Preliminärt lösningsförslag
|
|
- Maria Bergman
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad Ej räknedosa Tentamen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg () krävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( 8) Var och en av dessa åtta uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället ht (duggaresultatlista bifogas) Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från I+II minst poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst poäng Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad Del I Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng Ni får inte ersätta delar av en uppgift med duggaresultat och lämna in lösning på andra delar, har ni lämnat in en lösning för en del av en av dessa sex uppgifter är det den som gäller för hela den uppgiften Däremot får ni naturligtvis välja fritt vilka av de sex uppgifterna ni utnyttjar duggaresultaten för, och vilka ni lämnar in lösningar för Om inget annat anges är deluppgifterna värda en poäng var (D) (p) (a) Bestäm vektorprodukten u v av vektorerna u = och v = (b) Bestäm ekvationen på vektorform för planet som går genom punkterna A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ) Lösningsförslag: (a) Vektorprodukten beräknas enligt formel i boken, eller enligt formeln e x e y e z u v = det ( ( ),, ( ) ) = (, 9, ) (b) För att beskriva planets ekvation på parameterform behöver vi en punkt i planet och två vektorer parallella med planet Vi kan använda punkten A och vektorerna från A till B respektive C, AB = OB OA = AC = OC OA =, och får då planets punkter, med parametrarna t och s, som x y OA + t + t AB + sac = + t + s t s, z t s p
2 dvs x = + t, y = s t, z = s t (D) (p) (a) Finn alla lösningar till ekvationsystemet p x + y + z =, y + z =, x + y + z =, (b) Avgör om vektorerna v =, v =, and v = är linjärt oberoende eller linjärt beroende Korrekt motivering krävs för poäng Lösningsförslag: (a) Vi genomför Gauss-Jordanreducering på systemet skrivet i matrisform (ri, med i siffra, betecknar rad nummer i): r-r r-r, r-r Vi ser att kolonn saknar pivotelement, alltså blir z en fri variabel, sätt z = t, t R Ekvation i det sista systemet ger x =, och medan andra ekvationen ger y = z = t Alltså är lösningen x y + t, t R z (b) Bilda matrisen med de tre vektorerna som rader och utför GJ-reduktion r-r, r-r r+ r, r 4 4 Eftersom vi inte skapade någon nollrad i den radreducerade trappstegsmatrisen är de tre ursprungliga raderna linjärt oberoende (Alternativt: ställ upp matrisen med vektorerna som kolonner, GJ-reducera tills du får samma slutsats (inga nollrader) och dra slutsatsen att den enda lösningen till det homogena ekvationssystemet, dvs de enda koefficienterna för de tre vektor som ger linjärkombinationen lika med nollvektorn, är den triviala lösningen: alltså linjärt oberoende)
3 (D) (p) (a) Beräkna A B t, då A = och B = 5 (b) Finn kolonnrummet för matrisen p 5 Lösningsförslag: (Det skulle ha varit ett B t i uppgiften, inte B c Jag ber om ursäkt för detta och hänsyn till felet har tagits i rättningen ) (a) Enligt definitionenen av transponatet är B t = och enligt definitionen av matrismultiplikation har vi att + ( ) A B t = = + ( ) ( 5) ( ) + ( 5) 9 (b) Vi radreducerar matrisen till en radekvivalent trappstegsmatris Kolonnerna med pivotelement i denna pekar ut kolonnerna i den ursprungliga matrisen som spänner upp radrummet r+r 4 r-r, r-r 5 4 Alltså är kolonnrummet spanc, c, c 4 där c i är i:te kolonnen i orginalmatrisen, så svaret är span{,, 5 (Observera att detta svar inte är unikt ) (D) 4 (p) Den linjära transformationen T : R R, där ( ) x x + y T =, y x y 4
4 ( ) x x kan uttryckas med en matrismultiplikation: T = A y y (a) Bestäm matrisen A samt matrisen för sammansättningen T T (b) Beräkna determinanten av B då p B = 4 Lösningsförslag: (a) Vi har att x + y x = x y y enligt definitionen av matrismultiplikation Alltså är vår sökta matris A = En sats i kursen säger att matrisen för sammansättningen S T av två linjära avbildningar S och T med matriser A respektive B motsvaras av matrisen A B I vårt fall är S = T och matrisen blir A A = A Så matrisen för sammansättningen blir 7 A = = 4 (b) Det finns rätt många rader som liknar varandra, så Gauss-reducering (och bokföring av vilka eventuella förändringar radoperationerna ger på determinanten) bör ge en enkel räkning Vi försöker skapa många nollor för utveckling, alternativt en triangulär matris: det(b) = det( ) = r-r det( ) 4 4 Utveckling längs tredje raden ger nu att det(b) = ( ) +4 det( ) = r-r det( ) En ny utveckling, nu längs rad ger det(b) = ( ) + det( ) = ( ) =, där vi slutligen använder den konkreta definitionen av determinanten för en -matris 5
5 5 7 (D) 5 (p) (a) A = 5 Bestäm egenvärdena för A (b) Bestäm matrisen A som har ett egenvärde med egenvektor och ett egenvärde - med egenvektor p Lösningsförslag: (a) Egenvärdena fås från sekularekvationen = det(a λi) = λ λ λ λ 7 = (5 λ) det( λ ) = = (5 λ)( λ)( λ) Från detta läser vi direkt av att egenvärdena är λ = 5, λ = och λ = (b) Enligt diagonaliseringssatsen kan vi bilda en matris P med egenvektorerna som kolonner och en diagonalmatris D med motsvarande egenvärden som diagonalelement, som uppfyller A = P DP så fort egenvektorerna är linjärt oberoende, eller alternativt uttryckt, så fort P är inverterbar Därmed kan vi beräkna A från informationen i uppgiften om P är inverterbar Bilda P från de två egenvektorerna: P = Tack vare kalkylen (metod från kursen) ser vi att P är inverterbar och P = Återstår att konstatera att D = (notera: ordningen måste vara rätt, första diagonalelementet är egenvärdet som motsvarar egenvektorn i första kolonnen för P ), och multiplicera ihop för att få A = = 4 = 6
6 = 4 = 5 4 (D) 6 (p) (a) Finn en vektor u som tillsammans med R och bildar en ortogonal bas för (b) ( ) B =,, är en bas för ett underrum till M (M är rummet som består av alla matriser av typ ) Avgör om matrisen A = ligger i detta underrum p 4 Lösningsförslag: (a) Eftersom vi bara vill ha en ortogonal bas räcker det att hitta en x tredje vektor som är vinkelrät mot de två första Ansätt u = y så ger kravet att u ska z vara ortogonal mot de två givna vektorerna de två ekvationerna = u x + y + z och = u x + y + z Så vi löser ekvationssystemet dessa två ekvationer bildar, efter att först ha skrivit ekvationssystemet på matrisform: r+r 5 4-5r 5 4 r+r 5 4 Tredje kolonnen saknar pivotelement så z-variabeln är en fri variabel, sätt z = t, t R Då får vi från första ekvationen x = 5 t och från andra ekvationen y = 4 5t Om vi är x smarta och väljer t = 5 får vi då vektorn u = y 4 som är en tredje vektorn i en z 5 ortogonal bas som innehåller de två vektorerna givna i uppgiften 7
7 (b) Vi kan sätta upp ekvationssystem och lösa för att se om det är möjligt att finna koordinater för A i den givna basen, men uppgiften kan lösas enklare än så Notera att alla vektorer i basen har samma element i de två positionerna i första raden Detta innebär att en linjärkombination av dessa vektorer alltid kommer att ha samma värden i positionerna i den första raden Men A har värdet i första positionen och värdet i andra positionen i första raden Eftersom så kan vi aldrig bilda A som en linjärkombination av elemnten i B Alltså ligger A inte i underrummet 8
8 Del II 7 (p) Bestäm det eller de värden på c som ger att matrisen 4 c 4 4 har ett icketrivialt nollrum, dvs ett nollrum som innehåller andra vektorer än nollvektorn För dessa värden, bestäm en bas för nollrummet Lösningsförslag: Nollrummet är lösningsrumet för det homogena ekvationssystem som har den givna matrisen som koefficientmatris Låt oss döpa matrisen till A Vi kan bestämma lösningsrummet för olika värden på c genom att Gausseliminera A och utnyttja vad vi vet om trappstegsmatrisers lösningsrum c c c c c 4 4 (för att förbereda för bestämmandet av lösningsrummen i de fall lösning finns genomför vi redan nu bakåtsubstitutionen) Vi noterar nu att vi har två olika fall: om c = blir tredje raden en nollrad, annars en rad med ett enda icke-nollelement, i kolonn c : I detta fall kan vi utnyttja rad för att skapa en nolla i rad, kolonn : vi kommer till den slutreducerade matrisen 8, c c 4 4 som bara har den triviala noll-lösningen Alltså har matrisen ett icketrivialt nollrum enbart för värdet c = 9
9 I detta fall blir den reducerade radekvivalenta trappstegsmatrisen (med nollraden borttagen) Vi ser direkt att pivotelementen är i kolonn, och 4, så x, y och w är bundna variabler medan z är en fri variabel; vi sätter z = s, s R Första ekvationen ger då x + 8z = x = 8z = 8s, medan andra ekvationen ger y z = y = z = s och fjärde ekvationen ger w = Skriver vi nu detta på vektorform får vi lösningsmängden x 8 y = s, s R z w I enlighet med vad vi såg i början är alltså detta nollrummet för matrisen Alltså är en 8 bas för nollrummet den vektor som spänner upp lösningsmängden, dvs 8 (p) Bestäm inversen för matrisen 4 A = 4 5 Lösningsförslag: I enlighet med resultat från kursen utnytjar vi att A I I A och använder GJreducering för att erhålla det sista från det första 4 A I =
10 = I A Därmed har vi att 4 5 A =
11 Del III För full poäng krävs förutom en korrekt och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation 9 (p) (a) En 5 5-matris har sekulärpolynomet p(λ) = (λ )(λ )(λ 4)(λ + 7) Avgör om matrisen är diagonaliserbar eller inte, eller motivera varför detta inte går att avgöra Oavsett vad svaret är måste det motiveras väl p (b) Två kvadratiska matriser A och B är givna A B är inverterbar Kan du dra slutsatsen att A är inverterbar? Oavsett vad svaret är måste det motiveras väl 4p (c) Tre vektorer i R, u, v och w, är givna Vi vet att u v = och att v w = Beräkna u w, eller motivera att vi inte har tillräckligt med infomation för att kunna göra det Motivation krävs alltid för att få poäng p Lösningsförslag: (a) Eftersom sekularekvationen har grad 5 och 5 olika lösningar från varsin faktor i polynomet (x = (x )(x + )) så har matrisen 5 stycken linjärt oberoende egenvektorer enligt resultat i kursen Därmed är antalet egenvärden lika med antalet linjärt oberoende egenvektorer, och diagonaliseringssatsen ger att matrisen är diagonaliserbar (b) Ja, A måste vara inverterbar Ty fundamentalsatsen för inverterbara matriser säger att en matris är inverterbar omm dess determinant är skild från noll Detta medför att en matris är ickeinverterbar omm determinanten är noll Men determinanten av en matrisprodukt är produkten av de matriser som multipliceras ihop, så om matrisprodukten är inverterbar så måste produkten och därmed de ensklida matriserna ha en determinant skild från noll Speciellt har A determinant skild från noll som är ekvivialent med att A är inverterbar (c) Vektorprodukten av två vektorer är nollvektorn omm de två vektorerna är parallella, alltså är v och w parallella Därmed är v = c w, c R och = u v = u c w = c u w Så om c är = u w men om c = är (v) nollvektorn, och därmed uppfylls villkoren oavsett vad u och w är Eftersom vi inte vet om (v) är nollvektorn eller inte har vi inte tillräckligt mycket information för att kunna beräkna skalärprodukten (p) Matrisen 4 A = är given Bestäm dimensioner och baser för radrum, kolonnrum och nollrum för matrisen Glöm inte att tydligt tala om vilket matrisrum varje bas hör till
12 Lösningsförslag: (a) Vi utnyttjar Gausseliminering av A A = (lite bakåtsubstitution) Pivotelementen i trappstegsformen är positionerna (, ), (, ), (, ) så de raderna i orignalmatirsen (eller de raderna i den slutliga trappstegsmatrisen) är en bas för radrummet, medan de första kolonnerna i den ursprungliga matrisen är en bas för kolonnrummet Slutligen ger den radekvivalenta trappstegsmatrisen att lösningen till det homogena ekvationssystemet med A som koefficientmatris (om de okända variablerna är x, y, z, u, v, w, p) är x + 8u 4v 7p = y 6u + 5v 8p = z 5u + v + w + 5p = x y x = 8u + 4v + 7p z 5 5 y = 6u 5v + 8p u = α + β + γ + δ z = 5u v w 5p = v w p om vi låter de bundna variablerna bli u = α R, v = β R, w = γ R, p = δ R Alltså har vi följande baser: Radrummet { } 8 4 7, 6 5 8, 5 5 Kolonnrummet,, 7
13 Nollrummet ,,, (p) Beräkna A 4 då Lösningsförslag: egenvärdena och egenvektorerna A = Vi undersöker om vi kan diagonalisera matrisen och behöver alltså Resultat i kursen ger direkt att egenvärdena för matrisen A är diagonalelementen i matrisen eftersom den är en triangulär matris Egenvärdena är alltså λ =, λ = samt λ = Enligt resultat i kursen ger olika egenvärden garanterat linjärt oberoende egenvektorer, och därmed vet vi att diagonalisering kommer att fungera Vi finner egenvektorerna genom lösning av ekvationssystemen med koefficientmatriser A λ i I för i =,, λ = A λ I =, vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = λ = + A λ I = +, + 4
14 vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = λ = A λ I =, vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = I enlighet med diagonaliseringssatsen bildar vi nu matriserna P = v, v, v och D = λ λ och diagonaliserar enligt formeln A = P DP λ Först beräknas P : så P = P I = Därmed har vi bestämt P och D I enlighet med resonemang i kursen har vi nu att 4 A k = P D k P = ( ) 4 4 = 5
15 = (p) Låt T : R R vara operatorn x x + y + z T y = y + z z y + z (a) Visa att T är en linjär operator (=linjär transformation) p (b) Bestäm en bas B så att T B är en diagonalmatris 7p a d Lösningsförslag: (a) Låt u = b och v = e, a, b, c, d, e, f R, vara två godtyckliga c f vektorer i R En direkt beräkning ger enkelt att a + d (a + d) + (b + e) + (c + f) T ( u + v) = T b + e = (b + e) + (c + f) c + f (b + e) + (c + f) (a + b + c) + (d + e + f) a + b + c d + e + f = (b + c) + (e + f) b + c + e + f T ( u) + T ( v) (b + c) + (e + f) b + c e + f Därmed är vänsterledet och högerledet i första villkoret i definitionen av linjär avbildning lika, så den likheten är visad Återstår att visa att T (k u) = kt ( u) för alla k R: ka ka + kb + kc a + b + c T (k u) = T kb = kb + kc k b + c kt ( u) kc kb + kc b + c Därmed har vi visat att vänsterledet är lika med högerledet även i det andra villkoret i definitionen, och alltså är avbildningen linjär (b) Notera att x x + y + z x T y = y + z y z y + z z 6
16 En bas som gör att T B är en diagonalmatris är alltså enligt den kunskap vi har en bas av egenvektorer till matrisen Utveckling av det(a λi) längs första kolonnen λ ger att sekularpolyonomet är ( λ) det( ) = ( λ)(( λ)( λ) ) = λ ( λ)(λ 5λ + 4) = ( λ)( λ)(4 λ) Så egenvärdena är λ =, λ = och λ = 4 Tre olika egenvärden ger tre linjärt oberoende egenvektorer enligt sats i kursen, så när vi har beräknat egenvektorerna har vi den eftersökta basen λ = vilket har lösningen λ I = Med t = får vi en egenvektor λ = vilket har lösningen, t, t R t λ I =, t, t R 7
17 Med t = får vi en egenvektor λ = 4 vilket har lösningen 4 λ I = 4 4, t t, t R t Med t = får vi en egenvektor 4 Den eftersökta basen av egenvektorer är alltså,, 4 8
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merx + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merLösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1. Undersök om vektorn (1,, 1, ) tillhör span{(1,, 3, 4), (1, 0, 1, 1),
Läs mer3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs mer3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merLinjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a
TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs mer2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.
TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.4, augusti 04 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 04-03-08 kl
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs mer3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra TATA/TEN) 8, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Tjugofemte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 10 december, 2009 Tentamens struktur Tentamen består av tio uppgifter uppdelade på två delar, Del A och Del
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E
Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs merFör ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merLÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merMatematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift
Läs mer3i)z 2013(1 ) och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.
Läs merFör studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer