kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

Transkript

1 MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget och placeringslistan noggrannt och tydligt Betygsgränser: - 9 p ger betyget, - 9 p ger betyget 4 och 4 eller mer betyget (Bonuspoäng från duggor 7/8 inkluderas) Lösningar läggs ut på kursens (7/8) webbsida senast 7/ Resultat meddelas via Ladok senast ca tre veckor efter tentamenstillfället Därefter kan tentorna granskas och hämtas på MV:s exp öppen alla vardagar 9- Till denna uppgift ska du endast lämna in svar, alltså utan motiveringar Skriv svaren tydligt och i ordning på (om möjligt) ett blad (a) Ange inversen till matrisen A [ (b) Ange en egenvektor som hör till egenvärdet till matrisen (p) (p) (c) Ange ett tal h sådant att vektorn v [ h T är en linjärkombination (p) av vektorererna a, b, c där a [ T, b [ T, c [ T (d) En linjär avbildning A : R R har en egenvektor e med egenvärde och (p) avbildar vektorn e på e e Bestäm matrisen för A i basen {e,e } och bilden av vektorn e + e (e) Matriserna A 6 och U 4 kvivalenta Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A (f) Ange LU-faktoriseringen av matrisen A 4 är rade- (p) (p) Till resterande uppgifter skall du lämna in fullständig lösning, alltså väl motiverat! Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till matrisen (7p) Finns det en ON-bas i R bestående av egenvektorer till denna matris? Bestäm i så fall en sådan Var god vänd!

2 Låt M vara det underrum i R 4 som ges av (6p) M {[x x x x 4 T R 4 : x + x + x 4,x x } (a) Bestäm en bas i M (b) Bestäm en ON-bas i M (c) Bestäm den ortogonala projektionen av v [ T på M 4 (a) Antag att A är en -matris som har egenvektorerna v [ T och (p) v [ T med egenvärdena respektive - Bestäm A n för n,, (b) Med samma A som i (a) betraktar vi systemet av differentialekvationer x (t) Ax(t) med x() [ T Bestäm x(t) För full poäng skall du motivera din lösningsmetod väl Ange en ekvation för den linje som är bäst anpassad, i minstakvadratmetodens (4p) mening, till punkterna (,), (,6), (,), (4,), (,7) 6 Avgör vilka av följande påståenden som är sanna respektive falska Du behöver inte (6p) motivera dig Rätt svar ger p, inget svar p och fel svar -p Dock ej mindre än p totalt (a) Om A och B är två kvadratiska matriser av samma typ och B är inverterbar så gäller att det(bab ) det(a) (b) Om {v,v,v,v 4,v } spänner upp R så är de linjärt oberoende (c) Om A och B är -matriser och AB så gäller antingen A eller B (d) Om A är en ( )-matris sådan att Ax b har lösningar för varje b R så är matrisen A inverterbar (e) Om ( )-matrisen A har egenvärdena, och, och inga fler, så måste A vara inverterbar (f) Varje kvadratisk matris är diagonaliserbar 7 (a) Definiera begreppet linjärt oberoende vektorer (p) (b) Bevisa att om {v,,v n } är linjärt oberoende och {v,,v n,b} är linjärt (p) beroende så måste b vara en linjär kombination av {v,,v n } (c) Låt {v,,v n } vara parvis ortogonala vektorer i R n, dvs v i v j då i j (4p) Bevisa att {v,,v n } är en bas i R n (4p) Gokouun o inorimasu! Peter

3 Lösningar (a) Notera att matrisen är en blockmatris och att (b) Därför är [, tex A (c) Vi arbetar med den utökade matrisen h Då vi utför radoperationerna [ R R R, R R R, R R R, så erhålls trappstegsformen h [ Därmed är systemet konsistent (dvs v ligger i Span{a,b,c}), om och endast om h (d) Den givna informationen medför att matrisen för A i basen {e,e } är [ Vi beräknar bilden av e + e via matrisprodukten [ [ [ Detta innebär att e + e avbildas på e e (e) Rang(A) Rang(U) En bas för Col(A) utgörs av de kolonner motsvarande kolonnerna i U som innehåller pivoten, dvs kolonner och Mao en bas för Col(A) ges av, (f) Man kan kolla att följden av radoperationer R R R, R R R, R R 4R förvandlar A till trappstegsformen U Därmed är A LU där L 4

4 (a) Kalla matrisen för M Vi söker egenvärdena och egenvektorerna till M Dess karakteristiska ekvation är λ λ λ, som efter beräkningen av determinanten (utförs tex genom en kofaktor expansion längs första raden) blir λ(λ 6) Därmed har vi en enkelrot λ och en dubbelrot λ, 6 λ : Vi har M I M Efter återsubstitution ser vi att matrisens nollrum spänns upp av vektorn v λ, 6 : Vi har M 6I 4 Efter återsubstitution ser vi att matrisens nollrum spänns upp av vektorerna v och v Eftersom M är symmetrisk vet vi att basen {v,v,v } av egenvektorer kan förvandlas till en ON-bas Dessutom är v redan ortogonal mot både v och v så vi får en ortogonal bas genom att byta ut v mot v v ( ) v v v v Det återstår att normalisera En ON-bas bestående av egenvektorer ges därmed av {u,u,u } där u v v, 6 u v v u v v, (a) Nollrummet består av alla vektorer på formen x x x 4 x x x x x + x 4 x 4 x 4

5 Så en bas för nollrummet utgörs av de två vektorerna ovan, som vi kallar för v och v (b) Vi får en ortogonal bas genom att byta ut v mot ( ) v v v v v v Det återstår att normalisera En ON-bas bestående för M ges därmed av {u,u } där u v v, (c) u v v proj M v (v u )u + (v u )u ( ) + 4 För mer utförlig motivering, se avsnitt 6 och 7 i Lay Det är givet att A PDP där [ [ P, D (a) (b) [ [ ( ) n [ A n PD n P [ + ( ) n ( ) n ( ) n + ( ) n x(t) e ta x() Pe td P x() [ [ e t e t [ [ [ e t + e t e t e t (a) Kalla de fem givna punkterna för (x i,y i ), i,,,4, Vi söker linjen y kx + m sådan att x [ m k T är minstakvadratlösningen till ekvationssystemet som i matrisform ges av Ax b där A x x x x 4 x 4, b y y y y 4 y 6 7

6 Minstakvadratlösningen ˆx uppfyller A T Aˆx A T b Vi beräknar [ [ A T A, A T b 8 Därmed är ˆx [ [ 8 [ [ 8 [ Svar : y x + 6 (a) Sant det(bab ) (detb)(det A)(det B ) (det B)(detA) det B (b) Sant, ty R har dimension (c) Falskt Tex tag A, B (d) Sant Kolonnerna i A spänner upp R Se nu (b) (e) Sant, ty noll är inte ett egenvärde [ (f) Falskt, tex är inte det det A 7 (a) En mängd vektorer {v,,v n } i ett vektorrum V sägs vara linjärt oberoende om ekvationen c v + + c n v n har den entydiga lösningen c c n (b) Att den utökade mängden är linjärt beroende innebär att det finns skalärer c,c n+, inte alla lika med noll, sådan att c v + + c n v n + c n+ b () Men c n+ måste vara skild från noll, för annars skulle vi ha en icke-trivial relation mellan v,,v n redan, som motsäger att dessa är linjärt Oberoende Därmed kan vi dela med c n+ i () och skriva om ekvationen till b c v c n v n, c n+ c n+ som uttrycker b som en linjärkombination av v,,v n (c) Eftersom dim(r n ) n så räcker det att visa att parvis ortogonala vektorer är linjärt oberoende Antag att c v + + c n v n () Vi måste visa att c c n Välj ett i {,,n} och tag skalärprodukten av båda leden i () med v i Då får vi pga ortogonalitet att v i n c j (v j v i ) c i v i j Eftersom v i så måste c i Eftersom i valdes godtyckligt så är vi klara