8 Talföljden {a n } n N definieras rekursivt genom a =, a = och Bestäm en sluten formel för a n a n = 5a n 4a n för n 9 Lös nedanstående begynnelsevärdesproblem: { x t = xt + yt + e t y t = xt + yt + e t, x =, y =

40 4 Blandade problem 4 Låt A = 5 Bestäm baser i värderum och nollrum till avbildningen F : R R, x Ax 4 a Ange en linjärt oberoende delmängd av {, 4,, } R 4 b Utvidga den linjärt oberoende mängden från a till en bas i R 4 4 a Ge definitionen av en bas i ett linjärt rum b Avgör för vilka värden på konstanten a R som a v =, v =, v = bildar en bas i R c Om a = så är v = v, v, v från b en bas i R Bestäm matrisen för koordinatbytet från standardbasen e till v d v s den matris T som uppfyller [x] v = T[x] e för alla x R a 4 Låt U = a Bestäm en ON-bas b i U [ b Utvidga b till en ON-bas i E 4 ], E 4 c Visa att de vektorer du lade till i b bildar en ON-bas i det ortogonala komplementet U E 4 till U 44 Delrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna u =, u =, u =, u 4 =, u 5 = a Ange en bas i M bland dessa vektorer Bestäm M:s dimension b Bestäm en ON-bas i M 6

41 7 c Bestäm projektionen av vektorn v = på M 45 Låt E =, E =, E =, E = a Visa att E = E, E, E, E, är en bas i rummet R av - matriser b Låt F : R R vara den linjära avbildning som ges av FA = A At Finn matrisen för F i basen E c Bestäm en bas i NF och en bas i VF basvektorerna skall anges som - matriser, ej som koordinatvektorer 46 a Bestäm egenvärden och egenvektorer till den avbildning som i standardbasen ges av matrisen A = y = y + y + y, b Lös systemet y = y + y, y = y + y 47 Låt F : E E vara speglingen i normalplanet till vektorn u = Bestäm F:s matris i standardbasen 48 Låt A =, B = a Visa att avbildningen F : E 4 E 4, x Ax är en isometri b Finn en ON-bas i R med avseende på skalärprodukten x, y = x t By c Med skalärprodukten från b, bestäm den ortogonala projektionen av vektorn v = på R [ ] 49 Låt R n n sym = {A Rn n A t = A} vara rummet av symmetriska n nmatriser a Ge exempel på en linjär avbildning från R[x] till R sym b Avgör om din avbildning är injektiv/surjektiv/bijektiv c Ge ett exempel på en bijektiv linjär avbildning från R[x] till R sym 5 En yta i E ges av ekvationen 4x + 4x + 7x 8x x + 4x x + 4x x = Bestäm ytans typ, minsta avstånd till origo, samt i vilka punkter detta avstånd antas

42 8 4 BLANDADE PROBLEM 5 a Givet en symmetrisk n n -matris A, definiera en kvadratisk form Q A : R n R genom Q A x = x t Ax Visa att för alla x, y R n x t Ay = Q Ax + y Q A x Q A y b Låt q : R n R vara en kvadratisk form Visa att funktionen : R n R n R, x y = qx + y qx qy uppfyller följande villkor för alla x, y, z R n, λ R: i x y = y x, ii x + y z = x z + y z, iii λx y = λx y c Visa att är en skalärprodukt på R n om och endast om signq = n,, 5 Låt A = a Avbildningen F : R R ges i standardbasen av matrisen A Bestäm egenvärdena till F, samt baser i motsvarande egenrum b Bestäm signaturen av den kvadratiska formen qx = x t Ax c Lös följande system av differentialekvationer: x t = xt + zt y t = yt z t =, x =, y = z = xt 5 En linjär avbildning F : V V kallas nilpotent om F m = för något m N Bevisa följande påståenden: a Om F är en nilpotent avbildning så är NF b En nilpotent avbildning har inga nollskilda egenvärden c Om F:s matris i någon bas är övre triangulär, så är F nilpotent en matris kallas övre triangulär om samtliga element på och under diagonalen är lika med noll d Om F λi är nilpotent så är λ ett egenvärde till F här betecknar I identitetsavbildningen på V, d v s Iv = v för alla v V e Om F λi är nilpotent så är λ det enda egenvärdet till F f Om F λi är nilpotent, men inte noll, så är F inte diagonaliserbar 54 Visa att det finns en unik inre produkt i R på formen x, y = c x y + c x y + c x y + c x y, sådan att b = och b = 4 utgör en ON-bas i R med avseende på denna inre produkt Bestäm även alla -matriser A sådana att x, y = Ax Ay

43 9 55 En linjär operator F : V V på ett ändligt genererat vektorrum V har matrisen A i en bas u i V, och A = A Visa att F är diagonaliserbar d v s att det finns en bas f i V bestående av egenvektorer till F, och bestäm egenvärdena Du kan först visa följande delsteg: a Fv = v för alla v VF b VF NF = {} c Om v = v,,v l är en bas i VF och w = w,, w m en bas i NF så är b = v,, v l, w,, w m en bas i V d Basvektorerna i b är egenvektorer till F

44 A Facit a x, y, z = 5t, t, t, där t R b w, x, y, z = 5s t, s, s, t, s, t, R, c w, x, y, z = 9t, + t, + t, 4t, t R, d w, x, y, z = + s + t, s, t, 4 5s, s, t, R deta = x +, detb = 6, detc =, detd = x x x n, dete = a n 4 A = 8 5 X = a Matrisen S är inverterbar, eftersom det S S = b X = 4I 7 A är inverterbar om och endast om x {, } I detta fall är x + A = x + x + x x + a och c spänner upp R, b och d gör det inte a och b är linjärt oberoende, c och d är linjärt beroende 4 b 5 a = 6 Inklusionen U W är äkta, ty 7 Exempelvis u = 5 8 a v N, w N, Vi har M N = U Däremot är W = R 4 [ 5 ]

45 4 b a =, c N = {x R 4 x x x = } Endast mängden a är en bas i R Exempelvis v =, v = 4 Varje w R som uppfyller 9w + w 7w fungerar 6 Exempelvis v = v, v är en bas i U, och [v ] v =, [v ] v =, [v ] v =, [v 4 ] v =, [v 5] v =, [v6 ] v = 7 De ligger i den linjära höljet av vektorerna och, och måste därför vara linjärt beroende 8 a Varje par av de genererande vektorerna u i utgör en bas i M b a = c [v] u = i basen u = u, u 9 En bas i U är exempelvis f, f, f 4 För att få en bas i hela R[x] kan man till exempel lägga till gx = om a { 6, }, dimu = om a = 6, om a = En bas i R X är exempelvis f = f i 4 i=, där f i : X R ges av f i x = Koordinatvektorn för g blir då [g] f = 8 A = 9 F { om x = i, om x i 7 / 5 Kolonnerna i A är standardbasvektorernas bilder = 44 4, F 4 =, F = 4 4 Avbildningarna G, I, L, M och N är linjära, F och H är det inte 5 4 [F] e = 6 4 y 4 Ekvationen är lösbar närhelst y = y uppfyller y y + y y en massa 44 a [F] e = tal har b [G] = I [F] =

46 4 A FACIT 46 [F] u = 47 [PR α ] e =, [F] vu = cosα sinα, [R α P] e = cosα sinα 48 Om v, w R har längd ett och är vinkelräta mot varandra och mot u d v s u v = etc så är [F] u,v,z = Eftersom [F] u,v,z = [F] u,v,z så är F = F cosα sinα 5 Om z = λe iα så är [m z ],i = λ sin α cosα 54 Låt V och W vara ändligt genererade vektorrum, och v = v,, v n en bas i V Om ϕ : V W är en bijektiv linjär avbildning så är ϕv,, ϕv n en bas i W, och därför är dimw = n = dimv Om man istället antar att dimw = dimv = n, så finns en bas i W med n element, säg w = w,,w n Då definierar ϕλ v + + λ n v n = λ w + + λ n w n en bijektiv linjär avbildning ϕ : V W 55 a Samtliga b v, ej v och v [ ] 56 NF = 57 a Ja NF = [ 4 ], VF = R b Nej Homogenitetsvillkoret Gλx = λgx är exempelvis inte uppfyllt c Ja NH = [ x, x ] [ ], VH =, 59 a Det går inte b Exempelvis Fx = Ax, där A = 6 I NF är e, e en bas, och e är en bas i NF VF 6 Exempelvis 6 dim NF =, dim VF = 4 66 a Om u, v U, λ R så får vi Fλu + v = λfu + Fv U ty Fu, Fv U och U är ett delrum b Då x U Fx = s för något s R följer att U utgörs av lösningarna till det på matrisform skrivna ekvationssystemet 4 s s s s s Av den sista matrisen [ framgår att U = {x R x = s, x = x + s} vilket betyder att U ] =, 68 a Lösningsrummet har dimension två b Ekvationen är inte lösbar för alla b c Två linjärt oberoende lösningar

47 4 7 e + 4e 5e = 5 7 u, v = 8 8 v = u u 8,, 6 8 Exempelvis, eller dessa två vektorer 8 Exempelvis b = c =, 85 a P U v = 5, 4 b avståndet är 8, 6 Varje icke-trivial linjärkombination av,, ON-basen i R[x] som Gram-Schmidt frambringar är 5 En ON-bas i U är + x x En ON-bas i U är 7 x, 5 x 88 Koordinatvektorn är [x] f = 5 9 u = v v, u = v v, u = v, 9 a T b u = b [v] b = 7/4 4 5/4 c [w v] b = 9 y = 4 i U, i W, x, 5 x T u v =, T v u = , [w] u = 4 9/4 /4, T u b = 4 76, [w v] u = 9 a Till exempel f = b Till exempel b =, b =, f = u, f = 6, b =

48 44 A FACIT c T b f = i ovanstående fall 6 94 a Till exempel b Till exempel,, c [P U ] e = 5 95 [F] e = 96 [F] e = 98 Om v,, v n är en ON-bas i u, så är b = v,,v n, u en ON-bas i V, Fv i = v i och Fu = u Eftersom b avbildas på ON-basen v,,v n, u så är F isometrisk man verifierar direkt att den är linjär Ekvationen b kan man visa genom att sätta in v = αu + ṽ, w = βu + w, med α, β R och ṽ, w u, i höger- och vänsterled Geometrisk är F speglingen i det ortogonala komplementet normalplanet, i det tredimensionella fallet till u 99 a 4 4 b a [P M ] e =, [P M ] e = I 4 [P] e = b P M u = c och P M u = 8 5 Avstånden är 9 respektive 4 4 [F] e = 4 6, [G] e = I 4 [F] e = d Fu = , Gu = u Fu = 88 7 Avbildningarna F, F och F 5, är isometrier

49 45 7 Tx y = Tx Ty för alla x, y E om och endast om T är en ortogonal matris med det T = 8 Egenvärden: a, b, c, d u, e a 9 Egenvektorer: a + b, c b +a d b a e x n f NT {} a λ = och v = ; λ = 5 och v = b λ = och v = ; λ = 5 och v = c λ = och v = d λ, = a och v =, v = ; λ = a och v = λ = µ Egenvärden λ =, λ =, λ = = 5, motsvarande egenvektorer v =, v =, v = ± Egenvärdena är a ± 5 Matrisen är diagonaliserbar för alla a R 4 Avbildningen F är diagonaliserbar om och endast om a = I detta fall utgör u =, u =, u = en bas av egenvektorer till F, och [F] u = 5 a Exempelvis b = b, b =,, med egenvärden λ = respektive λ = b T e b =, T b e = + c A n = n n n + n 8 a [F] E =, [F] b = b Egenvärden λ =, λ = och λ = Baser i respektive egenrum är E i E F;, i E F, samt i E F [ ] 9 a U =, E 4 b Avståndet är / Ja, A är diagonaliserbar Egenvärdena är λ = 5, λ = och λ = + 5, 5 motsvarande egenvektorer v =, v = och v = 5 4 s x u, v = u, v u,x x,v x,x = u, s x v, så s x är symmetrisk och därmed enligt spektralsatsen diagonaliserbar Dess egenvärden är och

50 46 A FACIT 5 a, b, e, f och g är kvadratiska former 6 a, b 5, c 5 7 f = 5, 5, λ =, λ = 4 9 Signaturen är,,, ytan är en ellipsoid Signaturen är,, Determinantavbildningen är inte en kvadratisk form på R ty detλa = λ deta om A är en -matris Om en kvadratisk form q : V R har signaturen signq = r, s, t så är värdemängden R om r >, s =, R om r =, s >, qv = R om r, s >, {} om r = s = 4 Eftersom varje kvadratisk form q på R n kan skrivas som q = Q A = FA för någon matris A R n n så är VF = K, d v s F är surjektiv Nollrummet NF består av alla antisymmetriska matriser d v s matriser A sådana att A t = A, och således är dim NF = nn Dimensionssatsen ger nu 6 i dimk = dim VF = dim R n n dim NF = n { y t = λe t + µe +t, y t = λe t + µe +t 8 a n = 4n för alla n N 9 xt = yt = ii iii nn e t + e +t e t, e t + e +t e t = nn + 4 a En bas i ett vektorrum V är en följd vektorer v, v n som är linjärt oberoende och spänner upp V b v = v, v, v utgör en bas i R om och endast om a ± c T = 4 a Exempelvis b =, b Lägg till exempelvis 45 b [F] E = och c E, E, E +E är en bas i NF, den enda vektorn E E utgör en bas i VF

51 47 46 a 48 a Avbildningen F är en isometri om och endast om matrisen A är ortogonal, d v s T t T = I b Exempelvis, 5, c P e v = 49 a Det finns många Nollavbildningen : R[x] R sym, x till exempel Eller avbildningen Ffx = f f f f b Nollavbildningen är intetdera, F är surjektiv Ingen linjär avbildning ϕ : R[x] R sym kan vara injektiv, eftersom dim R[x] = 4 > = dim R sym implicerar Nϕ {} 5 a Egenvärdena är λ = och λ = Egenrummen [ E F = b signq =,, xt = e t e t c yt = e t zt = e t + e t ],, E F = [ ]

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet.

0 Allmänt. Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Linja r algebra TATA (del) Allmänt Följande delar behöver man kunna utöver avsnitten som beskrivs senare i dokumentet. Matrisekvationer och Gauss-elimination o Parameterform Allmänt om vektorer o Räknelagar

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 8+9 JOHAN ASPLUND Innehåll. Kvadratiska former. Allmänna linjära avbildningar Matriser för allmänna linjära avbildningar. Uppgifter Extrauppgift från tenta Extrauppgift från tenta

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är

KTH, Matematik. Övningar till Kapitel , 6.6 och Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R 2 R 2 med vinkeln γ är KTH, Matematik Övningar till Kapitel 5.5-5.6, 6.6 och 8.3-8.6. Matrisframställningen A γ av en rotation R γ : R R med vinkeln γ är ( cos(γ sin(γ. sin(γ cos(γ Då R α+β = R α R β, är matrisen ( cos(α + β

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F.

där β R. Bestäm de värden på β för vilka operatorn är diagonaliserbar. Ange även för respektive av dessa värden en bas av egenvektorer till F. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA9 Linjär algebra Datum: 7 januari 04 Skrivtid:

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt:

LINJÄR ALGEBRA. {x M : P (x)} = {x : P (x)}, TOMAS SJÖDIN. k j=1 Ofta betecknas mängder på följande sätt: LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 1 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 3 3 Skalärprodukt, Vektorprodukt, Volymprodukt 7 4 Linjer och plan 10 5 Matriser

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN

LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN LINJÄR ALGEBRA TOMAS SJÖDIN Innehåll 0 Notation 2 1 Linjära Ekvationssystem 2 2 Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 4 21 Rummen R n och M n 1 7 22 Skalärprodukt 8 3 Linjer 11 31 Linjer på parameterform

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Linjär algebra kurs TNA002

Linjär algebra kurs TNA002 Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y). 2. f(λx) = a(λx) = aλx

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

16. Linjära avbildningar

16. Linjära avbildningar 66 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6. Linjära avbildningar 6.. Linjär avbildning Exempel 6.. Betrakta funktionen f : R R, sådan att där a är en konstant. Då gäller att. f(x + y) =a(x + y) =ax + ay = f(x)+f(y)..

Läs mer

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär

Dagens ämnen. Kvadratiska former. Andragradskurvor. Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Dagens ämnen Kvadratiska former Matrisform Diagonalisering av kvadratiska former Max/min Teckenkaraktär Andragradskurvor De olika kurvtyperna Rita graferna i rätt bas Kvadratiska former a 1 x 1 + a x +

Läs mer

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016.

Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Vladimir Tkatjev Kursprogram kursen ETE325 Linjär Algebra, 8 hp, vt 2016. Kursperiod: 18 januari 18 maj Examinator och föreläsare: Vladimir Tkatjev: B-huset,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI

LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI LINJÄR ALGEBRA & GEOMETRI Seriöst, de här e fan allting. DE HÄR ÄR ALLT SKIT DU BEHÖVER, SKIT I ALLT ANNAT. STÅR DE INTE HÄR ÄR DE ONÖDIGT Contents Räkneregler för Vektorer... 2 Multiplikation mellan skalär

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Linjär Algebra, Föreläsning 20 Linjär Algebra, Föreläsning 20 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Symmetriska avbildningar, repetition F : E E sägs vara symmetrisk om (F (u) v) = (u F (v)) gäller för all u, v i det Euklidiksa rummet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)

(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8) 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat Grundkurs i matematik 3-II Mat-53 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet december Ekvationssytem och matrisräkning 3 Gauss metod, LU-uppdelning 3 Egenvärden 4 Projektioner 9 Principalkomponenter Differentialekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer